1.1.1 空间向量及其线性运算 课件(共26张PPT)—— 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共26张PPT)
1.1.1空间向量及其线性运算
1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法
和字母表示法。
2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它
们的运算律.
3.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示
方法、理解共线向量定理和共面向量定理及其推论.
学习目标
空间向量的概念
空间向量及空间向量的模：
空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的
大小叫做空间向量的长度或模.
a的起点是A, 终点是B, 则 a 也可记作AB, 其模记为lal 或IAB|.
用字母 a,b,c,.. 表示，或用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模
空间向量的表示：
零向量：
规定长度为0的向量叫零向量，记为0.
单位向量：
模为1的向量叫单位向量.
相反向量：
与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，
记为-a.
共线向量：
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意 向量平行，即对于任意向量a, 都有0//a.
相等向量：
方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线
段表示同一向量或相等向量.
①a+b=OA+AB=OB;
②a-b=OA-OC=CA;
③当λ>0时，λa=λOA=PQ ;
当λ<0时，λa=λOA=MN;
当λ=0时， λa=0.
空间向量的加法、减法及数乘运算
交换律：a+b=b+a;
结合律：a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a ;
分配律：(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.(其中λ,μ∈R)
空间向量线性运算的运算律
对任意两个空间向量a,b(b≠0),al/b
存在实数λ,使a=λb.
共线向量
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意
一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量
如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，
那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么
称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
a
0 A
a 1
a
a
如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是
存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
例题巩固
例如图，已知平行四边形 ABCD, 过平面 AC外一点O 作射线 OA,OB,
OC,OD, 在四条射线上分别取点E,F,G,H, 使
求证：E,F,G,H 四点共面. 0
C
B
G
A
H
E F
证 明 ：因为
所以OE=kOA,OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD.
因为四边形 ABCD是平行四边形，所以AC=AB+ AD.
因此 EG=OG-OE=kOC-kOA=kAC
=k(AB+AD)=k(OB-OA+OD-OA)
=OF-OE+OH-OE=EF+EH.
由向量共面的充要条件可知，EH,EF,EG 共面，
又EH,EF,EG 过同一点E 从 而E,F,G,H 四点共面.
练习提升
1.如图所示，在平行六面体ABCD-A,B C D 中，设AA=a,AB=b,AD=c,
N 是BC 的中点，用a,b,c 表示AN 为(
D C
A B,
N
A B
B.-a+b+c
解 析 ：∵ N 是 BC 的中点，
.故选A.
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C
四点共面的是(B )
A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,
则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
3.下列说法正确的是(
A.若|aHbl, 则 a=b 或a=-b
B.若a 、b为相反向量，则a+b=0
C.零向量是没有方向的向量
D.若 a 、b是两个单位向量，则a=b
可能方向既不相同，也不相反，A
B 对；零向量的方向是任意的，C
同 ，D 错.故选B.
错；若a、b 为相反向量，则它们的和为零向量，
错；两个单位向量只是模都为1,方向不一定相
解析：若|a=bl, 则它们的方向相同时是相等向量，方向相反时是相反向量，还有
4.在正方体ABCD-A,BC D 中，下列各式的运算结果为向量BD 的是(
①AD -AA-AB;②BC+BB -DC;
③AD-AB +DD;④B D -AA +DD
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
解析：AD -A A-AB=AD -AB=BD ,① 错；
BC+BB-DC =BC+CC -DC=BC+C D =BD,② 错；
AD-AB +DD =B D+DD =BD ,③对；
BD-AA +DD =BD -DD +DD =BD],④ 对.故选C.
5.已知空间向量 a,b, 且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b, 则
一定共线的三点是(
A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D
解析： ∵ BD=BC+CD=-5a+6b+7a-2b=2a+4b,AB=a+2b,
三点共线，故选A.
∴BD=2AB,∴A,B,D
6.在空间四边形 ABCD中，若△BCD是正三角形，且E 为其中心，连接DE,
则 的化简结果为_
解 析 ：延长DE, 交 BC 于点F, 则 F 为BC 的中点，
: ,∴
·
,
●
7.如图，O 为 △ABC 所在平面外一点，M 为 BC 的中点，若AG=λAM 与
同时成立，则实数λ的值
解析：
,所以
8.已知i,j,k 是不共面向量，a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,
若 a,b,c 三个向量共面，则实数λ等于
解析：若向量a,b,c 共面，则存在x,y∈ R, 使得a=xb +yc,
∴2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+λk),
解得
9.如图，在正方体A B C D -ABCD中 ，E,F 分别是B C ,C D 的中点，
求证：E,F,B,D 四点共面.
所以DB//FE,
而E,F,B,D 四点不共线，
因此DB//FE, 故 E,F,B,D 四点共面
证明：设 DA=a,DC=b.
则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A B CD 中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C D 的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,
表示以下向量：
(1)AP;
(2)MP+NC.
解 析 ：(1)∵ P 是C D 的中点，
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢
1.空间向量的概念
2.空间向量的运算律
3.共线向量和共面向量
小结：