1.1.2 空间向量的数量积运算 课件(共25张PPT)—— 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共25张PPT)
第一章空间向量与立体几何
1.1.2空间向量的数量积运算
学习目标
1.了解空间向量的夹角、模的概念及其表示.
2.掌握空间向量的数量积及其运算律.
3.能运用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、距离或长
度等问题.
空间向量的夹角
已知两个非零向量a,b, 在空间任取一点0,作OA=a ,OB=b
则∠AOB 叫做向量a,b 的夹角，记作(a,b).
如果 ,那么向量a,b 互相垂直，记作a ⊥b.
已知两个非零向量a,b, 则 |a||b|cos(a,b) 叫 做a,b 的数量积，
记作a·b, 即 a·b=a||b|cos(a,b).
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
由向量的数量积定义，可得a ⊥b a·b=0;
a·a=|a||a|cos(a,a)=|al .
空间向量的数量积
空间向量数量积的运算 E
(λa)·b=λ(a·b),λ∈R;
a·b=b·a(交换律);
a.(b+c)=a·b+a·c(分配律).
例题剖析
例1如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D′中 ，AB=5,AD=3
AA'=7 , ∠BAD=60°,∠BAA'=∠DAA'=45°,求：
(1)AB·AD;
(2)AC 的长(精确到0.1).
解 ：(1) AB·AD=|ABIⅡAD|cos(AB,AD)=5×3×cos60°=7.5.
(2)|AC'P =(AB+AD+AA)
=|ABI +|ADI +|AA'I +2(AB·AD+AB·AA'+AD·AA)
=5 +3 +7 +2(5×3×cos60°+5×7×cos 45°+3×7×cos45°)
=98+56√2,
所以AC'≈13.3.
例 2 如 图 ，m,n 是平面α内的两条相交直线，如果l⊥m,lln
求证：l⊥a.
证明：在平面α内作任意一条直线g, 分别在直线1,m,n,g 上取非零向量
l,m ,n,g.
因为直线m 与 n 相交，所以向量m,n 不平行.
由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y),使 g=xm+yn
将上式两边分别与向量1作数量积运算，得l·g=xl·m+yl·n.
因为l·m=0,l·n=0, 所 以l·g=0
所以llg.
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥a.
课堂小练
1.如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G 分别
是AB,AD,CD 的中点，则
解析：由题意得
故 选B.
C.
B
口
2.如图，正方体ABCD-A B C D 中，异面直线AC 和BC 所成角的大小为( A )
或
A
B
C.
口
∴.CA.BC =CA.(Cc-CB)=-CA.CB=-1,
解析：设正方体的棱长为1,∵BC =CC -C B,
∴异面直线AC 和BC 所成角的大小为
垂
3.如图所示，在三棱锥A-BCD 中 ，AB⊥ 平面BCD,BC⊥CD, 且 AB=BC=1,
CD=2, 点E 为CD的中点，则AE的长为(
A.√2 B.√3 C.2 D.√5
解析：AE =(AB+BC+CE) =AB +BC +CE +2AB·BC+2AB·CE+2BC·CE
,所以[AE|=√3, 故选B.
4.如图，正方体ABCD-A B C D 的棱长为a, 体对角线AC 与BD 相交于
点O,则 有(
A.AB·AC=2a B.AB·AC=√2d
D.BC·DA=d
解析：AB·AC=AB·(AB+AD)=AB =a ;
AB·ACi=AB.(AB+AD+AA)=AB =a ;
BC·DA =BC.(BB +CB)=-BC =-a
.故选C.
5.已知|a|=3√2,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,(a,b)=135°,m⊥n, 则
解析：∵m ⊥n,∴m.n=0, 即 (a+b)·(a+λb)=a +(1+λ)a·b+λb
=18-12(1+λ)+16λ=0,解得
6.在棱长为2的正四面体A-BCD 中 ，E 是 BC的中点，则DE·AC= 1
7.已知在平行六面体 ABCD-A BC D 中，∠BAD=∠A AB=∠A AD=60°,
AD=4,AB=3,AA =5, 则 二 97
解析：∵六面体ABCD-A,BC D 是平行六面体，且AC =AA +AD+AB,
.Ac| =(AA+AD+AB) =|AA| +IABP+|ADP+2AA·AD+2AA·AB+2AB·AD
又∵∠BAD=∠A AB=∠A AD=60°,AD=4,AB=3,AA =5,
.AC|=√97.
8.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中 ，PA⊥平 面ABCD,AB⊥BC,AB⊥AD,
求cos(PB,DC).
解析：由题意知|P B=√2,ICDF=√2.
因为PA⊥平 面ABCD,
所以 PA⊥DA,PA⊥AB,PA⊥BC,
所以PA·DA=PA·AB=PA·BC=0.
又AB⊥BC,AB⊥AD, 所以AB·BC=0,AB·DA=0,
所以PB·DC=(PA+AB)·(DA+AB+BC)=AB =1,
所以
9.如图所示，在三棱锥A-BCD 中 ，DA,DB,DC 两两垂直，且DB =DC=DA=2,
E 为 BC 的中点.
( 1 ) 证 明 ：AE⊥BC;
(2)求直线AE 与 DC 所成角的余弦值.
解析：(1)
所以
=0-2+2-0-0+0=0,
所以AE⊥BC.
,BC=DC-DB,
IAEI=√(√2) +2 =√6,
所以
即直线AE 与 DC 所成角的余弦值为
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢
1.空间向量的夹角
2.空间向量的数量积
3.空间向量数量积的运算律
小结：