1.1.2空间向量的数量积运算 课件(共43张PPT) ——高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 1.1.2空间向量的数量积运算 课件(共43张PPT) ——高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-14 21:22:12 | ||
图片预览
文档简介
(共43张PPT)
1.1.2空间向量的数量积运算
学习目标
1. 掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养。
3. 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养.
4. 能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算
的核心素养.
环节一创设情境引入课题
根据功的计算，我们定义了 平面向量的数量积运算， 一旦 定义出来，我们发现这种运算 非常有用，它能解决有关长度 和角度问题，在空间向量中亦 是如此。
在必修第二册中我们还学面向量的数量积运算，现在我们 类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.
平面
空间(学生填空)
夹角 对非零向量 a,b,作OA=a,OB=b ,则∠AOB ,π]
叫做a与b的夹角，记作 a,b),(a,
特例： 当 时，则a·b=0 a⊥b.
数量 积 两个非零向量a,b,则|allb|cos(a,b>叫.做a,b 的数量积，记作a·b,即a·b=数量积|a||b|cos(a,b>
特例：a·a=a =|al .
环 节 一 创 设 情 境 引入课题
问题1:类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识
请同学们类 比平面向量 的数量积运 算研究空间 向量数量积 运算，小组 合作完成表 格.
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的 夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
如图1.1-10,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作OA=a,OB=b,
则∠AOB 叫做向量a,b的夹角，记作(a,b).
通常规定，0≤(a,b)≤π,这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
由向量的数量积定义，可以得到： a ⊥b a.b=0,
a·a=a a cos(a,a)=a
a·a也记作a
已知两个非零向量a,b,则a b cos 叫做a,b的数量积(inner product),
记作a·b,即
思考
在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影.类似地，在空间，向量(
向向量b的投影有什么意义 向量a 向直线l的投影呢 向量a向平面β的 投影呢
环节二观察分析 感知概念
问题2:根据平面向量数量积的学习经验，为了研究数量积的运算律， 需要先定义向量的投影.想一想空间向量的投影有哪些情况.
问题3:下面我们分情况展开空间向量投影的研究. 如图1(1),如何定义并画出空间向量 向 向 量 股 影
(1)
的投影向量.类似地，可以将向量向直线l投影(图1.1-11(2)豆
如图1.1-11(1),在空间，向量a 向向量b投影，由于它们是自由向量，因此
可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得
到与向量b共线的向量c, ,向量c 称为向量a在向量b上
(1) (2) (3)
图1.1-11
如图1.1-11(3),向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B
作平面的垂线，垂足分别为A',B', 得到向量A'B',向量A'B称为向量a 在 平面上β的投影向量.这是，向量a,向量A'B的夹角就是向量a 所在直线
(1) (2) (3)
与平面β所成的角。
图1.1-11
空间向量的数量积满足如下的运算律：
(λa)·b=λ(a·b),λ∈R;
a·b=b.a(交换律)
(a+b)·c=a·c+b·c (分配率)
思考
1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac, 则b=c, 对于向量a,b,c,
由a.b=a·c,你能得到b=c 吗 如果不能，请举出反例.
设a是非零向量，且b≠c,求证：a·b=a·c b-c)⊥a B
a.b=a·c
a.b-a·c=0
a.(b-c)=0 →(b-c)⊥a
思考
2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c, 则 (或 对于向量
a,b,若a.b=k, 能不能写成 的形式
3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,
(a.b)·c=a·(b·c) 成立吗 为什么
●
环节四辨析理解深化概念
例2如图1.1-12,在平行六面体ABCD-A'B'CD '中，AB=5,AD=3,
AA'=7,∠BAD=60°,∠BAA'=∠DAA'=45°.
求(1)AB·AD;(2)AC '的长(精确到0.1).
(1)AB·AD=AB AD cos(AB,AD)
=5×3×cos60°=7.5,
环节四辨析理解深化概念
例2如图1.1-12,在平行六面体ABCD-A'B'CD '中，AB=5,AD=3,
AA'=7,∠BAD=60°,∠BAA'=∠DAA'=45°.
求(1)AB·AD;(2)AC '的长(精确到0.1).
(2)ACi =(AB+AD+AA)
=AB +AD +AA' +2(AB·AD+AB·AA'+AD ·AA)
=5 +3 +7 +2(5×3×cos60°+5×7×cos45°+3×7×cos45°)
=98+56 √2
所以AC'≈13.3
环节五概念应用巩固内化
由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空 间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来，因 此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决.
例3如图1.1-13,m,n 是平面α内的两条相交直线，如果l⊥m,l⊥n,
求证： ll a.
分析：要证明l⊥a,就是要证明l垂直于α内的任意一条直线g(直线与
平面垂直的定义).如果我们能在g和m,n 之间建立
某种联系，并由l⊥m,l⊥n, 得到ll g,
那么就能解决此问题.
图1.1-13
证明：在平面α内作任意一条直线g, 分别在直线l,m,n,g 上取非零向量
i,m,n,g.
因为直线m与n相交，所以向量m,n不平行.由向量共面的充要条件可知，
存在唯一的有序实数对(x,y),使g=xm+yn,
将上式两边分别与向量i 作数量积运算，
得i·g=xi.m+yi.n.
因为i.m=0,i.n=0, 所以i.g=0. 所以⊥g
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥a.
环节六归纳总结反思提升
课堂小结
1.空间向量的夹角
(1)两向量的夹角是唯一确定的
(2)夹角范围
(3)特殊夹角及对应两向量的位置关系
2.空间向量的数量积的定义与几何意义
3.空间向量数量积的性质：证明向量垂直的方法；计算向量长度的 方法。
4. 空间向量数量积的运算律。
模、零向量、单位向量等
共线向量、共面向量
加法
减法
线性运算
数乘运算
问 题7.请同学们回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些
2.在解决问题时，用到了哪些数学思想
空间向量及其 线性运算
共线向量的判定及应用
共面向量的判定及应用
线性运算的应用
相关概念
作业布置：
教科书习题1.1 第4,7题.
环节七 目标检测，作业布置
设BB =1,则AB=√2.
∵AB =BB -BA,BC =BB +BC, ∴AB ·BC =(BB -BA)·(BB +BC)
=BB -BA·BC=1-√2×√2×cos60°=0, ∴AB ⊥BC , ∴AB 与BC 所成的角为90°
1.如图，在正三棱柱ABC-A B C 中，若AB=√2BB ,则AB 与BC 所成 角的大小为(B )
A.60° B.90° C.105° D.75°
(第1题)
2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,
求：(1)a.(b+c); (2)a·(a+b+c); (3)(a+b)·(b+c).
(1)a.(b+c)=a.b+a·c=0+0=0;
(2)a·(a+b+c)=a +a.b+a·c=a +0+0=1;
(3)(a+b)·(b+c)
=a.b+a·c+b +bc
=0+0+l +0=1
(第2题)
3.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D '中，AB=4,AD=3,AA'=5,
∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°. 求：
(1)AA'·AB; (2)AB '的长； (3)AC'的长.
(1)AA ·AB=AA
(2)∵AB'=AB+AA',
= √ 16+2×10+25= √61,
即AB'的长为√61;
(第3题)
3.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D '中，AB=4,AD=3,AA'=5,
∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°. 求：
(1)AA'·AB; (2)AB '的长； (3)AC '的长.
∴ACi =AB +AD +AA' +2AB·AD+2AB·AA'+2AD·AA'
∴AC= √85,即AC'的长为√85.
(3)∵AC'=AB+AD+AA',
4.如图，线段AB,BD 在平面α内，BD⊥AB,AC⊥a, 且AB=a,BD=b,
AC=c, 求 C,D 两点间的距离.
∵CD=CA+AB+BD,
∴CD =CA +AB +BD +2CA ·AB+2CA ·BD+2AB·BD=a +b +c ,
∴CD=√a +b +c ,
即C,D 两点间的距离为Ja +b +c .
(第4题)
1.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D '中，E,F 分别为棱AA',AB的中点.
(1)写出与向量BC 相等的向量；
(2)写出与向量BC 相反的向量；
(3)写出与向量EF 平行的向量.
(1)与向量BC 相等的向量有AD,A'D,B'C;
(2)与向量BC相反的向量有CB,DA,D'A',CB';
(3)与向量EF平行的向量有A'B,BA',D'C,CD',FE.
2.如图，已知平行六面体ABCD-A'B'CD', 化简下列表达式，并在图中
标出化简结果的向量：
(1)AB+BC; (2)AB+AD+CC';
(2)AB+AD+CC =(AB+AD)+CCi
=AC+CCi=AC'
(1)AB+BC=AC;
(第2题)
2.如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D', 化简下列表达式，并在图中
标出化简结果的向量：(3)
2.如图，已知平行六面体ABCD-A'B'CD',
标出化简结果的向量：
(4)设F 为AC'上靠近点A的三等分点，
化简下列表达式，并在图中
(第2题)
3.证明：如果向量a,b 共线，那么向量2a+b 与a 共线.
由向量a,b共线，若a为零向量，则结论成立；
若a为非零向量，则存在实数λ,使b=λa,从而2a+b=(2+λ)a,
∴a,b共线.
综上，向量2a+b 与a共线.
4.如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a,E,F,G 分别是棱AB,
AD,DC 的中点，求：(1)AB ·AC; (2)AD·DB; (3)GF ·AC;
设AB=a,AC=b,AD=c.∵ 四面体ABCD的各棱长均为aA
∴∠BAC=∠CAD=∠BAD=60°
(4)EF·BC; (5)FG·BA; (6)GE·GF.
B
4.如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a,E,F,G 分别是棱AB,
AD,DC 的中点，求：(1)AB·AC; (2)AD·DB; (3)GF ·AC; (4)EF ·BC; (5)FG ·BA; (6)GE · GF.
(2)AD·DB=c.(AB-AD)=c·(a-c)=a.c-c
B
(第4题)
(第4题)
5.如图，在平行六面体ABCD-A B C D 中，AC 与BD 的交点为M, 设
A B =a,A D =b,A A=c, 则下列向量中与B M 相等的向量是(A)
(第5题)
又F,G 分别为BC,CD 的中点，
6. 如图，已知E,F,G,H 分别为四面体ABCD 的棱AB,BC,CD,DA 的
中点，求证： E,F,G,H 四点共面 .
证明：E,H 分别为AB,AD 的中点，
∴EH=FG,∴E,F,G,H 四点共面
(第6题)
7.如图，正方体ABCD-A'B'C'D '的棱长为a.
(1)求A'B 和B'C 的夹角； (2)求证： A'B⊥AC'.
(1)设AB=a,AD=b,AA'=c,∵ 正方体ABCD-A'B'C'D 的棱长为a,
∴a=b=c=a, 且=90°,(b,c>=90°.
∵A'B=AB-AA'=a-c,
B'℃=A'D=AD-AA'=b-c,
∴A'B·B'℃=(a-c)·(b-c)
=a.b-a.c-b·c+c =0-0-0+a =a
又A'B=√2a,B'℃=√2a,
又∈[0°,180°],∴=60°,∴A'B与B'℃的夹角为60°
(2)由(1)知A'B=a-c,AC =AB+BC+CCi=AB+AD+AA'=a+b+c
∴A'B·AC =(a-c)·(a+b+c)
=a +a.b+a·c-c.a-c.b-c
=a +0+0-0-0-a =0
∴A'B⊥AC',∴A'B⊥AC'
8.用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在 这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直(三垂线定理).
已知： CDc 平面α,AB 是平面α的斜线，且AB∩a=A,BO⊥ 平面α于
点0,且CD⊥A0. 求 证 ：CD⊥AB.
证明：∵AO=BO-BA, 且CD⊥AO,∴CD⊥AO,∴CD·AO=0,
:CD·(BO-BA)=0,∴CD·BO-CD·BA=0.
又BO⊥a, ∴BO⊥CD,∴BO·CD=0,
∴CD·BA=0,∴CD⊥BA,∴CD⊥AB
9.如图，在四面体OABC中，OA⊥BC,OB⊥AC. 求证：0C⊥AB.
证明：设OA=a,OB=b,OC=c, 则BC=OC-OB=c-b.
∵OA⊥BC,∴OA⊥BA,∴0A·BC=0,∴a·(c-b)=0,
∴a·c-a.b=0 ①
又AC=0C-OA=c-a 且OB⊥AC,∴OB·AC=0, ∴b·(c-a)=0,:b·c-b·a=0 ②
由①②知a·c=a.b=b·c,∴a·c-b·c=0,
∴c·(a-b)=0.
又a-b=0A-OB=BA,∴0C⊥BA,∴0C⊥AB
10.如图，在四面体OABC中 ，OA=OB,CA=CB,E,F,G,H 分别是OA,OB,
BC,CA 的中点.求证：四边形EFGH 是矩形.
证明：设OA=a,OB=b,0C=c,∵E,F分别为OA,OB的中点，
:EF=HG,∴ 四边形EFGH 是平行四边形.
又G,H 分别是BC,AC 的中点，
又在△OAC和△OBC 中，OA=OB,CA=CB,0C=0C,
∴△OAC≌△OBC,∴∠BOC=∠AOC.
∵OC·AB=0C.(OB-0A)=c·(b-a)=c.b-c·a
=C·b cos ∠BOC-c·a cos ∠AOC
又a=b,cos∠BOC=cos∠AOC,
∴0C·AB=0,:0C⊥AB,∴AB⊥0C.
又AB//GH,FG/10C,.∴GHlFG,
∴四边形EFGH 为矩形.
1.1.2空间向量的数量积运算
学习目标
1. 掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养。
3. 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养.
4. 能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算
的核心素养.
环节一创设情境引入课题
根据功的计算，我们定义了 平面向量的数量积运算， 一旦 定义出来，我们发现这种运算 非常有用，它能解决有关长度 和角度问题，在空间向量中亦 是如此。
在必修第二册中我们还学面向量的数量积运算，现在我们 类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.
平面
空间(学生填空)
夹角 对非零向量 a,b,作OA=a,OB=b ,则∠AOB ,π]
叫做a与b的夹角，记作 a,b),(a,
特例： 当 时，则a·b=0 a⊥b.
数量 积 两个非零向量a,b,则|allb|cos(a,b>叫.做a,b 的数量积，记作a·b,即a·b=数量积|a||b|cos(a,b>
特例：a·a=a =|al .
环 节 一 创 设 情 境 引入课题
问题1:类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识
请同学们类 比平面向量 的数量积运 算研究空间 向量数量积 运算，小组 合作完成表 格.
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的 夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
如图1.1-10,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作OA=a,OB=b,
则∠AOB 叫做向量a,b的夹角，记作(a,b).
通常规定，0≤(a,b)≤π,这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且
由向量的数量积定义，可以得到： a ⊥b a.b=0,
a·a=a a cos(a,a)=a
a·a也记作a
已知两个非零向量a,b,则a b cos 叫做a,b的数量积(inner product),
记作a·b,即
思考
在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影.类似地，在空间，向量(
向向量b的投影有什么意义 向量a 向直线l的投影呢 向量a向平面β的 投影呢
环节二观察分析 感知概念
问题2:根据平面向量数量积的学习经验，为了研究数量积的运算律， 需要先定义向量的投影.想一想空间向量的投影有哪些情况.
问题3:下面我们分情况展开空间向量投影的研究. 如图1(1),如何定义并画出空间向量 向 向 量 股 影
(1)
的投影向量.类似地，可以将向量向直线l投影(图1.1-11(2)豆
如图1.1-11(1),在空间，向量a 向向量b投影，由于它们是自由向量，因此
可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得
到与向量b共线的向量c, ,向量c 称为向量a在向量b上
(1) (2) (3)
图1.1-11
如图1.1-11(3),向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B
作平面的垂线，垂足分别为A',B', 得到向量A'B',向量A'B称为向量a 在 平面上β的投影向量.这是，向量a,向量A'B的夹角就是向量a 所在直线
(1) (2) (3)
与平面β所成的角。
图1.1-11
空间向量的数量积满足如下的运算律：
(λa)·b=λ(a·b),λ∈R;
a·b=b.a(交换律)
(a+b)·c=a·c+b·c (分配率)
思考
1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac, 则b=c, 对于向量a,b,c,
由a.b=a·c,你能得到b=c 吗 如果不能，请举出反例.
设a是非零向量，且b≠c,求证：a·b=a·c b-c)⊥a B
a.b=a·c
a.b-a·c=0
a.(b-c)=0 →(b-c)⊥a
思考
2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c, 则 (或 对于向量
a,b,若a.b=k, 能不能写成 的形式
3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,
(a.b)·c=a·(b·c) 成立吗 为什么
●
环节四辨析理解深化概念
例2如图1.1-12,在平行六面体ABCD-A'B'CD '中，AB=5,AD=3,
AA'=7,∠BAD=60°,∠BAA'=∠DAA'=45°.
求(1)AB·AD;(2)AC '的长(精确到0.1).
(1)AB·AD=AB AD cos(AB,AD)
=5×3×cos60°=7.5,
环节四辨析理解深化概念
例2如图1.1-12,在平行六面体ABCD-A'B'CD '中，AB=5,AD=3,
AA'=7,∠BAD=60°,∠BAA'=∠DAA'=45°.
求(1)AB·AD;(2)AC '的长(精确到0.1).
(2)ACi =(AB+AD+AA)
=AB +AD +AA' +2(AB·AD+AB·AA'+AD ·AA)
=5 +3 +7 +2(5×3×cos60°+5×7×cos45°+3×7×cos45°)
=98+56 √2
所以AC'≈13.3
环节五概念应用巩固内化
由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空 间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来，因 此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决.
例3如图1.1-13,m,n 是平面α内的两条相交直线，如果l⊥m,l⊥n,
求证： ll a.
分析：要证明l⊥a,就是要证明l垂直于α内的任意一条直线g(直线与
平面垂直的定义).如果我们能在g和m,n 之间建立
某种联系，并由l⊥m,l⊥n, 得到ll g,
那么就能解决此问题.
图1.1-13
证明：在平面α内作任意一条直线g, 分别在直线l,m,n,g 上取非零向量
i,m,n,g.
因为直线m与n相交，所以向量m,n不平行.由向量共面的充要条件可知，
存在唯一的有序实数对(x,y),使g=xm+yn,
将上式两边分别与向量i 作数量积运算，
得i·g=xi.m+yi.n.
因为i.m=0,i.n=0, 所以i.g=0. 所以⊥g
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥a.
环节六归纳总结反思提升
课堂小结
1.空间向量的夹角
(1)两向量的夹角是唯一确定的
(2)夹角范围
(3)特殊夹角及对应两向量的位置关系
2.空间向量的数量积的定义与几何意义
3.空间向量数量积的性质：证明向量垂直的方法；计算向量长度的 方法。
4. 空间向量数量积的运算律。
模、零向量、单位向量等
共线向量、共面向量
加法
减法
线性运算
数乘运算
问 题7.请同学们回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些
2.在解决问题时，用到了哪些数学思想
空间向量及其 线性运算
共线向量的判定及应用
共面向量的判定及应用
线性运算的应用
相关概念
作业布置：
教科书习题1.1 第4,7题.
环节七 目标检测，作业布置
设BB =1,则AB=√2.
∵AB =BB -BA,BC =BB +BC, ∴AB ·BC =(BB -BA)·(BB +BC)
=BB -BA·BC=1-√2×√2×cos60°=0, ∴AB ⊥BC , ∴AB 与BC 所成的角为90°
1.如图，在正三棱柱ABC-A B C 中，若AB=√2BB ,则AB 与BC 所成 角的大小为(B )
A.60° B.90° C.105° D.75°
(第1题)
2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,
求：(1)a.(b+c); (2)a·(a+b+c); (3)(a+b)·(b+c).
(1)a.(b+c)=a.b+a·c=0+0=0;
(2)a·(a+b+c)=a +a.b+a·c=a +0+0=1;
(3)(a+b)·(b+c)
=a.b+a·c+b +bc
=0+0+l +0=1
(第2题)
3.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D '中，AB=4,AD=3,AA'=5,
∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°. 求：
(1)AA'·AB; (2)AB '的长； (3)AC'的长.
(1)AA ·AB=AA
(2)∵AB'=AB+AA',
= √ 16+2×10+25= √61,
即AB'的长为√61;
(第3题)
3.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D '中，AB=4,AD=3,AA'=5,
∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°. 求：
(1)AA'·AB; (2)AB '的长； (3)AC '的长.
∴ACi =AB +AD +AA' +2AB·AD+2AB·AA'+2AD·AA'
∴AC= √85,即AC'的长为√85.
(3)∵AC'=AB+AD+AA',
4.如图，线段AB,BD 在平面α内，BD⊥AB,AC⊥a, 且AB=a,BD=b,
AC=c, 求 C,D 两点间的距离.
∵CD=CA+AB+BD,
∴CD =CA +AB +BD +2CA ·AB+2CA ·BD+2AB·BD=a +b +c ,
∴CD=√a +b +c ,
即C,D 两点间的距离为Ja +b +c .
(第4题)
1.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D '中，E,F 分别为棱AA',AB的中点.
(1)写出与向量BC 相等的向量；
(2)写出与向量BC 相反的向量；
(3)写出与向量EF 平行的向量.
(1)与向量BC 相等的向量有AD,A'D,B'C;
(2)与向量BC相反的向量有CB,DA,D'A',CB';
(3)与向量EF平行的向量有A'B,BA',D'C,CD',FE.
2.如图，已知平行六面体ABCD-A'B'CD', 化简下列表达式，并在图中
标出化简结果的向量：
(1)AB+BC; (2)AB+AD+CC';
(2)AB+AD+CC =(AB+AD)+CCi
=AC+CCi=AC'
(1)AB+BC=AC;
(第2题)
2.如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D', 化简下列表达式，并在图中
标出化简结果的向量：(3)
2.如图，已知平行六面体ABCD-A'B'CD',
标出化简结果的向量：
(4)设F 为AC'上靠近点A的三等分点，
化简下列表达式，并在图中
(第2题)
3.证明：如果向量a,b 共线，那么向量2a+b 与a 共线.
由向量a,b共线，若a为零向量，则结论成立；
若a为非零向量，则存在实数λ,使b=λa,从而2a+b=(2+λ)a,
∴a,b共线.
综上，向量2a+b 与a共线.
4.如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a,E,F,G 分别是棱AB,
AD,DC 的中点，求：(1)AB ·AC; (2)AD·DB; (3)GF ·AC;
设AB=a,AC=b,AD=c.∵ 四面体ABCD的各棱长均为aA
∴∠BAC=∠CAD=∠BAD=60°
(4)EF·BC; (5)FG·BA; (6)GE·GF.
B
4.如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a,E,F,G 分别是棱AB,
AD,DC 的中点，求：(1)AB·AC; (2)AD·DB; (3)GF ·AC; (4)EF ·BC; (5)FG ·BA; (6)GE · GF.
(2)AD·DB=c.(AB-AD)=c·(a-c)=a.c-c
B
(第4题)
(第4题)
5.如图，在平行六面体ABCD-A B C D 中，AC 与BD 的交点为M, 设
A B =a,A D =b,A A=c, 则下列向量中与B M 相等的向量是(A)
(第5题)
又F,G 分别为BC,CD 的中点，
6. 如图，已知E,F,G,H 分别为四面体ABCD 的棱AB,BC,CD,DA 的
中点，求证： E,F,G,H 四点共面 .
证明：E,H 分别为AB,AD 的中点，
∴EH=FG,∴E,F,G,H 四点共面
(第6题)
7.如图，正方体ABCD-A'B'C'D '的棱长为a.
(1)求A'B 和B'C 的夹角； (2)求证： A'B⊥AC'.
(1)设AB=a,AD=b,AA'=c,∵ 正方体ABCD-A'B'C'D 的棱长为a,
∴a=b=c=a, 且
∵A'B=AB-AA'=a-c,
B'℃=A'D=AD-AA'=b-c,
∴A'B·B'℃=(a-c)·(b-c)
=a.b-a.c-b·c+c =0-0-0+a =a
又A'B=√2a,B'℃=√2a,
又
(2)由(1)知A'B=a-c,AC =AB+BC+CCi=AB+AD+AA'=a+b+c
∴A'B·AC =(a-c)·(a+b+c)
=a +a.b+a·c-c.a-c.b-c
=a +0+0-0-0-a =0
∴A'B⊥AC',∴A'B⊥AC'
8.用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在 这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直(三垂线定理).
已知： CDc 平面α,AB 是平面α的斜线，且AB∩a=A,BO⊥ 平面α于
点0,且CD⊥A0. 求 证 ：CD⊥AB.
证明：∵AO=BO-BA, 且CD⊥AO,∴CD⊥AO,∴CD·AO=0,
:CD·(BO-BA)=0,∴CD·BO-CD·BA=0.
又BO⊥a, ∴BO⊥CD,∴BO·CD=0,
∴CD·BA=0,∴CD⊥BA,∴CD⊥AB
9.如图，在四面体OABC中，OA⊥BC,OB⊥AC. 求证：0C⊥AB.
证明：设OA=a,OB=b,OC=c, 则BC=OC-OB=c-b.
∵OA⊥BC,∴OA⊥BA,∴0A·BC=0,∴a·(c-b)=0,
∴a·c-a.b=0 ①
又AC=0C-OA=c-a 且OB⊥AC,∴OB·AC=0, ∴b·(c-a)=0,:b·c-b·a=0 ②
由①②知a·c=a.b=b·c,∴a·c-b·c=0,
∴c·(a-b)=0.
又a-b=0A-OB=BA,∴0C⊥BA,∴0C⊥AB
10.如图，在四面体OABC中 ，OA=OB,CA=CB,E,F,G,H 分别是OA,OB,
BC,CA 的中点.求证：四边形EFGH 是矩形.
证明：设OA=a,OB=b,0C=c,∵E,F分别为OA,OB的中点，
:EF=HG,∴ 四边形EFGH 是平行四边形.
又G,H 分别是BC,AC 的中点，
又在△OAC和△OBC 中，OA=OB,CA=CB,0C=0C,
∴△OAC≌△OBC,∴∠BOC=∠AOC.
∵OC·AB=0C.(OB-0A)=c·(b-a)=c.b-c·a
=C·b cos ∠BOC-c·a cos ∠AOC
又a=b,cos∠BOC=cos∠AOC,
∴0C·AB=0,:0C⊥AB,∴AB⊥0C.
又AB//GH,FG/10C,.∴GHlFG,
∴四边形EFGH 为矩形.