1.2 空间向量基本定理 课件(共23张PPT)—— 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共23张PPT)
第一章空间向量与立体几何
1.2空间向量基本定理
学习目标
1.理解空间向量基本定理的意义.
2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯
一线性表示.
3.会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表
示其他的向量.
4.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角.
空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c 不共面，那么对任意一个空间向量p
存在唯一的有序实数组(x,y,z) ,使 得p=xa+yb+zc.
基底和基向量
若向量a,b,c 不共面，则所有空间向量组成的集合就是
{plp=xa+yb+zc,x,y, z∈R} .这个集合可看作由向量a,b,c
生成的，把{a,b,c} 叫做空间的一个基底，a,b,c 都叫做基向量.
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
空间向量的正交分解
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1,
那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k} 表示.由空间向量基本 定理可知，对空间中的任意向量a, 均可以分解为三个向量xi,yj,zk,
叫做把空间向量进行正交分解.
使a =xi+yj+zk .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，
点P 在线段AN上，且
示OP.
例1 如 图 ，M 是四面体OABC的棱BC的中点，点N 在线段OM上
,用向量OA,OB,0C 表
例题巩固
f
例2如图，在平行六面体ABCD-A B C D 中 ，AB=4 ,AD=4
AA =5,∠DAB=60°,∠BAA =60°,∠DAA =60°,M,N 分别为
D C ,C B 的中点.求证MN⊥AC .
构成空间的一个基底，我们用它们表示MN,AC,
贝 ,AC =AB+BC+CC =a+b+c,
所
证明：设AB=a,AD=b,AA =c, 这三个向量不共面，{a,b,c}
=0.
所以MN⊥AC .
例3如图，正方体 ABCD-A'B'CD 的棱长为1,E,F,G 分别为
解：(1)设DA=i,DC=j,DD′=k,
则{i,j,k} 构成空间的一个单位正交基底.
所 ,CA=DA-DC=i-j. 所以
所以EF//AC.
所以CE 与 AG 所成角的余弦值为
( 2 ) 因 为
,
课堂小练
1.已知M 、N分别是四面体OABC的棱OA,BC
MP=2PN, 设向量OA=a,OB=b,OC=c,
的中点，点P 在线段MN上，且
则OP=(C
解析：
故选C.
D.
C.
B.
A
2.在平行六面体ABCD-A,B C D 中 ，AC =xAB+2yBC+3zCC,
则x+y+z 的值为(C
B.1 C. 口
解析：因为AC =AB+BC+CC,
所以x=2y=-3z=1,x=1,
.故选C.
A
3.如图，在平行六面体 ABCD-A B C D 中 ，A C 与 B D 的交点为M.
设AB=a,AD=b,AA=c, 则下列向量中与BM相等的是(
.故选A.
4.已知{e,e ,e } 为空间向量的一组基底，若a =e +e +e ,b=e +e -e ,
c=e -e +e ,d=e +2e +3e , 且d=aa+βb+γc, 则α,β,γ的值分别
为(A)
,-1,
B ,1,
,1,
A
口
1,
C.
9
解析：由题意知d=aa+βb+γc=α(e +e +e )+β(e +e -e )
+y(e -e +e )=(a+β+y)e +(a+β-y)e +(α-β+y)e ,
.故选A.
又d=e +2e +3e , 所 以
解得
5.(多选) 设a,b,c 是空间的一个基底，( BCD
A. 若alb,b⊥c, 则 a ⊥c
B. 则 a,b,c 两两共面，但a,b,c 不可能共面
C.对空间任一向量p, 总存在有序实数组(x,y,z), 使p =xa+yb+zc
D.则a+b,b +c,c+a 一定能构成空间的一个基底
解析：在 A 中，若a ⊥b,b⊥c, 则 a 与 c 相交或平行，故A 错误；
在B 中 ，a,b,c 两两共面，但a,b,c 不可能共面，故B 正确；
在C 中，对空间任一向量p, 总存在有序实数组(x,y,z), 使p=xa+yb+zc,
故C 正确；
在D 中 ，a+b,b+c,c+a 一定能构成空间的一个基底，故D 正确.
故选BCD.
A,
D
B
C
B
6.如图，在三棱柱ABC-A B C 中 ，M 为△A B C 的重心，若AB=a,
AC=b,AA=c, 则
A
PD 上的点，PM=2MC,PN=ND, 若 MN=xAB+yAD+zAP, 则
7.如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为平行四边形，M,N 分别为PC,
所以
8.如图所示，已知四面体ABCD 的棱长为1,点E,F,G 分别是AB,AD,CD 的中
(1)EF·BA;
(2)|EG|.
点，设AB=a,AC=b,AD=c,{a,b,c}
为空间向量的一个基底，计算：
解析：(1)由题意得la月bHc=1,
事
小结：
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢
1.空间向量基本定理
2.基底和基向量