1.3.2 空间向量运算的坐标表示 课件(共29张PPT)—— 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共29张PPT)
第一章空间向量与立体几何
1.3.2空间向量运算的 坐标表示
掌握空间向量坐标运算公式，并能解决相应问题.
掌握平行向量、垂直向量的坐标表示，并能解决
相关的向量的平行、向量的垂直问题.
能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计
算公式.
空间向量运算的坐标表示
设a=(a ,a ,a ),b=(b ,b ,b ), 则 a+b=(a +b ,a +b ,a +b ),
a-b=(a -b ,a -b ,a -b ),
λa=(λa,λa ,λa ),λ∈R,
a·b=a b +a b +a b .
设{i,j,k }为空间的一个单位正交基底，则a=a i+a j+a k,
b=bi+b j+b k, 所以a·b=(a i+a j+a k)·(b i+b j+b k),利用
向量数量积的分配律以及i.i=j.j=k·k=1,i.j=j·k=k·i=0,
得a·b=a b +a b +a b .
空间向量数量积运算的坐标表示的证明
品
空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示
当b≠0 时，a //b a=λb a =λb ,a =λb ,a =λb (λ∈R) ;
a ⊥b a·b=0 a b +a b +a b =0;
la=√a·a=Ja +a +a ;
设P (x ,y ,z ),P (x ,y ,Z )
则PP =(x -x,y -y ,z -z ).
空 间 两 点 间 的 距 离 公 式
所以PP=PPI=J(x -x) +(y -y ) +(z -z) .
是空间中任意两点，
例题巩固
例1如图，在正方体ABCD-A B C D 中 ，E,F 分别是BB ,D B 的
中点，求证EF⊥DA .
D C
F
A
E
D C
A B
B
又A (1,0,1),D(0,0,0), 所 以DA =(1,0,1).
所
所以EF⊥DA, 即EF⊥DA.
证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
,所以
则
f
例2如图，在棱长为1的正方体ABCD-A B C D 中 ，M 为BC 的中点
E ,F 分别在棱A B ,C D 上 ， f 1
( 1 ) 求AM 的长.
( 2 ) 求BE 与DF 所成角的余弦值.
解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系O xyz,
则点A 的坐标为(1,0,0),点M 的坐标为
于是
所以
所
所 以 ，BE 与DF 所成角的余弦值
(2)由已知，得B(1,1,0),
,D(0,0,0),
所以
,
手
手
手
1
1.已知向量a=(1,2,3), b= (-1,0,1),则
A.(-1,2,5) B.(-1,4,5) C.(1,2,5) D.(1,4,5)
解析：a+2b=(1,2,3)+2(-1,0,1)=(1,2,3)(2,0,2)≠4,2,5), 故选A.
课堂小练
品
2.若向量a=(1,λ,0),b=(2,-1,2), 且 a 与 b 的夹角的余弦值为 则
实数λ等于(C).
A.0 B C.0 或 D.0 或
解析：由题意得
解得λ=0或 .故选C.
A.1 B. C.
3.如图，在长方体ABCD-A BC D 中 ，AB=BC=2,AA =√2,E,F分别
是上底面 A B CD 、侧面BCC B 的中心，则E,F
两点间的距离为 (
口
解 析 ：以 点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 E(1,1, √2),
故选C.
所以|
4.已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2), 则下列结论
正确的是 (
A.a//b,a//c B.a//b,alc
C.a//c,alb D.alb,alc
解 析 ：因 为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a, 所 以allc.
因为a·b= (-2)×2+(-3)×0+1×4=0, 所 以a ⊥b, 故选C.
分别为A C,BC 的中点，则AB·NM=(B
A.2 B.-2 C.√ 10
∴AB=(2,0,0),NM=(-1,0,3),
故 选B.
5.直三棱柱ABC-A B C 的底面是边长为2的正三角形，侧棱为3,M,N
解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),
∴AB·NM=2×(-1)+0+0=-2,
D.-√ 10
6.已知A(-1,1,2),B(1,0,-1),点 D 在直线AB 上，且AD=2DB, 设
.若CD⊥AB, 则λ的值为(
A
B
心
口
解析：设D(x,y,z),则AD=(x+1,y-1,z-2),AB=(2,-1,-3),DB=(1-x,-y,-1-z),
∵CD⊥AB,∴
∵AD=2DB,∴
.故选B.
,∴
即
,
,
争
7.如图，在直三棱柱ABC-A B C 中 ，AA =AC=AB= 2,BC=2√2,Q 为
A B的中点，E 为 AQ的中点，F 为BC 的中点，则异面直线BE与AF 所成
A
日
角的余弦值为(
C.
口
空间直角坐标系，可得A(0,0,0),B(2,0,0),C (0,2,2),Q(1,0,2),
,F(1,1,1), 所以AF=(1,1,1),
解析：由题可知，在直三棱柱 ABC-A B C 中 ，AB,AC,AA 两两垂直.
以A 为坐标原点，AB,AC,AA 所在直线分别为x 轴y 轴 ，z 轴建立如图
故选B.
8 . (多选)已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3), 则下列等式中
正确的是(
A.(a·b)c=b·c B.(a+b)·c=a·(b+c)
C.(a+b+c) =a +b +c D.|a+b+c|=a-b-cl
口
■
解析：对于A, 易得a·b=a·c=b·c=-3+0+3=0,(a·b)·c=0,b·c=0,
故A不正确；
对于B, 左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=0,故B正确；
对于C,a+b+c=(3,7,-1), 左边=3 +7 +(-1) =59,右边
=1 +2 +3 +3 +0+(-1) +(-1) +5 +(-3) =59,故C 正确；
对于D, 由 C 可得左边= √59,又a-b-c=(-1,-3,7), 所以右边=a-b-c|=√59,
故D 正确.故选BCD.
9.已知a=( √3,-1,0),b=(k,0,1),a,b的夹角为60°,则
解析：由题意知lal=2,|b|= √k +1,a·b= √3k.
因为a,b 的夹角为60°,
所以 , 得
事
10.已知A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三点共线，
则λ+μ= 0
解析：AB=(λ-1,1,λ-2μ-3) 与AC=(2,-2,6) 共线，
得λ-1=-1,λ-2μ-3=-3,于是λ=μ=0.
11.如图，在直棱柱 ABC-A B C 中 ，CA=CB=1,AA =2,∠BCA=90°,
M是A B 的中点，点N 在 AA 上.
( 1 ) 求 证 ：A B⊥C M;
(2)求BA 与CB 所成角的余弦值；
(3)若BN⊥CB , 求 点M,N 之间的距离.
解析：(1)如图，以C 为原点，CA,CB,CC
y 轴 、z 轴建立空间直角坐标系C-xyz,
依题意可得C(0,0,0),B(0,1,0),A (1,0,2),B (0,1,2),
所以AB=(-1,1,-2),
所以A B·C M=0, 从 而A B⊥C M.
所在直线分别为x 轴、
C (0,0,2),
(2)因为BA=(1,-1,2),CB=(0,1,2),所以BA ·CB=3,BA|=√6,|CB|=√5,
所以
因此BA 与CB 所成角的余弦值为
( 3 ) 设N(1,0,t), 则 BN=(1,-1,t),CB =(0,1,2),
由 BN·CB =0×1+1×(-1)+2t=0,得
时，点N 的坐标为
所以|
所以当BN⊥CB
又
小结：
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢
1.空间向量运算的坐标表示
2.空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示
3.空间两点间的距离公式