1.3.2 空间向量运算的坐标表示 课件(共20张PPT)—— 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1

(共20张PPT)
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标
1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.
2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.
教学目标
1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)
2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)
3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
向量运算 向量表示
坐标表示
加法 a+b
减法 a—b
数乘 λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算
a2,
知 识 点1
设a=(a ,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+
5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),
故a+b=(3,—2,2).
平行
垂直(a_
均为非零
向量)
模
夹角公式
C(
空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
知识点2
设a 则
思考1:若 a= (a ,a ,a ),b=(b ,b ,b ), 则 a//b 一定
立吗
提示：不一定，当b ,b ,b 均不为0时， 立 .
做一做：已知向量a=(1,2,-1),b=(1,-1,-1), 则a 与b的 夹
角为(A)
A.90° B.60°
C.45° D.30°
[解析] 因为向量a=(1,2,—1),b=(1,—1,—1),
所以〈a,b〉=90°. 所以 a
与b 的夹角为90°
设P (x ,y ,z ),P (x ,y ,z ) 是空间中任意两点，则|P P I=IP P I
(x -x ) +(y -y ) +(z -z ) .
思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少
提示：| OAI=10A|= √x +y +z.
知 识 点3
空间两点间的距离公式
做一做：若 点A(0,1,2),B(1,0,1), 则AB= (1,-1 , -1) ,|ABI
3
[解析] AB=(1,-1,—1),ABI=√ 1 +(-1) +(-1) =√3.
典 例 1(1)(2023.宿迁高二检测)在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知
点A(3,—1,0), 向 量AB=(4,10,—6), 则线段AB的中点坐标为( C )
A.(1,—6,3) B.(—1,6,—3)
C.(5,4,—3) D.(2,5,—3)
题型— 空间向量的坐标运算
题型探究
[解析] 因 为A(3,-1,0),AB=(4,10,-6), 所以B(7,9,-6), 所
以AB的中点 即(5,4,—3).
(2)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1), 满足条件(c—a)·(2b)
=— 2 , 则x的值为( B )
A.—2 B.2
C.0 D.1
[解析] 由(c—a)·(2b)=—2, 即 2b·c—2a·b=—2, 则b·c—a·b= 一 1,所以1+2+1 — (1+2+x)=—1, 得x=2.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.
(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.
(3)运用公式可以简化运算：(a±b) =a ± 2a.b+b ;(a+b)·(a—b)=
a —b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型
(1)平行与垂直的判断.
(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
建立恰当的空间直角坐标系
确定出所需点的坐标
利用空间两点间的距离公式 求得所求线段的长
[规律方法] 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题 的 一般 步
建系
确定点 的坐标
应用
公式
易错警示
混淆两向量平行与两向量同向
已知向量a=(1,2,—1),b=(m,m +3m—6,n), 向，求实数m,n 的值.
[错解] 由题意可知a//b,所
即 解
故m=—3,n=3 或m=2,n=—2.
若 向 量a,b 同
瓣析]“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件，错
解中错认为“同向”就是“平行”,从而导致错误.
[正解] 由题意可知a//b,
所
即
解 或
当m=—3,n=3 时，b=(—3,—6,3 )=—3a,
合题意，舍去；
当m=2,n=—2 时 ，b=(2,4,—2)=2a, 向
意 .
综 上 ，m=2,n=—2.
向量a,b 反向，不符
量a,b 同向，符合题
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