1.3空间向量及其运算的坐标表示 课件(共15张PPT)——高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共15张PPT)
1.3空间向量及其运算的坐标表示
类比平面直角坐标系，可以得到空间直角坐标系。
空间直角坐标系：在空间中选定一点O 和一个单位正交基底{i,j,k},以
点O 为原点，分别以，j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建 立三条数轴：x 轴 、y 轴 、z 轴，它们都叫做坐标轴。这时我们建立了一 个空间直角坐标系0xyz ,0叫做原点，7,j,k 都叫做坐标向量，通过每 两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为：0xy平面，0yz平面 ,0zx平面，它们把空间分成八部分。
深度探究
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食
指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直 角坐标系。
注：在高中阶段，我们建立的坐标系都是右手直角坐标系。
深度探究
空间点的坐标：
在空间直角坐标系0xyz中 ，i,j,k 为坐标向量，对空间任意一点A,对应
一个向量OA,且点A的位置由向量0A唯一确定，由空间向量基本定理， 存在唯一的有序实数组(x,y,z), 使OA=xi+yj+zk.
在单位正交基底{i, ②,k}下与向量OA 对应的有序实数组(x,y,z),叫
做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z), 其中x 叫做A的横坐 标，y 叫做A的纵坐标，z 叫做A的竖坐标。
深度探究
存在唯一的有序实数组(x,y,z), 使a=xī +yj+zk.
有序实数组(x, ,z), 叫做向量α在空间直角坐标系中的坐标，简记为：
a=(x,y,z)
探究：
在空间直角坐标系0xyz 中，对空间任意一个点A,或任意一个向量0A, 你 能 借助几何直观确定它们的坐标(x,y,z) 吗
深度探究
空间向量的坐标：
在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三
点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。
(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A ,由A A的长度及与z
轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).
(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相
同。
深度探究
点的位置 向量位置 坐标
特点
x轴上 平行于x轴 (x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上 平行于y轴 (0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上 平行于z轴 (0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上 平行于Oxy平面 (x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上 平行于Oyz平面 (0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上 平行于Ozx平面 (x,0,z)
纵坐标为0
深度探究
特殊点、特殊向量的坐标
对称轴、对称平面或对称中心
对称点坐标
x轴
(a,-b,-c)
y轴
(-a,b,-c)
z轴
(-a,-b,c)
Oxy平面
(a,b,-c)
Oyz平面
(-a,b,c)
Ozx平面
(a,-b,c)
坐标原点
(-a,-b,-c)
深度探究
点P(x,y,z )关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标
名称
坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
共线
垂直
向量长度
向量夹角
深度探究
空间向量的坐标运算
空间向量的坐标与其端点坐标的关系
设A(x ,y ,z ),B(x ,y ,Z ),0(0,0,0),AB=0B-0A=(x -x ,y -y ,Z -
深度探究
( 1 ) 写 出D',C,A',B'四点的坐标；
(2)写出向量A'B ,B'B,A'C,AC 的坐标
解：(1)D'(0,0,2),C(0,4,0),A'(3,0,2),B'(3,4,2)
(2)A'B =(0,4,0),B'B=(0,0,-2),A'C =(-3,4,0),AC =(-3,4,2)
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以
为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
典例分析
A.点(1,-2,3)关于坐标平面0zx的对称点为(1,2,3)
B.点 关于y轴的对称点为
C.点(2,-1,3)到坐标平面0yz的距离为1
D.设i,j,k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量，若m=37-2j+4k,
典例分析
m=(3,-2,4)
答案：ABD
例2(多选题)下列命题正确的是( )
则
例3(多选题)已知a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下 列
等式中正确的是( )
A.(@·b)2=B· こ
B.(a+b)·C=a·(b+c)
D.|a+b+引=|a-b-3
答 案 ：BCD
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A B C D 中 ，E,F分别是BB ,D B 的中点，求证：
EF⊥DA
证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·
所以EF⊥DA ,即EF⊥DA
,又A (1,0,1),D(0,0,0),
所以DA =(1,0,1)
0,1)=0
,所
本节课你学到了哪些知识，和数学思想方法
课堂练习
课本第18页练习1,2,3,4,第21-22页练习1,2,3
课后作业
课本22页习题1.3第1,2,3,,4,5,6,7,8,9题
课堂小结