1.4.1.3空间中直线、平面的垂直 课件(共17张PPT)—— 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共17张PPT)
在上一节中，我们可以用向量来表示空
间中直线、平面之间的平行关系，
当直线、平面垂直时如何用向量表示呢
1.能用向量语言表 述直线与直线、 直线与平面、平
2.能用向量方法
判断或证明直线、 平面间的垂直关
面与平面的垂直 系 .
首称
关系.
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；
直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量 平行；
平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直.
思考：
类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直 线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中， 直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系
设 u ,u 分别是直线 l,l 的方向向量，则
l⊥l →u ⊥u →u ·u =0
思考1:如何用直线的方向向量表示两条直线的垂直
设 u是直线l的方向向量，n 是平面α的法向量，则
l⊥a→u//n 3λ∈R, 使得u=λn
思考2:如何由直线的方向向量与平面的法向量表 示直线与平面垂直关系
训练2如图所示，在正方体ABCD-A B C D 中 ，E,F
分别是B B,DC 的中点，求证：AE⊥ 平面A D F.
则 A(1,0,0), E ,A (1,0,1),D (0,0,1)
,A D =(-1,0,0),
则
[解析]由题意知 DA ,DC ,DD 两两垂直，以D 为原点
DA,DC ,DD 的方向分别为 x 轴 ，y 轴 ，z 轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz ,设正方体的棱长为1,
∴AE⊥A D , AE⊥D F
又A D ∩D F=D ,
A D ,D Fc 平面A D F, ∴AE⊥ 平面 A D F.
AE. ·(-1,0,0)=0,A
: ·
1
书P32 例 4 【基底法】比【坐标法】更具有一般性
如图，在平行六面体ABCDA B C D 中 ，AB=AD=AA =1,
∠AAB=∠A AD=∠BAD=60°,求证：直线AC⊥平面BDD B
解：设AB=a,AD=b, c, 则{a
为空间的 一 个基底，且
∴AC=a+b-c,BD=b-a,BB=A
∵AB=AD=AA=1,
∠A AB=∠A AD=∠BAD=60°
a =b =c =1,a·b=b·c=a·c=
2
则对于平面BDDB上的任意一点P, 存在唯一的有序
实数对(λ,μ),使得
BP=λ·BD+μ·BB
=0
∴A C是平面BDDB的法向量
∴A C⊥平面BDD B
我们随时随地看到向 量运算的作用，你同意“向 量是躯体，运算是灵魂” “没有运算的向量只能起 路标的作用”的说法吗
在平面BDDB上，取BD,BB为基向量，
二 A
设 分别是平面α,β的法向量，则
a ⊥β n ⊥n n ·n =0
思考3: 由平面与平面的垂直的关系，可以得到平 面的法向量有什么关系
书P33 第3题
3.如图，在长方体ABCD-A B C D 中，AB=2,BC=CC =1,
E为CD的中点，F 为BC的中点求证：平面EAD⊥平面EFD.
解：以D为原点，DA,DC,DD,所在直线分别洲死轴、
y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系.D
∴A(1,0,0),D (0,0,1),E(0,1,0),
.DA=(1,0,-1),DE=(0,1,-1),
设n =(x,y ,z ) 是平面EAD的一个法向量，则
即
取z =1,则 x =y =1 ∴n =(1,1,1)
取z =1, 则x =-2,y =1∴n =(-2,1,1)D
∴n ·n =1×(-2)+1×1+1×1=0
∴n ⊥n
∴平面EAD ⊥平面EFD
设n =(x ,y ,z )是平面EAD的一个法向量，则
即
证明—— —
∵平面ADEF⊥ 平面ABCD, 平面 ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊥AD,
AFc 平面ADEF,
∴AF⊥平面ABCD.
∵ACc 平面ABCD,
∴AF⊥AC.
过A作AH⊥BC 于H,
则BH=1,AH=)3,CH=3,∴AC=2\3,
∴AB +AC =BC ,∴ACLAB.
延伸探究 如图，正方形ADEF 所在平面和等腰梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，已知BC=4,AB=AD=2.
(1)求证：AC⊥BF;
∵ABNAF=A,AB,AFc 平面FAB,
∴AC⊥平面FAB. ∵BFc 平面FAB,
∴ACLBF.
(2)在线段BE上是否存在一点P, 使得平面PACl平面BCEF 若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由.
解：存在.理由如下：
由(1)知，AF,AB,AC两两垂直.以A 为坐标原点，
AB,AC,AF的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方
向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2√3,0),E(-1,3,2).
假设在线段BE 上存在一点P满足题意，
则易知点P 不与点B,E 重合，
,则入>0,
得
为平面PAC的一
-
设平面PAC 的法向量为m=
1
故存在满足题意的点P,此时
时，平面PACl平面BCEF,
,AC=(0,2√3,0),
当m.n=0,即
(x,y,z).
课堂
小结
1.知识清单：
(1)直线与直线垂直的向量表示.
(2)直线与平面垂直的向量表示.
(3)平面与平面垂直的向量表示.
2.方法归纳：转化法、法向量法.
3.常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与
线面间的垂直关系的对应易混.