1.4.2.2用空间向量研究夹角问题 课件(共26张PPT)—— 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共26张PPT)
与距离类似，角度是立体几何中另
一个重要的度量.
下面我们用向量方法研究直线与直 线所成的角、直线与平面所成的角以及 平面与平面的夹角。
1.会用向量法 求线线、线面、 面面夹角.
2.能正确区分向 量夹角与所求线 线角、线面角、
面面角的关系.
首称
1.线线角(异面直线所成的角)
一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面 直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线l,l 所 成的角为θ,其方向向量分别是ü,v,则
例7如图示，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形 )ABCD中 ，M,N 分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN
夹角的余弦值.
解：设CA=a,CB=b,CD=c,则有
2.线面角(直线与平面所成的角)
类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的 方向向量与平面的法向量的夹角.如图示，直线AB 与平 面α相交于点B, 设 直 线AB与平面α所成的角为θ,直线 AB 的方向向量ū,平面α的法向量为n, 则
sinθ=|cos(ū,n>|=
园 园
直 ，OA=OC=3,OB=2. 求直线OB与平面ABC所成角的 正弦值.
解：如图示，以0为原点建立空间直角坐标系0-xyz,依题意得
0(0,0,0),A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0),
∴AB=(2,0,-3),AC=(0,3,-3),OB=(2,0,0).
设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),则
∴OB与平面ABC所成角的正弦值为
P41练习3.如图，在三棱锥O-ABC中 ，OA,OB,OC 两两垂
取x=3,则z=2,y=2, . ∴n=(3,2,2),
设OB与平面ABC所成的角为θ,则
(P38 练习2).PA,PB,PC 是从点P出发的三条射线，每两条 射线的夹角均为60°,那么直线PC 与平面PAB 所成角的余
弦值是((4 (B) (C)
解1:过PC上任取一点D并作PO⊥平 面APB, 则∠DPO 就是直线PC与平面PAB所成的角.
过点O作OE⊥PA,OF⊥PB,∵DO⊥ 平面
APB,则DE⊥PA,DF⊥PB.∴△DEP≌△DFP,
∴EP=FP,∴△OEP≌△OFP.
∴点0在∠APB 的平分线上，即∠OPE=30°.
在 APD0
∴直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为
,
(P38练习2).PA,PB,PC 是从点P出发的三条射线，每两条 射线的夹角均为60°,那么直线PC 与平面PAB 所成角的余
弦值是( ).(A) (B) (C) (D)
解2:如图示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,则
P(1,0,0),A(0,1,0),B(0,0,1),C(1,1,1),
∴PC=(0,1,1),AB=(0,-1,1),AC=(1,0,1).
设平面AMN的一个法向量为n=(x,y,z), 则
,取y=1,则z=1,x=-1,∴n=(-1,1,1 设PC与平面PAB所成的角为θ,则
· ∴PC与平面PAB所成角的正弦值为
3.面面角(平面与平面的夹角)
如图示，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四
个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
类似于两条异面直线所成的角，若平面α,β的法向量分 别是n 和n , 则平面α与平面β的夹角即为向量n 和 n 的
求二面角时一定要注意求夹角还是
二面所成角；二面所成角要注意观
察二面角是锐角还是钝角，以确定
求出来的余弦值是正还是负.
设二面角α-l-β的平面角为θ0,则有θ =0或θ =π-θ.
夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ,则
解：如图示，以C 为原点建立空间直角坐标系，则有
P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1).
∴PQ=(2,-1,-1),PR=(-2,2,-1).
设平面PQR的一个法向量为n=(x,y,z), 则
,取x=3,则y=4,z=2.
例8如图示，在直三棱柱ABC-A B C 中 ，AC=CB=2,
AA =3,∠ACB=90°,P 为BC的中点，点Q,R分别在棱AA
,BB 上，A Q=2AQ,BR=2RB . 求平面PQR与平面
A B C 夹角的余弦值。
∴平面PQR的一个法向量为n=(3,4,2). 又平面A B C 的一个法向量为m=(0,0,1).
∴平面PQR与平面A B C 夹角
的余弦值为
(P38练习3).如图，正三棱柱ABC-A B C 的所有棱长都为 2,求平面AA B 与平面A BC 夹角的余弦值。
解：如图示，以BC 的中点为原点建立空间直角坐标系，则有 A(0,0,√3),A (0,2,√3),B(1,0,0).
∴AA=(0,2,0),AB=(1,0,-√3).
设平面AA B 的一个法向量为n=(x,y,z),则
,取z=1,则x=√3,y=0.
∴平面AA,B的一个法向量为n=(√3,0,1).
同理可求平面A,BC 的一个法向量为m=(3,3,-√3)x.
∴平面AA B与平面A BC,夹角
的余弦值为
设平面AA B与平面A BC 的夹角为θ,则
(P38练习4).如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且
AB=BC=BD, ∠CBA=∠DBC=120°. 求：
(1)直线AD与直线BC所成角的大小；
(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；
(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
解：(3)易知A(0,0, √3),D( √3,0,0),B(0,1,0).
∴AD=(√3,0,-√3),AB=(0,1,-√3).
设平面ABD的一个法向量为m=(x,y,z),则
,取x=1,则z=1,y=√3.
∴平面ABD的一个法向量为m=(1,√3,1). 又平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1), 设平面ABD与平面BDC的夹角为θ,则
∴平面ABD与平面BDC夹角
的余弦值为
例9某种礼物降落伞的示意图如图示，其中有8根绳子和伞面连接 ,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为 1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每 根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s , 精确到0.1
解：如图示，设水平面的单位法向量为n, 其中每
又因为降落伞匀速下落，所以
F合=G礼物I=1×9.8=9.8(N).
:4√3Fln=9.8.:
∴每根绳子拉力的大小为1.41 N.
一根绳子的拉力均为F
在n 上的投影向量为
所以8根绳子拉力的合力为
例10如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方
形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E 是PC的中点，
作EF⊥PB 交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB;
(2)求证：PB⊥平面EFD;
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 解：(1)证明：连接AC, 交BD于点G, 连
接EG.依题意得
因为底面ABCD是正方形，所以点G
是它的中心，
又E是PC的中点所以PA//EG.
而EGc 平面EDB, 且PA女平面EDB,
因此PA//平面EDB.
例10如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方
形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E 是PC的中点，
作EF⊥PB 交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB;
(2)求证：PB⊥平面EFD;
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系
Dxyz,设DC=2.
(1)证明：连接AC,交BD于点G, 连接EG.依
题意得A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1).
因为底面ABCD 是正方形，所以点G 是
它的中心，故点G的坐标为(1,1,0),
且PA=(2,0,-2),EG=(1,0,-1).
∴PA=2EG,即PA//EG.
而EG C平面EDB, 且PA女平面EDB, 因此PA//平面EDB.
例10如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方
形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E 是PC的中点，
作EF⊥PB 交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB;
(2)求证：PB⊥平面EFD;
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
(2)证明：依题意得B(2,2,0). ∴PB=(2,2,-2),又DE=(0,1,1).故 ∴PB·DE=0+2-2=0.
∴PB⊥DE.
由已知EF⊥PB, 且EFNDE=E,
∴PB⊥平面EFD.
作E F⊥PB 交PB 于 点F.
(1)求证：PA//平面EDB;
(2)求证：PB⊥平面EFD;
(3)求平面CPB 与平面PBD 的夹角的大小.
(3)解1:已知PB⊥EF, 由(2)可知PB⊥DF,故
∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角.
设F(x,y,z),则 PF=(x,y,z-2). ∵PF=kPB, ∴x=2k,y=2k,z=2-2k,∴F(2k,2k,2-2k).
∵PBIDF,∴PB·DF=0,∴4k+4k-2(2-2k)=0,解
,
例10如图示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方
形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E 是PC 的中点，
∴∠EFD=60°.∴ 平面CPB 与平面PBD 的夹角的大小为60°.
,又E(0,1,1)
·
:
··
(3)解2如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,设 则
D(0,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0),
∴DB=(2,2,0),DP=(0,0,2),CB=(2,0,0),CP=(0,-2,2),
设平面DBP的一个法向量为m=(x ,y,z),
平面CBP的一个法向量为n=(x ,y ,Z ),则
,
例10如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，
侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E 是PC的中点，作EF⊥PB
交PB于点F.(3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
取x =1,则y =-1,z =0, 取y =1,则z =1,x =0, ∴m=(1,-1,0),n=(0,1,1),
设平面CPB与平面PBD的夹角为θ,则 ∴平面CPB与平面PBD的夹角为60°.
又θ∈[0°,90°],∴θ=60°.
(P41练习1).如图，二面角α-l-β的棱上有两个点A,B,线段 BD 与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l. 若AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 √ 17, 求平面α与平面β的夹角.
解1:∵BD⊥l,ACll,
∴BD与AC的夹角就是平面α与平面β的夹角.
设BD 与AC 的夹角为θ.
由已知得CD=CA+AB+BD,
∴ICDP=|CAP+|AB +|BD +2(CA·AB+AB·BD+BD·CA)
∴(2√ 17) =6 +4 +8 +2(0+0-8×6×cosθ)
解得 ,∴θ=60°.
∴平面α与平面β的夹角为60°.
(P41练习1).如图，二面角α-l-β的棱上有两个点A,B,线段 BD 与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l. 若AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 √ 17, 求平面α与平面β的夹角.
解2:在平面β过点A作AE//BD,且AE=BD,连接CE,DE,则有
AB/IDE,由题意得AB⊥BD,∴AB⊥AE.
又AB⊥AC,∴AB⊥平面ACE,∴AB⊥CE,∴DE⊥CE.
在Rt△CDE中，CE=JCD -DE =213.
∴∠CAE=60° .
∴平面α与平面β的夹角为60°.
教材43页习题第10题如图，正方体ABCD-A'B'C'D中，点E,F,G,H,K,L分别是
AB,BB ,C D ,D D,DA各棱的中点.
(1)求证：A C⊥平面EFGHKL;
(2)求DB与平面EFGHKL所成角的余弦值。
(1)证明：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz, 设正方体棱长为2,则
A (2,0,2),C(0,2,0),E(2,1,0),F(2,2,1),L(1,0,0),
∴AC=(-2,2,-2),EF=(0,1,1),EL=(-1,-1,0),
∴A C·EF=0,AC·EL=0,
∴A C⊥EF,A C⊥EL,又EF∩EL=E, ∴A C⊥平面EFGHKL.
AB,BB ,C D ,D D,DA各棱的中点.
(1)求证：A C⊥平面EFGHKL;
(2)求DB 与平面EFGHKL所成角的余弦值.
(2)解：由(1)得AC⊥平面EFGHKL.
∴AC=(-2,2,-2)是平面EFGHKL的一个法向量，
又D(0,0,0),B (2,2,2),∴DB=(2,2,2),
设DB 与平面EFGHKL所成的角为θ,则
教材43页习题第10题如图，正方体ABCD-A'B'C'D中，点E,F,G,H,K,L分别是
∴DB 与平面EFGHKL所成角的余弦值
:
拓广探索
18.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD,ABEF 的边长 都是1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N 分别在正方 形对角线AC 和 BF 上移动，且CM 和 BN 的长度保持相等，记CM
=BN=a(0( 1 ) 求MN 的长；
(2)a 为何值时，MN 的长最小
( 3 ) 当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)两异面直线所成的角
(2)直线与平面所成的角
(3)平面与平面的夹角. 2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不 能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围.