1.41.2空间向量研究直线、平面的平行 课件(共18张PPT)—— 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共18张PPT)
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
2.空间中直线、平面的平行
2.空间中直线、平面的平行
我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间 中的直线和平面的关键量.那么是否能用这些向量来刻画空 间直线、平面的平行、垂直关系呢 首先来看平行的问题.
思考 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行 关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关 系
如图，设u,u 分别是直线l ,l 的方向向量.由方向向量
的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定
平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条
l I/l u 1/u →3λ∈R, 使得7 =λu .
直线也平行.所以
类似地，如图，设u 是直线l的方向向量，n是平面α的法 向量，laa, 则
如图，设n,n 分别是平面α,β的法向量，则
a/lβ n 1/n →3λ∈R, 使得n =λn
-l
个
n
a
l/la ln u·n=0
u
例1 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥
底面ABCD,PD=DC=6,E 是PB的中点，DF:FB=CG:GP
=1:2.求证：AEl/FG.
证：如图所示，建立空间直角坐标系.
则 A(6,0,0), E(3,3,3),
F(2,2,0), G(0,4,2),
AE=(-3,3,3),FG=(-2,2,2)
所以AEl/FG.
∴AE//FG
A
x
例2 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面 内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
已知：如图，acβ,bcβ,a∩b=P,alla,blla,
求证： α/lβ.
分析：设平面α的法向量为n,
直线a,b的方向向量分别为u,v,则
由已知条件可得n·u=n·v=0, 由此
可以证明n 与平面β内的任意一个向
量垂直，即n 也是β的法向量.
已知：如图，acβ,bcβ,a∩b=P,a/la,b/la,
求证：allβ.
证明：如图，取平面α的法向量n,
直线a,b的方向向量分别为u,v.
因为alla,b/la,所以n·u=0,n·v=0.
因为acβ,bcβ,a∩b =P, 所以
对于任意点Q∈β,存在x,y∈R,使得PQ=xu+yv .
从而n.PQ=n·(xu+yv)=xn·u+yn·v=0 ,
所以，向量n 也是平面β的法向量，故α//β.
例3如图，在长方体ABCD-A B C D 中，AB=4,BC=3,
CC =2.B C 上是否存在点P,使得A P// 平面ACD
解：以D为原点，DA,DC,DD 所在直线分别为x轴、
C(0,4,0),D (0,0,2),
∴AC=(-3,4,0),AD =(-3,0,2).
设n=(x,y,z) 是平面ACD 的法
向量，则n·AC=0,n ·
所
取z=6, 则x=4,
列方程组
取解
的一个法向量.
y轴 、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则A(3,0,0),
建系
设点
取向量A
所以，n=(4,3,6) 是平面ACD
得法向量
∴n=(4,3,6) 是平面ACD 的一个法向量.
由A (3,0,2),C(0,4,0),B (3,4,2),
得AB =(0,4,0),B C=(-3,0,-2).
设点P 满足B P=AB CO≤λ≤1),
则B P=(-3λ,0,-2λ),
∴AP=A B +B P=(-3λ,4,-2λ)x
令n.AP=0, 得-12λ+12-12λ=0,解得
所以，当 即P为B C的中点时，A P// 平面ACD .
归纳小结
设直线l,m 的方向向量分别为a , b 平面a,β的法向量分别为ū ,v; 则
a —l
m (1)I//m a//b a=λb ;
(2)l//a→ (1) a//AC
→(2)alü a·ü=0
设平面a,β 的 法 向 量 分 别 为 ū , ; 则
(3)α//β ū //v u=λv;
1、已知直线a,b和平面a,其中aaα,bcα,且al/b,求证： a//a.
解：设直线a,b的方向向量分别为a,5,平面a的法向量为元
因为a//b,所以a=kb,k∈R.
又因为u 是平面α的法向量，bcα, 所以 u ⊥b,
所以ū·b=0,u·a=ū·kb=0.所以a lla.
练习：
1.用向量方法证明“直线与平面平行的判断定理”:若平
面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行.
a
解：设在直线AD上存在点F,满足AF=λAD(O≤λ≤1)
取一组基底{CD,CB,CA},设CD=a,CB=b,CA=
c. ∵E 为 BC 中 点 ，
,CF=CA+AF=c+λAD =c+λ(a-c)=λa+(1-λ)c.
∵AE //CF,∴CF=mEA(m∈R),
上 不 存 在 点F, 使 得AE //CF.
2.如图，在四面体ABCD中 ，E 是BC的中点，直线AD上 是否存在点F, 使得AE//CF
··
证 明：建立如图K-1-15 所示的空
间直角坐标系，设正方体的棱长
为2,∵E,F 分别为面AB,与面
A C 的中心，
∴E(2,1,1),F(1,1,2)
∴EF=(-1,0,1). 又A(2,0,
0),C(0,2,0),D,(0,0,2),
∴AC=(-2,2,0),AD|=(-2, 图 K 1 15
设平面ACD,的法向量n=(x,y,z),则n⊥AC,n⊥AD,
取x=1, 则y=1,z=1, ∴n=(1,1,1).
又∵EF·n=(-1)×1+0×1+1×1=0,∴EF⊥n.
又 EF& 面 ACD ,∴EF// 平面ACD .
3.如图，在正方体ABCD—A B C D 中 ，E,F 分别是面 AB , 面A C 的中心，求证： EF// 平面ACD
F
B
E
C
B
D
1
0,2).
(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C (0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B (2,2,2),
所以FC =(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).
设ni=(x ,y ,z )是平面ADE的法向量，
则n⊥DA,n ⊥AE,
即
令z =2,则yi=-1,
所以n =(0,-1,2).
因为FC ·n=-2+2=0,所以FC ⊥n1.
又因为FC 女平面ADE, 所以FC // 平面ADE.
BB ,DD 的中点，求证：
(1)FC // 平面ADE;
(2)平面ADE//平面B C F.
证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系
4.已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为2,E,F分别是
则
4.已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为2,E,F分别是 BB ,DD 的中点，求证：
(1)FC // 平面ADE;
(2)平面ADE// 平面B C F.
(2)C B =(2,0,0),设n=(x ,y ,Z )是平面B C F的一个法向量. 由n2⊥FC ,n ⊥C B ,
解
令z =2,得y =-1,所以n =(0,-1,2).
因为n =n2,即n //n2,所以平面ADE//平面B C F.
5.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱 SD上底面ABCD,E,F 分别为AB,SC 的中点.证明：
EF// 平面SAD.
6.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD 上底面 ABCD,PD=DC=6,E 是PB的中点，PF=FG=GC. 求证：
面AEF// 面BDG.