2.1.1直线的倾斜角与斜率 课件(共30张PPT)——高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

(共30张PPT)
《直线的倾斜角与斜率》
点——坐标直线——方程
问题2:如何用坐标表示直线呢
下面，我们从研究直线的倾斜角和斜率开 始探究解析几何的世界.
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导语
学生自学章引言的内容
问题1:在平面直角坐标系中，表示点用什 么表示 直线用什么表示
数学问题引入(一)
问题1:在平面几何中，确定直线的条件是什 么 对于平面直角坐标系内的一条直线，它 的位置由哪些条件确定
问题2:在平面直角坐标系内给一个点，过这 个点有无数条直线。
再给一个什么条件就可以唯一确定一条直线 呢
请学生手动操作体验
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数学概念
一般地，我们以水平线x轴为基准，这 也符合我们日常表示物体倾斜程度的 习惯。因此我们约定图1中的角表示直 线的倾斜程度，把它就叫倾斜角。
图 1
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当直线l与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线1向 上的方向之间所成的角α叫做 直线l的倾斜角。
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数学概念
数学概念
直线l 倾斜角为锐角，直线l’ 的倾斜角为 钝角。当直线l与x轴平行或重合时，规 定它的倾斜角为0
yA
l
α'
α
0 P X
图 2
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2 2
数学问题
追问：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什
么
图2
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数学概念
倾斜角的几何意义：
(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交 时，直线l 的倾斜角是由x轴绕直线l 与x轴的交 点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到 的最小正角.
(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x 轴正向的倾斜程度.
直线的倾斜角α的取值范围：0°≤a<180°。
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数学概念问题剖析
练习：判断下列直线的倾斜角是否正确
(3)
(4)
图6
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(1) (2)
数学情景引入(二)
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平 方向的倾斜程度，如图， 一辆汽车沿某条道路从A点 前进到B点，在水平方向前进的距离为AD, 竖 直 方
向上升的高度为DB (如果是下降，则DB 的值为负实数),
若k>0, 则表示上坡，若k<0, 则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常 要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路
的倾斜程度的呢
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B上
D
A 水平距离
升高度
数学问题探究
问题1:将此图形抽象到坐标系中，( 利用几何画板给出图形),演示出一条 直线l 与x轴的交点A相对固定，直线上另 一点B在直线上运动，观察坡度情况
如果B点固定A 点在x轴上运动，观察坡 度的变化情况
B
a 回
数学问题探究
A
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把一条直线的倾斜角α的正切值叫做
这条直线的斜率，斜率常用小写字 母k表示，即
k=tan a.
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数学概念
由于两点可以确定一条直线，那么我们直线 上任取两点P (x ,y1),P (x ,y ),x ≠x , 可 知直线l由P ,P 唯一确定。所以，可以推断 , 直 线l的倾斜角一定与P ,P 两点的坐标有 内在联系的。
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数学问题引入(三)
数学问题探究
问题1:在平面直角坐标系中，设直线1 的倾斜角为α. (教材52页问题探究)
(1)已知直线l经过0(0,0),P(J3,1),α与
0,P 的坐标有什么关系
提示
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数学问题探究
问题1:在平面直角坐标系中，设直线1 的倾斜角为α. (教材52页问题探究)
(2)类似地，如果直线l经过P ( -1,1),
P √2,0),α 与P ,P 的坐标有什么关 系
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数学问题探究
问题1:在平面直角坐标系中，设直线1 的倾斜角为α. (教材52页问题探究)
(3)一般地，如果直线l经过两点P (x ,
y ),P (x ,y ),x ≠x , 那么α与P ,P
的坐标有什么关系
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提示
垂
数学公式
如果直线l经过两点P (x ,y ),
P (x ,y ),x ≠x , 可得斜率公式：
y2 一y
X 一X
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≠
二
知识拓展
直线P P 上的向量 PP 以及与它平行的非零 向量都是直线的方向向量。直线P P 的方向向 量PP 的坐标为 (x -x ,Y -y ) 直 线P P 与x轴 不垂直时，x ≠x .此时向量 也是直
线P P 的方向向量，且它的坐标为
(x -x ,y -y ), 即(1,
X 一X
其中k是直线P P 的斜率.
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知识拓展
若直线l的斜率为k, 它的 一个方向
向量的坐标为 (x,y), 则
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y
X
二
例题解析
例1:如图，已知A(3,2),B(-4,1),C(0,
-1),求直线AB,BC,CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角是锐角还是钝角
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解析： 由kAp>0,kcA>0可知，
直线AB与CA的倾斜角为锐角， kpc<0,直线BC倾斜角为钝角。
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例题解析
解析：
问题1:是否每条直线都有斜率 倾斜角不同 ,斜率是否相同
问题2:由例1进一步分析，当直线的倾斜角 由0°由逐渐增大到180°,由其斜率如何变 化 为什么
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数学问题引入(四)
结合正切函数y=tan x在 的图象 y
π
0 X
图7
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数学问题解决策略
数学问题解决策略
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α的大小 0° 0°90°k的范围 k=0 k>0 不存在
k<0
k的增减性 随α的增大而 增大
随α的增大而 增大
数学结论
设直线的倾斜角为α,斜率为k.
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数学结论
设直线的倾斜角为α,斜率为k.
结论拓展：
(1)当倾斜角为90°时，即x =x 时，直线 的斜率不存在， .
(2)斜率公式中k的值与P ,P 两点在该直 线上的位置无关.
(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公 式中的次序可以同时调换.
(4)若直线与x轴平行或重合，则k=0.
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例题演练
已知两点A(一3,4),B(3,2), 过 点P(1,0)的
直线1与线段AB有公共点.
(1)求直线l 的斜率k的取
解 如图，由题意可知 7
↑y
A(-3,4) 要使l与线段AB有公共点，
B(3,2) 则直线l的斜率k的取值范围是
0 P(1,0) x ( 一 0, — 1)U[1, 十0).
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例题演练
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
解 由题意可知直线l的倾斜角介于直线
PB 与PA 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45° PA的倾斜角是135°
所以α的取值范围是45°≤a≤135°.
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课堂小结
1.知识清单：
(1)直线的倾斜角及其范围.
(2)直线斜率的定义和斜率公式. 2.方法归纳：数形结合思想.
3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形 理解不清.
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