2.4.2 圆的一般方程 课件(共20张PPT)—— 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共20张PPT)
第二章直线和圆的方程
2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.
0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.
0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法.
学习目标
方程x +y +Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D +E -4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x +y +Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到
右 边 ，
( 1 ) 当D +E -4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方
程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；
( 2 ) 当D +E -4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手
它表示一个点
( 3 ) 当D +E -4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固
例1 求过三点0(0,0),M (1,1), M (4,2)的圆的方程，并求这个
圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x +y +Dx+Ey+F=0.①
因为0 ,M ,M 三点都在圆上，
把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x +y -8x+6y=0.
故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；
(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1) +y =4
上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
解：如图，设点M 的坐标是(x,y), 点 A 的坐标是(x ,y ).
由于点B 的坐标是(4,3),且M 是线段AB 的中点，
所以 手 ,于是有x =2x-4,y =2y-3.①
因为点A 在 圆(x+1) +y = 4 上运动，
所以点A 的坐标满足圆的方程，即(x +1) +y =4.②
把①代入②,得(2x-4+1) +(2y-3) = 4, 整 理
这就是点M 的轨迹方程，它表示 为圆心，半径为1的圆.
的圆心坐标和半径分别为(
B.(3,2) 和 4
和 √ 19
可化为
由圆心为 ,半径 ,易知圆心的坐标为
半径为 .故选C.
1.圆2x +2y +6x-4y-3=0
和 4
和
解析：方程2x +2y +6x-4y-3=0
事
解析：由x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0) 可知圆心坐标为
因为圆关于直线y=x-1 对称，所以圆 在直线y=x-1 上，
所以 即D-E= -2. 故选C.
A.D+E=2 B.D-E=-1
C.D-E=-2 D.D+E=1
2.圆 x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0) 关于直线y=x-1 对称，
解析：由点P,Q 在圆x +y +kx-4y+3=0 上，且点P,Q 关于直线2x+y=0 对
称，可知直线2x+y=0 经过圆心 ,故 解得k=2, 所以圆
的方程为x +y +2x-4y+3=0, 化为标准方程为(x+1) +(y-2) =2, 所以该圆的
半径为 √2 .故选B.
3.已知点P,Q 在圆x +y +kx-4y+3=0
对称，则该圆的半径为((B)
A.√3 B.√2
上，且点P,Q 关于直线2x+y=0
C.1 D.2√2
4.经过点A(1,√5)和B(2,-2√2),且圆心在x轴上的圆的一般方程为(D
A.x +y -6y=0 B.x +y +6y=0
C.x +y +6x=0 D.x +y -6x=0
因为圆心在x 轴上，所以 即E=0. 又圆经过点A(1,√5)和B(2,-2√2),
故所求圆的一般方程为x +y -6x=0. 故选D.
解析：设圆的方程为x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0).
解得
所 以
即
解析：因为点A(a,2)在圆的外部，所以
所以 , 所 以a 的取值范围为
圆x +y -2ax-3y+a +a=0 的外部，则a 的取值
5.已
范围
6.如果圆的方程为x +y +kx+2y+k =0, 那么当圆的面积最大时，
圆心坐标为
解析：圆的方程可化为 ,所以半径
所以当k=0 时 ，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程为x +y +2y=0,
即x +(y+1) =1,所以当圆的面积最大时，圆心坐标为(0,-1).
7.已知圆的方程是x +y +2(m-1)x-4my+5m +2m=0.
(1)若m=-1, 求此圆的圆心和半径；
(2)若圆心落在圆x +y =1 内，求实数m 的取值范围；
(3)求证：当 时，方程所表示的圆的圆心在同一条直线上.
解析：(1)将圆的方程化为标准形式[x+(m-1)] +(y-2m) =1-4 m,
由m=-1, 可知圆心为(2,-2),半径为 √5.
(2)由圆心(1-m,2m), 半 径r=√ 1-4m,
可知(1-m) +(2m) <1,1-4m>0, 解 得
(3)由(2)知，当 时，方程x +y +2(m-1)x-4my+5m +2m=0 表示圆，
设圆心坐标为(x,y), 可 得
消去参数m, 得圆心的轨迹是直线2x+y-2=0.
由此可知，方程所表示的圆的圆心在同一条直线上.
8.设方程 x +y +2(m+3)x+2(1-4m )y+16m +9=0.
(1)当且仅当m 在什么范围内时，该方程表示一个圆
(2)当m 在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程；
(3)在该方程表示圆的情况下，求圆心的轨迹方程.
解析：(1)由D +E -4F>0, 得 4(m+3) +4(1-4m ) +4(16m +9)>0,
化简得7m -6m-1<0, 解 得
所以当 时，该方程表示一个圆.
则
所以
(3)设圆心C(x,y),
因为
消 去m 得 y=4(x-3) -1,
故所求的轨迹方程
系
时，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢
1.圆的一般方程
2.求圆的方程常用待定系数法的步骤
小结：