2.4.2圆是一般方程 课件(共24张PPT)——高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

(共24张PPT)
位置关系 几 何 法 ：利用距 离判断
代 数 法 ：利用方程判断
点在圆外 d>r
(x — 2>r
点在圆上 d =r
(x — ) =r
点在圆内 d< r
(x — 复习回顾
问题1 圆的标准方程是什么
(x-a) +(y-b) =r
问题2如何判断点与圆的位置关系
新课导入
直线的方程中有标准方程与一般式方程。在
圆的方程表达式中也是有标准方程与一般式方 程。
这节课，我们将在上节课的基础上学习圆的
另一种方程表达式： 一般式方程。
2.会将圆的一般方程化为圆
的标准方程，并能熟练地指 出圆心的坐标和半径的大小.
3.能根据某些具体条
件，运用待定系数法 确定圆的方程.
1.掌握圆的一般
方程及其特点.
首称
圆的标准方程： 圆心C(a,b),半径r
把(x-a) +(y-b) =r 展开，会得到怎样的式子
x +y-2ax-2by+a +b -r =0
我们能否将以上形式写得更简单一点呢
由于 a,b,r均为常数，所以令-2a=D,-2b=E,a +b -r =F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x +y 十Dx 十Ey十F=0
思考方程(x-1) +(y+2) =4 表示的圆是怎样的 以(1,-2)为圆心，2为半径的圆.
(x-1) +(y+2) =4 变形为x +y -2x+4y+1=0
(x-a)
)2=r2
配方
问题：是不是任何一个形如x +y +Dx+Ey+F =0的方程表示的曲线都是圆呢
尝试：判断下列方程分别表示什么图形
(1)x +y -2x+4y+1=0(x-1) +(y+2) =4 圆圆心 径(1为, 2),
(2)x +y -2x-4y+5=0(x-1) +(y-2) =0 点(1,2)
(3)x +y -2x-4y+6=0(x-1) +(y-2) =-1 不表示任何图形
2
-
由此可知：形如 x +y +Dx+Ey+F=0 的方程表示不一定都表示圆。
探究：方程x +y +Dx +Ey+F=0 在什么条件下
表示圆
将方程x +y +Dx+Ey+F=0的左边配方，并把常数项移到右边，得
①
(1)当D +E -4F>0时，表示以 )为圆
为半径的圆
(2)当D +E -4F=0时，方程只有一组 表示
(3)当D +E -4F<0时，方程无实数解，所以不表示任图形.
因此，当 D +E -4F>0 时，方程①表示一个圆，我们
把方程①叫做圆的一般方程.
一个点
因此，当D +E -4F >0 时，方程x +y +
Dx+Ey+F=0 表示一个圆.
我们把方程x +y + Dx +Ey+ F= 0 叫做圆的
一般方程.
说明：① x 与y 系数相同并且不等于0;
②没有xy这样的二次项；
③圆心为 ,半径
圆的标准方程：
(x-a) +(y-b) =r
圆的一般方程则明确
表明其形式是一种特 殊的二元二次方程。
思考 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点
圆的标准方程明
确给出了圆心坐
标和半径
圆的一般方程：
x +y +Dx+Ey+F=0
两种方程的字母间的关系：
y+F=0
Vh
y
y
C .
X 0 X
F=0
E=0
追问： 思考：当D=0,E=0 或F=0 时，圆x +y + Dx+Ey+F=0 的位置分别有什么特点
D=0
V 个
C
X
0
0
练习 一一 课 本
1.求下列各圆的圆心坐标和半径： P88
(1)x +y -6x=0; (1)圆心坐标为(3,0),半径长为3;
(2)x +y +2by=0; (2) 圆心坐标为(0,-b),半径长为|b|;
(3)x +y -2ax-2J3ay+3a =0.(3) 圆心坐标为(a,J3a),半径长为Ial.
2.判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由：
(1)x +y =0; (1)方程表示一个点(0,0);
(2)x +y -2x+4y-6=0;(2) 方程表示圆心坐标为(1,-2),
(3)x +y +2ax-b =0. 半径长为1的圆；
(3)当a +b ≠0 时，方程表示圆心坐标为(-a,0),半径长为 √a + b .
当a +b =0 时，方程表示一个点(0,0).
例4求过三点0(0,0),M (1,1),M (4,2)的圆的方程及圆 的半径和圆心坐标.
解1:( 0,M,M 的圆方程为x +y +Dx+Ey+F=0.
则
解D-8E-G.P=
∴过0,M,M 的圆方程为x +y -8x+6y=0, 圆心坐标为(4,-3),半径r=5. 解2:(待定系数法)设过0,M,M 的圆方程为(x-a) +(y-b) =r .
则 ,=A-- 务
∴过0,M ,M 的圆方程为(x-4)'+(y+3) =25,圆心坐标为(4,-3),半径r=5.
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F 的方程组；
(3)解出a,b,r 或D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
解3线段OM 的垂直平分线方程为
,即x+y-1=0.
线段OM 的垂直平分线方程为
y-1=-2(x-2), 即2x+y-5=0.
联立方程 ,解得x=4,y=-3.
例4求过三点0(0,0),M (1,1),M (4,2) 的圆的方程及圆
的半径和圆心坐标。
∴所求圆的圆心坐标为(4,-3),半径为r=5.
所求圆的方程为(x-4) +(y+3) =25.
能否利用几何 性质求解
l
M (4,2)
(1,1)
(0,0)
x
圆的一般方程： x +y +Dx+Ey+F=0 (D +E -4F>0)
一般地，求圆的方程有两种方法：
(1)待定系数法： 即设出圆的标准方程或一般方程，
根据条件列出关于a,b,r或D,E,F 的方程组，求系数.
利用待定系数法求圆的方程，对于由已知条件容 易求出圆心坐标或需用圆心坐标列方程的问题， 一
般采用圆的标准方程，否则用圆的一般方程.
(2)几何分析法：即利用平面几何中的有关性质求解。
常用的性质是圆的弦的垂直平分线必过圆心。
方法小结
求圆的方程的方法：
圆的标准方程： (x-a) +(y-b) =r
解得
故所求圆的一般方程为
AD=BC,AB 与CD 间的距离为3.求等腰梯形ABCD 的外接圆
3.如图，在四边形ABCD中，AB=6,CD=3, 且AB/ICD,
=0,
圆心坐标为
的方程，并求这个圆的圆心 坐 标 和 半 径 。
为x +y +Mx+Ny+F=0,因为A、B、C、D
都在圆上，
练 习
解析 由题意得A(-3,0),B(3,0),C
课本
P88
,设所求圆的方程
所以
重
其中θ为参数.证明：点P 的轨迹是圆心为 (a,b), 半 径 为r 的圆.
在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标 (x,y) 满足
圆的参数方程
求轨迹方程问题
例5已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆
(x+1) +y =4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：
如图，点A的运动引起点M的运动，而点A在圆上运动 M
点A的坐标满足方程
(x+1) +y =4
建立点M的坐标与点A的
间坐标之的关系，就可 以利用点A的坐标所满 足的关系式，求出点M
的轨迹方程.
注意：点M的轨迹方程是指点M的坐标
(x,y)满足的关系式.轨迹是指点在运动变 化过程中形成的图形.在解析几何中，我 们常常把图形看作点的轨迹(集合).
解：(相关点代入法)设M(x,y),A(x ,y ).
由于点B 的坐标为(4,3),且M 是AB 的中点，
事
于是x,=2x-4,y。=2y-3. ①
∵点A在圆(x+1) +y =4 上运动，
∴(x,+1) +y =4,即(2x-3) +(2y-3) =4,
整理得
这就是点M 的轨迹方程。
例5已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆
(x+1) +y =4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
它是以 为圆心，1为半径的圆。
你还能想到 其他方法吗
。 ·
例6动点P与定点A(-1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为-1, 求点P的轨迹方程。
(直接法)解：设点P的坐标为(xy), 由题意得kpa·kp=-1 即 (x≠±1)化简得x +y =1
即点P的轨迹方程为x +y =1(x≠±1)
拓广探索
9.已知动点M 与两个定点0(0,0),A(3,0)的距离的比 ,求动点M的轨迹方程，并说
明轨迹的形状.
解
(1)设线段AP 的中点M(x,y),
由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x-2,2y).
∵点P 在圆x +y =4 上 ，
∴(2x-2) +(2y) =4,
故线段AP 的中点M 的轨迹方程为(x-1) +y =1.
跟踪训练3点A(2,0)是圆x +y =4 上的定点，点B(1,1) 是圆内一点，P,Q 为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ=90°, 求线段PQ 的中点N 的轨迹方程.
解 —
设线段PQ 的中点N(x,y),
在Rt△PBQ 中， |PN=|BM].
设0为坐标原点，连接ON, 则ON⊥PQ,
∴|OP| =|OM +|PM =|OM +|BN ,
∴x +y +(x-1) +(y-1) =4,
故线段PQ 的中点N 的轨迹方程为x +y -x-y-1=0.
(2)若∠PBQ=90°, 求线段PQ的中点N的轨迹方程.
方法总结：
求动点轨迹方程的常用方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出
方程。
(2)相关点法：找到所求动点与已知动点的
关系，带入已知动点所在方程；
课堂小结
1. 圆心为(a,b), 半径为r的圆
方程特征：明确给出了圆的大小(半径)---几何特征. 和圆的位置(圆心) .
2.圆的一般方程为：x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0)
方程特征：突出了圆方程形式上的特点.----代数特征。
3.求轨迹方的常用方法：相关点法和直接法.