2.5.2 圆与圆的位置关系 课件(共24张PPT)—— 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共24张PPT)
第二章直线和圆的方程
2.5.2圆与圆的位置关系
1.能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.
2.能用圆的方程解决一些简单的问题.
3.进一步体会用代数方法处理几何问题的思想方法.
圆与圆的位置关系
两圆相交，有两个公共点；
两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.
例题巩固
例 1 已知圆C :x +y +2x+8y-8=0, 圆 C :x +y -4x-4y-2=0
试判断圆C 与 圆C 的位置关系.
解 法 1 :将 圆C 与 圆C 的方程联立，
得到方程组 ,①-②得x+2y-1=0 ③
由③得 ,代入①并整理得x -2x-3=0.④
方程④的根的判别式△=(-2) -4×1×(-3)=16>0,
所以方程④有两个不相等的实数根x ,x .
把x ,x 分别代入方程③得到y ,y .
因此圆C 与 圆C 有两个公共点A(x,y ),B(x ,y ) ,这两个圆相交.
解法2:把圆C 的方程化成标准方程，得(x+1) +(y+4) =25,
圆C 的圆心是(-1,-4),半径r=5.
把圆C 的方程化成标准方程，得(x-2) +(y-2) =10,
圆C 的圆心是(2,2),半径r =√ 10.
圆C 与圆C 的连心线的长为 √ (-1-2) +(-4-2) =3 √5.
圆C 与圆C 的两半径之和r+r =5+ √ 10, 两半径长之差r-r =5- √ 10.
因为5- √ 10<3 √5<5+ √ 10,即r-r <3 √5所以圆C 与圆C 相交(如图),它们有两个公共点A,B.
例2已知圆O的直径AB=4,动点M与点A的距离是它与点B的距离的
√2倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
解 ：如图，以线段 AB的中点O为原点，AB所在直线为x 轴，线段AB的
垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系.由AB=4, 得A(-2,0),B(2,0).
设点M 的坐标为(x,y),
由IMAI=√2|MBI, 得 √(x+2) +y =√2×√(x-2) +y ,
化简得x -12x+y +4=0, 即(x-6) +y =32.
所以点M 的轨迹是以P(6,0)为圆心，半径为4√2的一个圆.
因为两圆的圆心距为IPO|=6, 两圆的半径分别为r=2,r =4√2, 又r-r <|PO|1.圆O :x +y -2x=0 和圆O :x +y -4y=0 的位置关系是(
A.相离 B.相交 C.外切 D. 内切
解析：由题可知圆心O (1,0),O (0,2), 半 径r=1,r=2,
因为r -r<|0O I= √5课堂小练
2.圆C :x +y -2ay=0 和 圆C :(x-1) +y =4 相交，则实数a 的取值范围是(
圆 心C (1,0), 半 径rz=2, 连 接C C ,
即Ila|-2k √a +1解 析 ：C :x +y -2ay=0 的圆心C (0,a), 半径r=al,C :(x-1) +y =4 的
因为两圆相交，所以Ir-r kIC C IC.(-00,-1)U(1,+00)
故选D.
或
解析：由题意知C :x +y +4x-2y-4=0,C :x +y +3x-3y-1=0, 将两圆的
方程相减，得x+y-3=0, 所以两圆的公共弦所在直线的方程为x+y-3=0. 又因为
圆C 的圆心为(-2,1),半径r=3, 所以圆C 的圆心到直线x+y-3=0 的距离
所以这两圆的公共弦的弦长为2√r -d =2. 故选C.
3.已知圆C :x +y +4x-2y-4=0, 则这两圆的
公共弦长为C
A.2 B.2√2 C.2 D.1
解析：由圆x +y -6x-8y+m+6=0, 可得(x-3) +(y-4) =19-m, 则19-m>0,
所以m<19, 所以圆x +y -6x-8y+m+6=0 的圆心为(3,4),半径为 √ 19-m, 圆
x +y -1 的圆心为(0,0),半径为1,又圆x +y =1 与圆x -6x+y -8y+m+6=0
相外切，则 √ (3-0) +(4-0) =1+ √ 19-m, 解得m=3. 故选A.
4.已知圆x +y =1 与圆x +y -6x-8y+m+6=0 相外切，则m 的值为(
A.3 B.4 C.5 D.6
5.(多选)已知圆C :x +y -4=0 和圆C :x +y -6x-8y+9=0, 则
A.两圆的圆心的距离为25
B. 两圆相交
C.两圆的公共弦所在直线的方程为6x+8y-11=0
D.两圆的公共弦长为
C C I= √9+16=5,故 A 错误；因为|CC |=5,r +r=6,r -r=2,
r -r<|C C I故两圆的公共弦所在直线的方程为6x+8y-13=0, 故 C 错误；圆心C (0,0)到直线
6x+8y-13=0 的距离为 由垂径定理得两圆的公共弦长为
故D 正确.故选BD.
的圆心C 的坐标为(0,0),半径r=2, 圆
的圆心C 的坐标为(3,4),半径r =4, 则圆心距
解析：圆 C :x +y =4
C :(x-3) +(y-4) =16
解析：圆(x-a) +y =2 的圆心坐标为(a,0), 半径为 √ 2,圆x +(y-a) =8 的圆心
坐标为(0,a), 半径为2 √2,两圆外切，则、(a-0) +(0-a) =√2+2√2, 因为a>0,
解得a=3.
6.已知a>0, 若 圆(x-a) +y =2 与圆x +(y-a) =8 外切，则a=_
解析：由 x +y -2x+4y-4=0, 得(x-1) +(y+2) =9, 可得圆C 的圆心坐标为
(1,-2),半径为3,由x +y +2x-2y-2=0, 得(x+1) +(y-1) =4, 可得圆C 的 圆心坐标为(-1,1),半径为2,所以两圆的圆心距d=√(1+1) +(-2-1 =√ 13, 则 3-2=17.已知圆C :x +y -2x+4y-4=0, 公切线条数是
圆 C :x +y +2x-2y-2=0, 则两圆的
解析：圆 C :x +y +2x-12=0 与圆C :x +y +4x-4y=0 联立可得公共弦的
方程为x-2y+6=0,C :x +y +4x-4y=0 变形为C :(x+2) +(y-2) =8,
故C :x +y +4x-4y=0 的圆心为C (-2,2), 半径为2 √ 2,而C (-2,2) 满足
x-2y+6=0, 故 弦AB的长为圆C 的直径，故弦AB的长为4√2.
8.圆 C :x +y +2x-12=0
则 弦AB的 长 为_
与 圆C :x +y +4x-4y=0 的交点为A,B,
9.已知两圆x +y -2x-6y-1=0,x +y -10x-12y+m=0.
(1)m 取何值时两圆外切
(2)m 取何值时两圆内切
( 3 ) 当m=45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解 析 ：(1)由已知可得两个圆的方程分别为(x-1) +(y-3) =11,
(x-5) +(y-6) =61-m,
两圆的圆心距d=√(5-1) +(6-3) =5, 两圆的半径之和为 √ 11+ √61-m,
由两圆的半径之和为 √ 11+ √61-m=5, 可 得m=25+10√ 11.
(2)由两圆的圆心距d=√(5-1) +(6-3) =5 等于两圆的半径之差
为- √61-m,即 √i-J61-m=5,
可得 √ 11- √61-m=5 (舍去),或 √ 1- √ 61-m=-5,
解得m=25-10 √ 11.
(3)当m=45 时，两圆的方程分别为(x-1) +(y-3) =11,(x-5) +(y-6) =16,
把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x+3y-23=0.
第一个圆的圆心(1,3)到公共弦所在的直线的距离为
可得弦长为2 √ 11-4=2 √7.
10.已知圆C:x +y +2x+2y-8=0 与C :x +y -2x+10y-24=0 相交
于A,B 两点.
(1)求公共弦AB所在直线的方程；
(2)求圆心在直线y=-x 上且经过A,B 两点的圆的方程；
(3)求经过A,B 两点且面积最小的圆的方程.
解析：(1)两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为x-2y+4=0.
(2)设经过A,B 两点的圆的方程为C:x +y +2x+2y-8+λ(x +y -2x+10y-24)=0
由圆心 在直线y=-x 上，得
代入整理得所求圆方程为x +y +6x-6y+8=0.
经过A,B 两点且面积最小的圆必是以AB为直径的圆，
圆的方程为(x-0)(x+4)+(y-0)(y-2)=0,
即 x +y +4x-2y=0.
此时圆的方程为x +y +4x-2y=0.
法2:解方程组
时 ，r 有最小值 √5,面积如有最小值5π,
,得A(0,2),B(-4,0).
(3)法1:由(2)知，
令t=1+λ, 得
, 即
当
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢
圆与圆的位置关系及应用.
小结：