3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共28张PPT)—— 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共28张PPT)
第三章圆锥曲线的方程
3.1.1椭圆及其标准方程
学习目标
掌握椭圆的定义、标准方程.
通过对标准方程的推导，进一步体会数形
结合的思想.
椭圆的定义
平面内与两个定点F,F 的距离的和等于常数(大于IF F I) 的
点的轨迹叫做圆.这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫 做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
椭圆的标准方程
①方 表示焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，
两个焦点分别是F (-c,0),F (c,0), 且 c =a -b .
②方程 表示焦点在y 轴上的椭圆的标准方程，
两个焦点分别是F(0,-c),F (0,c), 且 c =a -b .
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F 的 坐
标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F 的距离的和等于
2a.
椭圆标准方程的推导
以经过椭圆两焦点F ,F 的直线为x 轴，线段F F 的垂直平分线为y 轴，建立
平面直角坐标系Oxy ,如图所示.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF I+|MF I=2a}.
因为IMFI= √ (x+c) +y ,IMF F= √ (x-c) +y ,
所以J(x+c) +y + √ (x-c) +y =2a.①
化简得√(x+c) +y =2a-√(x-c) +y .②
对方程②两边平方得(x+c) +y =4a -4aJ(x-c) +y +(x-c) +y .
整理得a -cx=aJ(x-c) +y .③
对方程③两边平方得a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y .
整理得(a -c )x +a y =a (a -c ).④
将方程④两边同除以a 得
由椭圆的定义可知，2a>2c>0, 即 a>c>0, 所 以a - c >0.
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变
形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F (c,0) 的椭圆，这里
c =a -b .
由图可知，IPF=PF I=a ,IOF=OF I=c,|PO|= √a -c .
令b=POI=√a -c , 那么方程⑤就
例 1已知圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点
求它的标准方程
例题巩固
解 ：由于椭圆的焦点在x 轴上，
所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知c=2,
所以a=√ 10, 所 以b =a -c =10-4=6.
所以所求椭圆的标准方程为
例2如图，在圆x +y =4 上任取一点P, 过点P 作x 轴的垂线段PD,
D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么 为什么
解 ：设点M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x ,y ),
则点D 的坐标为(x ,0).
由点M 是线段PD的中点，得x=x ,
因为点P(x ,y )在圆x +y =4 上，所以x +y =4.①
把x =x, y =2y代入方程①,得x +4y =4, 即 所以点M 的轨迹是椭圆.
中
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM
相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
化简得点M 的轨迹方程为
点M 的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的椭圆.
所以直线AM的斜率
同理，直线 BM 的斜率 由已知有
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0),
事
课堂小练
1.椭圆 的焦点坐标是(C
A.(2,0),(-2,0) B.(√2,0),(-√2,0)
C.(0,√2),(0,-√2) D.(0,2),(0,-2)
解析：因为椭圆的方程为 所以c=√2, 且焦点在y 轴上，
所以焦点坐标为(0, √2),(0,- √2).故选C.
解析：设所求椭圆方程为 则a -b =c =5,
解得a =15,b =10, 故所求椭圆方程为 .故选A.
有相同焦点的椭圆方程为
2.过 点A(3,-2)且与椭圆
且
3. “1A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充 要 条 件 D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
解析：当方程 表示椭圆时，必 , 所 以 1m≠2, 所以“1故 选B.
0是坐标原点，则IONI= (B )
A.8 B.4 C.3 D.2
4.椭圆 上一点M 到左焦点F , 的距离是2 ,N 是MF 的中点，
解析：设椭圆的右焦点为F , 连接MF ,NO, 如图所示.
由椭圆的定义得|MF|+|MF |=10,∵MF|=2,∴MF |=8,
又O 是FF 的中点，N 是MF1的中点， 故选B.
5. (多选)已知F,F 为椭圆 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点，
则下面四个结论正确的是(BCD
A.MF |的最大值大于3
B.|MF|·|MF |的最大值为4
C.∠F MF 的最大值为60°
D.若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A、B两点，P为1上满足|PA|·|PB|=2
的点，则点P 的轨迹方程为 或
解析：由椭圆方程得a =4,b =3,∴c =1, 因 此F (-1,0),F (1,0), 对 于A,
, 故A 错误；对于B, 当且仅 当|MF|=|MF |时取等号，故B正确；对于C, 当点M为短轴的端点时，∠FMF 取 得最大值，取M(0,√3), 则 ,∴ 声 ∴∠FMF 的最大 值为60°,故C 正确；对于D, 设 P(x,y),A(x,y),B(-x,y),∵PA|·|PB|=2,
∴x-x|·x+x|=2,∴|x -x |=2,即x =x +2或x =x -2, 又由题意知
,∴ 或 化简得 或
故D 正确.故选BCD.
;
过点(-2, √3),所以将其代入，得m =16,
故焦距2c=4 √3.
6.设椭圆 过点(-2, √3),则焦距等于
解析：因为椭圆
所以c =16-4=12,c=2 √3,
7.已知 F(-1,0),F (1,0) 是 椭 圆C 的两个焦点，过F 且 垂 直 于x 轴 的 直 线
交 C 于 A,B 两点，且 |AB|=3, 则 椭 圆C 的 方 程
由①②得a=2, 所 以b =a -1 =3. 故椭圆C 的方程为
,|FF |=2, 由椭圆的定义，得
解析：分析知
8.设F,F 分别是椭圆 的左、右焦点，当a=2b 时，
点P 在椭圆上，且PF⊥PF ,|PF|·|PF |=2, 求椭圆的标准方程.
解析：∵a=2b,b +c =a ,∴c =3b .
又PF⊥PF ,∴|PF| +|PF =|FF =(2c) =12b .
由椭圆的定义可知|PF|+|PF |=2a=4b,
.(|PF|+|PF |) =12b +4=16b ,
∴b =1,a =4.
∴椭圆的标准方程为
(1)求椭圆M 的标准方程；
(2)设椭圆M 的左、右焦点分别为F,F ,
面积为1,求点P 的坐标.
点 P 在椭圆M 上，且△PFF 的
有相同的焦点，且椭圆M 过
9.已知椭圆M 与椭圆N
解析：(1)由题意知椭圆N 的焦点为(-2,0),(2,0).
设椭圆M 的方程为
则 化简并整理得5b +11b -16=0, 解得b =1 或 ( 舍 去 ) , 所 以a =5, 故椭圆M 的标准方程为
( 2 ) 由 ( 1 ) 知F (-2,0),F (2,0),
设P(x ,y ), 则 △PF F 的面积为 所以
又 所以 , 解 得
所以满足条件的点P 有4个，坐标分别为
事
手
小结：
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢
1.郁圆的定义
2 . 圆的标准方程