3.1.2 椭圆的简单几何性质（第2课时）课件(共38张PPT) -高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.1.2 椭圆的简单几何性质（第2课时）课件(共38张PPT) -高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-14 22:14:59 | ||
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文档简介
(共38张PPT)
人教A 版2019选修第一册
第三章圆锥曲线的方程
3.1.2 椭圆的简单几何性质(第2课时)
1. 根据几何条件求出椭圆的方程；
2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用；
3.会判断直线与椭圆的位置关系.
学习目标
01导入
P A R T 0 N E
焦点的位置 焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
范围 x|≤a,|yl≤b
x|≤b,|yl≤a
顶点 (±a,0),(0,±b)
(±b,0),(0,±a)
轴长 短 轴 长 =2h , 长 轴 长 =2 a
焦点 (±c,0)
(0,±c)
焦距 2c
对称性 对 称 轴 ：x轴、y轴， 对称中心：(0,0)
离心率
复习导入
椭圆的简单几何性质
02点、直线与椭圆位置关系
P A R T 0 N E
探究1:根据点与圆的位置关系，你能得出点P(x ,yo)与椭圆 的位置 关系有哪些 怎样判断
点与椭圆的位置关系有三种：点P在椭圆上；点P在椭圆内部；点P在椭圆外部。
点P(x ,y ) 与椭圆 的位置关系：
(1)点P在椭圆上
(2)点P在椭圆内部
(3)点P在椭圆外部
点、直线与椭圆位置关系
练习1.点(1,1)与椭圆 的位置关系为( )
A. 在椭圆上 B. 在椭圆内 C. 在椭圆外 D. 不能确定
点、直线与椭圆位置关系
的内部，则a 的取值范围是
练习2.若点A(a,1)在椭圆
牛刀小试
0)的位置关系有哪些 怎样判断
种类： 相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(二个交点)
探究2:根据直线与圆的位置关系，你能得出直线Ax+By+C=0与椭圆
点、直线与椭圆位置关系
由方程组：
(m≠0)
=n -4mp
两个交点 相交
一个交点 相切
无交点 相离
>0 方程组有两解
=0 方程组有一解 <0 方程组无解
点、直线与椭圆位置关系
代数方法
例1.已知直线l:y=2x+m, 椭 圆C: .试问当m 取何值时，
直线l 与椭圆C:
(1)有两个公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.
点、直线与椭圆位置关系
消去y,得 9x +8mx+2m —4=0 ①.
方程①的判别式△=(8m) -4×9×(2m -4)=—8m +144.
(1)当△>0,即-3 √2有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个公共点.
(2)当△=0,即m=±3√2 时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组
相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.
(3)当△<0,即m<-3√2 或m>3√2时，方程①没有实数解，可知原方程组没有
点、直线与椭圆位置关系
解：直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程
实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.
练习：若直线y=kx+1 与焦点在x 轴上的椭圆 总有公共点，求m 的取值范围.
方法一：由 消 去y, 得(m+5k )x +10kx+5(1—m)=0.
∵直线与椭圆总有公共点，∴△=100 k —20(m+5k )(1—m)≥0.
又∵m>0,∴m≥1—5k .
而1 — 5k 的最大值为1,则m≥1.
又焦点在x 轴上∴m<5, 则 1 ≤m<5.
点、直线与椭圆位置关系
练习：若直线y=kx+1 与焦点在x 轴上的椭圆 总有公共点，求m 的取值范围.
方法二：∵直线y=kx+1 恒过定点(0,1),
∴若直线与椭圆总有公共点，则点(0,1)不在椭圆外部.
又∵m>0,∴m≥1.
又椭圆焦点在x 轴上，∴m<5.
∴1≤m<5.
点、直线与椭圆位置关系
03 弦长问题
R T 0 N
如图示，若直线l与椭圆交于A,B 两点，将直线方程与椭圆方程联立消元，得到关于
x(或y)的一元二次方程，然后运用两点间距离公式及根与系数的关系，即可求弦长。
弦长问题
特别地，当直线斜率不存在是，则
v -y I
|AB|=|
例2:已知点F 、F 分别是椭圆
直线，求△F AB的面积.
的左、右焦点，过F 作倾斜角为 的
弦长问题
解：∵椭圆 的两个焦点坐标F (-1,0),F (1,0) ∴直线AB的方程为y=x-1, 设 A(x ,y ),B(x ,y )
由 消去y 并化简整理得3x -4x=0 ,x x =0
弦长问题
∵点F 到直线AB 的距离
··
解： ,∴ , 即 ,∴
∴椭圆的方程为x +4y =a , 与方程x+2y+8=0 联立并消去y, 得 2x +16x+64—a =0,
由△>0,得a >32.
设点P(xi,yi),Q(x ,y2), 则x +x =-8,
由弦长公式得|PQl =(1+kpo )·|x —x l =(1+kpo )·[(x +x ) —4x x ],
即 , 解 得a =36.
∴椭圆的方程为x 即
弦长问题
练习：椭圆 的离心 且椭圆与直线x+2y+8=0 相交于P,Q
两点， |POI= √ 10, 则椭圆的方程为
··
事
弦长问题
归纳总结
直线与椭圆有关相交弦的问题
主要思路是联立直线和椭圆的方程，得到一元二次方程，然后借助一元二次方程的有关
知识解决，有时运用弦长公式，解题时应注意以下几点：
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.
(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率 的直线被C 所截线段的中点的坐标.
过点(0,4),离心率之
弦长问题
例3 . 设椭圆C:
解：(1) 将(0,4)代入C 的 方 程 ， , ∴b=4.
由 , 即 , ∴a=5, ∴椭圆C 的方程为
弦长问题
··
设直线与C 的交点为A(x ,y ),B(x ,y ),
将直线AB 的方程 代入C 的方程，
得 即 x —3x—8=0,
则x +x =3,. 2 事
即中点的坐标为
(2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为
弦长问题
0 4中点弦问题
R T 0
在处理与弦的中点有关的问题时，常采用"点差法",即若椭圆方程为
直线l与椭圆交于点A(x ,y ),B(x ,y ), 且AB 的中点为P(x ,y ), 则有
若椭圆方程为 直线与椭圆交于点A(x ,y ),B(x ,y ),
且AB的中点为P(x ,y),则有
中点弦问题
或
或
例4.已知一直线与椭圆4x +9y =36相交于A,B 两点，弦AB 的中点坐标为M1,1), 求直线AB 的方程.
方法一：易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y= k( x—1)+1,
代入椭圆方程，整理得(9k +4)x +18k(1—k)x+9(1—k) —36=0.
设 A,B 的横坐标分别为x ,x ,
则 解得
中点弦问题
即 4x+9y—13=0.
故 AB的方程为
方法二：设A(x1,y1),B(x ,y2),
则
② - ① , 得 4(x —x )(x +xi)+9(y -y )(y +yi)=0.
∵M 为AB 中点，∴x +x =2,y +y =2.
∴4(x —x )+9(y —y )=0.
中点弦问题
由点斜式得AB的方程为
即 4x+9y—13=0.
归纳总结
(1)应用点差法可求出弦所在直线的斜率，点差法又称为“设而不求法”.
(2)中点弦问题通常采用韦达定理或点差法求解.
点差法：设点(设出点坐标)→代入(代入曲线方程)→作差(两式相减).
中点弦问题
中点坐标是M(-4,1), 则椭圆C 的离心率是(C)
A B C
练习：已知椭圆C: 的一条弦所在的直线方程是x—y+5=0,
中点弦问题
弦的
口
又M(—4,1) 是弦的中点，∴x +x =—8,y +y =2,
结合已知直线方程， ,∴ 故选C.
中点弦问题
解：设弦的两个端点坐标分别为(x ,y ),(x ,y2),
两式作差
05与椭圆有关的实际问题—
R T 0
例5.如图， 一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆
绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分。过对称轴的截 口 ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F 上，片 门位另一个焦点F 上，由椭圆一个焦点F 发出的光线，经过 旋转椭圆面反射后集中到另一个椭圆焦点F , 已 知
BC⊥F F ,|F B|=2.8cm,|F F I=4.5cm, 试建立适当的平面直
角坐标系，求截口ABC所在的椭圆方程(精确到0.1cm)
实际应用
解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为
(a>b>0)
在Rt △BF F 中，
IF B|=√IF Bl +|F F I =√2.8 +4.52
有椭圆的性质， |F B|+|F B|=2 a,所 以
b=√a -c ≈3.4
所以所求椭圆方程
实际应用
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，
其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种
标准方程);
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列
方程(组)时常用的关系式有b =a —c 等 .
实际应用
例6动 点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M l
的比是常数 求动点M 的轨迹。
解：如图示，设d是点M 到直线l 的距离.
实际应用
将上式化简，整理得
9x +25y =225, 即
∴点M的轨迹为长轴、短轴分别为10和6的椭圆。
由题意，得 良
的距离
平面内的动点M(x,y)到定点F(c,0) 的距离与它到定直线l 的距
离的比是常 则点M的轨迹是椭圆。
证明：设d是点M 到直线l的距离，则由题意知
设a -c =b , 则方程化为
即点M的轨迹是长轴、短轴长分别为2a、2b的椭圆.
实际应用
化简(a -c )x +a y =a (a -c )。
椭圆的第二定义：
即
对于椭圆 相应于焦点F(c,0) 的准线方程是
相应于焦点F'(-c,0) 的准线方程是
其中，定点F(c,0)是椭圆的焦点；
做椭圆的准线；
常 椭圆的离心率.
实际应用
06课堂小结
P A R T 0
课堂小结
点、直线与椭圆的位置关系
椭圆的几何性质
中点弦问题
实际应用
弦长问题
人教A 版2019选修第一册
第三章圆锥曲线的方程
3.1.2 椭圆的简单几何性质(第2课时)
1. 根据几何条件求出椭圆的方程；
2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用；
3.会判断直线与椭圆的位置关系.
学习目标
01导入
P A R T 0 N E
焦点的位置 焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
范围 x|≤a,|yl≤b
x|≤b,|yl≤a
顶点 (±a,0),(0,±b)
(±b,0),(0,±a)
轴长 短 轴 长 =2h , 长 轴 长 =2 a
焦点 (±c,0)
(0,±c)
焦距 2c
对称性 对 称 轴 ：x轴、y轴， 对称中心：(0,0)
离心率
复习导入
椭圆的简单几何性质
02点、直线与椭圆位置关系
P A R T 0 N E
探究1:根据点与圆的位置关系，你能得出点P(x ,yo)与椭圆 的位置 关系有哪些 怎样判断
点与椭圆的位置关系有三种：点P在椭圆上；点P在椭圆内部；点P在椭圆外部。
点P(x ,y ) 与椭圆 的位置关系：
(1)点P在椭圆上
(2)点P在椭圆内部
(3)点P在椭圆外部
点、直线与椭圆位置关系
练习1.点(1,1)与椭圆 的位置关系为( )
A. 在椭圆上 B. 在椭圆内 C. 在椭圆外 D. 不能确定
点、直线与椭圆位置关系
的内部，则a 的取值范围是
练习2.若点A(a,1)在椭圆
牛刀小试
0)的位置关系有哪些 怎样判断
种类： 相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(二个交点)
探究2:根据直线与圆的位置关系，你能得出直线Ax+By+C=0与椭圆
点、直线与椭圆位置关系
由方程组：
(m≠0)
=n -4mp
两个交点 相交
一个交点 相切
无交点 相离
>0 方程组有两解
=0 方程组有一解 <0 方程组无解
点、直线与椭圆位置关系
代数方法
例1.已知直线l:y=2x+m, 椭 圆C: .试问当m 取何值时，
直线l 与椭圆C:
(1)有两个公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.
点、直线与椭圆位置关系
消去y,得 9x +8mx+2m —4=0 ①.
方程①的判别式△=(8m) -4×9×(2m -4)=—8m +144.
(1)当△>0,即-3 √2
(2)当△=0,即m=±3√2 时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组
相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.
(3)当△<0,即m<-3√2 或m>3√2时，方程①没有实数解，可知原方程组没有
点、直线与椭圆位置关系
解：直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程
实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.
练习：若直线y=kx+1 与焦点在x 轴上的椭圆 总有公共点，求m 的取值范围.
方法一：由 消 去y, 得(m+5k )x +10kx+5(1—m)=0.
∵直线与椭圆总有公共点，∴△=100 k —20(m+5k )(1—m)≥0.
又∵m>0,∴m≥1—5k .
而1 — 5k 的最大值为1,则m≥1.
又焦点在x 轴上∴m<5, 则 1 ≤m<5.
点、直线与椭圆位置关系
练习：若直线y=kx+1 与焦点在x 轴上的椭圆 总有公共点，求m 的取值范围.
方法二：∵直线y=kx+1 恒过定点(0,1),
∴若直线与椭圆总有公共点，则点(0,1)不在椭圆外部.
又∵m>0,∴m≥1.
又椭圆焦点在x 轴上，∴m<5.
∴1≤m<5.
点、直线与椭圆位置关系
03 弦长问题
R T 0 N
如图示，若直线l与椭圆交于A,B 两点，将直线方程与椭圆方程联立消元，得到关于
x(或y)的一元二次方程，然后运用两点间距离公式及根与系数的关系，即可求弦长。
弦长问题
特别地，当直线斜率不存在是，则
v -y I
|AB|=|
例2:已知点F 、F 分别是椭圆
直线，求△F AB的面积.
的左、右焦点，过F 作倾斜角为 的
弦长问题
解：∵椭圆 的两个焦点坐标F (-1,0),F (1,0) ∴直线AB的方程为y=x-1, 设 A(x ,y ),B(x ,y )
由 消去y 并化简整理得3x -4x=0 ,x x =0
弦长问题
∵点F 到直线AB 的距离
··
解： ,∴ , 即 ,∴
∴椭圆的方程为x +4y =a , 与方程x+2y+8=0 联立并消去y, 得 2x +16x+64—a =0,
由△>0,得a >32.
设点P(xi,yi),Q(x ,y2), 则x +x =-8,
由弦长公式得|PQl =(1+kpo )·|x —x l =(1+kpo )·[(x +x ) —4x x ],
即 , 解 得a =36.
∴椭圆的方程为x 即
弦长问题
练习：椭圆 的离心 且椭圆与直线x+2y+8=0 相交于P,Q
两点， |POI= √ 10, 则椭圆的方程为
··
事
弦长问题
归纳总结
直线与椭圆有关相交弦的问题
主要思路是联立直线和椭圆的方程，得到一元二次方程，然后借助一元二次方程的有关
知识解决，有时运用弦长公式，解题时应注意以下几点：
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.
(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率 的直线被C 所截线段的中点的坐标.
过点(0,4),离心率之
弦长问题
例3 . 设椭圆C:
解：(1) 将(0,4)代入C 的 方 程 ， , ∴b=4.
由 , 即 , ∴a=5, ∴椭圆C 的方程为
弦长问题
··
设直线与C 的交点为A(x ,y ),B(x ,y ),
将直线AB 的方程 代入C 的方程，
得 即 x —3x—8=0,
则x +x =3,. 2 事
即中点的坐标为
(2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为
弦长问题
0 4中点弦问题
R T 0
在处理与弦的中点有关的问题时，常采用"点差法",即若椭圆方程为
直线l与椭圆交于点A(x ,y ),B(x ,y ), 且AB 的中点为P(x ,y ), 则有
若椭圆方程为 直线与椭圆交于点A(x ,y ),B(x ,y ),
且AB的中点为P(x ,y),则有
中点弦问题
或
或
例4.已知一直线与椭圆4x +9y =36相交于A,B 两点，弦AB 的中点坐标为M1,1), 求直线AB 的方程.
方法一：易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y= k( x—1)+1,
代入椭圆方程，整理得(9k +4)x +18k(1—k)x+9(1—k) —36=0.
设 A,B 的横坐标分别为x ,x ,
则 解得
中点弦问题
即 4x+9y—13=0.
故 AB的方程为
方法二：设A(x1,y1),B(x ,y2),
则
② - ① , 得 4(x —x )(x +xi)+9(y -y )(y +yi)=0.
∵M 为AB 中点，∴x +x =2,y +y =2.
∴4(x —x )+9(y —y )=0.
中点弦问题
由点斜式得AB的方程为
即 4x+9y—13=0.
归纳总结
(1)应用点差法可求出弦所在直线的斜率，点差法又称为“设而不求法”.
(2)中点弦问题通常采用韦达定理或点差法求解.
点差法：设点(设出点坐标)→代入(代入曲线方程)→作差(两式相减).
中点弦问题
中点坐标是M(-4,1), 则椭圆C 的离心率是(C)
A B C
练习：已知椭圆C: 的一条弦所在的直线方程是x—y+5=0,
中点弦问题
弦的
口
又M(—4,1) 是弦的中点，∴x +x =—8,y +y =2,
结合已知直线方程， ,∴ 故选C.
中点弦问题
解：设弦的两个端点坐标分别为(x ,y ),(x ,y2),
两式作差
05与椭圆有关的实际问题—
R T 0
例5.如图， 一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆
绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分。过对称轴的截 口 ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F 上，片 门位另一个焦点F 上，由椭圆一个焦点F 发出的光线，经过 旋转椭圆面反射后集中到另一个椭圆焦点F , 已 知
BC⊥F F ,|F B|=2.8cm,|F F I=4.5cm, 试建立适当的平面直
角坐标系，求截口ABC所在的椭圆方程(精确到0.1cm)
实际应用
解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为
(a>b>0)
在Rt △BF F 中，
IF B|=√IF Bl +|F F I =√2.8 +4.52
有椭圆的性质， |F B|+|F B|=2 a,所 以
b=√a -c ≈3.4
所以所求椭圆方程
实际应用
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，
其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种
标准方程);
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列
方程(组)时常用的关系式有b =a —c 等 .
实际应用
例6动 点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M l
的比是常数 求动点M 的轨迹。
解：如图示，设d是点M 到直线l 的距离.
实际应用
将上式化简，整理得
9x +25y =225, 即
∴点M的轨迹为长轴、短轴分别为10和6的椭圆。
由题意，得 良
的距离
平面内的动点M(x,y)到定点F(c,0) 的距离与它到定直线l 的距
离的比是常 则点M的轨迹是椭圆。
证明：设d是点M 到直线l的距离，则由题意知
设a -c =b , 则方程化为
即点M的轨迹是长轴、短轴长分别为2a、2b的椭圆.
实际应用
化简(a -c )x +a y =a (a -c )。
椭圆的第二定义：
即
对于椭圆 相应于焦点F(c,0) 的准线方程是
相应于焦点F'(-c,0) 的准线方程是
其中，定点F(c,0)是椭圆的焦点；
做椭圆的准线；
常 椭圆的离心率.
实际应用
06课堂小结
P A R T 0
课堂小结
点、直线与椭圆的位置关系
椭圆的几何性质
中点弦问题
实际应用
弦长问题