3.2.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张PPT)—— 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共23张PPT)
第三章圆锥曲线的方程
3.2.1双曲线及其标准方程
1.经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
3.通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想.
双曲线的定义
一般地，平面内与两个定点F,F 的距离的差的绝对值等于非零 常数(小于IFF I) 的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
焦点位置 焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形 y M F 0 F X
y
M F
0 x
F
标准方程 =(a>0,b>0)
=(a>0,b>0)
焦点 F(-c,0),F (c,0)
F(0,-c),F (0,c)
a,b,c的关系 b =c
-a
双曲线的标准方程
… … … … … … … … … … 亦 7
双曲线标准方程的推导过程
双曲线也具有对称性，直线F F 是它的一条对称轴，取经过两焦点F 和F 的直 线为x 轴，线段FF 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.设 M(x,y )是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0), 那么,焦点F,F 的坐 标分别是(-c,0),(c,0),又设IMF I-| MF I=2a(a 为大于0的常数).
由 双 曲线的 定 义 ,双曲线就 是 下 列点的集合 :
P= {M ||M FI -| MF IⅡ=2 a, 0 <2 a因 为 MF I=
√ (x+ ) 十y 2
所 以J (
化 简 ①得(c - a ) x -a y =
两 边 同除以 a (c - a ), 得
由 双 曲线的 定 义 知 ,2c> 2a , 即 C>a , 所 以c - a >0 .
b = c - a ,其 中 b>0 , 代 入上 式 ， 得
令
……mmmch
从上述过程可 以看到，双曲 线上任意一点 的坐标(x,y) 都是方
方程②的解为坐标的点(x,y)与双曲线的两个焦点F(-c ,0),F (c,0)的距离之差
的绝对值都为2a, 即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上.我们称方程②是双
曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x 轴上， 焦点分别
是F(-c,0 ),F ( c,0) 的双曲线，这里 c = a +b .
程②的解；以
■ 口71
1
例 1 已 知双 曲 线的 两 个焦 点 分 别 为F (- 5, 0) , F ( 5,0 ), 双 曲 线 上 一 点 P 与 F
F 的 距离 差 的绝 对 值等 于 6 , 求 双 曲线 的 标 准 方
程
解 因 为双 曲线 的 焦 点在 x 轴 上 ,所 以设 它 的 标 准方 程 为
由 2c =10, 2a = 6, 得 c= 5,
又 a= 3, 因 此 b =5 -3 = 16 .
所 以双曲线 的 标 准方 程为
………3357
ml
例 2 已知A ,B两地 相距 800m , 在A地听到炮弹爆炸 声比在 B地晚2 s, 且 声
34 轨 迹 方程
速 为 0 m /s,求 炮弹 爆 炸点的 .
解 : 如图， 建立 平 面直 角坐标 系 Ox y, 使A ,B 两 点在 x 轴上， 并且 原 点O 与
线 段A B的 中点重 合 .
y P
设 炮 弹爆炸 点P 的 坐标 为(x, y),
则 |P A|-|P B|= 340 ×2 =680 ,即 2a =6 80, a =34
0.
又 IA B|=80 0, 所 以2c =800 ,c =4 00 ,b =c -a = 44 400 .
0 B x
为 PA|- PB =6 80 A
因 >0,
所 以 点P的 轨迹 是 双曲 线的右 支 ,因 此 x≥ 340 .
所以 炮弹爆
炸点的轨迹方程为
二
解 析：由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a =3,b =4,
∴半焦距c= √a +b = √7,∴ 双曲线的焦点坐标为(± √7,0).故选B.
的焦点坐标为( B)
B.(±√7,0) C.(±√5,0)
课堂小练
1.双曲线
A.(±1,0)
1 …1 ………………357
D.(±4,0)
2. “ k> 是 “ 方 程 表 示 双 曲 线 ”的 ( B )
A. 充要 条 件 B .充 分 不 必 要 条 件
C. 必 要 不 充 分 条件 D .既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
解 但 析 当 ：当 k< k 3 6 6 6 -k 0, <0, k -3 > 0, 方 也 程 表 表 示 焦点 曲线， 在y 轴 上 的 双 曲 线 ；
> k - 3< 0, 方 程 示 双 所 以 “ k> 6 ” 是
“ 方程 表 示双 曲 的 充 分 不 必 要 条件. 故 选B .
……………………………5557
时，
-k
>
时，
6”
线 ”
3 .已 知 双 曲线 直 线l 过 其 左 焦点 F , 交 双曲线 左 支 于 A, B 两 且
AB = 4, F 为 双 曲 线的 右焦 点 , △A BF 的 周 长 为2 0, 则 m 的 值 为(
B )
A .8 B .9 .1 C 6 D.2 0
解析 : 由 已 知 ， = 2 0. 又 AB |= 4, 则 A + B F = 6. 根 据双 曲 线 的
定义， 2 , 所 以 4 )= 16 -4 =1 2
即a = 3, 所以 a =9 .故选 B .
…………………………m…7
1-1-7
点，
m=
F
已 知双 曲 线 E: .若 矩 形 AB CD 的 四 个 顶点 在 E 上 ,A
4. B, C D
的 中 点 为E 的 两 个 焦 且 | A B| =3 , B C|= 2 ,则 双 曲 线 E 的标 准 方 程 是( )
B. D .
………………………mc7
点，
解 如 图，由 题 意知 | MN= BC l= 2.设 AB, CD 的 中 点分别 为 M, N ,在 Rt △ BM N
N
中 ， =2c= 2 ,所 以 c=1, 由 双 曲 线
的 定义可 得 ,即 所 以 故 双曲 线 E 的 标
准 方程 为 选D .
. 故
B C
M 0
0
A
………………………………mmcl
析
:
M
5. ( 多 选) 若 F , F 是 双曲 线 的 左 、 右 焦点， P 是 双 曲 线 上的一 点 , 且
则 下 列 说 法中 正确 的 是 A ( B C
A. PF = 8 B. PF = 6
C. △P F F 的面 积是 2 4 D. △ PF F 的 面 积是 4 8
………………………………557
解析 : 由题 意 得 a= 1, b= 2 √ 6, 则 c= .由 ,得 P F= 8,
PF =6 , 故 A, B 正 确 因 为 PF + PF = F F , 所 以△ PF 是 角三
F 直 角 形 ,面 积
PF = 24 , 故 C 正确 , D 错误 . 故选 A BC
.
……………………………mmmmt
cc…mcmmmm
6. 若 双曲 线 的一个 焦 点 到 坐 标原 点 的 距 离 为 3, 则 m 的 值 为
-
7或 2
解 析 : 依 题 意可 知 c =3 , 当双 曲 线的 焦 点 在 x 轴 上 时 ,m > 5, c = m + m- 5= 9,
所 以 m =7 ; 当双 曲 线 的焦 点在 y 轴 上 时 ， m < 0, c = -m + 5- m =9 , 所 以 m =- 2.
综 上 , m =7 或 m =- 2.
1 … 1T
l
双 曲 线 左 焦点 F1 的 直 线交 双 曲 线 的左 支 于 M ,N 两 点 , F 为
7 .过 其 右焦
则 M F + - MNl 的值 为 8
解析 : 由 双曲线 的 方 程 可知a =2 . 因为 M , N 两点 在 双 曲 线的左 支 上 ,
所以 由 双 曲线定 义
所 以
所 以
…1 …5……371
点，
所以所求双曲线的标准方程为
因为a =1,
故焦距为 √ 10.
8. 已知双曲线经过两点A(-7,-6√2),B(√7,-3). 求该双曲线的标准方程及其焦距.
由题意得 解得
解 析 ：设双曲线方程为mx +ny =1(mn<0).
亦 亦 亦 亦 而 不
9.已 知 双 曲 线 C 与椭 圆 有 相 同 的焦 点 , 且 经 过 点( √ 15 ,4
).
( ) 求 双 曲线C 的 方 程
(2 ) 若 F1 ,F 是 双 曲 线 C 的 两个 焦 点 , 点 P 在双 曲 线 C 上 , 且 ∠F PF = 20 °,
求 △F PF 的面 积 .
………………………………………
l
解 析 ：(1)椭圆 的 焦点分别为(0,- 3) ,(0,3),
设双曲线C 的方 程为
则a +b =3 =9. ①
又双曲线C 经过点( √ 15,4),所以
由①②得a =4,b =5 或a =36,b = -27 (舍去),
所以双曲线C 的 方程为
………………………5
(2 ) 由双 曲 C 的 方 程， 知 a =2 ,b = √5 , c= 3.
设 P F = m, F = n, 则 |m - n|= 2a = 4,
两边平 方 得 m -2 mn +n =16 .③
在△F PF 中 ， 由 余 弦定 理 得 (2c ) =m + n -2 mn co s120° =m + n + mn =3 6. ④
由③④ 得
所以△ FP F 的 面 积
……………………………5557
线
P
小结：
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢
1.双曲线的定义
2.双曲线的标准方程