3.2.2 双曲线的简单几何性质 课件(共27张PPT)—— 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1

(共27张PPT)
圆 锥 曲 线
3.2.2双曲线的简单几何性质
教 学
目标
三
理解离心率的大小 易错点 的影 响
能利用双曲线的几何性质求双曲线的标准
方程
了解开掌握双曲线的几何性质：对称性， 范围，顶点，渐近线，离心率
学习目标
难点
重点
定 义 平面内与两个定点F ,F 的距离的差的绝对 值等于非零常数(小于|F F ID的点的轨迹
不 同 点 图 形
标准方程
焦点坐标 F (-c,0),F (c,0)
F (0,-c),F (0,c)
相 同 点 a、b、c的关系 c -a =b
焦点位置的判断 焦点在x轴的双曲线x 项系数为正. 焦点在y轴的双曲线y 项系数为正.
复 习 回 顾
问题1类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线
的哪些几何性质 如何研究这些性质
下面，我们利用双曲线的标准方程
研究双曲线的几何性质.
范围、对称性、顶点、离心率
渐近线
新课导入
探究一：观察双曲线 ,b>0) 的形状，提炼出 它的几何性质
观察双曲线 ,b>0) 的形状，
你能从图上看出它的范围吗 它具有什么样 F
的对称性 双曲线上哪些点比较特殊
新知探究
问题2类比研究椭圆范围的方法，观察图中的双曲线，它有怎样的范围
我们发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a,或x≥a,纵坐标的范围是y∈R
追问可以从代数角度给予说明吗
由方程
这说明双曲线位于直线x=-a 及其左侧和直线x=a 及其右侧的区域.
1.范围
a,y R
从图形上看，双曲线关于x轴、y 轴、原点对称. y
从方程上看： P (-x,y) P(x,y)
(1)把x 换成-x方程不变，图象关于y 轴对称；
(2)把y 换成-y方程不变，图象关于 x 轴对称； -a,0 a x
(3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变， P3(-x,-y) P(x,-y)
图象关于原点成 中心对称。
坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.
问题3类比椭圆的对称性，观察双曲线的图像，双曲线有怎样的对称性
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
2.对称性
它们叫做双曲线的顶点.
Oc 说明它与y轴没有交点，
但我们也把 B (0,-b),B (0,b) 这两点画在y轴上(图3.2-8).
线段A A ,B B 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别等于2a,2b.a和b分
别叫做椭圆的实半轴长和虚半轴长.
问题4类比椭圆求顶点的方法，双曲线有多少个顶 点
在双曲线方程
令y=0, 得x=±a,
说明它与x轴有两个交点，坐标分别为A (-a,0),A (a,0).
3.顶点
问题5双曲线的离心率与椭圆的离心率的范围有什么不同
∵c>a>0 ∴e>1
e的范围：(1,+0)
与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比
率.
4.离心率
称为双曲线的离心
乃 c
4.离心率
追问1 椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率
刻画双曲线的什么几何特征 e=v +8=152
追问2:双曲线的离心率刻画了双曲 线“张 口”大小。可是这是为什么 呢 这个悬念我们先暂时留一下，
待到后面再讲。
发现：
e 越大双曲线的开口就越“开阔”;
e 越小，双曲线的开口就越“扁狭”
V
=1.15x
y=-1.1 5x
—— →x的两条对角线所在直线的方程是
可以发现，双曲线 的两支向外延伸
时，与两条直线 渐接近，但永不相交.
这两条直线有何特征
实际上，经过两点A ,A 作y轴的平行
线x=±3, 经过两点B ,B 作x轴的平行 线y=±2, 四条直线围成一个矩形，矩形
利用信息技术画出双曲线
问题5:观察图像并回答：
y=-3x Ay y=3
B
F A A F
B
5.渐近线
1和两条直
●
追问2;大家想不想知道其中的原因
课磨阅读课本128页的探究相发现
可以发现，点M 的横坐标xw 越来越大，d越来越小，但是d始终不等于0.
测量点M的横坐
观察xm与
追问1 在双曲线x
y = -鲁x
B
5.渐近线
1的右古上取—占M
标xm
d的
y=
y
a=3
一般地，双曲 , b>0)的两支向
外延伸时 ，
曲线的
不相交.
与两条直线 逐渐接近，我们把这两条直线叫做双 渐近线.实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远
追问1如何记忆双曲线的渐近线方程 在双曲线标准方程中，把“1”换成0即可! -b A
y
B
A
追问2渐近线对双曲线的开口有什么影响
Q
a
B
渐近线与实轴的夹角越大，双曲线的开口也就越大 b = b
概念生成
X
这个矩形的对角线，也就 是渐近线，可以比较快捷、较 为准确地画出双曲线的图形。
→X 画双曲线时，我们可以先 画矩形框，然后画出双曲线的 渐近线，最后再画双曲线。
当a=b 时，这个矩形框是正方形，
此时双曲线叫做等轴双曲线。
追问3 渐近线对画出双曲线简图有什么指导意义
y
-
B
A 'F
B
5.渐近线
y=-bx
F A
他们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴
x -y =m(m≠0).
若m>0, 则等轴双曲线的焦点在x轴上；
若m<0, 则等轴双曲线的焦点在y轴上.
个正方形，渐近线方程为y=±x, 所成的角 .
等轴双曲线的方程为
等轴双曲线的离心率e=
√2
此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a. 这时，四条直线x=±a,y=±a 围 成 一
在 双 曲 线 , 如 果a=b, 那么方程变为x -y =a ,
等轴双曲线
y
y=ax
B
O A F2
B
∴当e ∈(1,+0) 时， ,且e增大， 也增大
→e增大时，渐近线与实轴的夹角增大
问题7:离心率对双曲线图形形状的影响
渐近线与离心率
y=-ax.
F A
X
性质 双曲线 图象 范围 对称性 顶点 渐近线
离心率
x≥a 或 x≤-a 关于坐标 轴和原点 都对称 (-a,0) (a,0)
0,b>0) y≥a 或 y≤-a 关于坐标 轴和原点 都对称 (0,-a) (0,a)
新知探究二： ——焦点在y 轴时双曲线的性质
(c =@ +B)
近线方程，并画出双曲线草图.
解：原方程变形为
∴实半轴长为a=4, 虚半轴长为b=3.
c=√a +b =√4 +3 =5
焦点坐标为F (0,-5),F (0,5).
离心率
渐近线方程为
例3求双曲线9y -16x =144 的实半轴与虚半轴长，焦点坐标，离心率及渐
课堂例题
1.求下列双曲线的实轴与虚轴的长，顶点和焦点的坐标，离心率，渐近线方程。
(1)x -8y =32; (2)9x -y =81;(3)x -y =-4;(4) 解：(1)原方程变形为 . ∴a=4√2,b=2,c=√a +b =√32+4=6.
∴实轴长为2a=8√2, 虚轴长为2b=4.
顶点坐标为(±4 √2,0),焦点坐标为(±6,0).
离心率为
渐近线方程为
练习
●
1.求下列双曲线的实轴与虚轴的长，顶点和焦点的坐标，离心率，渐近线方程。
(1)x -8y =32; (2)9x -y =81;(3)x -y =-4;(4) ● 解：(2)原方程变形为 . ∴a=3,b=9,c=√a +b =√9+81=3√ 10.
∴实轴长为2a=6, 虚轴长为2b=18.
顶点坐标为(±3,0),焦点坐标为(±3 √10,0).
离心率为
渐近线方程为y=±3x.
练习
1.求下列双曲线的实轴与虚轴的长，顶点和焦点的坐标，离心率，渐近线方程。
(1)x -8y =32; (2)9x -y =81;(3)x -y =-4;(4) ● 解：(3)原方程变形为 . ∴a=b=2,c=√a +b =√4+4=2√2.
∴实轴长为2a=4, 虚轴长为2b=4.
顶点坐标为(0,±2),焦点坐标为(0,±2 √2).
离心率为
渐近线方程为y=±x.
练习
1.求下列双曲线的实轴与虚轴的长，顶点和焦点的坐标，离心率，渐近线方程。
+b = 25+49=√74
∴实轴长为2a=10, 虚轴长为2b=14.
顶点坐标为(0,±5),焦点坐标为(0,± √74).
离心率为
渐近线方程为
-8y =32; (2)9x -y =81
.
●
a
)
,c
4;
b
y
5

解
(1)x
：(4)原方程变形为 . 、
练习
2.求符合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在x轴上，两顶点间的距离是 88 ;
(2)焦点在x轴上，焦距
解：(1)由题意知，2a=8, , ∴a=4,c=5,b=3.
又双曲线的顶点在x轴上，∴双曲线的焦点也在x轴上.
∴所求双曲线的标准方程为
练习
2.求符合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在x轴上，两顶点间的距离是8 ;
(2)焦点在y轴上，焦距
解：(2)由题意知2c=16, , ∴c=8,a=6,b=2√7.
又双曲线的焦点在y轴上，
∴所求双曲线的标准方程为
练习
3.对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是F (-6,0), 求双曲线的 标准方程和渐近线方程。
解：设双曲线的标准方程为
由题意可知a=b,c=6.
∴a +a =36,a =18.
∴所求双曲线的标准方程为
渐近线方程为y=±x.
练习
4.双曲线的渐近线方程是y=±2x, 虚轴长为4,求双曲线的标准方程。
解：由题意知2b=4,b =2.
若双曲线的焦点在x轴上，则 .a=1.
∴双曲线方程为 ●
若双曲线的焦点在y轴上，则 ∴a=4.
∴双曲线方程为
练习
性质 双曲线 图象 范围 对称性 顶点 渐近线
离心率
>0) x≥a 或 x≤-a 关于坐标 轴和原点 都对称 (-a,0) (a,0)
a>0,b>0) y≥a 或 y≤-a 关于坐标 轴和原点 都对称 (0,-a) (0,a)
总结双曲线的几何性质
c =a +b)
课堂小结