3.1.1 椭圆及其标准方程-课件(共33张PPT)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

(共33张PPT)
3.1.1椭圆及其标准方程
探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套
上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个 圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F ,
F (如图),套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲
线 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活
中具有广泛的应用.那么,椭圆到底有怎样的几何特征 我们该如何利用这些特
征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础
实验引入
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔
尖到两个定点的距离的和等于常数.
新知探索
我们把平面内与两个定点F ,F 的距离的和等于常数(大于|F F |)的点的轨迹
叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两交点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的
一半称为半焦距.
焦点
由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖(动点)画出的轨迹是椭圆.
新知探索
半焦距
焦距
观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两
个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F , F 的直线为x轴，线段F F 的垂直平分线为y轴，建立平面直 角坐标系0xy, 如图所示.
下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆的方程.
思考1:观察椭圆的形状，你认为怎样建立平面直角坐标系可能使所得的椭圆方
程形式简单
新知探索
P={M||MF |+|MF |=2a}.
因为|MF I= √ (x+c) +y2,|MF I= √ (x-c) +y2,
所以 √(x+c) +y + √ (x-c) +y =2a.
设M(x,y) 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F ,F 的
坐标分别为(一，0),(c,0). 根据椭圆的定义，设点M与焦点F ,F 的距离的和等于
2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集
新知探索
①
为了简化方程①,我们将其左边的一个根式移到右边，得
√(x+c) +y =2a-√(x-c) +y2. ②
对方程②两边平方，得(x+c) +y =4a -4a √ (x-c) +y +(x-c) +y .
整理，得a -cx=a√(x-c) +y2. ③
对方程③两边平方，得a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y .
整理，得(a -c )x +a y =a (a -c ). ④
将方程④两边同时除以a (a -c ), ⑤
由椭圆的定义可知，2a>2c>0, 即a>c>0, 所 以(a -c )>0.
新知探索
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程到方程的变形都是同解变形.这样，
椭圆上任意一点(x,y) 的坐标都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为坐标的点
(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0), (一，0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的解为坐标的
点都在椭圆上.我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.它表 示焦点在x轴上，两个焦点分别是F (c,0),F (-c,0) 的椭圆，这里c =a +b .
思考2:观察图，你能从中找出表示a,c,√a -c 的线段吗
由图知， |PF I=|PF I=a,|OF I=|0F I=c,|PO|= √a -c .
令b=|PO|=√a -c2, 那么方程⑤就
新知探索
思考3:如图，如果焦点F ,F 在y轴上，且F ,F 的坐标分别 为(0,一),(0,c),a,b 的意义同上，那么椭圆的方程是什么
容易知道，此时椭圆的方程
程也是椭圆的方程.
我们把 叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在x轴上
两个焦点分别是F (c,0),F (-c,0)的椭圆，这里c =a +b .
新知探索
我们
叫做椭圆的标准方程，
它表示焦点在y轴上，两个焦点分别是F (一，0), F (c,0)的 椭圆，这里c =a +b .
我们
叫做椭圆的标准方程，
它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F (c,0),F (-c,0) 的椭圆，这里c =a +b .
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的轨迹叫做椭圆.()
(2)到两定点F (-2,0) 和F (2,0)的距离之和为3的点的轨迹为椭圆.()
答案：×,×.
辨析2.设P是椭圆 上的任意一点，若F ,F 是椭圆的两个焦点，则
|PF I+|PF | 等于( ).
A.10 B.8 C.5 D.4
答案：A.
新知探索
所以a=√ 10.
所以b =a -c =10-4=6.
所以，所求椭圆的标准方程
准方程.
解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程
例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0),(-2,0),并且经过点 求它的标
例析
例2.如图，在圆x +y =4 上任意取一点P, 过点P作x轴的垂线段 PD,D 为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什
么 为什么 (当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M 与点P重合.)
解：设点M 的坐标为(x,y),点 P的坐标为(x ,yo),则 点D的坐
标为(x ,0).由点M 是线段PD 的中点，得x =xo,
因为点P(x ,yo)在圆x +y =4 上，所以xo +yo =4.①
把x=xo,yo=2y 代入方程①,得x +4y =4,
所以点M 的轨迹是椭圆.
例析
即
。
思考4:由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆.你能通过“拉伸”得到
椭圆吗 如何“拉伸” 由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗
从例2我们可以发现，将圆x +y =4 上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为
原来的 时，利用三角函数中学习的伸缩变换的知识，可以得到x +(2y) =4, 即 ,此为椭圆方程.同理可将圆上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为 原来的2倍，利用伸缩变换可得 得到拉伸后的椭圆 方程.所以椭圆可以由圆经过伸缩变换得到.
新知探索
例3.如图，在A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM
相交于点M, 且它们的斜率之积是 求点M的轨迹方程.
解：设点M 的坐标为(x,y),因为点A的坐标为(-5,0),
所以直线AM的斜率为 .同理，直线BM 的斜率为
由已知，
化简，得点M的轨迹方程
点M 的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的椭圆.
例析
到两点F ,F 的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆
到两点F ,F 的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
的距离之和等于从点(5,3)到F ,F 的距离之和的点的轨迹
D.到点F (-4,0),F (4,0) 距离相等的点的轨迹是椭圆
答案：D.
A.已知F (-4,0),F (4,0),
B.已知F (-4,0),F (4,0), C.到点F (-4,0),F (4,0) 是椭圆
题型一：椭圆的定义及应用
例1.(1)下列说法正确的的是().
题型一：椭圆的定义及应用_
例1.(2)若椭 上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离
为
答案：5.
解：由椭圆方 知a=5, 设椭圆的两个焦点分别为F ,F ,
令|PF I=5, 由椭圆的定义知|PF I+|PF I=2a=10,
所以|PF I=10-5=5.
练习
椭圆定义的双向应用
1.判断：符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的
点的轨迹为椭圆.
2.求值：椭圆上的点一定满足定义中的条件，即到两定点的距离之和为2.
练习
方法技巧：
解：如图，∵|AF I+|AF I=2a,|BF I+|BF |=2a,
∴C△ABF =|AB|+|BF I+|AF I
=|AF I+|BF |+|AF |+|BF |=4a.
,F ,F 是它的焦点.过F 的直线与椭圆交于A,
变1.已知椭
B两点，求△ABF 的周长.
练习
题型二： _定义法求椭圆标准方程__
例2.已知圆A:(x+3) +y =100, 圆A内一定点B(3,0), 圆
过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.
解：设圆P的半径为r,∵ 圆P过点B,∴|PB|=r.
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10,
∴两圆的圆心距|PA|=10-r, 即 |PA|+|PB|=10 (大于 A|B|)
∴点P的轨迹是以A,B 为焦点的椭圆.
∴2a=10,2c=|AB|=6,∴a=5,c=3.∴b =a -c =16.
即点的轨迹方程
练习
题型二： _定义法求椭圆标准方程
例2.已知圆A:(x+3) +y =100, 圆A内一定点B(3,0),圆
过B且与圆A内切，求圆心的轨迹方程。
∴2a=10,2c=|AB|=6,∴a=5,c=3.∴b =a -c =16.
即点的轨迹方程
练习
练习
方法技巧：
定义法求椭圆的标准方程
1.先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和
是否是一常数，且该常数(定值)大于两定点间的距离.
2.若符合，则动点的轨迹为椭圆，且两定点间的距离为焦距2,动点到两定点的距
离之和为2a, 从而可以确定椭圆的方程.
变2.如图，已知圆(x+1) +y =16 及点A(1,0),Q 为圆上一点. AQ 的垂直平分线交CQ 于M, 求 点M 的轨迹方程.
解：由垂直平分线性质可知MQI=|MA|,
∴|CM|+|MA|=|CM|+|MQ|=|CQ|.
∴|CM|+|MA|=4.
又∵|AC|=2, 所 以M点轨迹为椭圆。
由椭圆定义知a=2,c=1,∴b =a -c =3.
∴所求轨迹方程
练习
题型三：待定系数法求椭圆标准方程
例3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0);
解(1).由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程
∴a=5,c=4,∴b =a -c2=25-16=9.
故所求椭圆的标准方程
解(2).由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程
∴a=2,b=1,
故所求椭圆的标准方程
练习
例3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(3)经过点A(√3,-2) 和点B(-2√3,1).
解(3):法一(分类讨论法)
①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程
依题意有 解
故所求椭圆的标准方程
练习
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程
依题意 解
∵a>b>0,∴ 无 解 .
例3.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (3)经过点A(√3,-2) 和点B(-2√3,1).
解(3):法一(分类讨论法)
练习
设所求椭圆的方程为mx +ny =1((m≠n,m>0,n>0).
依题意 解
故所求椭圆的标准方程
例3.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (3)经过点A(√3,-2) 和点B(-2√3,1).
解(3):法二(待定系数法)
练习
方法技巧：
1.利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤：
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a,b,c 的等量关系；(4)求出a,b 的
值，代入所设方程.
2. 当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx +ny =1(m≠ n,m>0,n>0).
因为它包括焦点在x 轴上(mn) 两类情况，所以可以避免
分类讨论，从而简化了运算.
变3.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2,- √2),
解(1):(待定系数法)
设所求椭圆的方程为mx +ny =1((m≠n,
依题意有
故所求椭圆的标准方程
练习
m> 0 ,n>0).
解
变3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(2)过点( √3,- √5),且与椭 有相同的焦点.
解：∵所求椭圆与椭 有相同的焦点，
∴其焦点在y轴上，且c =25-9=16. 设它的标准方程
∵c =16, 且c =a -b , 故a -b =16.①
又∵点( √3,- √5)在椭圆上， , 即 .②
由①②得b =4,a =20,
所以所求椭圆的标准方程
练习
··
1.椭圆的定义：把平面内与两个定点F ,F 的距离的和等于常数(大于|F F I) 的 点
的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两交点间的距离叫做椭圆的焦距，
焦距的一半称为半焦距.
课堂小结
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 +能=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
图形
焦点 (一，0),(c,0) (0,-c),(0,c)
a,b,c 的 关 系 c =a -b
课堂小结
2.椭圆的标准方程：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P109的练习1——4题；
(3)课本P115习题3.1第3、2题。
作业