7.1.2 复数的几何意义 教学设计

7.1.2　复数的几何意义
教学目标　
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关
系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
教学重难点　
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关
系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
导语　
18世纪，瑞士人阿甘达(J.Argand,1768－1822)给出复数的一个几何解释，他注意到负数是正数的一个扩充，它是将方向和大小结合起来得出的，他的思路是：能否利用新增添某种新的概念来扩充实数系．在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效．他不仅将a＋bi表示为复平面上的一点(a，b)，而且阐述了复数的几何加法和乘法．他说几何表示可以使人们对复数真正有一个新的看法．同学们，你们想知道复数的几何意义是什么吗？
教学过程　
一、复数与复平面内点的关系
问题1　有序实数对是和坐标平面上的点一一对应的，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？
提示　复数a＋bi(a，b∈R)实质上是实数的有序数对(a，b)，复数可以和坐标平面上的点一一对应．
知识梳理　
1．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义．
例1　在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在y＝x的图象上，分别求实数m的取值范围．
解　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.
(1)由题意得m2－2m－8＝0.
解得m＝－2或m＝4.
(2)由题意，得∴2(3)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.
反思感悟　利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
跟踪训练1　求实数m分别取何值时，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面内的x轴上方；
(2)在实轴负半轴上．
解　(1)∵点Z在x轴上方，
∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2.
(2)若复数z对应的点在实轴负半轴上，
则解得m＝1.
二、复数与复平面内向量的关系
问题2　能用平面向量表示复数吗？
提示　在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数．
知识梳理　
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定．
例2　在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．
解　记O为复平面的原点，
由题意得＝(2,3)，＝(3,2)，＝(－2，－3)．
设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5)．
由题意知，＝，
所以即
故点D对应的复数为－3－2i.
反思感悟　复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
跟踪训练2　(1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　)
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
答案　C
解析　由复数的几何意义，可得
＝(5，－4)，＝(－5,4)，
所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，
所以＋对应的复数为0.
(2)已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　)
A．－5＋5i B．5－5i
C．5＋5i D．－5－5i
答案　B
解析　向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．
由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(5，－5)，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.
三、复数的模
知识梳理　
1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
2．记法：复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|.
3．公式：|z|＝|a＋bi|＝.
例3　(1)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得
∴z＝－15＋8i.
(2)设z∈C，且满足下列条件，求在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？
①|z|<3；②|z|＝2.
解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝.
①由题意知<3，x2＋y2<9.
所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界．
②|z|＝＝2，x2＋y2＝4.
所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点O为圆心，2为半径的圆．
反思感悟　复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．
跟踪训练3　已知0A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,10)
答案　A
解析　0则|z|＝∈(1，)．
四、共轭复数
知识梳理　
1．定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi.
例4　复数z＝3－4i的共轭复数对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　z＝3－4i的共轭复数为＝3＋4i，可知其对应的点在第一象限．
反思感悟　互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上．
跟踪训练4　(多选)下列说法正确的是(　　)
A．复数和其共轭复数都是成对出现的
B．实数不存在共轭复数
C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称
D．复数和其共轭复数的模相等
答案　AD
解析　由共轭复数的相关知识可知，AD正确．
1．知识清单：
(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系．
(2)复数的模及几何意义．
(3)共轭复数．
2．方法归纳：待定系数法、数形结合．
3．常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小．
1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　z＝－1－2i对应的点Z(－1，－2)位于第三象限．
2．已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,2) B．(－2,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)
答案　B
解析　∵z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，
∴m－1<0，m＋2>0，解得－2则实数m的取值范围是(－2,1)．
3．向量a＝(3,4)，设向量a对应的复数为z，则z的共轭复数＝________，||＝________.
答案　3－4i　5
4．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________．
答案　2＋4i
解析　因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，
所以A(6,5)，B(－2,3)，
又C为线段AB的中点，
所以C(2,4)，所以点C对应的复数是2＋4i.
课时对点练
1．已知复数z1＝2＋i，z2＝－i，则等于(　　)
A. B. C. D．5
答案　C
解析　依题意得，|z1|＝＝，|z2|＝＝1，所以＝.
2．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)
A．－2－i B．2＋i C．1－2i D．－1＋2i
答案　C
解析　由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(1，－2)，故向量对应的复数为1－2i.
3．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，
则得即a＝－1，
则复数a－ai＝－1＋i对应的点为(－1,1)，位于第二象限．
4．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　)
A．－1＋i B．1＋i
C．－1＋i或1＋i D．－2＋i
答案　A
解析　因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1，
故a＝－1，所以z＝－1＋i.
5．(多选)已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值可以为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　AC
解析　依题意可得＝2，
解得m＝1或m＝3.
6．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z的集合是什么图形？(　　)
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
答案　A
解析　∵|z|2－2|z|－3＝0，
∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，
∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的一个圆．故选A.
7．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i(a，b∈R)互为共轭复数，则a＝________，b＝________.
答案　2　4
解析　因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4.
8．若复数z对应的点在y＝2x的图象上，且|z|＝，则复数z＝________________.
答案　1＋2i或－1－2i
解析　依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，
由|z|＝，得＝，
解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
9．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．
解　(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，
则点B的坐标为(x1，y1)，
由题意可知，点A的坐标为(2,1)．
根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1，
故z1＝2－i.
(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，
则点C的坐标为(x2，y2)，
由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1，
故z2＝－2－i.
10．设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤，判断复数w＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积．
解　|w|＝＝＝|z|，而1≤|z|≤，故≤|w|≤2.所以w对应点的集合是以原点为圆心，半径为和2的圆所夹圆环内点的集合(包括圆环的边界)，其面积为S＝π[22－()2]＝2π.
11．(多选)已知z1，z2是复数，则以下结论正确的是(　　)
A．若z1＋z2＝0，则z1＝0，且z2＝0
B．若|z1|＋|z2|＝0，则z1＝0，且z2＝0
C．若|z1|＝|z2|，则向量和重合
D．若|z1－z2|＝0，则1＝2
答案　BD
解析　A中，z1＋z2＝0只能说明z1＝－z2；B中，|z1|＋|z2|＝0，说明|z1|＝|z2|＝0，即z1＝z2＝0；C中，|z1|＝|z2|，说明||＝||，但与方向不一定相同；D中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2.故正确的为B，D选项．
12．在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数是(　　)
A．2 B．－2i C.－3i D．3＋i
答案　B
解析　复数对应的点为(3，－)，对应的向量按顺时针方向旋转，则对应的点为(0，－2)，所得向量对应的复数为－2i.
13．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，即A>－B，sin A>cos B，所以cos B－tan A＝cos B－0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限，故选B.
14．若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
答案　5
解析　由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.
15．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设对应的复数是z.若复数z对应的点P在y＝x的图象上，则θ＝________________.
答案　或
解析　因为点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，
所以点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)，
所以＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
所以对应的复数是z＝－1＋(－2sin2θ)i.
所以点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，
得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，所以sin θ＝±.
又因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝，所以θ＝或.
16．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i.
(1)当x为何值时，复数z的模最小？
(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值．
解　(1)由题意得|z|＝＝≥2，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2.
(2)由(1)知当x＝0时，复数z的模最小，则Z(－2,2)．
因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.
又mn＞0，
所以＋＝＝＋＋≥＋.当且仅当＝，即n2＝2m2时等号成立．
又2m＋n＝2且mn＞0，所以取等号时m＝2－，n＝2－2.