湖北省武汉部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2024高二下·武汉期中）下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·武汉期中）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2024高二下·武汉期中）已知函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·武汉期中）1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ）
A．240 B．480 C．384 D．1440
5．（2024高二下·武汉期中）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线l：距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2024高二下·武汉期中）三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ）
A．350 B．140 C．560 D．280
7．（2024高二下·武汉期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·武汉期中）若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·武汉期中）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共7项 B．x项系数为－280
C．所有项的系数之和为1 D．所有项的二项式系数之和为128
10．（2024高二下·武汉期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）
A．四名同学的报名情况共有43种
B．“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种
C．“四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D．
11．（2024高二下·武汉期中）已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．函数的极小值为
B．函数在点（1，0）处的切线方程为
C．
D．若曲线与曲线无交点，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·武汉期中）已知，则 ．
13．（2024高二下·武汉期中）已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数k等于 ．
14．（2024高二下·武汉期中）已知当时，不等式恒成立，则正实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·武汉期中）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值．
16．（2024高二下·武汉期中）在6名内科医生和4名外科医生中，包含内科主任和外科主任各1名，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？
（1）有3名内科医生和2名外科医生；
（2）既有内科医生，又有外科医生；
（3）至少有1名主任参加；
（4）既有主任，又有外科医生．
17．（2024高二下·武汉期中）某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动．
（1）求选到的学生是艺术生的概率；
（2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大．
18．（2024高二下·武汉期中）某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为万元，可获得的加工费为万元，其中．
（1）若，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额单位：万元应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为万元时共需要的生产成本为万元，已知该企业加工生产能力为其中为产品订单的金额，试问在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．
19．（2024高二下·武汉期中）设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若有两个零点，，
①求a的取值范围；
②证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A：常数的导数为0，所以，故错误，
对于B：因为，故正确，
对于C：利用复合函数求导法则，则，故错误，
对于D：因为，故错误.
故答案为：B.
【分析】根据求导公式逐项求导验证即可
2．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式
【解析】【解答】解：据题意，已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，
此时展开式共有7项时，满足仅有第四项最大，
此时n=7-1=6.
故答案为：A
【分析】由最大项只有第四项，即可直接求出n的值.
3．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意，，
对上式求导得：，
当，代入上式得：
，
解得：，
所以，
此时.
故答案为：A.
【分析】根据题意，对等式两边求导，再令，求出，从而求得的值.
4．【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，
所以得利用“插空法”：
第一步：先将鲍鱼浓汁四宝、蟹粉狮子头、清炒翡翠虾仁和全家福依次而上有种排列方式；
第二步：上面的四个菜形成个空位，此时选出个空位将东坡肉方和鸡汁煮干丝分别插入进去，共有种排列方式；
利用分步乘法乘法原理公式得：，所以共有480种上菜顺序.
故答案为：.
【分析】利用插空法结合计数原理即可求解.
5．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由题意，要求点P到直线l：距离的最小值，
只需要保证过点的曲线斜线与直线l平行即可，
此时问题转换成求两条直线的距离问题：
下求过点作曲线的切线且与直线l平行的直线方程：
首先假设设切点为，
求导得：，
此时切线斜率为，
因为切线与直线l平行，
所以，
解得或（舍），
，
此时点到直线距离.
故答案为：D
【分析】先分析出当切线与直线平行时，点到直线距离最小，设出切点，求导后利用斜率得到切点坐标，求出答案.
6．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，并且规定打下面的球才能打上面的球，有顺序；
因此是定序问题：
利用定序公式：则这些气球都打破的不同打法数为：
.
【分析】排列组合问题，主要是定序问题的应用.
7．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意，，
而对求通项得：
，
所以，
，
根据对称性知：.
故答案为：C.
【分析】计算，根据对称性得到答案.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意，曲线与曲线有公切线，
先假设公切线与函数切于点，
因为，
求导有，
此时，公切线的斜率为，
利用点斜式方程得：
，
所以公切线方程为；
同理，
假设公切线与函数切于点，
因为，
求导有：，
所以公切线的斜率为，
利用点斜式方程得：
，
所以公切线方程为；
因为公切线方程相同，即斜率相同且截距相同，
则，
化简消得：
，
由，得，
下求的单调性及最值；
对进行求导得：
恒成立，
则在上递减，
所以，
则恒成立，
所以实数的取值范围是，
故答案为：A.
【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果.
9．【答案】B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：
对于A：因为，所以展开式共有8项，所以A错误；
对于B：展开式的项为，所以B正确；
对于C：令，则，即所有项的系数之和为-1；所以C错误；
对于D：所有项的二项式系数和为，所以D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据的展开式有项，判断A的真假；令可得展开式中所有项的系数和，判断B的真假；计算的系数，判断C的真假；利用所有项的二项式系数和为判断D的真假.
10．【答案】B,C,D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A：根据题意，对于甲、乙、丙、丁四名同学每个同学都有3种选择，
所以四名同学的报名情况共有种，所以A错误；
对于B：第一步：先将四名志愿者分为2，1，1三组，此时有种情况，
第二步：将这三组分到三个活动中，进行全排列共有种，
利用分步乘法计数原理得到种，
所以“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，所以B正确；
对于C：“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确；
对于D：利用条件概率公式进行计算，由于，并且，
所以，所以D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据分步乘法计数原理可判断A；将四名志愿者先分组，再分到三个活动可判断B；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项可判断C；由条件概率可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意，，；
求导得：，
令，
即1-lnx=0，则，
则在时，有，
所以为单调递增函数；
在时，有，
所以为单调递减函数；
所以的极大值为，无极小值，故A错误；
对于B：由，
则点（1，0）处的切线斜率为，
而切点为（1，0），
所以切线方程为：，
所以，所以B正确；
对于C：因为在上单调递减，
所以，
化简得：，
即，
所以，所以C正确；
对于D：两曲线无交点等价于方程无解，
显然，即无解，
即无解，
因此比函数的最大值还大，
即，故，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用导数讨论的单调性判断A；由导数的意义得到切线的斜率，再由点斜式求出切线方程可判断B；利用的单调性判断C；将问题转化为无解，从而可判断D.
12．【答案】2或6
【知识点】组合及组合数公式；组合数公式的推导
【解析】【解答】解：因为，
所以，
解得，
又或，
解得或.
故答案为：2或6
【分析】根据组合数性质进行求解即可.
13．【答案】e
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：据题意，恰好有两个零点
分离参数得：，
问题转化成了求函数与函数的图象有两个交点，
下求的函数图象；
（1）当时，此时，
求导得：，
则当时，，
所以函数在上为增函数，
当时，，
则函数在上为减函数；
（2）当时，此时，
利用单调性的性质判断得：
则在上为减函数；
结合（1）（2）画出函数图象：
且当x=1时，h(x)=e；
有图像可得，当恰有两个交点时，
故答案为：.
【分析】函数恰好有两个零点等价于方程有两个根，即函数与函数的图象有两个交点，作函数图象，观察图像可得实数.
14．【答案】
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意，，
则，
变形得：，
设，上式转换成，
此时判断的单调性；
求导得，
所以当时，，
则函数在上单调递减；
当，，
函数在上单调递增；
所以，时，函数单调递增，
又，
所以恒成立，
则恒成立，
分离参数得：恒成立，；
下求的最大值，
转换成求的最小值，，
则恒成立，
所以在单调递增，
则，
所以取倒数则，
所以的最大值为，
所以.
故答案为：.
【分析】同构变形得，设，根据导数得到其单调性则，再分离参数得，设，利用导数求出最值即可.
15．【答案】（1）解：函数的定义域为R．
导函数．
所以，
，
所以函数在点处的切线方程为，
即；
（2）解：令，解得：或．列表得：
x 1 （1，3） 3
＋ 0 － 0 ＋
单调增 极大值2 单调减 极小值－2 单调增
所以函数的单调增区间为，；
单调减区间为（1，3）；
的极大值为，
极小值为
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，先求出f(x)在x=2处斜率，进而求出切点坐标，利用点斜式方程求出切线方程；
（2）求导，利用导数的正负值判断函数单调性，进而求出函数的极值.
16．【答案】（1）先选3名内科医生共有种选法，
再选2名外科医生共有种选法，
故选派方法共有种
（2）既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：
内科医生去1，2，3，4人，
得选派方法为：
（3）分两类：一是选1名主任有种方法；二是选2名主任有种方法，
故至少有1名主任参加的选派方法共种
（4）若选外科主任，则其余可任意选，共有种选法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有种选法，故既有主任，又有外科医生的选派种数为
【知识点】基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用分步乘法计数原理，先选3名内科医生，再选2名外科医生进行求解；
（2）利用分类加法计数原理：分内科医生去1，2，3，4人进行求解即可；
（3）至少一名，可以是分类成1名或2名主任参加，分类讨论即可；
（4）利用间接法求解.
17．【答案】（1）解：设B＝“任选一名学生恰好是艺术生”，“所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”，“所选学生来自丙班”．由题可知：
，，，
，，元
（2）解：；
所以其来自丙班的可能性最高．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率乘法公式；贝叶斯公式
【解析】【分析】（1）利用条件概率公式与贝叶斯公式求解得到答案；
（2）利用条件概率公式与贝叶斯公式求解即可.
18．【答案】（1）解：设加工费用为，则，
，
若企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长，则，
，
，
，
即该企业加工产品订单的金额单位：万元应在范围内；
（2）解：令，该企业加工生产将不会出现亏损，即，
，
，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，且，
在上恒成立，故，
，
，
所以当时，该企业加工生产将不会出现亏损．
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)设加工费用为，则，求出导数，若企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长，求出取值范围.
(2)令，根据题意该企业加工生产将不会出现亏损，求出，令，则，令，则，在上单调递减，求出即可.
19．【答案】（1）解：由，，可得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
所以在单调递减，在单调递增；
（2）解：①因为函数有两个零点，由（1）得，
此时的递增区间为，递减区间为，有极小值
当，，当，在上有一个零点，
当，，当，在上有一个零点，
所以由可得
②证明：由（1）可得的极小值点为，则不妨设．
设，，
可得，，
所以在上单调递增，所以，
即，则，，
所以当时，，且．
因为当时，单调递增，所以，即
设，，则，则，即．
所以，．
设，则，所以在上单调递减，
所以，所以，即．
综上，
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）对函数进行求导，分类讨论a的取值范围确定导函数的正负值，即可求出函数的单调区间；
（2） ① 利用(1)中的结论即可得到a的范围； ② 根据（1）的结论，得到a的范围，构造函数，利用导数研究其单调性，得到，换元，可得到，利用函数单调性证明结论即可.
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一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2024高二下·武汉期中）下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A：常数的导数为0，所以，故错误，
对于B：因为，故正确，
对于C：利用复合函数求导法则，则，故错误，
对于D：因为，故错误.
故答案为：B.
【分析】根据求导公式逐项求导验证即可
2．（2024高二下·武汉期中）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式
【解析】【解答】解：据题意，已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，
此时展开式共有7项时，满足仅有第四项最大，
此时n=7-1=6.
故答案为：A
【分析】由最大项只有第四项，即可直接求出n的值.
3．（2024高二下·武汉期中）已知函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意，，
对上式求导得：，
当，代入上式得：
，
解得：，
所以，
此时.
故答案为：A.
【分析】根据题意，对等式两边求导，再令，求出，从而求得的值.
4．（2024高二下·武汉期中）1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ）
A．240 B．480 C．384 D．1440
【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，
所以得利用“插空法”：
第一步：先将鲍鱼浓汁四宝、蟹粉狮子头、清炒翡翠虾仁和全家福依次而上有种排列方式；
第二步：上面的四个菜形成个空位，此时选出个空位将东坡肉方和鸡汁煮干丝分别插入进去，共有种排列方式；
利用分步乘法乘法原理公式得：，所以共有480种上菜顺序.
故答案为：.
【分析】利用插空法结合计数原理即可求解.
5．（2024高二下·武汉期中）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线l：距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由题意，要求点P到直线l：距离的最小值，
只需要保证过点的曲线斜线与直线l平行即可，
此时问题转换成求两条直线的距离问题：
下求过点作曲线的切线且与直线l平行的直线方程：
首先假设设切点为，
求导得：，
此时切线斜率为，
因为切线与直线l平行，
所以，
解得或（舍），
，
此时点到直线距离.
故答案为：D
【分析】先分析出当切线与直线平行时，点到直线距离最小，设出切点，求导后利用斜率得到切点坐标，求出答案.
6．（2024高二下·武汉期中）三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ）
A．350 B．140 C．560 D．280
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，并且规定打下面的球才能打上面的球，有顺序；
因此是定序问题：
利用定序公式：则这些气球都打破的不同打法数为：
.
【分析】排列组合问题，主要是定序问题的应用.
7．（2024高二下·武汉期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意，，
而对求通项得：
，
所以，
，
根据对称性知：.
故答案为：C.
【分析】计算，根据对称性得到答案.
8．（2024高二下·武汉期中）若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意，曲线与曲线有公切线，
先假设公切线与函数切于点，
因为，
求导有，
此时，公切线的斜率为，
利用点斜式方程得：
，
所以公切线方程为；
同理，
假设公切线与函数切于点，
因为，
求导有：，
所以公切线的斜率为，
利用点斜式方程得：
，
所以公切线方程为；
因为公切线方程相同，即斜率相同且截距相同，
则，
化简消得：
，
由，得，
下求的单调性及最值；
对进行求导得：
恒成立，
则在上递减，
所以，
则恒成立，
所以实数的取值范围是，
故答案为：A.
【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·武汉期中）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共7项 B．x项系数为－280
C．所有项的系数之和为1 D．所有项的二项式系数之和为128
【答案】B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：
对于A：因为，所以展开式共有8项，所以A错误；
对于B：展开式的项为，所以B正确；
对于C：令，则，即所有项的系数之和为-1；所以C错误；
对于D：所有项的二项式系数和为，所以D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据的展开式有项，判断A的真假；令可得展开式中所有项的系数和，判断B的真假；计算的系数，判断C的真假；利用所有项的二项式系数和为判断D的真假.
10．（2024高二下·武汉期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）
A．四名同学的报名情况共有43种
B．“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种
C．“四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D．
【答案】B,C,D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A：根据题意，对于甲、乙、丙、丁四名同学每个同学都有3种选择，
所以四名同学的报名情况共有种，所以A错误；
对于B：第一步：先将四名志愿者分为2，1，1三组，此时有种情况，
第二步：将这三组分到三个活动中，进行全排列共有种，
利用分步乘法计数原理得到种，
所以“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，所以B正确；
对于C：“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确；
对于D：利用条件概率公式进行计算，由于，并且，
所以，所以D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据分步乘法计数原理可判断A；将四名志愿者先分组，再分到三个活动可判断B；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项可判断C；由条件概率可判断D.
11．（2024高二下·武汉期中）已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．函数的极小值为
B．函数在点（1，0）处的切线方程为
C．
D．若曲线与曲线无交点，则的取值范围是
【答案】B,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意，，；
求导得：，
令，
即1-lnx=0，则，
则在时，有，
所以为单调递增函数；
在时，有，
所以为单调递减函数；
所以的极大值为，无极小值，故A错误；
对于B：由，
则点（1，0）处的切线斜率为，
而切点为（1，0），
所以切线方程为：，
所以，所以B正确；
对于C：因为在上单调递减，
所以，
化简得：，
即，
所以，所以C正确；
对于D：两曲线无交点等价于方程无解，
显然，即无解，
即无解，
因此比函数的最大值还大，
即，故，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用导数讨论的单调性判断A；由导数的意义得到切线的斜率，再由点斜式求出切线方程可判断B；利用的单调性判断C；将问题转化为无解，从而可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·武汉期中）已知，则 ．
【答案】2或6
【知识点】组合及组合数公式；组合数公式的推导
【解析】【解答】解：因为，
所以，
解得，
又或，
解得或.
故答案为：2或6
【分析】根据组合数性质进行求解即可.
13．（2024高二下·武汉期中）已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数k等于 ．
【答案】e
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：据题意，恰好有两个零点
分离参数得：，
问题转化成了求函数与函数的图象有两个交点，
下求的函数图象；
（1）当时，此时，
求导得：，
则当时，，
所以函数在上为增函数，
当时，，
则函数在上为减函数；
（2）当时，此时，
利用单调性的性质判断得：
则在上为减函数；
结合（1）（2）画出函数图象：
且当x=1时，h(x)=e；
有图像可得，当恰有两个交点时，
故答案为：.
【分析】函数恰好有两个零点等价于方程有两个根，即函数与函数的图象有两个交点，作函数图象，观察图像可得实数.
14．（2024高二下·武汉期中）已知当时，不等式恒成立，则正实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意，，
则，
变形得：，
设，上式转换成，
此时判断的单调性；
求导得，
所以当时，，
则函数在上单调递减；
当，，
函数在上单调递增；
所以，时，函数单调递增，
又，
所以恒成立，
则恒成立，
分离参数得：恒成立，；
下求的最大值，
转换成求的最小值，，
则恒成立，
所以在单调递增，
则，
所以取倒数则，
所以的最大值为，
所以.
故答案为：.
【分析】同构变形得，设，根据导数得到其单调性则，再分离参数得，设，利用导数求出最值即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·武汉期中）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值．
【答案】（1）解：函数的定义域为R．
导函数．
所以，
，
所以函数在点处的切线方程为，
即；
（2）解：令，解得：或．列表得：
x 1 （1，3） 3
＋ 0 － 0 ＋
单调增 极大值2 单调减 极小值－2 单调增
所以函数的单调增区间为，；
单调减区间为（1，3）；
的极大值为，
极小值为
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，先求出f(x)在x=2处斜率，进而求出切点坐标，利用点斜式方程求出切线方程；
（2）求导，利用导数的正负值判断函数单调性，进而求出函数的极值.
16．（2024高二下·武汉期中）在6名内科医生和4名外科医生中，包含内科主任和外科主任各1名，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？
（1）有3名内科医生和2名外科医生；
（2）既有内科医生，又有外科医生；
（3）至少有1名主任参加；
（4）既有主任，又有外科医生．
【答案】（1）先选3名内科医生共有种选法，
再选2名外科医生共有种选法，
故选派方法共有种
（2）既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：
内科医生去1，2，3，4人，
得选派方法为：
（3）分两类：一是选1名主任有种方法；二是选2名主任有种方法，
故至少有1名主任参加的选派方法共种
（4）若选外科主任，则其余可任意选，共有种选法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有种选法，故既有主任，又有外科医生的选派种数为
【知识点】基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用分步乘法计数原理，先选3名内科医生，再选2名外科医生进行求解；
（2）利用分类加法计数原理：分内科医生去1，2，3，4人进行求解即可；
（3）至少一名，可以是分类成1名或2名主任参加，分类讨论即可；
（4）利用间接法求解.
17．（2024高二下·武汉期中）某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动．
（1）求选到的学生是艺术生的概率；
（2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大．
【答案】（1）解：设B＝“任选一名学生恰好是艺术生”，“所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”，“所选学生来自丙班”．由题可知：
，，，
，，元
（2）解：；
所以其来自丙班的可能性最高．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率乘法公式；贝叶斯公式
【解析】【分析】（1）利用条件概率公式与贝叶斯公式求解得到答案；
（2）利用条件概率公式与贝叶斯公式求解即可.
18．（2024高二下·武汉期中）某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为万元，可获得的加工费为万元，其中．
（1）若，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额单位：万元应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为万元时共需要的生产成本为万元，已知该企业加工生产能力为其中为产品订单的金额，试问在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．
【答案】（1）解：设加工费用为，则，
，
若企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长，则，
，
，
，
即该企业加工产品订单的金额单位：万元应在范围内；
（2）解：令，该企业加工生产将不会出现亏损，即，
，
，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，且，
在上恒成立，故，
，
，
所以当时，该企业加工生产将不会出现亏损．
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)设加工费用为，则，求出导数，若企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长，求出取值范围.
(2)令，根据题意该企业加工生产将不会出现亏损，求出，令，则，令，则，在上单调递减，求出即可.
19．（2024高二下·武汉期中）设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若有两个零点，，
①求a的取值范围；
②证明：．
【答案】（1）解：由，，可得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
所以在单调递减，在单调递增；
（2）解：①因为函数有两个零点，由（1）得，
此时的递增区间为，递减区间为，有极小值
当，，当，在上有一个零点，
当，，当，在上有一个零点，
所以由可得
②证明：由（1）可得的极小值点为，则不妨设．
设，，
可得，，
所以在上单调递增，所以，
即，则，，
所以当时，，且．
因为当时，单调递增，所以，即
设，，则，则，即．
所以，．
设，则，所以在上单调递减，
所以，所以，即．
综上，
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）对函数进行求导，分类讨论a的取值范围确定导函数的正负值，即可求出函数的单调区间；
（2） ① 利用(1)中的结论即可得到a的范围； ② 根据（1）的结论，得到a的范围，构造函数，利用导数研究其单调性，得到，换元，可得到，利用函数单调性证明结论即可.
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