贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期数学期中质量监测试题
1．（2024高二下·六盘水期中）某篮球兴趣小组有7名学生参加投篮比赛，每人投10次，投中的次数分别为8，5，7，5，8，6，8.则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：据题意， 投中的次数分别为8，5，7，5，8，6，8 ，
将这组数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，
发现，数据的众数为8，中位数为7．
故答案为：D．
【分析】先将数据从小到大排列，结合数据的中位数、众数的概念，即可求解出结果.
2．（2024高二下·六盘水期中）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：依题意，由，
则，
又因为
.
故答案为：A.
【分析】先用列举法求出集合m，进而利用集合的交集运算即可得到结果.
3．（2024高二下·六盘水期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线交椭圆于A，B两点，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由于，
由于过且不与坐标轴重合的直线交椭圆于A，B两点，
根据椭圆定义，
所以的周长为.
故答案为：C.
【分析】根据椭圆的的定义即可得到答案.
4．（2024高二下·六盘水期中）设为等差数列的前项和，若，公差，，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为是等差数列，且，公差
由
代入等差数列前n项和公式得：
，
即，
解得，
故答案为：D．
【分析】利用等差数列的求和公式即可得到答案
5．（2024高二下·六盘水期中）已知，，，则（ ）
A．6 B．7 C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，两边平方得：
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用向量减法运算表示，利用向量的模长公式平方即可得到答案.
6．（2024高二下·六盘水期中）已知函数，是最小正周期为的奇函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；余弦函数的性质；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由函数，的最小正周期为
所以，
则
又f(x)为奇函数，所以，
所以，
所以；
；
故答案为：B.
【分析】先根据题意求出f(x)的解析式，对化简即可得到答案.
7．（2024高二下·六盘水期中）现有参加中国——东盟妥乐峰会志愿者的报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有8名男生和2名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生的报名表各一份的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，
B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”
由全概率公式得
.
故答案为：C.
【分析】设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解；
8．（2024高二下·六盘水期中）已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：由，
则，，；
画出函数图象如下所示：
令，则
平移直线y=-x，
当与相切时，4+z有最大值为，
此时有最小值为；
当无限靠近y=-x时，取到另一个最值，4+z=0
即，但取空心.
故答案为：C.
【分析】将等式进行变形，并画出图象，利用线性规划的知识求出结果即可.
9．（2024高二下·六盘水期中）已知是虚数单位，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的虚部是
C． D．对应的点在第一象限
【答案】B,C,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A：，A错误；
对于B：， 则虚部是，B正确；
对于C：由知C正确；
对于D：，在复平面上的点为（3，2）为第一象限，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用复数的知识对每一个选项逐一判断即可得到答案.
10．（2024高二下·六盘水期中）同时满足：①为偶函数，②，③有最大值，这三个条件的选项有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：
由题意，函数满足：①为偶函数；②；③有最大值，
对于A中，函数，由余弦函数的性质，可得，满足①②③，所以A符合题意；
对于B中，函数，由，不满足②；，所以B不符合题意；
对于C中，函数，可知当时，有，不满足②；所以C不符合题意；
对于D中，，函数为偶函数，由，可得，满足②，且，所以D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据题意，结合初等函数的性质，逐项判定，即可求解.
11．（2024高二下·六盘水期中）已知函数图象上的点与方程的解一一对应，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．0是的极值点
C．在上单调递增 D．的最小值为0
【答案】A,B,C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由得：
，
即，
所以，
令，根据单调性与奇偶性的性质：
与两个函数都是奇函数且单调递增，
所以是奇函数且单调递增；
等价于，
所以，
而h(x)为奇函数，
所以，
所以，
即，
即，则A正确；
根据选项A知：，
则当时，，即函数此时单调递减；
当时，即此时函数单调递增，
故是函数的极小值点，故B，C正确；
所以取到函数的最小值，即，所以D错误.
故答案为：ABC.
【分析】观察等式结构构造函数，先确定其奇偶性及单调性可得出解析式确定A项，利用导数研究及单调性可判定B、C、D选项.
12．（2024高二下·六盘水期中）已知，.则 .
【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由，，
所以，
所以
故答案为：.
【分析】先求出，利用模长公式即可得到答案.
13．（2024高二下·六盘水期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何？”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有 斛.
【答案】10
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，
则，
解得，
故米堆的体积为，
斛米的体积约为1.6立方尺，
.
故答案为：10.
【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．
14．（2024高二下·六盘水期中）已知函数在上仅有两个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：令，
则，
令；
由函数在上仅有两个零点，
只需在上仅有两个交点；
作图，画出图象分析：
记图象的公切点为，
即同时在图象上，
即在点A处的切线斜率相等，
则有，
，
所以
所以，
由为向右平移a个单位，
当移到B点是刚好为3个交点，及a平移只能是A到B之间，
所以.
故答案为：.
【分析】零点问题转化为的交点问题，画出函数图象进行平移分析即可得到答案.
15．（2024高二下·六盘水期中）从4名男生和2名女生中任选3人参加中国凉都半程马拉松比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数”的概率.
【答案】（1）解：可能取的值为0，1，2
，.
所以，的分布列为
0 1 2
（2）解：由（1），的数学期望为（人）
（3）解：由（1），“所选3人中女生人数”的概率为
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先确定可能值，再计算其对应的概率即可得到答案；
（2）由（1）可得到分布列，利用公式即可得到期望值；
（3）分类成，计算对用概率相加即可得到答案.
16．（2024高二下·六盘水期中）如图，长方体中，，点是棱的中点，点在上，且.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：由已知的中点为，连接交于点，连接，因为，
得点E是CM的中点，O是AC的中点
（2）解法一：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系.
依题设，，，，，.
，，
设向量是平面的法向量，
则，.
故，.
令，则，，
由已知是平面的一个法向量.
记平面与平面的夹角为，.
解法二：由已知，，，
记平面与平面的夹角为
利用射影面积法可得
【知识点】直线与平面平行的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可得到结果；
（2）建立空间直角坐标系，运用坐标求解即可.
17．（2024高二下·六盘水期中）已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2），，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，
，
当时，，函数单调递减.
当时，，函数单调递增.
（2）解：，
令，.
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
即的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数单调性；
（2）分离参数，，将恒成立问题转化为最值问题，利用导数求解即可得到答案.
18．（2024高二下·六盘水期中）在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线：相切.
（1）求的值；
（2）已知点，在抛物线上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且，过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为，，当四边形面积取最小值时，求直线的方程.
【答案】（1）解：因为直线与抛物线C：相切，
联立
可得，
所以，解得（舍去）或.
所以
（2）解：设直线的方程：，，，
联立方程，得
则，
因为，即，
整理得
即，得，
，，符合题意，
则四边形的面积
当时，
所以直线方程：.
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）直线与曲线相切，联立方程利用判别式求解即可；
（2）先联立方程组利用韦达定理整理出，进而化简，得到t的值，进而求解的面积，利用不等式的知识求解处最值，进而得出结果.
19．（2024高二下·六盘水期中）若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.
（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）记为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求的最大值；
（3）记是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：中的元素个数小于或等于16.
【答案】（1）解：由题意可知，数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为
（2）解：设，其中且
由，得，，，
所以，，….
因此集合A中的所有数列都具有周期性，且周期为4
所以数列中，，，，，
数列中，，，，
因为，
所以项数越大，数列和的距离越大
因为，
而，又因为
因此，当，
.
故的最大值为3469
（3）证明：假设中的元素个数大于或等于17.
因为数列中，或1
所以仅由数列前三项组成的数组有且只有8个：，，，，，，，.
那么这17个元素之中必有3个具有相同的，，.
设这3个元素分别为：，，，，，，；
：，，，，，，；
：，，，，，，，
其中，，
因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3，
所以在与中，至少有3个成立
不妨设，，.
由题意得，中一个等于0，另一个等于1.
又因为或1，所以和中必有一个成立.
同理得：和中必有一个成立，和中必有一个成立，
所以“中至少有两个成立”和“中至少有两个成立”中必有一个成立.
故和中必有一个成立，这与题意矛盾.
所以中的元素个数小于或等于16
【知识点】数列的递推公式；数列与函数的综合
【解析】【分析】
（1）由数列距离的定义即可求得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）由数列的递推公式，即可求得，，，，从而得到集合A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，从而求得数列和，根据数列距离的定义分析求解，即可得到m的最大值；
（3）利用反证法，假设T中的元素个数大于等于17个，设出，，，最后可得和中必有一个成立，与数列的距离大于或等于3矛盾，故可证明T中元素个数小于或等于16．
1 / 1贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期数学期中质量监测试题
1．（2024高二下·六盘水期中）某篮球兴趣小组有7名学生参加投篮比赛，每人投10次，投中的次数分别为8，5，7，5，8，6，8.则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7
2．（2024高二下·六盘水期中）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·六盘水期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线交椭圆于A，B两点，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
4．（2024高二下·六盘水期中）设为等差数列的前项和，若，公差，，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（2024高二下·六盘水期中）已知，，，则（ ）
A．6 B．7 C． D．
6．（2024高二下·六盘水期中）已知函数，是最小正周期为的奇函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·六盘水期中）现有参加中国——东盟妥乐峰会志愿者的报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有8名男生和2名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生的报名表各一份的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·六盘水期中）已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·六盘水期中）已知是虚数单位，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的虚部是
C． D．对应的点在第一象限
10．（2024高二下·六盘水期中）同时满足：①为偶函数，②，③有最大值，这三个条件的选项有（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·六盘水期中）已知函数图象上的点与方程的解一一对应，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．0是的极值点
C．在上单调递增 D．的最小值为0
12．（2024高二下·六盘水期中）已知，.则 .
13．（2024高二下·六盘水期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何？”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有 斛.
14．（2024高二下·六盘水期中）已知函数在上仅有两个零点，则实数的取值范围是 .
15．（2024高二下·六盘水期中）从4名男生和2名女生中任选3人参加中国凉都半程马拉松比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数”的概率.
16．（2024高二下·六盘水期中）如图，长方体中，，点是棱的中点，点在上，且.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17．（2024高二下·六盘水期中）已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2），，求的取值范围.
18．（2024高二下·六盘水期中）在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线：相切.
（1）求的值；
（2）已知点，在抛物线上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且，过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为，，当四边形面积取最小值时，求直线的方程.
19．（2024高二下·六盘水期中）若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.
（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）记为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求的最大值；
（3）记是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：中的元素个数小于或等于16.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：据题意， 投中的次数分别为8，5，7，5，8，6，8 ，
将这组数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，
发现，数据的众数为8，中位数为7．
故答案为：D．
【分析】先将数据从小到大排列，结合数据的中位数、众数的概念，即可求解出结果.
2．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：依题意，由，
则，
又因为
.
故答案为：A.
【分析】先用列举法求出集合m，进而利用集合的交集运算即可得到结果.
3．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由于，
由于过且不与坐标轴重合的直线交椭圆于A，B两点，
根据椭圆定义，
所以的周长为.
故答案为：C.
【分析】根据椭圆的的定义即可得到答案.
4．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为是等差数列，且，公差
由
代入等差数列前n项和公式得：
，
即，
解得，
故答案为：D．
【分析】利用等差数列的求和公式即可得到答案
5．【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，两边平方得：
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用向量减法运算表示，利用向量的模长公式平方即可得到答案.
6．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；余弦函数的性质；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由函数，的最小正周期为
所以，
则
又f(x)为奇函数，所以，
所以，
所以；
；
故答案为：B.
【分析】先根据题意求出f(x)的解析式，对化简即可得到答案.
7．【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，
B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”
由全概率公式得
.
故答案为：C.
【分析】设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解；
8．【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：由，
则，，；
画出函数图象如下所示：
令，则
平移直线y=-x，
当与相切时，4+z有最大值为，
此时有最小值为；
当无限靠近y=-x时，取到另一个最值，4+z=0
即，但取空心.
故答案为：C.
【分析】将等式进行变形，并画出图象，利用线性规划的知识求出结果即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A：，A错误；
对于B：， 则虚部是，B正确；
对于C：由知C正确；
对于D：，在复平面上的点为（3，2）为第一象限，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用复数的知识对每一个选项逐一判断即可得到答案.
10．【答案】A,D
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：
由题意，函数满足：①为偶函数；②；③有最大值，
对于A中，函数，由余弦函数的性质，可得，满足①②③，所以A符合题意；
对于B中，函数，由，不满足②；，所以B不符合题意；
对于C中，函数，可知当时，有，不满足②；所以C不符合题意；
对于D中，，函数为偶函数，由，可得，满足②，且，所以D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据题意，结合初等函数的性质，逐项判定，即可求解.
11．【答案】A,B,C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由得：
，
即，
所以，
令，根据单调性与奇偶性的性质：
与两个函数都是奇函数且单调递增，
所以是奇函数且单调递增；
等价于，
所以，
而h(x)为奇函数，
所以，
所以，
即，
即，则A正确；
根据选项A知：，
则当时，，即函数此时单调递减；
当时，即此时函数单调递增，
故是函数的极小值点，故B，C正确；
所以取到函数的最小值，即，所以D错误.
故答案为：ABC.
【分析】观察等式结构构造函数，先确定其奇偶性及单调性可得出解析式确定A项，利用导数研究及单调性可判定B、C、D选项.
12．【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由，，
所以，
所以
故答案为：.
【分析】先求出，利用模长公式即可得到答案.
13．【答案】10
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，
则，
解得，
故米堆的体积为，
斛米的体积约为1.6立方尺，
.
故答案为：10.
【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：令，
则，
令；
由函数在上仅有两个零点，
只需在上仅有两个交点；
作图，画出图象分析：
记图象的公切点为，
即同时在图象上，
即在点A处的切线斜率相等，
则有，
，
所以
所以，
由为向右平移a个单位，
当移到B点是刚好为3个交点，及a平移只能是A到B之间，
所以.
故答案为：.
【分析】零点问题转化为的交点问题，画出函数图象进行平移分析即可得到答案.
15．【答案】（1）解：可能取的值为0，1，2
，.
所以，的分布列为
0 1 2
（2）解：由（1），的数学期望为（人）
（3）解：由（1），“所选3人中女生人数”的概率为
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先确定可能值，再计算其对应的概率即可得到答案；
（2）由（1）可得到分布列，利用公式即可得到期望值；
（3）分类成，计算对用概率相加即可得到答案.
16．【答案】（1）证明：由已知的中点为，连接交于点，连接，因为，
得点E是CM的中点，O是AC的中点
（2）解法一：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系.
依题设，，，，，.
，，
设向量是平面的法向量，
则，.
故，.
令，则，，
由已知是平面的一个法向量.
记平面与平面的夹角为，.
解法二：由已知，，，
记平面与平面的夹角为
利用射影面积法可得
【知识点】直线与平面平行的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可得到结果；
（2）建立空间直角坐标系，运用坐标求解即可.
17．【答案】（1）解：当时，
，
当时，，函数单调递减.
当时，，函数单调递增.
（2）解：，
令，.
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
即的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数单调性；
（2）分离参数，，将恒成立问题转化为最值问题，利用导数求解即可得到答案.
18．【答案】（1）解：因为直线与抛物线C：相切，
联立
可得，
所以，解得（舍去）或.
所以
（2）解：设直线的方程：，，，
联立方程，得
则，
因为，即，
整理得
即，得，
，，符合题意，
则四边形的面积
当时，
所以直线方程：.
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）直线与曲线相切，联立方程利用判别式求解即可；
（2）先联立方程组利用韦达定理整理出，进而化简，得到t的值，进而求解的面积，利用不等式的知识求解处最值，进而得出结果.
19．【答案】（1）解：由题意可知，数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为
（2）解：设，其中且
由，得，，，
所以，，….
因此集合A中的所有数列都具有周期性，且周期为4
所以数列中，，，，，
数列中，，，，
因为，
所以项数越大，数列和的距离越大
因为，
而，又因为
因此，当，
.
故的最大值为3469
（3）证明：假设中的元素个数大于或等于17.
因为数列中，或1
所以仅由数列前三项组成的数组有且只有8个：，，，，，，，.
那么这17个元素之中必有3个具有相同的，，.
设这3个元素分别为：，，，，，，；
：，，，，，，；
：，，，，，，，
其中，，
因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3，
所以在与中，至少有3个成立
不妨设，，.
由题意得，中一个等于0，另一个等于1.
又因为或1，所以和中必有一个成立.
同理得：和中必有一个成立，和中必有一个成立，
所以“中至少有两个成立”和“中至少有两个成立”中必有一个成立.
故和中必有一个成立，这与题意矛盾.
所以中的元素个数小于或等于16
【知识点】数列的递推公式；数列与函数的综合
【解析】【分析】
（1）由数列距离的定义即可求得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）由数列的递推公式，即可求得，，，，从而得到集合A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，从而求得数列和，根据数列距离的定义分析求解，即可得到m的最大值；
（3）利用反证法，假设T中的元素个数大于等于17个，设出，，，最后可得和中必有一个成立，与数列的距离大于或等于3矛盾，故可证明T中元素个数小于或等于16．
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