浙江省重点中学四校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（2024高一下·浙江月考）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：易知i2=-1知i4=1，故i2024=(i4)506=1，而，故z=，故虚部为，
故答案为：B.
【分析】根据虚数运算的规则可知i2024=(i4)506=1，分母有理化可化简，得到虚部.
2．（2024高一下·浙江月考）已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B．4 C． D．或4
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由与共线得m(m-2)=2×4，得m=-2或4，
故答案为：D.
【分析】根据=(x1，y1)与=(x2，y2)共线可得x1y2=x2y1，代入坐标可求结果.
3．（2024高一下·浙江月考）如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：将直观图还原为原图，如图所示：
因为，，所以，
所以，则，
则的面积为．
故答案为：D.
【分析】将直观图还原为原图，求出，再求，根据三角形面积公式求解即可.
4．（2024高一下·浙江月考）某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（ ）
A．12 B．16 C．17 D．18.5
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：从小到大排列6，8，9，10，11，13，15，17，20，21以上有10个数据，10×75%=7.5，比7.5大的最小整数为8，第8个数字为17，故 数据的75%分位数17.
故答案为：C
【分析】用数据的总数n乘以75%得7.5，大于7.5的最小整数为8，取第8个数字即可.
5．（2024高一下·浙江月考）已知，，分别是三内角，，的对边，则“”是“为直角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：由正弦定理得sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC，同时A+B+C=π得sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)，
即有sinAsinC+sinAcosC=sin(A+C)+sinC，于是sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，得sinA=cosA+1，
由sin2A+cos2A=1得2cos2A+2cosA=0得cosA=-1(舍去)或cosA=0，故A=90°；故“”是“为直角三角形的充分条件，
而当ABC为直角三角形时，A、B、C都有可能为直角 ，故不一定成立，故“”是“为直角三角形不必要条件.
综上，“”是“为直角三角形的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】分别将“”和“为直角三角形当条件进行推导即可.
6．（2024高一下·浙江月考）某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为，上、下底面圆的半径分别为和.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：杯套对应的母线长为6×=4cm，同时得r2=，
由台体的侧面积公式知S1=π(r1+r2)l=π(2+)×4=，而底面S2=π22=4π，
故杯套的表面积为S=S1+S2=+4π=，
故答案为：C.
【分析】画图根据题中所给比例求出上底面的半径，再根据侧面积公式求出侧面积，注意加上底面积.
7．（2024高一下·浙江月考）如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：由下图，过点C作CH⊥平面ABD于点H，连接HD，CH⊥BD，而BD⊥CD得BD⊥平面CDH，故BD⊥DH，
由二面角C-BD-A为120°得∠CDH=60°，故DH=1，CH=，△ABD的外接圆圆心为O1，过点O1作l垂直平面ABD，圆心必在l上，
设球心为O，则OC=OA，过点O作OM⊥CH于点M，易知OM=O1H=，设CM=x，则OO1=MH=-x，
由OC=OA得，解得x=0，故外接球半径为，故表面积为4π()2=20π，
故答案为：C.
【分析】先由题意作出图像，推理H所在位置 ，找到其中一个平面的外接圆圆心，再根据球心到各位距离相等列出方程求出半径即可求出表面积.
8．（2024高一下·浙江月考）正方形边长为1，平面内一点满足，满足的点的轨迹分别与，交于，两点，令，分别为和方向上的单位向量，，为任意实数，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【解答】解：如图，以A为原点建立平面直角坐标系，
可知B(1，0)，D(0，1)，由此可得，，由设P(x，y)，得(x，y)=(λ，μ)，得x+y=，可得交点M(1，)，N(，1)由此可得，，≧，而，故最小值为，
故答案为：B.
【分析】直接以A为原点建立直角坐标系，利用重见天日 的线段运算转化，即可得结果.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2024高一下·浙江月考）设，是不同的直线，，，是不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．，，则
【答案】A,B,D
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于A，直线n可能在平面α内，如下图1所示，故结论不成立，A错误；
对于B中，平面α与平面β可能相交，所下图2所示，故B错误；
对于D，平面β与平面γ也可能相交，故D错误；C正确；
故答案为：ABD.
【分析】结合立体空间中直线与平面的关系，画图来解释以上选项，可快速得到结果.
10．（2024高一下·浙江月考）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最小值 D．有最小值16
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，由已知条件知a=，故ab==4，当且仅当，即b=4时取最小值，故A正确；
对于B，a+b=(a+b)()=，当且仅当，即b=2a时取最小值，故B正确；
对于C，由得2ab=b+4a，故2ab+b=2(a+2b)=(a+2b)()=≧9+2=9+4，故C错误；
对于D，≥2=4ab，而由A选项知ab≥4，故4ab≥16，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据已经条件将a分离出来，再构造成基本不等式的形式求得最小值；“1”的代换可使用在B中，而C选项则直接可根据已知条件得到2ab的表达式，再利用“1”的代换求最小值，而D需要用到A中的结论求得最值.
11．（2024高一下·浙江月考）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A．存在点使得
B．若点满足，则动点的轨迹长度为
C．若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形
D．当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60°
【答案】A,C
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：以A为原点，AB、AD、AA1为x，y、z轴建立空间坐标系，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，1)，F(1，0，2)，D(0，2，0)，假设点P在平面BCC1B1中时，设点P(2，a，b)，则有，(a，b，c都在0~2之间)，，当，取a=1，b=0，c=2，就可得，故A正确；
对于B，易知（-1，0，2），当P(x，y，z)中时，当AP⊥BF时，有x=2z，在x-z平面内，点P运动轨迹为AR，AF=，故B错误；
对于C，，，设平面的一个法向量为，则，，则有，令y1=1，则z1=1，x1=-1，故，当 平面 时，有，即有y+z-x=1，令y=0，则有z=x+1图中轨迹为MF，令y=2，则x=z+1，在图中轨迹为MN；同理可得点P的轨迹为NO、OS、SQ、QF，恰好组成正六边形，故C正确；
对于D，当点P在平面BCC1B1中时，FP=，可得B1P=1，点P在以B1为圆心，1为半径的圆上运动，DC⊥BC，PC⊥DC，∠PCB即为二面角A-CD-P的平面角，当点P与点Q重合时，∠PCB最大，此时tanPCB=2，故D错误；
综上所述：选AC.
【分析】找到特殊点使即可验证，找到各面内与平行的直线即可得轨迹为正六边形；以A为原点建立空间直角坐标系，可验证BD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高一下·浙江月考）已知向量，满足，则向量在上的投影向量为 .（用表示）
【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：易知，同时，可得 ，在上的投影长度为3，故在上的投影向量.
【分析】先求在上的投影，可得长度比例为，于是可求得在上的投影向量.
13．（2024高一下·浙江月考）若，则的最大值为 .
【答案】3
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：设z=a+bi(a，b为实数)，故z++i=a++(b+1)i，于是，即，设a+=cosθ，b+1=sinθ，其中θ∈[0，2π]，则有a=cosθ-，b=sinθ-1，故a2+b2=(cosθ-)2+(sinθ-1)2=5-(2cosθ+2sinθ)=5-4sin(θ+)，最大值为9，故|z|=的最大值为3.
故答案为3.
【分析】直接设z=a+bi(a，b为实数)，直接翻译题中的条件，可得关于a、b的方程，当作标准圆的方程，利用三角代换，可求得|z|的表达式，从而求得最大值.
14．（2024高一下·浙江月考） 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：设2r为外接圆直径，根据正弦定理得，
所以，由，可得
由于 ，可得，即，
又，可得，即，
在中，为等边三角形，
取E为AB中点，连接CE，则，如图所示：
因为，可得，
，
当P与C重合时最长且， 的最大值为2，延长CE交图O于M点，
则，当P与M重合时最短且， 的最小值为，
的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理、余弦定理代入 ，化简得a=c，再根据， 判断 为等边三角形，表示出，取得最值时，即可得 的最值，即可求解.
四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2024高一下·浙江月考）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
【答案】（1）解：利用每组小矩形的面积之和为1可得，
，解得
（2）解：成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为，由，得，故第75百分位数为84；
（3）解：由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，故；
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】 （1）由频率分布直方图小矩形面积之和为1列出方程能求出a的值；
（2）由频率分布直方图列出方程能求出第75百分位数；
（3）由频率分布直方图中数据结合方差计算公式即可求解．
16．（2024高一下·浙江月考）如图，在直三棱柱中，，，四边形为正方形.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：由平面为正方形
因为，所以，
又因为，，所以，
所以，又，且，平面，
所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，平面平面.
（2）解：因为直角三角形中，.
所以，所以为等边三角形.
又因为为等腰三角形.
所以取得中点，连结，，则，，
所以为二面角的平面角.
因为直角三角形中，.
在等边三角形中，
所以在三角形中，
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)通过题中的数据可得第一个垂直，再由线面垂直的性质可得第个垂直，可得面面垂直；
(2)通过图中的特殊三角形，即B1BC为等边三角形，通过两次垂直关系得到二面角的平面角，利用余弦定理可得二面角的余弦值.
17．（2024高一下·浙江月考）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）
在中，，，分别是角，，的对边，若 ▲ ，
（1）求角的大小；
（2）若，为边上一点，，，求的面积.
【答案】（1）若选①
因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
由，得，所以，即，
因为，所以.
若选②
由，化简得.
由正弦定理得：，即，所以.
因为，所以.
若选③
由正弦定理得，即，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以
（2）由（1）知，且，
在中，由余弦定理得，
即①
由于，所以，
平方，
即②.
由①②得：，，
所以的面积为，
即所求面积为
【知识点】解三角形
【解析】【分析】(1)选①由正弦定理与和差公式化简即可求得角B的值.
选②先整理化简，再由余弦定理可得角B的大小.
(2)由余弦定理可得a、b、c之间的关系，由平面向量可进一步得到a、b、c的关系式，从而求得a、b、c的值，最后由面积公式求得面积的大小.
18．（2024高一下·浙江月考）在菱形中，，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：∵，平面，平面，∴平面
同理可得平面.
又∵，，平面，∴平面平面，
∵平面，∴平面.
（2）解：法1：取中点，则是平行四边形，所以.
所以与平面所成角即与平面所成角.
等体积法：
易得：，，，，
到平面的距离为
，
解得
所以直线与平面所成角的正弦值为.
法2：取中点，则是平行四边形，所以.
从而与平面所成角即为与平面所成角，设为.
过作交于，过作交于，
过作交于.
因为平面平面，平面平面，
又平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，，平面，
从而平面，因为平面，
所以，又，，，平面，
从而平面.
所以的长即为到平面的距离
由，，可得.
又，所以到平面的距离设为
即为到平面的距离，即
又，可得.
在中，，，
所以，得.
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)由翻折前后保持不变的平行关系可得2次线面平行，得到面面平行可得线面平行；
(2)方法1利用等体积法可得点到平面的距离，从而可得线面角的正弦值；方法2，通过辅助线和推理可得点到平面距离的具体线段，求出长度，即可求得正弦值；
19．（2024高一下·浙江月考）如图，是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为（为参数，），当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数.
（1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论： ▲ .（用，表示）
（2），不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，证明：有唯一的正零点，并比较和的大小.
【答案】（1）
（2）依题意，，不等式，
函数在上单调递增，，令，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，，
又，
于是，，
因此，，显然函数在上单调递减，
当时，，从而，
所以实数的取值范围是.
（3）证明：依题意，，显然在上为增函数，
且，，
则在上存在唯一的实数，使，
所以有唯一的正零点；
由，得，两边同时取对数得，
于是，
而在上是增函数，则有，
因此，所以.
【知识点】函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)直接代入利用平方差公式展开，即可得到双曲正弦函数的一个成立的结论；
(2)将不等式中的代数式换元，使不等关系更简洁，通过分离参数法转化为函数的最大值问题，利用导数，求出单调区间，可得函数的最大值；
（3）根据函数的单调性判断函数零点所在区间，并设函数的零点x0，通过作差，构造新函数利用导数求新函数的单调区间，判断函数值的符号.
1 / 1浙江省重点中学四校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（2024高一下·浙江月考）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·浙江月考）已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B．4 C． D．或4
3．（2024高一下·浙江月考）如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A． B． C．6 D．
4．（2024高一下·浙江月考）某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（ ）
A．12 B．16 C．17 D．18.5
5．（2024高一下·浙江月考）已知，，分别是三内角，，的对边，则“”是“为直角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高一下·浙江月考）某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为，上、下底面圆的半径分别为和.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·浙江月考）如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·浙江月考）正方形边长为1，平面内一点满足，满足的点的轨迹分别与，交于，两点，令，分别为和方向上的单位向量，，为任意实数，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2024高一下·浙江月考）设，是不同的直线，，，是不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．，，则
10．（2024高一下·浙江月考）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最小值 D．有最小值16
11．（2024高一下·浙江月考）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A．存在点使得
B．若点满足，则动点的轨迹长度为
C．若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形
D．当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60°
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高一下·浙江月考）已知向量，满足，则向量在上的投影向量为 .（用表示）
13．（2024高一下·浙江月考）若，则的最大值为 .
14．（2024高一下·浙江月考） 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是 .
四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2024高一下·浙江月考）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
16．（2024高一下·浙江月考）如图，在直三棱柱中，，，四边形为正方形.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
17．（2024高一下·浙江月考）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）
在中，，，分别是角，，的对边，若 ▲ ，
（1）求角的大小；
（2）若，为边上一点，，，求的面积.
18．（2024高一下·浙江月考）在菱形中，，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．（2024高一下·浙江月考）如图，是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为（为参数，），当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数.
（1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论： ▲ .（用，表示）
（2），不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，证明：有唯一的正零点，并比较和的大小.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：易知i2=-1知i4=1，故i2024=(i4)506=1，而，故z=，故虚部为，
故答案为：B.
【分析】根据虚数运算的规则可知i2024=(i4)506=1，分母有理化可化简，得到虚部.
2．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由与共线得m(m-2)=2×4，得m=-2或4，
故答案为：D.
【分析】根据=(x1，y1)与=(x2，y2)共线可得x1y2=x2y1，代入坐标可求结果.
3．【答案】D
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：将直观图还原为原图，如图所示：
因为，，所以，
所以，则，
则的面积为．
故答案为：D.
【分析】将直观图还原为原图，求出，再求，根据三角形面积公式求解即可.
4．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：从小到大排列6，8，9，10，11，13，15，17，20，21以上有10个数据，10×75%=7.5，比7.5大的最小整数为8，第8个数字为17，故 数据的75%分位数17.
故答案为：C
【分析】用数据的总数n乘以75%得7.5，大于7.5的最小整数为8，取第8个数字即可.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：由正弦定理得sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC，同时A+B+C=π得sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)，
即有sinAsinC+sinAcosC=sin(A+C)+sinC，于是sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，得sinA=cosA+1，
由sin2A+cos2A=1得2cos2A+2cosA=0得cosA=-1(舍去)或cosA=0，故A=90°；故“”是“为直角三角形的充分条件，
而当ABC为直角三角形时，A、B、C都有可能为直角 ，故不一定成立，故“”是“为直角三角形不必要条件.
综上，“”是“为直角三角形的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】分别将“”和“为直角三角形当条件进行推导即可.
6．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：杯套对应的母线长为6×=4cm，同时得r2=，
由台体的侧面积公式知S1=π(r1+r2)l=π(2+)×4=，而底面S2=π22=4π，
故杯套的表面积为S=S1+S2=+4π=，
故答案为：C.
【分析】画图根据题中所给比例求出上底面的半径，再根据侧面积公式求出侧面积，注意加上底面积.
7．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：由下图，过点C作CH⊥平面ABD于点H，连接HD，CH⊥BD，而BD⊥CD得BD⊥平面CDH，故BD⊥DH，
由二面角C-BD-A为120°得∠CDH=60°，故DH=1，CH=，△ABD的外接圆圆心为O1，过点O1作l垂直平面ABD，圆心必在l上，
设球心为O，则OC=OA，过点O作OM⊥CH于点M，易知OM=O1H=，设CM=x，则OO1=MH=-x，
由OC=OA得，解得x=0，故外接球半径为，故表面积为4π()2=20π，
故答案为：C.
【分析】先由题意作出图像，推理H所在位置 ，找到其中一个平面的外接圆圆心，再根据球心到各位距离相等列出方程求出半径即可求出表面积.
8．【答案】B
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【解答】解：如图，以A为原点建立平面直角坐标系，
可知B(1，0)，D(0，1)，由此可得，，由设P(x，y)，得(x，y)=(λ，μ)，得x+y=，可得交点M(1，)，N(，1)由此可得，，≧，而，故最小值为，
故答案为：B.
【分析】直接以A为原点建立直角坐标系，利用重见天日 的线段运算转化，即可得结果.
9．【答案】A,B,D
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于A，直线n可能在平面α内，如下图1所示，故结论不成立，A错误；
对于B中，平面α与平面β可能相交，所下图2所示，故B错误；
对于D，平面β与平面γ也可能相交，故D错误；C正确；
故答案为：ABD.
【分析】结合立体空间中直线与平面的关系，画图来解释以上选项，可快速得到结果.
10．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，由已知条件知a=，故ab==4，当且仅当，即b=4时取最小值，故A正确；
对于B，a+b=(a+b)()=，当且仅当，即b=2a时取最小值，故B正确；
对于C，由得2ab=b+4a，故2ab+b=2(a+2b)=(a+2b)()=≧9+2=9+4，故C错误；
对于D，≥2=4ab，而由A选项知ab≥4，故4ab≥16，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据已经条件将a分离出来，再构造成基本不等式的形式求得最小值；“1”的代换可使用在B中，而C选项则直接可根据已知条件得到2ab的表达式，再利用“1”的代换求最小值，而D需要用到A中的结论求得最值.
11．【答案】A,C
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：以A为原点，AB、AD、AA1为x，y、z轴建立空间坐标系，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，1)，F(1，0，2)，D(0，2，0)，假设点P在平面BCC1B1中时，设点P(2，a，b)，则有，(a，b，c都在0~2之间)，，当，取a=1，b=0，c=2，就可得，故A正确；
对于B，易知（-1，0，2），当P(x，y，z)中时，当AP⊥BF时，有x=2z，在x-z平面内，点P运动轨迹为AR，AF=，故B错误；
对于C，，，设平面的一个法向量为，则，，则有，令y1=1，则z1=1，x1=-1，故，当 平面 时，有，即有y+z-x=1，令y=0，则有z=x+1图中轨迹为MF，令y=2，则x=z+1，在图中轨迹为MN；同理可得点P的轨迹为NO、OS、SQ、QF，恰好组成正六边形，故C正确；
对于D，当点P在平面BCC1B1中时，FP=，可得B1P=1，点P在以B1为圆心，1为半径的圆上运动，DC⊥BC，PC⊥DC，∠PCB即为二面角A-CD-P的平面角，当点P与点Q重合时，∠PCB最大，此时tanPCB=2，故D错误；
综上所述：选AC.
【分析】找到特殊点使即可验证，找到各面内与平行的直线即可得轨迹为正六边形；以A为原点建立空间直角坐标系，可验证BD.
12．【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：易知，同时，可得 ，在上的投影长度为3，故在上的投影向量.
【分析】先求在上的投影，可得长度比例为，于是可求得在上的投影向量.
13．【答案】3
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：设z=a+bi(a，b为实数)，故z++i=a++(b+1)i，于是，即，设a+=cosθ，b+1=sinθ，其中θ∈[0，2π]，则有a=cosθ-，b=sinθ-1，故a2+b2=(cosθ-)2+(sinθ-1)2=5-(2cosθ+2sinθ)=5-4sin(θ+)，最大值为9，故|z|=的最大值为3.
故答案为3.
【分析】直接设z=a+bi(a，b为实数)，直接翻译题中的条件，可得关于a、b的方程，当作标准圆的方程，利用三角代换，可求得|z|的表达式，从而求得最大值.
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：设2r为外接圆直径，根据正弦定理得，
所以，由，可得
由于 ，可得，即，
又，可得，即，
在中，为等边三角形，
取E为AB中点，连接CE，则，如图所示：
因为，可得，
，
当P与C重合时最长且， 的最大值为2，延长CE交图O于M点，
则，当P与M重合时最短且， 的最小值为，
的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理、余弦定理代入 ，化简得a=c，再根据， 判断 为等边三角形，表示出，取得最值时，即可得 的最值，即可求解.
15．【答案】（1）解：利用每组小矩形的面积之和为1可得，
，解得
（2）解：成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为，由，得，故第75百分位数为84；
（3）解：由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，故；
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】 （1）由频率分布直方图小矩形面积之和为1列出方程能求出a的值；
（2）由频率分布直方图列出方程能求出第75百分位数；
（3）由频率分布直方图中数据结合方差计算公式即可求解．
16．【答案】（1）证明：由平面为正方形
因为，所以，
又因为，，所以，
所以，又，且，平面，
所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，平面平面.
（2）解：因为直角三角形中，.
所以，所以为等边三角形.
又因为为等腰三角形.
所以取得中点，连结，，则，，
所以为二面角的平面角.
因为直角三角形中，.
在等边三角形中，
所以在三角形中，
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)通过题中的数据可得第一个垂直，再由线面垂直的性质可得第个垂直，可得面面垂直；
(2)通过图中的特殊三角形，即B1BC为等边三角形，通过两次垂直关系得到二面角的平面角，利用余弦定理可得二面角的余弦值.
17．【答案】（1）若选①
因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
由，得，所以，即，
因为，所以.
若选②
由，化简得.
由正弦定理得：，即，所以.
因为，所以.
若选③
由正弦定理得，即，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以
（2）由（1）知，且，
在中，由余弦定理得，
即①
由于，所以，
平方，
即②.
由①②得：，，
所以的面积为，
即所求面积为
【知识点】解三角形
【解析】【分析】(1)选①由正弦定理与和差公式化简即可求得角B的值.
选②先整理化简，再由余弦定理可得角B的大小.
(2)由余弦定理可得a、b、c之间的关系，由平面向量可进一步得到a、b、c的关系式，从而求得a、b、c的值，最后由面积公式求得面积的大小.
18．【答案】（1）证明：∵，平面，平面，∴平面
同理可得平面.
又∵，，平面，∴平面平面，
∵平面，∴平面.
（2）解：法1：取中点，则是平行四边形，所以.
所以与平面所成角即与平面所成角.
等体积法：
易得：，，，，
到平面的距离为
，
解得
所以直线与平面所成角的正弦值为.
法2：取中点，则是平行四边形，所以.
从而与平面所成角即为与平面所成角，设为.
过作交于，过作交于，
过作交于.
因为平面平面，平面平面，
又平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，，平面，
从而平面，因为平面，
所以，又，，，平面，
从而平面.
所以的长即为到平面的距离
由，，可得.
又，所以到平面的距离设为
即为到平面的距离，即
又，可得.
在中，，，
所以，得.
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)由翻折前后保持不变的平行关系可得2次线面平行，得到面面平行可得线面平行；
(2)方法1利用等体积法可得点到平面的距离，从而可得线面角的正弦值；方法2，通过辅助线和推理可得点到平面距离的具体线段，求出长度，即可求得正弦值；
19．【答案】（1）
（2）依题意，，不等式，
函数在上单调递增，，令，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，，
又，
于是，，
因此，，显然函数在上单调递减，
当时，，从而，
所以实数的取值范围是.
（3）证明：依题意，，显然在上为增函数，
且，，
则在上存在唯一的实数，使，
所以有唯一的正零点；
由，得，两边同时取对数得，
于是，
而在上是增函数，则有，
因此，所以.
【知识点】函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)直接代入利用平方差公式展开，即可得到双曲正弦函数的一个成立的结论；
(2)将不等式中的代数式换元，使不等关系更简洁，通过分离参数法转化为函数的最大值问题，利用导数，求出单调区间，可得函数的最大值；
（3）根据函数的单调性判断函数零点所在区间，并设函数的零点x0，通过作差，构造新函数利用导数求新函数的单调区间，判断函数值的符号.
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