四川省内江市威远中学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一下·威远月考）已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·威远月考）已知，则的实部是（ ）
A． B．i C．0 D．1
3．（2024高一下·威远月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形（ ）
4．（2024高一下·威远月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则角A的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·威远月考）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·威远月考）化简=（ ）
A． B． C．2 D．1
7．（2024高一下·威远月考）在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．（2024高一下·威远月考）如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2024高一下·威远月考）若复数为的共轭复数，则以下正确的是（ ）
A．
B．在复平面对应的点位于第二象限
C．
D．为纯虚数
10．（2024高一下·威远月考）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角为
D．向量在上的投影向量为
11．（2024高一下·威远月考）在中，角、、所对的边分别为、、，则正确的结论有（ ）
A．若，则
B．若为锐角三角形，则
C．若，则为直角三角形
D．若，则一定是等腰三角形
12．（2024高一下·威远月考）O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（ ）
A．O为的外心
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高一下·威远月考）复数是纯虚数，则实数 ．
14．（2024高一下·威远月考）已知非零向量，的夹角为，，，则 ．
15．（2024高一下·威远月考）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为 m.
16．（2024高一下·威远月考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围为 .
四、解答题：17题10分，18—22题每题12分，共6题，总共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（2024高一下·威远月考）设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与平行，求实数的值．
18．（2024高一下·威远月考）已知．
（1）求及的值；
（2）若，，，求．
19．（2024高一下·威远月考）已知，，，求：
（1）；
（2）与的夹角.
20．（2024高一下·威远月考）如图，在平面四边形中，，，，，．
（1）求边的长；
（2）求的面积．
21．（2024高一下·威远月考）的内角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积；
（3）若角为钝角，直接写出的取值范围.
22．（2024高一下·威远月考）在条件①对任意的，都有；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．
已知，若____，则唯一确定．
（1）求的解析式；
（2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且，所以，解得.
故答案为：D．
【分析】由题意，根据向量平行的坐标表示列式求解即可.
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，则复数的实部是0.
故答案为：C．
【分析】根据复数的除法运算化简复数z，确定实部即可.
3．【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，根据正弦定理可得：，
即，所以，所以是等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，利用正弦定理化边化角，得角的关系即可判断三角形形状.
4．【答案】D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由，可得，即，
则.
故答案为：D．
【分析】根据已知条件求得，代入余弦定理化简求值即可.
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数，
将其图象向右平移个单位的得到.
故答案为：B.
【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数，再根据三角函数图象的平移变换求解判断即可.
6．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数的化简求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】利用三角恒等变换化简求值即可.
7．【答案】C
【知识点】基本不等式；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为，所以三点共线，
又因为为上任意一点，，
所以三点共线，所以，
则，
当且仅当且，即时等号成立，故的最小值是12．
故答案为：C.
【分析】由题意，根据向量共线定理求得，再利用基本不等式求最值即可.
8．【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：作斜边上的高，如图所示：
则圆的半径，
设为斜边的中点，，则，
因为，，
所以
，
当时，的最小值为.
故答案为：B.
【分析】作斜边上的高，根据图形，结合平面向量数量积的定义与运算法则求解即可.
9．【答案】A,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：A、因为复数，所以，故A正确；
B、复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点位于第四象限，故B错误；
C、，，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：A.
【分析】根据复数的模公式求解即可判断A；根据复数的几何意义即可判断B；根据复数的乘法运算结合复数的模即可判断C，根据共轭复数结合复数的除法运算求解判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，所以，，；
A、 ，故A错误；
B、 ，故B正确；
C、 ，因为，所以，
即向量与的夹角为，故C错误；
D、向量在上的投影向量为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据向量的数量积运算即可判断A；根据向量的模长公式即可判断B；根据向量夹角公式即可判断C；根据投影向量的定义求解即可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】正弦函数的性质；三角函数诱导公式二~六；正弦定理
【解析】【解答】对于A中，因为，可得，所以，
所以，所以A符合题意；
对于B中，由为锐角三角形，可得，则，
因为，可得，
又由函数在上为单调递增函数，所以，
所以B符合题意；
对于C中，由，由正弦定理可得，
所以则为直角三角形，所以C符合题意；
对于D中，由，可得或，
可得或，所以一定是等腰三角形，所以D不正确.
故答案为：ABC.
【分析】由三角形的正弦定理和勾股定理的逆定理、三角函数的诱导公式和正弦函数的单调性可得结论.
12．【答案】B,C,D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；向量在几何中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、因为，所以，所以，
即，同理，，故O为的垂心，故A错误；
B、根据垂心可得，，所以，
又因为，所以，又，
所以，故B正确；
C、，同理，延长CO交AB于点P(如图)，则，
同理，所以，故C正确；
D、设，，的面积分别为，，，
则
，
同理，所以，又，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量数量积证明垂直，即可判断A；根据垂直关系，结合内角和即可判断B；根据锐角三角函数即可判断C；由面积公式结合奔驰定理即可求解判断D.
13．【答案】1
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：因为复数是纯虚数，所以，解得．
故答案为：1．
【分析】根据纯虚数的定义列式求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】非零向量，的夹角为，，则由得：，即，
于是得，所以.
故答案为：
【分析】 根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量的夹角公式，即可求解出 的值 .
15．【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：在中，由正弦定理，可得，
在中，.
故答案为：.
【分析】根据已知条件，利用正弦定理以及直角三角形边角关系计算即可.
16．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；正切函数的图象与性质；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，可得，
因为，，所以，解得，
又为锐角三角形，则，，则，
而，则，，
所以，
又，且，
所以，则.
故答案为：.
【分析】由正弦定理及已知可得，结合锐角三角形得、，再由正弦边角关系、三角恒等变换得，即可求周长的取值范围.
17．【答案】（1）证明：因为向量，
所以，
，所以，即，
又因为和有公共点，所以三点共线．
（2）解：因为向量与平行，所以，即，
又是不共线的两个非零向量，所以，解得，即实数的值为.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算
【解析】【分析】（1）由题意，化简可得，即，根据共线向量定理，即可证明三点共线；
（2）由 与平行，可知存在实数，使得，列方程组求解即可.
18．【答案】（1）解：因为，所以，解得，所以，
（2）解：因为，，所以，由，
解得或（舍去），又，，所以，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由题意，将弦化切，即可求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算即可；
（2）求出、、，再由两角差的正弦公式计算即可.
19．【答案】（1）解：由，则，两边平方得：，
因为，，所以，解得，
则；
（2）解：，
设与的夹角为，则，
因为，所以，即与的夹角为.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先求向量的模，再将其两边平方结合已知条件解得，最后再根据向量的模求即可；
（2）利用向量的夹角公式求解即可.
20．【答案】（1）解：在中，，
由正弦定理得；
（2）解：在中，由余弦定理得，
则，故.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理计算即可；
（2）在中，由余弦定理得，再利用同角三角函数基本关系求得，最后利用三角形面积公式求解即可.
21．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，因为，所以，故.
（2）解：由余弦定理，可得，
因为，所以，解得，
故的面积为；
（3）解：由正弦定理，可得，
因为，所以，
又因为为钝角，所以，解得，
则，，即，故的取值范围是.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正切函数的图象与性质；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理化边为角，整理化简求解即可；
（2）由题意，利用余弦定理，求得，代入三角形面积公式计算即可；
（3）利用正弦定理化边为角，再消去角，整理得，利用时正切函数的值域即可求得的取值范围.
22．【答案】（1）解：若选择①②：由函数最小正周期为，可得，可得，即，又由对任意的，都有，可得关于对称，即，即，因为，可得，所以；
若选择②③：由函数最小正周期为，可得，可得，即，又由，可得，因为函数在为单调递增，则，解得，
所以，所以；
若选择①③：由对任意的，都有，可得关于对称，即，
即，又由函数在上单调递增，可得，解得，
又由，可得，因为函数在上单调递增，
则满足，解得，所以，
即，
因为，所以，此时，所以.
（2）解：由，因为，所以，所以，即，又由对任意的，不等式恒成立，
即不等式恒成立，即恒成立，令，即恒成立，
令在上为单调递增函数，则，所以，即实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）若选择①②，根据函数的最小正周期为，求得，再根据①得函数关于对称求得，即可确定函数的解析式；
若选择②③，根据函数的最小正周期为，求得，再根据 三角函数的图象与性质，求得的值，即可求得函数的解析式；
若选择①③，根据函数关于对称，以及函数在上单调递增列不等式组求得的值，即可得函数的解析式；
（2）由（1）可得，再由，求得，由题意，将问题转化为恒成立，令，结合函数为单调递增函数，求得函数，即可求实数m的取值范围.
1 / 1四川省内江市威远中学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一下·威远月考）已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且，所以，解得.
故答案为：D．
【分析】由题意，根据向量平行的坐标表示列式求解即可.
2．（2024高一下·威远月考）已知，则的实部是（ ）
A． B．i C．0 D．1
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，则复数的实部是0.
故答案为：C．
【分析】根据复数的除法运算化简复数z，确定实部即可.
3．（2024高一下·威远月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形（ ）
【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，根据正弦定理可得：，
即，所以，所以是等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，利用正弦定理化边化角，得角的关系即可判断三角形形状.
4．（2024高一下·威远月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则角A的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由，可得，即，
则.
故答案为：D．
【分析】根据已知条件求得，代入余弦定理化简求值即可.
5．（2024高一下·威远月考）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数，
将其图象向右平移个单位的得到.
故答案为：B.
【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数，再根据三角函数图象的平移变换求解判断即可.
6．（2024高一下·威远月考）化简=（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数的化简求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】利用三角恒等变换化简求值即可.
7．（2024高一下·威远月考）在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】基本不等式；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为，所以三点共线，
又因为为上任意一点，，
所以三点共线，所以，
则，
当且仅当且，即时等号成立，故的最小值是12．
故答案为：C.
【分析】由题意，根据向量共线定理求得，再利用基本不等式求最值即可.
8．（2024高一下·威远月考）如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：作斜边上的高，如图所示：
则圆的半径，
设为斜边的中点，，则，
因为，，
所以
，
当时，的最小值为.
故答案为：B.
【分析】作斜边上的高，根据图形，结合平面向量数量积的定义与运算法则求解即可.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2024高一下·威远月考）若复数为的共轭复数，则以下正确的是（ ）
A．
B．在复平面对应的点位于第二象限
C．
D．为纯虚数
【答案】A,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：A、因为复数，所以，故A正确；
B、复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点位于第四象限，故B错误；
C、，，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：A.
【分析】根据复数的模公式求解即可判断A；根据复数的几何意义即可判断B；根据复数的乘法运算结合复数的模即可判断C，根据共轭复数结合复数的除法运算求解判断即可.
10．（2024高一下·威远月考）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角为
D．向量在上的投影向量为
【答案】B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，所以，，；
A、 ，故A错误；
B、 ，故B正确；
C、 ，因为，所以，
即向量与的夹角为，故C错误；
D、向量在上的投影向量为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据向量的数量积运算即可判断A；根据向量的模长公式即可判断B；根据向量夹角公式即可判断C；根据投影向量的定义求解即可判断D.
11．（2024高一下·威远月考）在中，角、、所对的边分别为、、，则正确的结论有（ ）
A．若，则
B．若为锐角三角形，则
C．若，则为直角三角形
D．若，则一定是等腰三角形
【答案】A,B,C
【知识点】正弦函数的性质；三角函数诱导公式二~六；正弦定理
【解析】【解答】对于A中，因为，可得，所以，
所以，所以A符合题意；
对于B中，由为锐角三角形，可得，则，
因为，可得，
又由函数在上为单调递增函数，所以，
所以B符合题意；
对于C中，由，由正弦定理可得，
所以则为直角三角形，所以C符合题意；
对于D中，由，可得或，
可得或，所以一定是等腰三角形，所以D不正确.
故答案为：ABC.
【分析】由三角形的正弦定理和勾股定理的逆定理、三角函数的诱导公式和正弦函数的单调性可得结论.
12．（2024高一下·威远月考）O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（ ）
A．O为的外心
B．
C．
D．
【答案】B,C,D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；向量在几何中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、因为，所以，所以，
即，同理，，故O为的垂心，故A错误；
B、根据垂心可得，，所以，
又因为，所以，又，
所以，故B正确；
C、，同理，延长CO交AB于点P(如图)，则，
同理，所以，故C正确；
D、设，，的面积分别为，，，
则
，
同理，所以，又，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量数量积证明垂直，即可判断A；根据垂直关系，结合内角和即可判断B；根据锐角三角函数即可判断C；由面积公式结合奔驰定理即可求解判断D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高一下·威远月考）复数是纯虚数，则实数 ．
【答案】1
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：因为复数是纯虚数，所以，解得．
故答案为：1．
【分析】根据纯虚数的定义列式求解即可.
14．（2024高一下·威远月考）已知非零向量，的夹角为，，，则 ．
【答案】
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】非零向量，的夹角为，，则由得：，即，
于是得，所以.
故答案为：
【分析】 根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量的夹角公式，即可求解出 的值 .
15．（2024高一下·威远月考）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为 m.
【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：在中，由正弦定理，可得，
在中，.
故答案为：.
【分析】根据已知条件，利用正弦定理以及直角三角形边角关系计算即可.
16．（2024高一下·威远月考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围为 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；正切函数的图象与性质；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，可得，
因为，，所以，解得，
又为锐角三角形，则，，则，
而，则，，
所以，
又，且，
所以，则.
故答案为：.
【分析】由正弦定理及已知可得，结合锐角三角形得、，再由正弦边角关系、三角恒等变换得，即可求周长的取值范围.
四、解答题：17题10分，18—22题每题12分，共6题，总共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（2024高一下·威远月考）设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与平行，求实数的值．
【答案】（1）证明：因为向量，
所以，
，所以，即，
又因为和有公共点，所以三点共线．
（2）解：因为向量与平行，所以，即，
又是不共线的两个非零向量，所以，解得，即实数的值为.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算
【解析】【分析】（1）由题意，化简可得，即，根据共线向量定理，即可证明三点共线；
（2）由 与平行，可知存在实数，使得，列方程组求解即可.
18．（2024高一下·威远月考）已知．
（1）求及的值；
（2）若，，，求．
【答案】（1）解：因为，所以，解得，所以，
（2）解：因为，，所以，由，
解得或（舍去），又，，所以，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由题意，将弦化切，即可求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算即可；
（2）求出、、，再由两角差的正弦公式计算即可.
19．（2024高一下·威远月考）已知，，，求：
（1）；
（2）与的夹角.
【答案】（1）解：由，则，两边平方得：，
因为，，所以，解得，
则；
（2）解：，
设与的夹角为，则，
因为，所以，即与的夹角为.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先求向量的模，再将其两边平方结合已知条件解得，最后再根据向量的模求即可；
（2）利用向量的夹角公式求解即可.
20．（2024高一下·威远月考）如图，在平面四边形中，，，，，．
（1）求边的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：在中，，
由正弦定理得；
（2）解：在中，由余弦定理得，
则，故.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理计算即可；
（2）在中，由余弦定理得，再利用同角三角函数基本关系求得，最后利用三角形面积公式求解即可.
21．（2024高一下·威远月考）的内角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积；
（3）若角为钝角，直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，因为，所以，故.
（2）解：由余弦定理，可得，
因为，所以，解得，
故的面积为；
（3）解：由正弦定理，可得，
因为，所以，
又因为为钝角，所以，解得，
则，，即，故的取值范围是.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正切函数的图象与性质；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理化边为角，整理化简求解即可；
（2）由题意，利用余弦定理，求得，代入三角形面积公式计算即可；
（3）利用正弦定理化边为角，再消去角，整理得，利用时正切函数的值域即可求得的取值范围.
22．（2024高一下·威远月考）在条件①对任意的，都有；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．
已知，若____，则唯一确定．
（1）求的解析式；
（2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：若选择①②：由函数最小正周期为，可得，可得，即，又由对任意的，都有，可得关于对称，即，即，因为，可得，所以；
若选择②③：由函数最小正周期为，可得，可得，即，又由，可得，因为函数在为单调递增，则，解得，
所以，所以；
若选择①③：由对任意的，都有，可得关于对称，即，
即，又由函数在上单调递增，可得，解得，
又由，可得，因为函数在上单调递增，
则满足，解得，所以，
即，
因为，所以，此时，所以.
（2）解：由，因为，所以，所以，即，又由对任意的，不等式恒成立，
即不等式恒成立，即恒成立，令，即恒成立，
令在上为单调递增函数，则，所以，即实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）若选择①②，根据函数的最小正周期为，求得，再根据①得函数关于对称求得，即可确定函数的解析式；
若选择②③，根据函数的最小正周期为，求得，再根据 三角函数的图象与性质，求得的值，即可求得函数的解析式；
若选择①③，根据函数关于对称，以及函数在上单调递增列不等式组求得的值，即可得函数的解析式；
（2）由（1）可得，再由，求得，由题意，将问题转化为恒成立，令，结合函数为单调递增函数，求得函数，即可求实数m的取值范围.
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