湖北省十堰市2023-2024学年高二下学期6月期末调研考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·十堰期末）某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）
A．9米/秒 B．8米/秒 C．7米/秒 D．6米/秒
2．（2024高二下·十堰期末）已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若，则（ ）
A．67 B．68 C． D．
3．（2024高二下·十堰期末）已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（ ）
A．80 B．90 C．100 D．110
4．（2024高二下·十堰期末）3000的不同正因数的个数为（ ）
A．36 B．45 C．32 D．54
5．（2024高二下·十堰期末）已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·十堰期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·十堰期末）已知样本数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为，第75百分位数为，从样本数据落在区间内的数据中各取一个数组成一个三位数，则所组成的三位数中能被3整除的个数为（ ）
A．54 B．60 C．64 D．72
8．（2024高二下·十堰期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题．用表示整数被整除，设且，若，则称与对模同余，记为．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·十堰期末）为普及航天知识，弘扬航天精神，某学校举办了一次航天知识竞赛．统计结果显示，学生成绩（满分100分），其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为．若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中优秀的学生人数为，则（ ）
A．估计知识竞赛的及格率为 B．
C． D．
10．（2024高二下·十堰期末）已知，且第5项与第6项的二项式系数相等，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·十堰期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若有极小值，则
B．若在上单调递增，则
C．对任意的存在唯一零点
D．若恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·十堰期末）随机变量，则 ．
13．（2024高二下·十堰期末）已知一系列样本点满足，，由最小二乘法得到与的回归方程，现用决定系数来判断拟合效果（越接近1，拟合效果越好），若，则 ．（参考公式：决定系数）
14．（2024高二下·十堰期末）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·十堰期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔共5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，某校高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向．
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关？
对民航招飞有意向
对民航招飞没有意向 合计
男生
女生
合计
（2）若每名报名学生通过前4项流程的概率依次约为，1，假设学生能否通过这4项流程相互独立，估计该校高三学生被认为有效招飞的人数．
16．（2024高二下·十堰期末）某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品的展销．现随机抽取7个品牌产品，得到其促销活动经费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下：
品牌代号 1 2 3 4 5 6 7
促销活动经费 1 2 4 6 10 13 20
销售额 12 20 44 40 56 60 82
若将销售额与促销活动经费的比值称为促销效率值，当时，称为“有效促销”，当时，称为“过度促销”．
（1）从这7个品牌中随机抽取4个品牌，求取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率；
（2）从这7个品牌中随机抽取3个，记这3个品牌中“有效促销”的个数为，求的分布列与期望．
17．（2024高二下·十堰期末）设曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为．
（1）当切线与直线平行时，求实数的值；
（2）当时，求的最大值．
18．（2024高二下·十堰期末）为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）．
（1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进人初赛的概率；
（2）已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望；
（3）进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值．
19．（2024高二下·十堰期末）已知函数．
（1）若在上单调递增，求实数的最大值；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在且，使得，证明：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实际问题中导数的意义
【解析】【解答】解：，求导得，所以物体在秒时的瞬时速度为米秒．
故答案为：A.
【分析】利用导数的物理意义，即可得解.
2．【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：将代入得，得．
故答案为：D.
【分析】将代入回归方程即可得解.
3．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设利润为，由题意可知．
，当时，，当时，，
所以利润最大时．
故答案为：B.
【分析】由条件可得利润与产量的函数关系式，然后求导即可得解.
4．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：因为，
所以3000的正因数为，其中，
所以3000的不同正因数有个．
故答案为：C.
【分析】根据质因数分解和分步乘法计数原理进行求解即可.
5．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：求导，，所以在上递减，在上递增．
令，得，所以直线与的图象相切时的切点为，此时，
所以当时，直线与的图象有两个不同的交点．
故答案为：A.
【分析】求出曲线的斜率为的切线方程可得解.
6．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【解答】解：用表示女孩，表示男孩，
则．
分别设“选择的家庭中有女孩”为事件A，“选择的家庭中三个小孩恰好有两个女孩”为事件B，
则，，
.
故答案为：B.
【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的计算公式结合条件概率即可得解.
7．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：，所以第25百分位数为第三个数，所以，
，所以第75百分位数为第八个数，所以，
从中各取一个数.
因为所组成的三位数能被3整除，所以所取的三个数字可以为，
，
其中含0的每组可组成4个不同的三位数，不含0的每组可组成6个不同的三位数，
所以共有个不同的三位数.
故答案为：C.
【分析】由百分位数的定义求出，可知从中各取一个数组成的3位数是3的倍数，利用列举法求解即可.
8．【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：由二项式定理得
，
因为能够被7整除，被7除余1，所以．
因为2024除以7余1，2025除以7余2，2026除以7余3，2027除以7余4，所以．
故答案为：A.
【分析】由二项式定理可得，得，结合2024除以7余1，2025除以7余2，2026除以7余3，2027除以7余4，即可得解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、因为，且，所以，故A正确；
B、易知，所以，故B错误；
C、，所以，故C正确；
D‘，所以，故D正确，
故答案为：ACD.
【分析】根据正态分布的性质判断A，由题意可知，然后根据二项分布的性持可判断BCD.
10．【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由第5项与第6项的二项式系数相等可知，得，
A、令，得，故A错误；
B、令，得，又，所以，故B正确；
C、因为，所以，故C错误；
D、令，得，所以，
所以，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】由得，采用赋值法逐项判断即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、求导，得，
当时，
时，，在上递减；
时，，在上递增，
所以有极小值，故A错误；
B、若在上单调递增，则在上恒成立，
所以，即．
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故B正确；
C、令，则．
令，则，所以在上递增．
因为，且当时，，当时，，
所以与曲线只有一个交点，即存在唯一零点，故C正确；
D、由得，即．
令，则．
，令，则，
当时，，在上递减，
当时，，在上递增，
所以，所以在上递增．
因为，所以，所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，所以，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】求导，当时求函数的极值判断A；由题意可得在上恒成立，转化为在上恒成立，然后构造函数，利用导数求其最小值即可判断B；由，得，构造函数，利用导数判断其单调性进行分析判断C；由，得，令，利用导数判断其在上单调递增，则有，再转化为，再构造函数利用导数求出其最小值即可判断D.
12．【答案】3
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为，所以
所以，
所以．
故答案为：3.
【分析】由二项分布的性质求出，可求出，进而可求出.
13．【答案】0.96
【知识点】回归分析
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】直接根据决定系数的公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得，即．
令，则．
令，则，所以在上递增．
因为，所以当时，，当时，，
则当时，，在上递减，当时，，在上递增，
所以，所以的取值范围为．
故答案为：.
【分析】由题意可得（），令，利用导数求出其最小值，即可得解.
15．【答案】（1）解： 列联表如下：
对民航招飞有意向 对民航招飞没有意向 合计
男生 100 500 600
女生 100 300 400
合计 200 800 1000
零假设：该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关联．
因为，
所以假设成立，所以根据小概率值的独立性检验，认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关．
（2）解： 因为每名报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立，
所以估计每名报名学生被确认为有效招飞申请的概率．
因为该校有200名学生有民航招飞意向，所以估计有人被确认为有效招飞申请．
【知识点】独立性检验；相互独立事件的概率乘法公式；二项分布
【解析】【分析】(1)根据题干填写相应人数，再结合独立性检验公式计算即可得解；
(2)由独立事件概率计算公式可得每个人为有效招飞的概率，再根据二项分布求期望即可得解.
16．【答案】（1）解： 由题知7个品牌中“有效促销”有3个，“过度促销”有2个．
设取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多为事件，
则．
（2）解： 7个品牌中有3个品牌是“有效促销”，的可能取值是0，1，2，3，
；
．
的分布列为
0 1 2 3
所以．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先求出“有效促销”和“过度促销”品牌个数，然后求出基本事件总数以及所求问题的事件数，计算比值即可；
（2）由题意可知“有效促销”的品牌数，写出随机变量的可能取值，再求相应的概率即可求出分布列和数学期望.
17．【答案】（1）解： 因为，所以．
因为切线与直线平行，所以，
得．
（2）解： 因为，所以，
所以切线方程为．
令，得；令，得．
因为，所以．
因为，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，得，则，解出即可；
（2）先求出的表达式，然后利用导数求解即可.
18．【答案】（1）解： 设为甲的答题数，则可能取3，4，5．
；
；
．
所以甲进人初赛的概率为．
（2）解： 可能取0，5，10，15，20．
；
；
；
；
．
的分布列为
0 5 10 15 20
所以．
（3）解： 因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为，
所以甲能胜出的概率，
即．
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设为甲的答题数，则可能取3，4，5．求出对应的概率即可得解；
（2）可能取0，5，10，15，20．求出对应的概率，列出分布列求出期望即可；
（3）甲能胜出的概率，即．求导，分析函数的单调性即可求出最小值.
19．【答案】（1）解：因为函数在上单调递增，所以在上恒成立．
因为，所以，即对恒成立．
因为，所以，即实数的最大值是2．
（2）解：．
①当时，，则在上单调递增；
②当时，，则在上单调递增；
③当时，令，得，
则在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减．
（3）证明：因为，所以，
因为在上单调递增，所以．
要证，即证．
因为在上单调递增，所以只需证．
又因为，所以只需证，
即证．
记，
则，
所以在上单调递增，所以，
故成立．
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意可得关于的不等式，将恒成立问题转化为最值问题，再利用基本不等式即可得解；
（2）求导，再对参数分类讨论，即可得出函数的单调性；
（3）根据已知条件先对进行转化，再构造函数，并利用导数求出单调性，从而得证.
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·十堰期末）某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）
A．9米/秒 B．8米/秒 C．7米/秒 D．6米/秒
【答案】A
【知识点】实际问题中导数的意义
【解析】【解答】解：，求导得，所以物体在秒时的瞬时速度为米秒．
故答案为：A.
【分析】利用导数的物理意义，即可得解.
2．（2024高二下·十堰期末）已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若，则（ ）
A．67 B．68 C． D．
【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：将代入得，得．
故答案为：D.
【分析】将代入回归方程即可得解.
3．（2024高二下·十堰期末）已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（ ）
A．80 B．90 C．100 D．110
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设利润为，由题意可知．
，当时，，当时，，
所以利润最大时．
故答案为：B.
【分析】由条件可得利润与产量的函数关系式，然后求导即可得解.
4．（2024高二下·十堰期末）3000的不同正因数的个数为（ ）
A．36 B．45 C．32 D．54
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：因为，
所以3000的正因数为，其中，
所以3000的不同正因数有个．
故答案为：C.
【分析】根据质因数分解和分步乘法计数原理进行求解即可.
5．（2024高二下·十堰期末）已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：求导，，所以在上递减，在上递增．
令，得，所以直线与的图象相切时的切点为，此时，
所以当时，直线与的图象有两个不同的交点．
故答案为：A.
【分析】求出曲线的斜率为的切线方程可得解.
6．（2024高二下·十堰期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【解答】解：用表示女孩，表示男孩，
则．
分别设“选择的家庭中有女孩”为事件A，“选择的家庭中三个小孩恰好有两个女孩”为事件B，
则，，
.
故答案为：B.
【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的计算公式结合条件概率即可得解.
7．（2024高二下·十堰期末）已知样本数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为，第75百分位数为，从样本数据落在区间内的数据中各取一个数组成一个三位数，则所组成的三位数中能被3整除的个数为（ ）
A．54 B．60 C．64 D．72
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：，所以第25百分位数为第三个数，所以，
，所以第75百分位数为第八个数，所以，
从中各取一个数.
因为所组成的三位数能被3整除，所以所取的三个数字可以为，
，
其中含0的每组可组成4个不同的三位数，不含0的每组可组成6个不同的三位数，
所以共有个不同的三位数.
故答案为：C.
【分析】由百分位数的定义求出，可知从中各取一个数组成的3位数是3的倍数，利用列举法求解即可.
8．（2024高二下·十堰期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题．用表示整数被整除，设且，若，则称与对模同余，记为．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：由二项式定理得
，
因为能够被7整除，被7除余1，所以．
因为2024除以7余1，2025除以7余2，2026除以7余3，2027除以7余4，所以．
故答案为：A.
【分析】由二项式定理可得，得，结合2024除以7余1，2025除以7余2，2026除以7余3，2027除以7余4，即可得解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·十堰期末）为普及航天知识，弘扬航天精神，某学校举办了一次航天知识竞赛．统计结果显示，学生成绩（满分100分），其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为．若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中优秀的学生人数为，则（ ）
A．估计知识竞赛的及格率为 B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、因为，且，所以，故A正确；
B、易知，所以，故B错误；
C、，所以，故C正确；
D‘，所以，故D正确，
故答案为：ACD.
【分析】根据正态分布的性质判断A，由题意可知，然后根据二项分布的性持可判断BCD.
10．（2024高二下·十堰期末）已知，且第5项与第6项的二项式系数相等，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由第5项与第6项的二项式系数相等可知，得，
A、令，得，故A错误；
B、令，得，又，所以，故B正确；
C、因为，所以，故C错误；
D、令，得，所以，
所以，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】由得，采用赋值法逐项判断即可.
11．（2024高二下·十堰期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若有极小值，则
B．若在上单调递增，则
C．对任意的存在唯一零点
D．若恒成立，则
【答案】B,C,D
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、求导，得，
当时，
时，，在上递减；
时，，在上递增，
所以有极小值，故A错误；
B、若在上单调递增，则在上恒成立，
所以，即．
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故B正确；
C、令，则．
令，则，所以在上递增．
因为，且当时，，当时，，
所以与曲线只有一个交点，即存在唯一零点，故C正确；
D、由得，即．
令，则．
，令，则，
当时，，在上递减，
当时，，在上递增，
所以，所以在上递增．
因为，所以，所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，所以，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】求导，当时求函数的极值判断A；由题意可得在上恒成立，转化为在上恒成立，然后构造函数，利用导数求其最小值即可判断B；由，得，构造函数，利用导数判断其单调性进行分析判断C；由，得，令，利用导数判断其在上单调递增，则有，再转化为，再构造函数利用导数求出其最小值即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·十堰期末）随机变量，则 ．
【答案】3
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为，所以
所以，
所以．
故答案为：3.
【分析】由二项分布的性质求出，可求出，进而可求出.
13．（2024高二下·十堰期末）已知一系列样本点满足，，由最小二乘法得到与的回归方程，现用决定系数来判断拟合效果（越接近1，拟合效果越好），若，则 ．（参考公式：决定系数）
【答案】0.96
【知识点】回归分析
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】直接根据决定系数的公式计算即可.
14．（2024高二下·十堰期末）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得，即．
令，则．
令，则，所以在上递增．
因为，所以当时，，当时，，
则当时，，在上递减，当时，，在上递增，
所以，所以的取值范围为．
故答案为：.
【分析】由题意可得（），令，利用导数求出其最小值，即可得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·十堰期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔共5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，某校高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向．
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关？
对民航招飞有意向
对民航招飞没有意向 合计
男生
女生
合计
（2）若每名报名学生通过前4项流程的概率依次约为，1，假设学生能否通过这4项流程相互独立，估计该校高三学生被认为有效招飞的人数．
【答案】（1）解： 列联表如下：
对民航招飞有意向 对民航招飞没有意向 合计
男生 100 500 600
女生 100 300 400
合计 200 800 1000
零假设：该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关联．
因为，
所以假设成立，所以根据小概率值的独立性检验，认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关．
（2）解： 因为每名报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立，
所以估计每名报名学生被确认为有效招飞申请的概率．
因为该校有200名学生有民航招飞意向，所以估计有人被确认为有效招飞申请．
【知识点】独立性检验；相互独立事件的概率乘法公式；二项分布
【解析】【分析】(1)根据题干填写相应人数，再结合独立性检验公式计算即可得解；
(2)由独立事件概率计算公式可得每个人为有效招飞的概率，再根据二项分布求期望即可得解.
16．（2024高二下·十堰期末）某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品的展销．现随机抽取7个品牌产品，得到其促销活动经费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下：
品牌代号 1 2 3 4 5 6 7
促销活动经费 1 2 4 6 10 13 20
销售额 12 20 44 40 56 60 82
若将销售额与促销活动经费的比值称为促销效率值，当时，称为“有效促销”，当时，称为“过度促销”．
（1）从这7个品牌中随机抽取4个品牌，求取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率；
（2）从这7个品牌中随机抽取3个，记这3个品牌中“有效促销”的个数为，求的分布列与期望．
【答案】（1）解： 由题知7个品牌中“有效促销”有3个，“过度促销”有2个．
设取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多为事件，
则．
（2）解： 7个品牌中有3个品牌是“有效促销”，的可能取值是0，1，2，3，
；
．
的分布列为
0 1 2 3
所以．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先求出“有效促销”和“过度促销”品牌个数，然后求出基本事件总数以及所求问题的事件数，计算比值即可；
（2）由题意可知“有效促销”的品牌数，写出随机变量的可能取值，再求相应的概率即可求出分布列和数学期望.
17．（2024高二下·十堰期末）设曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为．
（1）当切线与直线平行时，求实数的值；
（2）当时，求的最大值．
【答案】（1）解： 因为，所以．
因为切线与直线平行，所以，
得．
（2）解： 因为，所以，
所以切线方程为．
令，得；令，得．
因为，所以．
因为，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，得，则，解出即可；
（2）先求出的表达式，然后利用导数求解即可.
18．（2024高二下·十堰期末）为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）．
（1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进人初赛的概率；
（2）已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望；
（3）进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值．
【答案】（1）解： 设为甲的答题数，则可能取3，4，5．
；
；
．
所以甲进人初赛的概率为．
（2）解： 可能取0，5，10，15，20．
；
；
；
；
．
的分布列为
0 5 10 15 20
所以．
（3）解： 因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为，
所以甲能胜出的概率，
即．
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设为甲的答题数，则可能取3，4，5．求出对应的概率即可得解；
（2）可能取0，5，10，15，20．求出对应的概率，列出分布列求出期望即可；
（3）甲能胜出的概率，即．求导，分析函数的单调性即可求出最小值.
19．（2024高二下·十堰期末）已知函数．
（1）若在上单调递增，求实数的最大值；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在且，使得，证明：．
【答案】（1）解：因为函数在上单调递增，所以在上恒成立．
因为，所以，即对恒成立．
因为，所以，即实数的最大值是2．
（2）解：．
①当时，，则在上单调递增；
②当时，，则在上单调递增；
③当时，令，得，
则在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减．
（3）证明：因为，所以，
因为在上单调递增，所以．
要证，即证．
因为在上单调递增，所以只需证．
又因为，所以只需证，
即证．
记，
则，
所以在上单调递增，所以，
故成立．
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意可得关于的不等式，将恒成立问题转化为最值问题，再利用基本不等式即可得解；
（2）求导，再对参数分类讨论，即可得出函数的单调性；
（3）根据已知条件先对进行转化，再构造函数，并利用导数求出单调性，从而得证.
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