浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学6月期末试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·杭州月考）已知复数，（i为虚数单位，），则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：易知复数，复数对应的点，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据复数的减法运算求解，再根据复数的几何意义判断即可.
2．（2024高二下·杭州月考）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是，.
故答案为：D.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．（2024高二下·杭州月考）下列函数中，以为最小正周期的奇函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：A、函数是最小正周期为π的奇函数，故A正确；
B、函数为最小正周期为2π的偶函数，故B错误；
C、函数是偶函数，不符合题意，故C错误；
D、含糊是偶函数，不符合题意，故D错误．
故答案为：A.
【分析】利用三角函数的奇偶性和周期性判断即可．
4．（2024高二下·杭州月考）若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：甲、乙、丙三人排成一行，共有种不同的排法，
甲不在中间的，共有种不同的排法，则甲不在中间的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据排列组合，结合古典概型的概率公式求解即可.
5．（2024高二下·杭州月考）在正方体中，P，Q分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点D，P，Q的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：在正方体中，取，，
连接，，，，，，如图所示：
在正方体中，，分别是棱和上的点，且，，
则，且，故四边形为平行四边形，则，，
又因为，且，所以四边形为平行四边形，
则，，所以，，所以为平行四边形，
则正方体中过点，，的截面形状为四边形.
故答案为：B.
【分析】作出截面图形判断即可.
6．（2024高二下·杭州月考）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】解：函数，的单调性相反，且图象均不过原点，故排除AD；
过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知，
则单调递减，单调递增，故排除B.
故答案为：C.
【分析】由指数函数、对数函数的系数判断其单调性相反排除AD，再根据幂函数图象判断出的范围，即可得图象.
7．（2024高二下·杭州月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
故，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据正弦的两角和差公式以及弦切互化公式求解即可.
8．（2024高二下·杭州月考）已知经过圆锥SO的轴的截面是顶角为的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；余弦定理
【解析】【解答】解：作出圆锥的轴截面，如图所示：
上部分小圆锥一定有内切球，故只需下部分圆台有内切球即可，
设圆台的内切球的球心，因为上、下两部分几何体的体积之比是，
所以截得的小圆锥与原圆锥的体积之比为，圆台上下底面圆半径之比为，
设圆台上底面半径为，则圆台下底面半径为，
圆台存在内切球时，由切线长定理可得圆台母线长，则可得圆锥的母线，
圆锥的轴截面等腰三角形底边，
在中，由余弦定理可得.
故答案为：C.
【分析】作圆锥的轴截面，根据题意推出圆台的上、下底面半径之比为，设圆台上底面半径为，圆台存在内切球可得圆台的母线，在中，由余弦定理求解即可．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024高二下·杭州月考）本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．图中x的值为0.030
B．被抽取的学生中成绩在的人数为15
C．估计样本数据的众数为90
D．估计样本数据的平均数大于中位数
【答案】A,B
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A、由，解得，故A正确；
B、成绩在区间的频率为，人数为，故B正确；
C、众数为，故C错误；
D、平均成绩为，
低于80分的频率为，
设样本数据的中位数为分，则，解得，平均数小于中位数，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可判断A；结合频率与频数的关系求解即可判断B；由图得众数即可判断C；结合平均数的计算公式，以及中位数的计算公式，比较大小即可判断D．
10．（2024高二下·杭州月考）已知向量，，且，则（ ）
A．
B．
C．向量与向量的夹角是45°
D．向量在向量上的投影向量坐标是
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、易知，
因为，所以，解得，则故，故A正确；
B、由A可知，则，故B错误；
C、，则向量与向量的夹角是，故C正确；
D、向量在向量上的投影向量，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据向量坐标线性运算与垂直关系，列出方程求解即可判断A；利用模长公式计算即可判断B；利用向量夹角余弦公式求出夹角即可判断C；利用投影向量公式计算即可判断D.
11．（2024高二下·杭州月考）已知，设函数满足，则（ ）
A．
B．当时，不一定是常数函数
C．若，则
D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，可得，则，
A、 当时，，故A正确；
B、若，时，，故B错误；
C、取，则，
解得，故C正确；
D、若且时，此时，则，
故显然满足，
若，则，
此时，故成立，
若，则，
此时，故成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】联立方程可得，即可代入求解即可判断A；根据时，，即可求解判断B；取代入题中式子即可求解判断C；分类讨论，结合共轭复数的定义，代入求解即可判断D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·杭州月考）函数与的图象关于直线 对称．
【答案】
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：因为与互为反函数，所以与图象关于对称.
故答案为：
【分析】根据反函数的性质求解即可.
13．（2024高二下·杭州月考）若某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径是 ．
【答案】2
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的半径为，则扇形的面积为，解得.
故答案为：.
【分析】根据扇形面积计算公式直接求解即可.
14．（2024高二下·杭州月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，若△ABC的面积为，则 ．
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由，根据余弦定理可得，
因为，所以，所以，可得，
因为，所以，所以，
，
由正弦定理，
得，，
若的面积为，则，解得，
则.
故答案为：.
【分析】根据已知条件，利用余弦定理求出，再由正弦定理用表示，最后利用面积求出即可得a的值.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·杭州月考）已知函数．
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值、最小值及相应的x的值．
【答案】（1）解：，故；
由，令，，
则，，
故函数的单调递增区间为，；
（2）解：当时，，
则，即，
即在区间上的最小值和最大值分别为0，3，
即时，即时，有最小值0，
当，即时，有最大值3．
【知识点】二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用余弦的二倍角公式结合辅助角公式化简求函数解析式，再由正弦型函数的性质求周期、单调区间即可；
（2）根据自变量的范围，求出的范围，再利用正弦函数性质求最值即可.
16．（2024高二下·杭州月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PD与底面所成的角为45°，E为PD的中点．
（1）求证：AE⊥平面PCD；
（2）若，求平面ABC与平面PBC的夹角大小．
【答案】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
因为PD与平面ABCD所成的角为45°，PA⊥平面ABCD，
所以，且，
又E为PD的中点，所以AE⊥PD，
因为CD⊥AD，又CD⊥PA，故CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，
所以平面PCD．
（2）解：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又，故BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，又BC⊥AB，则∠PBA即为所求，
由（1）知：，则，所以．
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由题意可得与底面所成的角即为，即，则，再由题意得出⊥平面，则，根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）由二面角的定义可得平面与平面的夹角即为，结合（1）的结论即可得夹角大小.
17．（2024高二下·杭州月考）已知函数，．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
【答案】（1）解：当时，函数，，则，，
故函数在处的切线方程为：．
（2）解：，
①若，，则在上单调递减，
②若，当时，解得，
当，；当，；
所以在上单调递增，在上单调递减．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义结合点斜式求切线方程即可；
（2）求导可得，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性即可.
18．（2024高二下·杭州月考）已知椭圆C的焦点在x轴上，上顶点，右焦点F，离心率．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C交于P，Q两点．
（i）若直线l与MF垂直，求线段PQ中点的轨迹方程；
（ii）是否存在直线l，使F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：，，则易得，故椭圆方程为．
（2）解：（i）由题意得：，因为，所以，则，
设直线，，，联立，可得，
，所以，
由韦达定理得：，，，
设线段PQ中点为，则，，
则PQ中点的轨迹方程为．
（ii）因为F恰为△PQM的垂心，有
所以
又，得，
即，
代入韦达定理得，
解得或．经检验符合条件，
则直线l的方程为：．
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内中点坐标公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，易求，即可得椭圆方程；
（2）（i）设直线，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到：，，设线段PQ中点为，利用中点坐标公式即可求中点的轨迹方程；
（ii）由F恰为的垂心，有，可得，代入即可求直线方程.
19．（2024高二下·杭州月考）已知数列满足，数列满足，．
（1）求，的通项公式；
（2）定义：已知数列，，当时，称为“4一偶数项和整除数列”．
（i）计算，，其中，．
（ii）若为“4-偶数项和整除数列”，求的最小值．
【答案】（1）解：因为数列满足，，则，
又因为，所以；
因为数列满足，，则，且，
故数列是以首项为3，公比为3的等比数列，故．
（2）解：（i）
．
（ii）当时，，
显然，，2，3不满足题意．
当时，
，
，得证．
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的递推公式；二项式定理；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据数列的递推式化简求数列的通项公式即可；
（2）（i）利用等差数列求和公式得到，再利用等比数列求和公式得；
（ii）根据得到，2，3不满足题意，满足要求，进一步得到，变形后结合二项式定理得到，并得到，得到结论.
1 / 1浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学6月期末试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·杭州月考）已知复数，（i为虚数单位，），则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高二下·杭州月考）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024高二下·杭州月考）下列函数中，以为最小正周期的奇函数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·杭州月考）若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·杭州月考）在正方体中，P，Q分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点D，P，Q的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．（2024高二下·杭州月考）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·杭州月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·杭州月考）已知经过圆锥SO的轴的截面是顶角为的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024高二下·杭州月考）本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．图中x的值为0.030
B．被抽取的学生中成绩在的人数为15
C．估计样本数据的众数为90
D．估计样本数据的平均数大于中位数
10．（2024高二下·杭州月考）已知向量，，且，则（ ）
A．
B．
C．向量与向量的夹角是45°
D．向量在向量上的投影向量坐标是
11．（2024高二下·杭州月考）已知，设函数满足，则（ ）
A．
B．当时，不一定是常数函数
C．若，则
D．若，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·杭州月考）函数与的图象关于直线 对称．
13．（2024高二下·杭州月考）若某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径是 ．
14．（2024高二下·杭州月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，若△ABC的面积为，则 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·杭州月考）已知函数．
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值、最小值及相应的x的值．
16．（2024高二下·杭州月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PD与底面所成的角为45°，E为PD的中点．
（1）求证：AE⊥平面PCD；
（2）若，求平面ABC与平面PBC的夹角大小．
17．（2024高二下·杭州月考）已知函数，．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
18．（2024高二下·杭州月考）已知椭圆C的焦点在x轴上，上顶点，右焦点F，离心率．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C交于P，Q两点．
（i）若直线l与MF垂直，求线段PQ中点的轨迹方程；
（ii）是否存在直线l，使F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
19．（2024高二下·杭州月考）已知数列满足，数列满足，．
（1）求，的通项公式；
（2）定义：已知数列，，当时，称为“4一偶数项和整除数列”．
（i）计算，，其中，．
（ii）若为“4-偶数项和整除数列”，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：易知复数，复数对应的点，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据复数的减法运算求解，再根据复数的几何意义判断即可.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是，.
故答案为：D.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：A、函数是最小正周期为π的奇函数，故A正确；
B、函数为最小正周期为2π的偶函数，故B错误；
C、函数是偶函数，不符合题意，故C错误；
D、含糊是偶函数，不符合题意，故D错误．
故答案为：A.
【分析】利用三角函数的奇偶性和周期性判断即可．
4．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：甲、乙、丙三人排成一行，共有种不同的排法，
甲不在中间的，共有种不同的排法，则甲不在中间的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据排列组合，结合古典概型的概率公式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：在正方体中，取，，
连接，，，，，，如图所示：
在正方体中，，分别是棱和上的点，且，，
则，且，故四边形为平行四边形，则，，
又因为，且，所以四边形为平行四边形，
则，，所以，，所以为平行四边形，
则正方体中过点，，的截面形状为四边形.
故答案为：B.
【分析】作出截面图形判断即可.
6．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】解：函数，的单调性相反，且图象均不过原点，故排除AD；
过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知，
则单调递减，单调递增，故排除B.
故答案为：C.
【分析】由指数函数、对数函数的系数判断其单调性相反排除AD，再根据幂函数图象判断出的范围，即可得图象.
7．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
故，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据正弦的两角和差公式以及弦切互化公式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；余弦定理
【解析】【解答】解：作出圆锥的轴截面，如图所示：
上部分小圆锥一定有内切球，故只需下部分圆台有内切球即可，
设圆台的内切球的球心，因为上、下两部分几何体的体积之比是，
所以截得的小圆锥与原圆锥的体积之比为，圆台上下底面圆半径之比为，
设圆台上底面半径为，则圆台下底面半径为，
圆台存在内切球时，由切线长定理可得圆台母线长，则可得圆锥的母线，
圆锥的轴截面等腰三角形底边，
在中，由余弦定理可得.
故答案为：C.
【分析】作圆锥的轴截面，根据题意推出圆台的上、下底面半径之比为，设圆台上底面半径为，圆台存在内切球可得圆台的母线，在中，由余弦定理求解即可．
9．【答案】A,B
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A、由，解得，故A正确；
B、成绩在区间的频率为，人数为，故B正确；
C、众数为，故C错误；
D、平均成绩为，
低于80分的频率为，
设样本数据的中位数为分，则，解得，平均数小于中位数，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可判断A；结合频率与频数的关系求解即可判断B；由图得众数即可判断C；结合平均数的计算公式，以及中位数的计算公式，比较大小即可判断D．
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、易知，
因为，所以，解得，则故，故A正确；
B、由A可知，则，故B错误；
C、，则向量与向量的夹角是，故C正确；
D、向量在向量上的投影向量，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据向量坐标线性运算与垂直关系，列出方程求解即可判断A；利用模长公式计算即可判断B；利用向量夹角余弦公式求出夹角即可判断C；利用投影向量公式计算即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，可得，则，
A、 当时，，故A正确；
B、若，时，，故B错误；
C、取，则，
解得，故C正确；
D、若且时，此时，则，
故显然满足，
若，则，
此时，故成立，
若，则，
此时，故成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】联立方程可得，即可代入求解即可判断A；根据时，，即可求解判断B；取代入题中式子即可求解判断C；分类讨论，结合共轭复数的定义，代入求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：因为与互为反函数，所以与图象关于对称.
故答案为：
【分析】根据反函数的性质求解即可.
13．【答案】2
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的半径为，则扇形的面积为，解得.
故答案为：.
【分析】根据扇形面积计算公式直接求解即可.
14．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由，根据余弦定理可得，
因为，所以，所以，可得，
因为，所以，所以，
，
由正弦定理，
得，，
若的面积为，则，解得，
则.
故答案为：.
【分析】根据已知条件，利用余弦定理求出，再由正弦定理用表示，最后利用面积求出即可得a的值.
15．【答案】（1）解：，故；
由，令，，
则，，
故函数的单调递增区间为，；
（2）解：当时，，
则，即，
即在区间上的最小值和最大值分别为0，3，
即时，即时，有最小值0，
当，即时，有最大值3．
【知识点】二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用余弦的二倍角公式结合辅助角公式化简求函数解析式，再由正弦型函数的性质求周期、单调区间即可；
（2）根据自变量的范围，求出的范围，再利用正弦函数性质求最值即可.
16．【答案】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
因为PD与平面ABCD所成的角为45°，PA⊥平面ABCD，
所以，且，
又E为PD的中点，所以AE⊥PD，
因为CD⊥AD，又CD⊥PA，故CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，
所以平面PCD．
（2）解：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又，故BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，又BC⊥AB，则∠PBA即为所求，
由（1）知：，则，所以．
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由题意可得与底面所成的角即为，即，则，再由题意得出⊥平面，则，根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）由二面角的定义可得平面与平面的夹角即为，结合（1）的结论即可得夹角大小.
17．【答案】（1）解：当时，函数，，则，，
故函数在处的切线方程为：．
（2）解：，
①若，，则在上单调递减，
②若，当时，解得，
当，；当，；
所以在上单调递增，在上单调递减．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义结合点斜式求切线方程即可；
（2）求导可得，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性即可.
18．【答案】（1）解：由题意得：，，则易得，故椭圆方程为．
（2）解：（i）由题意得：，因为，所以，则，
设直线，，，联立，可得，
，所以，
由韦达定理得：，，，
设线段PQ中点为，则，，
则PQ中点的轨迹方程为．
（ii）因为F恰为△PQM的垂心，有
所以
又，得，
即，
代入韦达定理得，
解得或．经检验符合条件，
则直线l的方程为：．
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内中点坐标公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，易求，即可得椭圆方程；
（2）（i）设直线，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到：，，设线段PQ中点为，利用中点坐标公式即可求中点的轨迹方程；
（ii）由F恰为的垂心，有，可得，代入即可求直线方程.
19．【答案】（1）解：因为数列满足，，则，
又因为，所以；
因为数列满足，，则，且，
故数列是以首项为3，公比为3的等比数列，故．
（2）解：（i）
．
（ii）当时，，
显然，，2，3不满足题意．
当时，
，
，得证．
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的递推公式；二项式定理；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据数列的递推式化简求数列的通项公式即可；
（2）（i）利用等差数列求和公式得到，再利用等比数列求和公式得；
（ii）根据得到，2，3不满足题意，满足要求，进一步得到，变形后结合二项式定理得到，并得到，得到结论.
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