浙江省A9协作体2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·浙江期中）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·浙江期中）下列求导数的运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·浙江期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·浙江期中）某药厂用甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这三个地区的供货量分别占，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.8，0.6，0.7，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品为优等品的概率为（ ）
A．0.18 B．0.21 C．0.38 D．0.69
5．（2024高二下·浙江期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
6．（2024高二下·浙江期中）已知函数，则（ ）
A．在处的切线方程为 B．的极小值为0
C．在单调递增 D．有三个实根
7．（2024高二下·浙江期中）已知的展开式中的系数为11，则的展开式中的偶次幂项的系数之和为（ ）
A．29 B．30 C．58 D．60
8．（2024高二下·浙江期中）若不等式在上恒成立，则mn的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．（2024高二下·浙江期中）已知事件A，B满足且，则一定有（ ）
A． B．
C．A，B相互独立 D．
10．（2024高二下·浙江期中）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为0 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为4
11．（2024高二下·浙江期中）已知函数满足，则时， （ ）
A．为的极值点 B．为导函数的极值点
C．为的极大值点 D．为的极小值点
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．（2024高二下·浙江期中）的展开式中的常数项为 .
13．（2024高二下·浙江期中）将3男3女共6人排成一列，要求男生甲与其他男生不相邻，则不同的排法种数有 种.
14．（2024高二下·浙江期中）已知不等式在上恒成立，则的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·浙江期中）已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求正实数的取值范围.
16．（2024高二下·浙江期中）已知盒子中有5个球，其中有3个白球，2个黑球，从中随机取球.
（1）若每次取1个，不放回，直到取到黑球为止，求第二次取到黑球的概率；
（2）若每次取1个，放回，取到黑球停止，且取球不超过3次，设此过程中取到白球的个数为，求的分布列及其数学期望.
17．（2024高二下·浙江期中）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间及极值；
（2）求函数在上的最大值.
18．（2024高二下·浙江期中） 19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为：对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为.
（1）若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的，
①当时，求；
②为了至少有的把握使发射信号“A”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值；
（2）若每次发射信号“A”和“B”的可能性是7：3，已知在2024次发射中，信号“A”发射次的概率最大，求的值.
19．（2024高二下·浙江期中）已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，在上恒成立，求的取值范围；
（3）若(是自然对数的底数)，求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【解答】解：命题 “”的否定是“”，
故答案为：A.
【分析】含量词的命题的否定可通过通过改变量词，否定结论得到.
2．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：对于A，，A正确，
对于B，设，，
函数关于变量的导函数为，
函数关于变量的导函数为
所以，B错误，
对于C，，C正确，
对于D，，
所以，D正确，
故答案为：B.
【分析】根据指数函数求导公式判断A，根据复合函数和对数函数求导公式判断B，根据幂函数求导公式判断C，根据三角函数求导公式结合乘法导数公式判断D.
3．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由于随机变量服从正态分布，
由，及，，
计算可得，故.
故答案为：C
【分析】根据正态分布的对称性即可求得答案.
4．【答案】D
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件表示“药材来自甲地”，事件表示“药材来自乙地”，
事件表示“药材来自丙地”，事件表示“抽到优等品”，
则，，，
，
所以，
所以
，
所以从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是.
故答案为：D.
【分析】从该厂产品中任意取出一件成品是优等品，则此件优等品可能来自甲、乙、丙三地，所以根据全概率公式的步骤及性质进行运算即可得出其概率.
5．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：当即时，不等式为，解集不是R，不符合题意；
当时，应有，解得.
故答案为：B.
【分析】分和两种情况讨论即可.
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，A错误，
令，可得或，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以时，函数取极小值，极小值为，B正确，
函数在上单调递增，在上单调递减，C错误，
当时，，，
，时，，
函数的图象大致如下：
作函数图象如下：
观察图象可得函数与函数的图象有且仅有一个交点，
所以方程有一个实根，D错误，
故答案为：B.
【分析】求函数的导函数，结合导数的几何意义求在处的切线方程，判断A，结合极值的定义判断B，结合导数与单调性的关系判断C，结合函数图象判断D.
7．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的展开式的通项公式为，
的展开式的通项公式为，
所以，得到，解得，得到，
故的展开式中的偶次幂项的系数之和为，
故答案为：A.
【分析】根据条件，利用和的展开式的通项公式，即可求出结果.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为在上恒成立，
所以，
设，则，
令，可得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取最大值，最大值为，
所以，故，
所以，
设，
则，令可得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，
所以，
故当，时，取最小值，最小值为，
故答案为：D.
【分析】由条件可得，利用导数求函数的最大值，由此可得，再利用导数求的最小值可得结论.
9．【答案】A,C,D
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，所以，A正确，
因为，所以，
所以，
因为，所以，B错误，
由，，可得，
所以相互独立，C正确，
由条件概率公式可得，D正确，
故答案为：ACD.
【分析】根据对立事件概率关系判断A，根据条件概率公式可得，由此判断BC，结合条件概率公式及对立事件性质判断D.
10．【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A：因为，结合，则，
所以，当且仅当时取等号，此时，故A正确；
B：，当且仅当时，即时取等号，故B正确；
C：，由二次函数的性质可得，当时，此时，最大值为，故C正确；
D：，当且仅当，即时取等号，故D错误；
故答案为：ABC.
【分析】由基本不等式可得AB正确，由二次函数的性质可得C正确，由乘“1”法可判断D错误.
11．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意得，，则，
令，即，
所以，
由得，，
设，则，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，又，
所以，即在上单调递增，
所以无极值，故A错误；
对于B，的导函数为，
令，则，
所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以为导函数的极小值点，故B正确；
对于C，，
由上可知在上递减，在上递增，
所以为的极小值点，故C错误，D正确.
故答案为：BD
【分析】令，利用导数的运算法则，确定，再构造新函数，确定函数的单调性，即可对选项进行判断，得出结论.
12．【答案】2160
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
则可得的展开式中的常数项为.
故答案为：.
【分析】根据二项式定理得展开式的通项，确定的取值即可得的展开式中的常数项.
13．【答案】288
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：因为男生甲不与其他男生相邻，所以男生甲有两类排法：
第一类：男生甲在两个女生之间的排法；
该类方法可分两步：第一步，先在3个女生中任选2人，与甲左右相邻，有种情况，
第二步，将这个整体与其他人进行全排列，有种情况，
由分步乘法计数原理可得满足条件的排法共有种；
第二类：男生甲在队伍的两端，且和一个女生相邻，
该类方法可分为两步，先在3个女生中任选1人与甲相邻，且此时甲有两个位置可选，故有种情况，
第二步，再将其余4人进行全排列，有种情况，
由分步乘法计数原理可得该类有种排法；
根据分类加法计数原理可得男生甲不与其他男生相邻的排法有种.
故答案为：.
【分析】由题意知，男生甲有两种排法：（1）男生甲在两个女生之间，可利用捆绑模型处理；（2）男生甲在队伍的两端，且和一个女生相邻，由此利用分类与分步计数原理，结合排列组合即可解题.
14．【答案】a≤e
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：整理得，即，
设，则恒成立，所以在上单调递增，
则由不等式即为恒成立，所以在上恒成立，
故，设，则，
当时，恒成立，在上单调递增，则，符合题意；
当时，时，，单调递减，时，，单调递增，
则，解得；
综上，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】将不等式转化为，构造函数，求导确定其单调性，从而将不等式再转化为，设，求导讨论单调性得最值，即可打求得取值范围.
15．【答案】（1）解：当
又
所以
（2）解：由已知，
当时，
，则，即
综上
【知识点】子集与真子集；交集及其运算；充分条件
【解析】【分析】
（1）先解一元二次不等式，求出集合，再将代入求出集合，求即可；
（2）由“”是“”的充分条件，可得集合是集合的子集，即可求得的取值范围
16．【答案】（1）解：因第二次取到黑球，则第一次取到白球，
记第取到白球事件为，第取到黑球事件为，
则
（2）解：
所以的分布列为
0 1 2 3
的数学期望为
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】
（1）根据条件，利用排列知识及古典概率公式，即可求出结果；
（2）先求出的可能取值，再利用相互独立事件的概率公式求出对应取值的概率，即可求出分布列，再由期望的计算公式，即可求出结果.
17．【答案】（1）解：当时，
又
令，则，即时，单调递增
令，则，即时，单调递减
当时，有极大值为无极小值
（2）解：
当在单调递增，
，
当
在上单调递增，上单调递减，
①，即在上单调递增，
，
②，即在上单调递增，上单调递减，
，
综上：
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】
（1）求导，求出，的解，即可求出单调区间，进而求出极值；
（2）结合（1）的结论判断函数在上的单调性，计算极值以及端点处的函数值，可得答案.
18．【答案】（1）解：①由题意，
所以
②由题意
所以
解得，即发射次数至少为1250次。
（2）解： 依题意可知，
则，
，
，解得，
，解得，
又，所以当时信号“A”发射次的概率最大.
【知识点】二项分布
【解析】【分析】（1）①依题意可知，则，利用二项分布的概率公式计算可得；②由，即可得到、，结合不等式计算可得；
（2）依题意可得，根据二项分布的概率公式计算，求出的取值范围，即可得解.
19．【答案】（1）解：时，，
又，所以
即切线方程为：
（2）解：法一：，所以在上单调递增，
又
当时，，所以在在上单调递增，
恒成立；
当时，，所以存在，当时，，
在上单调递减，，不成立。
综上，
法二：，
当时恒成立，
当时，
令，令，，所以在上单调递增，，
所以在单调递增
所以，
综上，
（3）证明：法一：，所以在上单调递增，
又，
所以存在，有，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以
令
所以在上单调递增，即，
综上：当时，
法二：令
当，即时，（恒成立）
当，即时，在时单调递增，
，令，
在上，递减；在上，递增，所以.
当，即时，在时单调递减，，
令，时所以，所以，
综上：当时，
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）结合导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程，
（2）法一：利用导数证明在上单调递增，利用单调性，讨论，时函数的函数值的变化规律，由此可得的取值范围；
法二：验证时，不等式成立，当时，条件可转化为，结合导数求函数的最小值可得结论；
（3）法一：判断的单调性结合零点存在性定理证明存在，使得，结合函数的单调性可得，再利用导数证明，证明结论；
法二：，在条件下，结合一次函数性质，利用导数证明结论.
1 / 1浙江省A9协作体2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·浙江期中）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【解答】解：命题 “”的否定是“”，
故答案为：A.
【分析】含量词的命题的否定可通过通过改变量词，否定结论得到.
2．（2024高二下·浙江期中）下列求导数的运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：对于A，，A正确，
对于B，设，，
函数关于变量的导函数为，
函数关于变量的导函数为
所以，B错误，
对于C，，C正确，
对于D，，
所以，D正确，
故答案为：B.
【分析】根据指数函数求导公式判断A，根据复合函数和对数函数求导公式判断B，根据幂函数求导公式判断C，根据三角函数求导公式结合乘法导数公式判断D.
3．（2024高二下·浙江期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由于随机变量服从正态分布，
由，及，，
计算可得，故.
故答案为：C
【分析】根据正态分布的对称性即可求得答案.
4．（2024高二下·浙江期中）某药厂用甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这三个地区的供货量分别占，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.8，0.6，0.7，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品为优等品的概率为（ ）
A．0.18 B．0.21 C．0.38 D．0.69
【答案】D
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件表示“药材来自甲地”，事件表示“药材来自乙地”，
事件表示“药材来自丙地”，事件表示“抽到优等品”，
则，，，
，
所以，
所以
，
所以从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是.
故答案为：D.
【分析】从该厂产品中任意取出一件成品是优等品，则此件优等品可能来自甲、乙、丙三地，所以根据全概率公式的步骤及性质进行运算即可得出其概率.
5．（2024高二下·浙江期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：当即时，不等式为，解集不是R，不符合题意；
当时，应有，解得.
故答案为：B.
【分析】分和两种情况讨论即可.
6．（2024高二下·浙江期中）已知函数，则（ ）
A．在处的切线方程为 B．的极小值为0
C．在单调递增 D．有三个实根
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，A错误，
令，可得或，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以时，函数取极小值，极小值为，B正确，
函数在上单调递增，在上单调递减，C错误，
当时，，，
，时，，
函数的图象大致如下：
作函数图象如下：
观察图象可得函数与函数的图象有且仅有一个交点，
所以方程有一个实根，D错误，
故答案为：B.
【分析】求函数的导函数，结合导数的几何意义求在处的切线方程，判断A，结合极值的定义判断B，结合导数与单调性的关系判断C，结合函数图象判断D.
7．（2024高二下·浙江期中）已知的展开式中的系数为11，则的展开式中的偶次幂项的系数之和为（ ）
A．29 B．30 C．58 D．60
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的展开式的通项公式为，
的展开式的通项公式为，
所以，得到，解得，得到，
故的展开式中的偶次幂项的系数之和为，
故答案为：A.
【分析】根据条件，利用和的展开式的通项公式，即可求出结果.
8．（2024高二下·浙江期中）若不等式在上恒成立，则mn的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为在上恒成立，
所以，
设，则，
令，可得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取最大值，最大值为，
所以，故，
所以，
设，
则，令可得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，
所以，
故当，时，取最小值，最小值为，
故答案为：D.
【分析】由条件可得，利用导数求函数的最大值，由此可得，再利用导数求的最小值可得结论.
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．（2024高二下·浙江期中）已知事件A，B满足且，则一定有（ ）
A． B．
C．A，B相互独立 D．
【答案】A,C,D
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，所以，A正确，
因为，所以，
所以，
因为，所以，B错误，
由，，可得，
所以相互独立，C正确，
由条件概率公式可得，D正确，
故答案为：ACD.
【分析】根据对立事件概率关系判断A，根据条件概率公式可得，由此判断BC，结合条件概率公式及对立事件性质判断D.
10．（2024高二下·浙江期中）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为0 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为4
【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A：因为，结合，则，
所以，当且仅当时取等号，此时，故A正确；
B：，当且仅当时，即时取等号，故B正确；
C：，由二次函数的性质可得，当时，此时，最大值为，故C正确；
D：，当且仅当，即时取等号，故D错误；
故答案为：ABC.
【分析】由基本不等式可得AB正确，由二次函数的性质可得C正确，由乘“1”法可判断D错误.
11．（2024高二下·浙江期中）已知函数满足，则时， （ ）
A．为的极值点 B．为导函数的极值点
C．为的极大值点 D．为的极小值点
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意得，，则，
令，即，
所以，
由得，，
设，则，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，又，
所以，即在上单调递增，
所以无极值，故A错误；
对于B，的导函数为，
令，则，
所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以为导函数的极小值点，故B正确；
对于C，，
由上可知在上递减，在上递增，
所以为的极小值点，故C错误，D正确.
故答案为：BD
【分析】令，利用导数的运算法则，确定，再构造新函数，确定函数的单调性，即可对选项进行判断，得出结论.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．（2024高二下·浙江期中）的展开式中的常数项为 .
【答案】2160
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
则可得的展开式中的常数项为.
故答案为：.
【分析】根据二项式定理得展开式的通项，确定的取值即可得的展开式中的常数项.
13．（2024高二下·浙江期中）将3男3女共6人排成一列，要求男生甲与其他男生不相邻，则不同的排法种数有 种.
【答案】288
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：因为男生甲不与其他男生相邻，所以男生甲有两类排法：
第一类：男生甲在两个女生之间的排法；
该类方法可分两步：第一步，先在3个女生中任选2人，与甲左右相邻，有种情况，
第二步，将这个整体与其他人进行全排列，有种情况，
由分步乘法计数原理可得满足条件的排法共有种；
第二类：男生甲在队伍的两端，且和一个女生相邻，
该类方法可分为两步，先在3个女生中任选1人与甲相邻，且此时甲有两个位置可选，故有种情况，
第二步，再将其余4人进行全排列，有种情况，
由分步乘法计数原理可得该类有种排法；
根据分类加法计数原理可得男生甲不与其他男生相邻的排法有种.
故答案为：.
【分析】由题意知，男生甲有两种排法：（1）男生甲在两个女生之间，可利用捆绑模型处理；（2）男生甲在队伍的两端，且和一个女生相邻，由此利用分类与分步计数原理，结合排列组合即可解题.
14．（2024高二下·浙江期中）已知不等式在上恒成立，则的取值范围是 .
【答案】a≤e
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：整理得，即，
设，则恒成立，所以在上单调递增，
则由不等式即为恒成立，所以在上恒成立，
故，设，则，
当时，恒成立，在上单调递增，则，符合题意；
当时，时，，单调递减，时，，单调递增，
则，解得；
综上，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】将不等式转化为，构造函数，求导确定其单调性，从而将不等式再转化为，设，求导讨论单调性得最值，即可打求得取值范围.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·浙江期中）已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求正实数的取值范围.
【答案】（1）解：当
又
所以
（2）解：由已知，
当时，
，则，即
综上
【知识点】子集与真子集；交集及其运算；充分条件
【解析】【分析】
（1）先解一元二次不等式，求出集合，再将代入求出集合，求即可；
（2）由“”是“”的充分条件，可得集合是集合的子集，即可求得的取值范围
16．（2024高二下·浙江期中）已知盒子中有5个球，其中有3个白球，2个黑球，从中随机取球.
（1）若每次取1个，不放回，直到取到黑球为止，求第二次取到黑球的概率；
（2）若每次取1个，放回，取到黑球停止，且取球不超过3次，设此过程中取到白球的个数为，求的分布列及其数学期望.
【答案】（1）解：因第二次取到黑球，则第一次取到白球，
记第取到白球事件为，第取到黑球事件为，
则
（2）解：
所以的分布列为
0 1 2 3
的数学期望为
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】
（1）根据条件，利用排列知识及古典概率公式，即可求出结果；
（2）先求出的可能取值，再利用相互独立事件的概率公式求出对应取值的概率，即可求出分布列，再由期望的计算公式，即可求出结果.
17．（2024高二下·浙江期中）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间及极值；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）解：当时，
又
令，则，即时，单调递增
令，则，即时，单调递减
当时，有极大值为无极小值
（2）解：
当在单调递增，
，
当
在上单调递增，上单调递减，
①，即在上单调递增，
，
②，即在上单调递增，上单调递减，
，
综上：
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】
（1）求导，求出，的解，即可求出单调区间，进而求出极值；
（2）结合（1）的结论判断函数在上的单调性，计算极值以及端点处的函数值，可得答案.
18．（2024高二下·浙江期中） 19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为：对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为.
（1）若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的，
①当时，求；
②为了至少有的把握使发射信号“A”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值；
（2）若每次发射信号“A”和“B”的可能性是7：3，已知在2024次发射中，信号“A”发射次的概率最大，求的值.
【答案】（1）解：①由题意，
所以
②由题意
所以
解得，即发射次数至少为1250次。
（2）解： 依题意可知，
则，
，
，解得，
，解得，
又，所以当时信号“A”发射次的概率最大.
【知识点】二项分布
【解析】【分析】（1）①依题意可知，则，利用二项分布的概率公式计算可得；②由，即可得到、，结合不等式计算可得；
（2）依题意可得，根据二项分布的概率公式计算，求出的取值范围，即可得解.
19．（2024高二下·浙江期中）已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，在上恒成立，求的取值范围；
（3）若(是自然对数的底数)，求证：.
【答案】（1）解：时，，
又，所以
即切线方程为：
（2）解：法一：，所以在上单调递增，
又
当时，，所以在在上单调递增，
恒成立；
当时，，所以存在，当时，，
在上单调递减，，不成立。
综上，
法二：，
当时恒成立，
当时，
令，令，，所以在上单调递增，，
所以在单调递增
所以，
综上，
（3）证明：法一：，所以在上单调递增，
又，
所以存在，有，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以
令
所以在上单调递增，即，
综上：当时，
法二：令
当，即时，（恒成立）
当，即时，在时单调递增，
，令，
在上，递减；在上，递增，所以.
当，即时，在时单调递减，，
令，时所以，所以，
综上：当时，
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）结合导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程，
（2）法一：利用导数证明在上单调递增，利用单调性，讨论，时函数的函数值的变化规律，由此可得的取值范围；
法二：验证时，不等式成立，当时，条件可转化为，结合导数求函数的最小值可得结论；
（3）法一：判断的单调性结合零点存在性定理证明存在，使得，结合函数的单调性可得，再利用导数证明，证明结论；
法二：，在条件下，结合一次函数性质，利用导数证明结论.
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