四川省眉山市彭山区第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·彭山月考）若，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：因为，所以，解得：m=3.
故答案为：D
【分析】本题主要考查排列组合公式，根据排列及组合公式进行求解即可.
2．（2024高二下·彭山月考）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C．在上存在极小值点 D．在上有最大值
【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：根据 函数的导函数的图象可得：
当时，，当时，，、故在，及上单调递增，在和上单调递减，对比A，B选项知B选项正确.
对于C选项：因为在上 单调递减，无极值点，故C选项错误；
对于D选项：在上单调递增，故在上无最大值.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查利用导数确定函数的单调区间及极值，根据已知导数的图像结合导数的正负与函数单调性的关系可得：在，及上单调递增，在和上单调递减，据此逐项判定即可求解.
3．（2024高二下·彭山月考）曲线的图像在处切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角
【解析】【解答】解：对函数求导可得：，所以，则 曲线的图像在处切线的斜率为，故曲线的图像在处切线的倾斜角为.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查导数的几何意义，根据已知函数的解析式求导，然即可求得其在处切线的斜率，再根据斜率与直线倾斜角的关系即可求解.
4．（2024高二下·彭山月考）已知，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．有极大值，无极小值 D．有极小值3，无极大值
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】，则时，时
在区间上单调递增，在区间上单调递减
有极大值
故答案为：C
【分析】求得，分析函数的单调性与极值即可得到答案.
5．（2024高二下·彭山月考）现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可得事件A发生的情况为甲乙两人只有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，故选择的种数为：，事件A，B同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另外一人选其他景区，个数为，故
故答案为：D.
【分析】本题主要条件概率公式，根据已知条件求出事件A发生的种数和事件A，B同时发生的种数，然后再根据条件概率的计算公式，即可求解.
6．（2024高二下·彭山月考）有6名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，每个舱至少去1人，空间限制，每舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有（ ）种
A．720 B．450 C．360 D．180
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：根据题意可得，6名研究员的安排可以是按平均分组，即每2人一组分到三个研究舱，或者是按人数为1，2，3分为3个组分到三个研究舱，每2人一组分到三个舱时，共有（种）安排方案；按人数为1，2，3分为3个组分到三个研究舱时，共有（种）安排方案，故共有（种）安排方案.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查排列组合的实际运用，根据题意考虑6个人的分钟情况，有两种方式，即每2人一组分到三个研究舱，或者是按人数为1，2，3分为3个组分到三个研究舱，然后根据分类加法计数原理即可求解.
7．（2024高二下·彭山月考）已知定义在上的函数满足，且，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设函数，，所以，又因为，则对恒成立，则函数在上单调递减，又，故，则不等式可转化为：，即，解得：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查导数确定函数的单调性，进而解决含函数的不等式问题，根据题意可构造函数，求导再根据，可得函数在上单调递减，进而可将不等式转化为，进而得到，解出不等式即可求解.
8．（2024高二下·彭山月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：根据a，b，c的式子结构，构造函数，则，令，可得，令，可得：故函数在上单调递增，在上单调递减，又，，，因为，所以，对比选项知C选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题主要利用函数的单调性解决比较大小的问题，根据题意构造函数，然后求导，利用导数的正负，确定函数的单调区间，再根据，，，且结合函数的单调性即可求解.
二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9．（2024高二下·彭山月考）已知X的分布列如图所示，则下列说法正确的有（ ）
X 0 1 2
P a
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：对于A：根据表格可得：，且，解得：，故A选项正确；
对于B选项：故B选项正确；
对于C选项：故C选项错误；
对于D选项：因为：，所以，故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题主要考查离散型随机变量的分布列的性质，根据①；②然后逐项进行判定即可求解.
10．（2024高二下·彭山月考）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有2个红球、1个黄球和1个绿球；黄色盒子内装有2个红球，2个绿球；绿色盒子内装有2个红球，2个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球，记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是
B．第二次抽到红球的概率是
C．如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为
D．小明获得4块月饼的概率是
【答案】A,C,D
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：记红球为1，黄球为2，绿球为3，设事件分别表示第一次，第二次取到球，
对于A选项：在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率，故A选项正确；
对于B选项：依据题意可得：两两互斥，其和为Ω，并且
所以由全概率公式可得：，故B选项错误；
对于C选项：
根据题意可得：第二次的球来自与第一次取的球的颜色相同的盒子，则故C选项正确；
对于D选项：小明获得4块月饼可能得情况有三种：
①第一次从红色盒子内抽到红球、第二次从红色盒子内抽到绿球，其概率为：
②第一次从红色盒子内抽到绿球、第二次从绿色盒子内抽到红球，其概率为：
③第一次从红色盒子内抽到黄球、第二次从黄色盒子内抽到黄球，其概率为：
故小明获得4块月饼的概率为：，故D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题主要考查条件概率公式，记红球为1，黄球为2，绿球为3，设事件分别表示第一次，第二次取到球，然后根据概率公式及条件概率公式在逐项判定即可求解.
11．（2024高二下·彭山月考）已知函数 有两个零点 ， ，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A．
B． 在 上单调递增
C．
D．若 ，则
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点
【解析】【解答】解：令f(x)=lnx-ax=0(x>0)，则，记(x>0)
则令，得x=e，
当x∈（0，e）时，g'(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈（e，+∞）时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
且当x趋近于0时，g(x)趋近于-∞，当x趋近于+∞时，g(x)趋近于0，
所以g(x)max=g(e)=，
作出函数g(x)的图象，如图所示，
对于A，有题意知y=a与y=g(x)有两个交点，且交点的横坐标为x1，x2，所以，故A正确；
对于B，因为，
所以当时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
又因为，所以，
所以，
所以 y=f(x)在（0，e）上单调递增，故B正确；
对于C，当a趋近于时，x1+x2趋近于2e<6，故C错误；
对于D，因为f(x)在上单调递增，在上单调递减，且，
所以，
所以f(1)=-a<0=f(x1)，则x1>1，
因为
所以
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数零点的几何意义，运用数形结合的思想求解即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·彭山月考）设有9件药品，其中4件是次品，现进行两次无放回抽样，即每次抽一件不放回去，则两次都抽到正品的概率是 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：两次都抽到正品的概率为：
故答案为：.
【分析】本题主要考查古典概率公式，根据题意结合古典概率公式即可求解.
13．（2024高二下·彭山月考）已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 .
【答案】10
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：因为：的展开式中各项系数的和与x无关，故令x=1，可得展开式中各项系数的和为：，故解得：，
故，设的展开式通项公式为：，中有常数项有两种情况：①与的积为常数项，此时：即r=6，与相矛盾；②与的积为常数项，此时，解得：r=4，则 展开式中的常数项为
故答案为：10.
【分析】本题主要考查二项式展开式的性质及展开式通项公式，根据题意令x=1，可得展开式中各项系数的和为：，故解得：，，设的展开式通项公式为：，分以下两种情况：①与，②与的积为常数项进行讨论进行求解即可.
14．（2024高二下·彭山月考）已知曲线与有公共切线，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设公切线与曲线的切点为，其中，对求导可得：，故曲线上的切线方程为：，即，同理对，求导可得：，则曲线上的切线方程为：
即，所以有：，即，令，，则，令，得，故当时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以，即则 实数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题主要考查导数的几何意义，利用导数确定函数的单调区间，设公切线与曲线的切点为，其中，根据导数的几何意义分别求出和上的切线方程，再根据所得切线方程的相关系数相等列出方程组，进而得到：，然后构造函数并利用导数确定其单调区间，进而找到其最大值即可求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15．（2024高二下·彭山月考）已知函数，且，求：
（1）a的值；
（2）曲线在点处的切线方程；
（3）函数在区间上的最大值.
【答案】（1）解：∵，∴∴，解得：
（2）解：由（1）知，所以，曲线在点处的斜率为，
所以切线方程，即，即.
（3）解：由（1）可知：，，令，解得，，
故当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增；
所以区间内，当或时可能取最大值，
又，，所以最大值为.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；实际问题中导数的意义
【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，利用导数确定函数的单调区间，进而确定函数的最值.
（1）对函数求导，利用，解出a即可求解；
（2）由（1）知，然后求导，利用导数的几何意义，求得曲线在点处的切线的斜率，然后运用点斜式进行求解即可；
（3）求得函数的导数，然后利用导数的正负，确定函数的单调区间，进而找到其极大值然后与端点值进行比较即可求解.
16．（2024高二下·彭山月考）已知，其中，，，…，，若第二项与第三项的二项式系数之比是；
（1）求n的值；
（2）求（可用指数形式作答）；
（3）若，求该二项式的值被8除的余数.
【答案】（1）解：第二项与第三项的二项式系数之比是，所以，即，解得：
（2）解：令，得，
，得，得
（3）解：当，
因为8是8的倍数，所以能被8整除，
所以被8除的余数为1.
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【分析】本题主要考查二项式展开式的相关知识，（1）由已知可得，然后利用组合公式进行求解即可；
（2）采用赋值法分别令x=0及x=1，即可求解；
（3），然后利用二项式的展开式可求二项式的值被8除的余数.
17．（2024高二下·彭山月考）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答
（1）求甲、乙共答对2道题目的概率；
（2）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
（3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
【答案】（1）解：由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：
（2）解：设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3.
，，.
X 1 2 3
P
X的分布列为：
所以，.
（3）解：设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3.
X 0 1 2 3
P
得到，.
因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，
所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛.
【知识点】等可能事件的概率；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】本题主要考查概率的求法，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法与应用，互斥事件概率的加法公式等基础知识.
（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题为：甲2个，乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加即可求解；
（2）设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，然后分别求出相应的概率，进而得到X的分布列，再求出数学期望与方差即可求解；
（3）设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，同（2）求得然后与进行比较即可求解.
18．（2024高二下·彭山月考）设，.
（1）当时，求的极值；、
（2）讨论函数的单调性；
（3）若有恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）解：的定义域为，因为，
∴，∴时，，单调递增，
时，，单调递增，时，，单调递减，
∴，
（2）解：由题：，
当时：，时，，单调递减，
时，，单调递增；
当时：∵，∴时，，单调递减，
时，，单调递增；
当时：①若即，所以，，单调递增，
时，，单调递减；时，，单调递增，
②若即，，则在单调递增；
③若即，所以时，，单调递增，时，，单调递减；时，，单调递增
（3）解：欲使恒成立，只需，
根据（2）的结论，
1，当时：时，，单调递增；时，，单调递减，∴令，得，此时，；
2当时：①若即，所以时，，单调递增，时，，单调递减；时，，单调递增；
②若即，时，，单调递增；
③若即，所以时，，单调递增，
时，，单调递减；时，，单调递增；
不论上述哪种情况，均有时，因此，不可能有恒成立，舍去.
综上：a的取值范围为.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题主要考查利用导数确定函数的单调区间及极值，分类讨论思想的运用，属于中档难度的题型.
（1）先求得函数的定义域，然后求导，利用导数的正负确定函数的单调区间，进而即可求得函数的极值；
（2）求得导数，然后分进行分类讨论即可求解；
（3）欲使恒成立，只需，根据（2）的结论，分进讨论求解即可.
19．（2024高二下·彭山月考）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.
（1）求曲线在处的曲率的平方；
（2）求余弦曲线曲率的最大值；
（3）余弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程.
【答案】（1）解：，，，
所以，∴.
（2）解：，，，所，，令，则，，
设，则，显然当时，，递减，
所以.最大值为1，所以K的最大值为1.
（3）解：在区间上有且仅有2个零点.
证明：，所以，
①当时，因为，，则，，
∴，在单调递增，又，.∴在上有一个零点，
②设，则当时，，单调递增，
，又，
∴恒成立，
∴在上无零点.
③当时，，，
∴在上单调递减：又，.
∴在上必存在一个零点.
综上，在区间上有且仅有2个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】本题属于新定义题型，主要考查对导数知识的理解与灵活运用，考查考生的理解能力，计算能力，运用所学知识解决时间问题的能力.
（1）根据题目所给定义，结合导数的运算规则进行求解即可；
（2）根据曲率K的定义，结合已知条件求得：，然后运用换元的思想，构造函数，并求导，利用导数确定其单调区间，求出其值域即可求解；
（3）根据题意可得构造函数，然后求导，通过分类讨论研究函数的单调性和极值，进而判定零点的个数.
1 / 1四川省眉山市彭山区第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·彭山月考）若，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2024高二下·彭山月考）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C．在上存在极小值点 D．在上有最大值
3．（2024高二下·彭山月考）曲线的图像在处切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·彭山月考）已知，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．有极大值，无极小值 D．有极小值3，无极大值
5．（2024高二下·彭山月考）现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·彭山月考）有6名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，每个舱至少去1人，空间限制，每舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有（ ）种
A．720 B．450 C．360 D．180
7．（2024高二下·彭山月考）已知定义在上的函数满足，且，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·彭山月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9．（2024高二下·彭山月考）已知X的分布列如图所示，则下列说法正确的有（ ）
X 0 1 2
P a
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·彭山月考）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有2个红球、1个黄球和1个绿球；黄色盒子内装有2个红球，2个绿球；绿色盒子内装有2个红球，2个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球，记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是
B．第二次抽到红球的概率是
C．如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为
D．小明获得4块月饼的概率是
11．（2024高二下·彭山月考）已知函数 有两个零点 ， ，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A．
B． 在 上单调递增
C．
D．若 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·彭山月考）设有9件药品，其中4件是次品，现进行两次无放回抽样，即每次抽一件不放回去，则两次都抽到正品的概率是 .
13．（2024高二下·彭山月考）已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 .
14．（2024高二下·彭山月考）已知曲线与有公共切线，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15．（2024高二下·彭山月考）已知函数，且，求：
（1）a的值；
（2）曲线在点处的切线方程；
（3）函数在区间上的最大值.
16．（2024高二下·彭山月考）已知，其中，，，…，，若第二项与第三项的二项式系数之比是；
（1）求n的值；
（2）求（可用指数形式作答）；
（3）若，求该二项式的值被8除的余数.
17．（2024高二下·彭山月考）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答
（1）求甲、乙共答对2道题目的概率；
（2）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
（3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
18．（2024高二下·彭山月考）设，.
（1）当时，求的极值；、
（2）讨论函数的单调性；
（3）若有恒成立，求a的取值范围.
19．（2024高二下·彭山月考）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.
（1）求曲线在处的曲率的平方；
（2）求余弦曲线曲率的最大值；
（3）余弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：因为，所以，解得：m=3.
故答案为：D
【分析】本题主要考查排列组合公式，根据排列及组合公式进行求解即可.
2．【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：根据 函数的导函数的图象可得：
当时，，当时，，、故在，及上单调递增，在和上单调递减，对比A，B选项知B选项正确.
对于C选项：因为在上 单调递减，无极值点，故C选项错误；
对于D选项：在上单调递增，故在上无最大值.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查利用导数确定函数的单调区间及极值，根据已知导数的图像结合导数的正负与函数单调性的关系可得：在，及上单调递增，在和上单调递减，据此逐项判定即可求解.
3．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角
【解析】【解答】解：对函数求导可得：，所以，则 曲线的图像在处切线的斜率为，故曲线的图像在处切线的倾斜角为.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查导数的几何意义，根据已知函数的解析式求导，然即可求得其在处切线的斜率，再根据斜率与直线倾斜角的关系即可求解.
4．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】，则时，时
在区间上单调递增，在区间上单调递减
有极大值
故答案为：C
【分析】求得，分析函数的单调性与极值即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可得事件A发生的情况为甲乙两人只有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，故选择的种数为：，事件A，B同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另外一人选其他景区，个数为，故
故答案为：D.
【分析】本题主要条件概率公式，根据已知条件求出事件A发生的种数和事件A，B同时发生的种数，然后再根据条件概率的计算公式，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：根据题意可得，6名研究员的安排可以是按平均分组，即每2人一组分到三个研究舱，或者是按人数为1，2，3分为3个组分到三个研究舱，每2人一组分到三个舱时，共有（种）安排方案；按人数为1，2，3分为3个组分到三个研究舱时，共有（种）安排方案，故共有（种）安排方案.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查排列组合的实际运用，根据题意考虑6个人的分钟情况，有两种方式，即每2人一组分到三个研究舱，或者是按人数为1，2，3分为3个组分到三个研究舱，然后根据分类加法计数原理即可求解.
7．【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设函数，，所以，又因为，则对恒成立，则函数在上单调递减，又，故，则不等式可转化为：，即，解得：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查导数确定函数的单调性，进而解决含函数的不等式问题，根据题意可构造函数，求导再根据，可得函数在上单调递减，进而可将不等式转化为，进而得到，解出不等式即可求解.
8．【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：根据a，b，c的式子结构，构造函数，则，令，可得，令，可得：故函数在上单调递增，在上单调递减，又，，，因为，所以，对比选项知C选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题主要利用函数的单调性解决比较大小的问题，根据题意构造函数，然后求导，利用导数的正负，确定函数的单调区间，再根据，，，且结合函数的单调性即可求解.
9．【答案】A,B,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：对于A：根据表格可得：，且，解得：，故A选项正确；
对于B选项：故B选项正确；
对于C选项：故C选项错误；
对于D选项：因为：，所以，故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题主要考查离散型随机变量的分布列的性质，根据①；②然后逐项进行判定即可求解.
10．【答案】A,C,D
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：记红球为1，黄球为2，绿球为3，设事件分别表示第一次，第二次取到球，
对于A选项：在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率，故A选项正确；
对于B选项：依据题意可得：两两互斥，其和为Ω，并且
所以由全概率公式可得：，故B选项错误；
对于C选项：
根据题意可得：第二次的球来自与第一次取的球的颜色相同的盒子，则故C选项正确；
对于D选项：小明获得4块月饼可能得情况有三种：
①第一次从红色盒子内抽到红球、第二次从红色盒子内抽到绿球，其概率为：
②第一次从红色盒子内抽到绿球、第二次从绿色盒子内抽到红球，其概率为：
③第一次从红色盒子内抽到黄球、第二次从黄色盒子内抽到黄球，其概率为：
故小明获得4块月饼的概率为：，故D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题主要考查条件概率公式，记红球为1，黄球为2，绿球为3，设事件分别表示第一次，第二次取到球，然后根据概率公式及条件概率公式在逐项判定即可求解.
11．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点
【解析】【解答】解：令f(x)=lnx-ax=0(x>0)，则，记(x>0)
则令，得x=e，
当x∈（0，e）时，g'(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈（e，+∞）时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
且当x趋近于0时，g(x)趋近于-∞，当x趋近于+∞时，g(x)趋近于0，
所以g(x)max=g(e)=，
作出函数g(x)的图象，如图所示，
对于A，有题意知y=a与y=g(x)有两个交点，且交点的横坐标为x1，x2，所以，故A正确；
对于B，因为，
所以当时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
又因为，所以，
所以，
所以 y=f(x)在（0，e）上单调递增，故B正确；
对于C，当a趋近于时，x1+x2趋近于2e<6，故C错误；
对于D，因为f(x)在上单调递增，在上单调递减，且，
所以，
所以f(1)=-a<0=f(x1)，则x1>1，
因为
所以
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数零点的几何意义，运用数形结合的思想求解即可.
12．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：两次都抽到正品的概率为：
故答案为：.
【分析】本题主要考查古典概率公式，根据题意结合古典概率公式即可求解.
13．【答案】10
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：因为：的展开式中各项系数的和与x无关，故令x=1，可得展开式中各项系数的和为：，故解得：，
故，设的展开式通项公式为：，中有常数项有两种情况：①与的积为常数项，此时：即r=6，与相矛盾；②与的积为常数项，此时，解得：r=4，则 展开式中的常数项为
故答案为：10.
【分析】本题主要考查二项式展开式的性质及展开式通项公式，根据题意令x=1，可得展开式中各项系数的和为：，故解得：，，设的展开式通项公式为：，分以下两种情况：①与，②与的积为常数项进行讨论进行求解即可.
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设公切线与曲线的切点为，其中，对求导可得：，故曲线上的切线方程为：，即，同理对，求导可得：，则曲线上的切线方程为：
即，所以有：，即，令，，则，令，得，故当时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以，即则 实数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题主要考查导数的几何意义，利用导数确定函数的单调区间，设公切线与曲线的切点为，其中，根据导数的几何意义分别求出和上的切线方程，再根据所得切线方程的相关系数相等列出方程组，进而得到：，然后构造函数并利用导数确定其单调区间，进而找到其最大值即可求解.
15．【答案】（1）解：∵，∴∴，解得：
（2）解：由（1）知，所以，曲线在点处的斜率为，
所以切线方程，即，即.
（3）解：由（1）可知：，，令，解得，，
故当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增；
所以区间内，当或时可能取最大值，
又，，所以最大值为.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；实际问题中导数的意义
【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，利用导数确定函数的单调区间，进而确定函数的最值.
（1）对函数求导，利用，解出a即可求解；
（2）由（1）知，然后求导，利用导数的几何意义，求得曲线在点处的切线的斜率，然后运用点斜式进行求解即可；
（3）求得函数的导数，然后利用导数的正负，确定函数的单调区间，进而找到其极大值然后与端点值进行比较即可求解.
16．【答案】（1）解：第二项与第三项的二项式系数之比是，所以，即，解得：
（2）解：令，得，
，得，得
（3）解：当，
因为8是8的倍数，所以能被8整除，
所以被8除的余数为1.
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【分析】本题主要考查二项式展开式的相关知识，（1）由已知可得，然后利用组合公式进行求解即可；
（2）采用赋值法分别令x=0及x=1，即可求解；
（3），然后利用二项式的展开式可求二项式的值被8除的余数.
17．【答案】（1）解：由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：
（2）解：设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3.
，，.
X 1 2 3
P
X的分布列为：
所以，.
（3）解：设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3.
X 0 1 2 3
P
得到，.
因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，
所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛.
【知识点】等可能事件的概率；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】本题主要考查概率的求法，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法与应用，互斥事件概率的加法公式等基础知识.
（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题为：甲2个，乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加即可求解；
（2）设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，然后分别求出相应的概率，进而得到X的分布列，再求出数学期望与方差即可求解；
（3）设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，同（2）求得然后与进行比较即可求解.
18．【答案】（1）解：的定义域为，因为，
∴，∴时，，单调递增，
时，，单调递增，时，，单调递减，
∴，
（2）解：由题：，
当时：，时，，单调递减，
时，，单调递增；
当时：∵，∴时，，单调递减，
时，，单调递增；
当时：①若即，所以，，单调递增，
时，，单调递减；时，，单调递增，
②若即，，则在单调递增；
③若即，所以时，，单调递增，时，，单调递减；时，，单调递增
（3）解：欲使恒成立，只需，
根据（2）的结论，
1，当时：时，，单调递增；时，，单调递减，∴令，得，此时，；
2当时：①若即，所以时，，单调递增，时，，单调递减；时，，单调递增；
②若即，时，，单调递增；
③若即，所以时，，单调递增，
时，，单调递减；时，，单调递增；
不论上述哪种情况，均有时，因此，不可能有恒成立，舍去.
综上：a的取值范围为.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题主要考查利用导数确定函数的单调区间及极值，分类讨论思想的运用，属于中档难度的题型.
（1）先求得函数的定义域，然后求导，利用导数的正负确定函数的单调区间，进而即可求得函数的极值；
（2）求得导数，然后分进行分类讨论即可求解；
（3）欲使恒成立，只需，根据（2）的结论，分进讨论求解即可.
19．【答案】（1）解：，，，
所以，∴.
（2）解：，，，所，，令，则，，
设，则，显然当时，，递减，
所以.最大值为1，所以K的最大值为1.
（3）解：在区间上有且仅有2个零点.
证明：，所以，
①当时，因为，，则，，
∴，在单调递增，又，.∴在上有一个零点，
②设，则当时，，单调递增，
，又，
∴恒成立，
∴在上无零点.
③当时，，，
∴在上单调递减：又，.
∴在上必存在一个零点.
综上，在区间上有且仅有2个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】本题属于新定义题型，主要考查对导数知识的理解与灵活运用，考查考生的理解能力，计算能力，运用所学知识解决时间问题的能力.
（1）根据题目所给定义，结合导数的运算规则进行求解即可；
（2）根据曲率K的定义，结合已知条件求得：，然后运用换元的思想，构造函数，并求导，利用导数确定其单调区间，求出其值域即可求解；
（3）根据题意可得构造函数，然后求导，通过分类讨论研究函数的单调性和极值，进而判定零点的个数.
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