浙江省温州市永嘉县上塘中学2024届高三下学期数学5月模拟考试试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 合题目要求的.
1．（2024·永嘉模拟）已知定义域R的函数f(x)+f(y)=， 求出f(2)是( )
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：令则，
令则，所以，
故答案为：D
【分析】先求出，再令可求出的值.
2．（2024·永嘉模拟）集合M={，}则以下可以是 f(x) 的表达式的是( )
A．x B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A，因为，所以，，，，不满足集合的互异性，A错误，
B，因为，所以，不满足集合的互异性，B错误，
C，因为，所以，，，，C正确，
D，因为，所以，，，，后面再求导，导数均为，不满足集合的互异性，D错误，
故答案为：C.
【分析】先求出每个选项函数的导函数，，，再判断是否满足集合的互异性，逐个选项进行判断，据此可选出答案.
3．（2024·永嘉模拟）若A+B+sin(A+)+sin(B+)=2，(A≠B)，则的最小值是( )
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：
，
由，故，
则，，且、，
即，且、，
故当时，有最小值.
故答案为：B.
【分析】先利用三角函数的诱导公式和辅助角公式化简等式可得：，利用三角函数值域可列出方程，解方程可求出、，进而可求出的最小值.
4．（2024·永嘉模拟）已知抛物线，则焦准距是( )
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由可得，所以，
故焦准距为，
故答案为：D
【分析】先根据抛物线标准方程可求出，再根据抛物线的简单几何性质可求出焦准距.
5．（2024·永嘉模拟）边长为2的立方体被一个平面所截，截得的截面图形面积最大值为( )
A．4 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：当截面过立方体中心且过两条侧棱时，其截面面积最大，
如图所示矩形符合要求
此时截面面积为.
故答案为：A.
【分析】根据正方体的结构特征可得：当截面过立方体中心且过两条侧棱时，截面面积最大，利用矩形的面积公式可求出截面的面积.
6．（2024·永嘉模拟）求 的值为 ( )
A．922 B．923 C．924 D．925
【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由题意知.
故答案为：B.
【分析】先根据题意写出求和表达式，再利用组合数公式计算每个组合数，据此可求出求和公式的值.
7．（2024·永嘉模拟）平面上的两个点A()，B()，其中横纵坐标均为自然数，且不大于5，则两 点之间的距离可以有多少种取值( )
A．19 B．20 C．25 D．27
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：依题意， ，且均不大于5，
将其中任意两个数的差的绝对值记为，则可能的值有共6个，
而A()，B()之间的距离为，
而与的可能的取值都分别有共6个，
故的不同取值可分成五类：
①与中有一个取0，另一个可取六个数，则|AB|的不同取值有：；
②与中有一个取1，另一个可取五个数，则|AB|的不同取值有：；
③与中有一个取2，另一个可取四个数，则|AB|的不同取值有：；
④与中有一个取3，另一个可取两个数，则|AB|的不同取值有：
⑤与中有一个取4，另一个可取两个数，则|AB|的不同取值有：.
由分类加法计数原理可得，不同的取值共有6+5+4+2+2=19个.
故答案为：A.
【分析】根据题意先确定中任意两个数的差的绝对值的所有可能值有共6个，推得与的可能的取值都分别有共6个，再结合两点间距离公式，分五中情况：①与中有一个取0，另一个可取六个数；
②与中有一个取1，另一个可取五个数；③与中有一个取2，另一个可取四个数；④与中有一个取3，另一个可取两个数；⑤与中有一个取4，另一个可取两个数；求出的不同取值，进而可求出答案.
8．（2024·永嘉模拟）古希腊著名的约瑟夫环问题讲的是：共有127个士兵，围成一个环，从一号位的士兵开始，每个存活下来的人依次杀死相邻的下一位士兵，若一名叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站在几号位上？( )
A．1 B．63 C．127 D．31
【答案】C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：由题意，从一号位的士兵开始，每个存活下来的人依次杀死相邻的下一位士兵，杀死所有偶数号士兵后，还剩64个士兵，
号位为1到127的奇数号士兵，每个号位数加1后除2得到新一轮编号，
64是2的幂，则进行下一轮剩下的是编号为2的倍数的士兵，再下一轮剩下的是编号为4的倍数的士兵，
以此类推，最后剩下的是编号为64的士兵，即为最开始编号为127的士兵，
所以叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站在127号位上.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得：第一轮过后剩下号位为1到127的奇数号士兵，然后每个号位数加1后除2得到新一轮编号，进行下一轮剩下的是编号为2的倍数的士兵，再下一轮剩下的是编号为4的倍数的士兵，以此类推可得：最后剩下的是编号为64的士兵，进而可得编号为64的士兵是最开始编号为127的士兵.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024·永嘉模拟）已知单位向量共面，则下列说法中正确的是( )
A．若，则
B．若，则
C．若，则<>=
D．若，则<>=
【答案】B,D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：A和B.由，可得，即，
可得，所以，A错误，B正确；
C.因为向量为单位向量，可得，
又由，可得，则，即，
可得，所以，
因为，所以，C错误；
D.由，可得，则，可得，
所以，因为，所以，D正确.
故答案为：BD.
【分析】先对式子两边同时平方，利用平面向量的数量积公式进行计算可推出，据此可判断A选项和B选项；对式子变形可得，式子两边平方，据此可求出，进而求出，判断C选项；对式子变形可得，式子两边平方，据此可求出，进而求出，判断D选项.
10．（2024·永嘉模拟） 已知 ， ，且 则以下正确的是( )
A．a-lna=b+ B．a+b>1 C．b= D．ab≤
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由因式分解可得：，
又因为，可知，即，
又由函数，求导，
当时，，可知在上递减，
当时，，可知在上递增，
所以在时取到最小值为0，有
即不等式成立，所以，
由可得：，即，
A，，A正确；
B，，构造函数，求导，
由时，，所以在上递增，
即，因为，所以，B正确；
C，与不可能等价，C错误；
D，，构造函数，求导，
由时，，所以在上递增，
由时，，所以在上递减，
所以的最大值是，即，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】先对式子因式分解可得：，再通过证明，可知只有一解即：， 将式子中的代换为再进行化简可判断A选项.通过化简可得，构造函数，求出导函数，利用导函数可推出在上递增，利用单调性可判断B选项；根据与不可能等价，可判断C选项；通过化简可得：，构造函数，求出导函数，令和可求出函数的单调区间，进而求出函数的最值，据此可判断D选项.
11．（2024·永嘉模拟） 若 m=m(x)=， n=n(x)=，则下列说法中正确的有( )
A． B．m’(x)=n(x) ， n’(x)=m(x)
C．n(x)≥x的解集是(0，+) D．m(x)的最小值是 2
【答案】A,B,C
【知识点】函数的单调性及单调区间；基本不等式
【解析】【解答】解：A.因为，，所以，A正确；
B.因为，，B正确；
C.的解集，即的解集，，
当且仅当时等号成立，所以在R上单调递增，且，所以解集为，C正确；
D.，当，即时取到最小值为1，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先求出，据此可判断A选项；先求出导函数，，据此可判断B选项；不等式可转化为，求出导函数，利用基本不等式可推出，据此可推出在R上单调递增，利用单调性可求出解集，据此可判断C选项；利用基本不等式可求出的最小值，判断D选项.
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分，把答案填在题中的横线上.
12．（2024·永嘉模拟）函数 f(x)=上有一个动点 P，定点 A(0，-1) 则 的最小值是 .
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：设，则.
.
从而无论怎样都有，即.
当且仅当时，有，此时.
所以的最小值是.
故答案为：.
【分析】设，利用两点间的距离公式可证明，据此可求出，，再说明等号可以取得的条件，据此可求出的最小值.
13．（2024·永嘉模拟）不计容器壁厚度的有盖立方体容器的边长是1，向其中放入两个小球，则这两个小 球的体积之和的最大值是 .
【答案】
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：
当两个小球内切于正方体，且两个小球也相切，如图所示：
球心位于体对角线上时球的体积可取最大，设两个小球的半径分别为，
作出横截面如下图，不妨设分别切于，
则有，
不妨设，易知，则，
则两球体积之和为，
又，显然当时取得最大值，此时.
故答案为：.
【分析】先根据题意作出图形，设两个小球的半径分别为，作出横截面如下图，不妨设分别切于，根据题意可列出方程，解方程可求出，不妨设，利用球的体积计算公式可表示出两球体积之和，利用二次函数的性质可求出两球体积之和的最值.
14．（2024·永嘉模拟）椭圆的右焦点是 F， 过F的直线交椭圆C于A，B两点.点O是坐标原 点，若直线AB上存在异于F的点P，使得 则的取值范围是 .
【答案】( 1 ，
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意可知：，则，
因为直线AB过F，可知直线AB与椭圆必相交，如图所示：
若直线AB的斜率为0，即直线AB为x轴，不妨设，
则，
因为，则，解得，
当，此时点即为点，不合题意；
当，此时点，；
若直线AB的斜率不为0，设，
则，
联立方程，消去x得，
则，
因为，则，
可得，
整理得，则，，
即，
可得，
因为，则，当且仅当，即时，等号成立，
可得，所以；
综上所述：的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分两种情况讨论直线AB的斜率是否为0：若直线AB的斜率为0，即直线AB为x轴，不妨设，根据题意利用平面向量的数量积公式可求出的值，据此可求出；若直线AB的斜率不为0，设，将直线方程与椭圆方程进行联立，应用韦达定理可得，利用平面向量的数量积公式进行计算可推出，据此可表示出，利用基本不等式可求出的最值，据此可求出的取值范围.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024·永嘉模拟） ABC 的对应边是 a，b，c 三角形的重心是 O.已知 OA=3，OB=4，OC=5.
（1） 求 a 的长.
（2） 求 ABC 的面积.
【答案】（1）解：在中，由O是重心，得 ，即有，
于是，解得，
而，所以
（2）解：由（1）得，又O是重心，
所以的面积
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积，平面向量的夹角计算公式.
（1）根据重心的性质可得： ，变形可得，对式子两边同时进行平方，利用完全平方公式进行计算可求出，根据，利用完全平方公式进行展开，再利用平面向量的数量积进行计算可求出答案.
（2）先利用同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式进行计算可求出的面积；
16．（2024·永嘉模拟） 函数 x
（1）求f(x) 的单调区间.
（2）若 f(x)≤ax+在 x≥0时恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
所以，定义域为，
令，即，即，
解得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
综上所述， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）解：记，则，
所以，
根据题意原题可化为：在时恒成立，求的取值范围；
因为，所以在时恒成立的必要条件为，
即，即；
构造函数，则，
所以在上单调递增，所以，
所以有，即在上恒成立，
令，当时，有，
所以在上恒成立，
因为，不等式两边同时乘以，
有在上恒成立，
即在上恒成立，
即时，在上恒成立，
综上，是在时恒成立的充要条件，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的恒成立.
（1）先求出导函数，令，解方程可求出，据此可求出和的解集，进而求出函数的单调区间；
（2）构造函数，将问题转化为：在时恒成立，据此可求出的取值范围；根据，利用导函数先证明在上恒成立，据此推出，当时，有，求出，是在时恒成立的充要条件，进而确定的取值范围.
17．（2024·永嘉模拟） 已知椭圆C：( a>b>0 )，左右顶点分别是 A()， B().椭圆的离心率是.点P是直线 上的点，直线PA与PB分别交椭圆C于另外两点M，N.
（1）求椭圆的方程.
（2）若 ，求出的值.
（3）试证明直线MN过定点.
【答案】（1）解：由题意可得，，即，
所以，则椭圆；
（2）解：设，由于，则；
（3）解：显然MN斜率不为0，设：，，，
联立方程，则有，
，
则有，，
由于，则，
因为，
故，
即，解得或，
当时，，故舍去，即，适合题意，
故： ，则直线过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系.
（1）根据顶点先求出的值，根据椭圆的离心率计算公式可求出的值，根据椭圆的关系式可求出的值，据此可求出椭圆的方程 ；
（2）设出点坐标，根据题意利用直线的斜率公式进行计算可求出的值 ；
（3）设出直线方程，将直线方程与椭圆的方程进行联立，应用韦达定理可得：，，再表示出，结合椭圆的方程可求出，进而可列出关于的方程，解方程可求出的值，据此可找出直线过定点的坐标，证明结论.
18．（2024·永嘉模拟）在坐标平面内 0≤x，y≤n (n≥1) 的区域，随机生成一个横纵坐标均为整数的一个 整点P(a，b)(a，b∈Z)，记该点到坐标原点的距离是随机变量X
相关公式：
（1）当 n=2 时，写出X的分布列和期望.
（2）记随机变量 a与b分别表示 P(a，b)的横纵坐标.
①求出 a+b 的期望 E(a+b)
②现在实际上选取了四个点尝试运用样本的平均值去估计数学期望，以此来得到估计值 (四舍五入取整).
（3）记方差 D(X)，试证明 D(X)<
【答案】（1）解：整点有，
故的取值为，则分布列：
X 0 1 2
P
期望
（2）解：①，
所以
②，所以平均数是 7.75.
所以取， 四舍五入取
（3）证明：先求 ，
则方差成立
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，方差.
（1）根据题意写出的整点的坐标，据此可找出的取值，求出对应变量的概率，据此可列出分布列，利用数学期望计算公式可求出期望.
（2）①利用数学期望的性质公式可求出；②根据已知条件求平均数，再结合数学期望可求解数据；
（3）先利用数学期望计算公式可推出，再根据方差的计算公式进行计算可证明结论..
19．（2024·永嘉模拟）复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作，他以虚无缥缈的数字展示了人类数学 最纯粹的浪漫.欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠，相关的内容是，欧拉公
式：+sin，其中 表示虚数单位，是自然对数的底数.
数学家泰勒对此也提出了相关公式：
其中的感叹号 ! 表示阶乘 !=1x2x3x...x，∈N
试回答下列问题：
（1）试证明欧拉公式.
（2）利用欧拉公式，求出以下方程的所有复数解.
①
②
（3）求出角度的 倍角公式(用，).
【答案】（1）证明：令，
则
因为
所以，即
（2）解：①因为，，
所以；
②由得，，
所以，，
由得，当时，，
所以，两边同时取对数得，，
解得，
（3）解：
令实部相等，
即得
【知识点】同角三角函数间的基本关系；二项展开式
【解析】【分析】本题考查二项式定理，同角三角函数的基本关系.
（1）令，直接利用泰勒展开式进行展开，再结合的展开式和虚数的运算法则可证明结论；
（2）①因为，再直接利用欧拉公式进行计算可求出方程的解；
②先直接利用同角三角函数关系可求出，利用欧拉公式进行计算可得：，再根据对数运算法则进行计算可求出方程的解；
（3）根据题意可得：，再利用二项式定理进行展开，再结合同角三角函数的平方关系可求出答案．
1 / 1浙江省温州市永嘉县上塘中学2024届高三下学期数学5月模拟考试试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 合题目要求的.
1．（2024·永嘉模拟）已知定义域R的函数f(x)+f(y)=， 求出f(2)是( )
A．0 B． C．1 D．2
2．（2024·永嘉模拟）集合M={，}则以下可以是 f(x) 的表达式的是( )
A．x B． C． D．
3．（2024·永嘉模拟）若A+B+sin(A+)+sin(B+)=2，(A≠B)，则的最小值是( )
A． B．2 C． D．
4．（2024·永嘉模拟）已知抛物线，则焦准距是( )
A．1 B．2 C． D．
5．（2024·永嘉模拟）边长为2的立方体被一个平面所截，截得的截面图形面积最大值为( )
A．4 B．2 C．3 D．6
6．（2024·永嘉模拟）求 的值为 ( )
A．922 B．923 C．924 D．925
7．（2024·永嘉模拟）平面上的两个点A()，B()，其中横纵坐标均为自然数，且不大于5，则两 点之间的距离可以有多少种取值( )
A．19 B．20 C．25 D．27
8．（2024·永嘉模拟）古希腊著名的约瑟夫环问题讲的是：共有127个士兵，围成一个环，从一号位的士兵开始，每个存活下来的人依次杀死相邻的下一位士兵，若一名叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站在几号位上？( )
A．1 B．63 C．127 D．31
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024·永嘉模拟）已知单位向量共面，则下列说法中正确的是( )
A．若，则
B．若，则
C．若，则<>=
D．若，则<>=
10．（2024·永嘉模拟） 已知 ， ，且 则以下正确的是( )
A．a-lna=b+ B．a+b>1 C．b= D．ab≤
11．（2024·永嘉模拟） 若 m=m(x)=， n=n(x)=，则下列说法中正确的有( )
A． B．m’(x)=n(x) ， n’(x)=m(x)
C．n(x)≥x的解集是(0，+) D．m(x)的最小值是 2
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分，把答案填在题中的横线上.
12．（2024·永嘉模拟）函数 f(x)=上有一个动点 P，定点 A(0，-1) 则 的最小值是 .
13．（2024·永嘉模拟）不计容器壁厚度的有盖立方体容器的边长是1，向其中放入两个小球，则这两个小 球的体积之和的最大值是 .
14．（2024·永嘉模拟）椭圆的右焦点是 F， 过F的直线交椭圆C于A，B两点.点O是坐标原 点，若直线AB上存在异于F的点P，使得 则的取值范围是 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024·永嘉模拟） ABC 的对应边是 a，b，c 三角形的重心是 O.已知 OA=3，OB=4，OC=5.
（1） 求 a 的长.
（2） 求 ABC 的面积.
16．（2024·永嘉模拟） 函数 x
（1）求f(x) 的单调区间.
（2）若 f(x)≤ax+在 x≥0时恒成立，求a的取值范围.
17．（2024·永嘉模拟） 已知椭圆C：( a>b>0 )，左右顶点分别是 A()， B().椭圆的离心率是.点P是直线 上的点，直线PA与PB分别交椭圆C于另外两点M，N.
（1）求椭圆的方程.
（2）若 ，求出的值.
（3）试证明直线MN过定点.
18．（2024·永嘉模拟）在坐标平面内 0≤x，y≤n (n≥1) 的区域，随机生成一个横纵坐标均为整数的一个 整点P(a，b)(a，b∈Z)，记该点到坐标原点的距离是随机变量X
相关公式：
（1）当 n=2 时，写出X的分布列和期望.
（2）记随机变量 a与b分别表示 P(a，b)的横纵坐标.
①求出 a+b 的期望 E(a+b)
②现在实际上选取了四个点尝试运用样本的平均值去估计数学期望，以此来得到估计值 (四舍五入取整).
（3）记方差 D(X)，试证明 D(X)<
19．（2024·永嘉模拟）复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作，他以虚无缥缈的数字展示了人类数学 最纯粹的浪漫.欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠，相关的内容是，欧拉公
式：+sin，其中 表示虚数单位，是自然对数的底数.
数学家泰勒对此也提出了相关公式：
其中的感叹号 ! 表示阶乘 !=1x2x3x...x，∈N
试回答下列问题：
（1）试证明欧拉公式.
（2）利用欧拉公式，求出以下方程的所有复数解.
①
②
（3）求出角度的 倍角公式(用，).
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：令则，
令则，所以，
故答案为：D
【分析】先求出，再令可求出的值.
2．【答案】C
【知识点】基本不等式；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A，因为，所以，，，，不满足集合的互异性，A错误，
B，因为，所以，不满足集合的互异性，B错误，
C，因为，所以，，，，C正确，
D，因为，所以，，，，后面再求导，导数均为，不满足集合的互异性，D错误，
故答案为：C.
【分析】先求出每个选项函数的导函数，，，再判断是否满足集合的互异性，逐个选项进行判断，据此可选出答案.
3．【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：
，
由，故，
则，，且、，
即，且、，
故当时，有最小值.
故答案为：B.
【分析】先利用三角函数的诱导公式和辅助角公式化简等式可得：，利用三角函数值域可列出方程，解方程可求出、，进而可求出的最小值.
4．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由可得，所以，
故焦准距为，
故答案为：D
【分析】先根据抛物线标准方程可求出，再根据抛物线的简单几何性质可求出焦准距.
5．【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：当截面过立方体中心且过两条侧棱时，其截面面积最大，
如图所示矩形符合要求
此时截面面积为.
故答案为：A.
【分析】根据正方体的结构特征可得：当截面过立方体中心且过两条侧棱时，截面面积最大，利用矩形的面积公式可求出截面的面积.
6．【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由题意知.
故答案为：B.
【分析】先根据题意写出求和表达式，再利用组合数公式计算每个组合数，据此可求出求和公式的值.
7．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：依题意， ，且均不大于5，
将其中任意两个数的差的绝对值记为，则可能的值有共6个，
而A()，B()之间的距离为，
而与的可能的取值都分别有共6个，
故的不同取值可分成五类：
①与中有一个取0，另一个可取六个数，则|AB|的不同取值有：；
②与中有一个取1，另一个可取五个数，则|AB|的不同取值有：；
③与中有一个取2，另一个可取四个数，则|AB|的不同取值有：；
④与中有一个取3，另一个可取两个数，则|AB|的不同取值有：
⑤与中有一个取4，另一个可取两个数，则|AB|的不同取值有：.
由分类加法计数原理可得，不同的取值共有6+5+4+2+2=19个.
故答案为：A.
【分析】根据题意先确定中任意两个数的差的绝对值的所有可能值有共6个，推得与的可能的取值都分别有共6个，再结合两点间距离公式，分五中情况：①与中有一个取0，另一个可取六个数；
②与中有一个取1，另一个可取五个数；③与中有一个取2，另一个可取四个数；④与中有一个取3，另一个可取两个数；⑤与中有一个取4，另一个可取两个数；求出的不同取值，进而可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：由题意，从一号位的士兵开始，每个存活下来的人依次杀死相邻的下一位士兵，杀死所有偶数号士兵后，还剩64个士兵，
号位为1到127的奇数号士兵，每个号位数加1后除2得到新一轮编号，
64是2的幂，则进行下一轮剩下的是编号为2的倍数的士兵，再下一轮剩下的是编号为4的倍数的士兵，
以此类推，最后剩下的是编号为64的士兵，即为最开始编号为127的士兵，
所以叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站在127号位上.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得：第一轮过后剩下号位为1到127的奇数号士兵，然后每个号位数加1后除2得到新一轮编号，进行下一轮剩下的是编号为2的倍数的士兵，再下一轮剩下的是编号为4的倍数的士兵，以此类推可得：最后剩下的是编号为64的士兵，进而可得编号为64的士兵是最开始编号为127的士兵.
9．【答案】B,D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：A和B.由，可得，即，
可得，所以，A错误，B正确；
C.因为向量为单位向量，可得，
又由，可得，则，即，
可得，所以，
因为，所以，C错误；
D.由，可得，则，可得，
所以，因为，所以，D正确.
故答案为：BD.
【分析】先对式子两边同时平方，利用平面向量的数量积公式进行计算可推出，据此可判断A选项和B选项；对式子变形可得，式子两边平方，据此可求出，进而求出，判断C选项；对式子变形可得，式子两边平方，据此可求出，进而求出，判断D选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由因式分解可得：，
又因为，可知，即，
又由函数，求导，
当时，，可知在上递减，
当时，，可知在上递增，
所以在时取到最小值为0，有
即不等式成立，所以，
由可得：，即，
A，，A正确；
B，，构造函数，求导，
由时，，所以在上递增，
即，因为，所以，B正确；
C，与不可能等价，C错误；
D，，构造函数，求导，
由时，，所以在上递增，
由时，，所以在上递减，
所以的最大值是，即，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】先对式子因式分解可得：，再通过证明，可知只有一解即：， 将式子中的代换为再进行化简可判断A选项.通过化简可得，构造函数，求出导函数，利用导函数可推出在上递增，利用单调性可判断B选项；根据与不可能等价，可判断C选项；通过化简可得：，构造函数，求出导函数，令和可求出函数的单调区间，进而求出函数的最值，据此可判断D选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】函数的单调性及单调区间；基本不等式
【解析】【解答】解：A.因为，，所以，A正确；
B.因为，，B正确；
C.的解集，即的解集，，
当且仅当时等号成立，所以在R上单调递增，且，所以解集为，C正确；
D.，当，即时取到最小值为1，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先求出，据此可判断A选项；先求出导函数，，据此可判断B选项；不等式可转化为，求出导函数，利用基本不等式可推出，据此可推出在R上单调递增，利用单调性可求出解集，据此可判断C选项；利用基本不等式可求出的最小值，判断D选项.
12．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：设，则.
.
从而无论怎样都有，即.
当且仅当时，有，此时.
所以的最小值是.
故答案为：.
【分析】设，利用两点间的距离公式可证明，据此可求出，，再说明等号可以取得的条件，据此可求出的最小值.
13．【答案】
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：
当两个小球内切于正方体，且两个小球也相切，如图所示：
球心位于体对角线上时球的体积可取最大，设两个小球的半径分别为，
作出横截面如下图，不妨设分别切于，
则有，
不妨设，易知，则，
则两球体积之和为，
又，显然当时取得最大值，此时.
故答案为：.
【分析】先根据题意作出图形，设两个小球的半径分别为，作出横截面如下图，不妨设分别切于，根据题意可列出方程，解方程可求出，不妨设，利用球的体积计算公式可表示出两球体积之和，利用二次函数的性质可求出两球体积之和的最值.
14．【答案】( 1 ，
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意可知：，则，
因为直线AB过F，可知直线AB与椭圆必相交，如图所示：
若直线AB的斜率为0，即直线AB为x轴，不妨设，
则，
因为，则，解得，
当，此时点即为点，不合题意；
当，此时点，；
若直线AB的斜率不为0，设，
则，
联立方程，消去x得，
则，
因为，则，
可得，
整理得，则，，
即，
可得，
因为，则，当且仅当，即时，等号成立，
可得，所以；
综上所述：的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分两种情况讨论直线AB的斜率是否为0：若直线AB的斜率为0，即直线AB为x轴，不妨设，根据题意利用平面向量的数量积公式可求出的值，据此可求出；若直线AB的斜率不为0，设，将直线方程与椭圆方程进行联立，应用韦达定理可得，利用平面向量的数量积公式进行计算可推出，据此可表示出，利用基本不等式可求出的最值，据此可求出的取值范围.
15．【答案】（1）解：在中，由O是重心，得 ，即有，
于是，解得，
而，所以
（2）解：由（1）得，又O是重心，
所以的面积
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积，平面向量的夹角计算公式.
（1）根据重心的性质可得： ，变形可得，对式子两边同时进行平方，利用完全平方公式进行计算可求出，根据，利用完全平方公式进行展开，再利用平面向量的数量积进行计算可求出答案.
（2）先利用同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式进行计算可求出的面积；
16．【答案】（1）解：因为，
所以，定义域为，
令，即，即，
解得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
综上所述， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）解：记，则，
所以，
根据题意原题可化为：在时恒成立，求的取值范围；
因为，所以在时恒成立的必要条件为，
即，即；
构造函数，则，
所以在上单调递增，所以，
所以有，即在上恒成立，
令，当时，有，
所以在上恒成立，
因为，不等式两边同时乘以，
有在上恒成立，
即在上恒成立，
即时，在上恒成立，
综上，是在时恒成立的充要条件，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的恒成立.
（1）先求出导函数，令，解方程可求出，据此可求出和的解集，进而求出函数的单调区间；
（2）构造函数，将问题转化为：在时恒成立，据此可求出的取值范围；根据，利用导函数先证明在上恒成立，据此推出，当时，有，求出，是在时恒成立的充要条件，进而确定的取值范围.
17．【答案】（1）解：由题意可得，，即，
所以，则椭圆；
（2）解：设，由于，则；
（3）解：显然MN斜率不为0，设：，，，
联立方程，则有，
，
则有，，
由于，则，
因为，
故，
即，解得或，
当时，，故舍去，即，适合题意，
故： ，则直线过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系.
（1）根据顶点先求出的值，根据椭圆的离心率计算公式可求出的值，根据椭圆的关系式可求出的值，据此可求出椭圆的方程 ；
（2）设出点坐标，根据题意利用直线的斜率公式进行计算可求出的值 ；
（3）设出直线方程，将直线方程与椭圆的方程进行联立，应用韦达定理可得：，，再表示出，结合椭圆的方程可求出，进而可列出关于的方程，解方程可求出的值，据此可找出直线过定点的坐标，证明结论.
18．【答案】（1）解：整点有，
故的取值为，则分布列：
X 0 1 2
P
期望
（2）解：①，
所以
②，所以平均数是 7.75.
所以取， 四舍五入取
（3）证明：先求 ，
则方差成立
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，方差.
（1）根据题意写出的整点的坐标，据此可找出的取值，求出对应变量的概率，据此可列出分布列，利用数学期望计算公式可求出期望.
（2）①利用数学期望的性质公式可求出；②根据已知条件求平均数，再结合数学期望可求解数据；
（3）先利用数学期望计算公式可推出，再根据方差的计算公式进行计算可证明结论..
19．【答案】（1）证明：令，
则
因为
所以，即
（2）解：①因为，，
所以；
②由得，，
所以，，
由得，当时，，
所以，两边同时取对数得，，
解得，
（3）解：
令实部相等，
即得
【知识点】同角三角函数间的基本关系；二项展开式
【解析】【分析】本题考查二项式定理，同角三角函数的基本关系.
（1）令，直接利用泰勒展开式进行展开，再结合的展开式和虚数的运算法则可证明结论；
（2）①因为，再直接利用欧拉公式进行计算可求出方程的解；
②先直接利用同角三角函数关系可求出，利用欧拉公式进行计算可得：，再根据对数运算法则进行计算可求出方程的解；
（3）根据题意可得：，再利用二项式定理进行展开，再结合同角三角函数的平方关系可求出答案．
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