四川省雅安市天立高2024年高考数学适应性考试
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（2024·雅安模拟） 已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A
【分析】先解一元二次不等式求出集合B，再利用集合交集的定义可求出.
2．（2024·雅安模拟）已知复数是虚数单位，若，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，
由已知
所以，解得，
则其虚部为.
故答案为：A.
【分析】利用复数加法运算和共轭复数求解即可.
3．（2024·雅安模拟）已知平面向量，，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，所以.
故答案为：B
【分析】利用共线向量定理的坐标运算即可.
4．（2024·雅安模拟）已知函数 若 ，则m的值为（ ）
A． B．2 C．9 D．2或9
【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】∵函数 ， ，
∴ 或 ，
解得 .
故答案为：C.
【分析】由分段函数解析式可得 或 ，即可求解。
5．（2024·雅安模拟）在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：设区间内取数，在内取数，
由两数之和大于，即，
则满足，作出不等式组对应你的平面区域，如图所示：
可得对应的图形的面积为，
设直线交于点，可得，
则的面积为，
所以五边形的面积为，
则两数之和大于的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据几何概型中面积关系计算概率即可求解.
6．（2024·雅安模拟） 函数在的图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：当时，，据此可排除A选项和D选项；
当时，
令可得：，解得：，据此可知当时，函数只有一个零点，排除B选项
故答案为：C
【分析】先求出的函数值，据此可排除A选项和D选项；再求出当时，函数零点的个数，据此可排除B选项，选出答案.
7．（2024·雅安模拟） 已知，为双曲线的左，右焦点，过点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，则的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
由题意可得双曲线的一条渐近线方程为，
焦点到渐近线的距离为，
所以，，
所以.
故答案为：D.
【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式可求出，进而求出，利用三角形面积计算公式可求出三角形的面积.
8．（2024·雅安模拟） 设命题，使是幂函数，且在上单调递减；命题，则下列命题为真的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】四种命题的真假关系；复合命题的真假；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于命题，当时，函数，是幂函数，且在上单调递减，故命题为真命题；
对于命题，当时，，不满足，故命题为假命题．
所以“”为真命题，“”为假命题，“”为假命题，“”为假命题．
故答案为：A．
【分析】当时，利用幂函数的性质可判断命题的真假；举出反例，当时，通过计算可判断命题的真假；再判断出的真假，根据“或”、“且”、“非”命题的真假，可判断各选项的真假，据此可选出选项.
9．（2024·雅安模拟） 已知数列满足且，则（ ）
A．3 B． C．-2 D．
【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由题意数列满足，则，
故由，得，
由此可知数列的周期为4，
故，
故答案为：B
【分析】先将数列递推式进行变形可得：，再求出，据此可推出数列的周期为4，利用数列的周期性可求出.
10．（2024·雅安模拟） 设函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，，所以，因为，所以，即，
所以函数在上单调递增，又因为函数为上的偶函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则不等式，等价于，所以或.
故答案为：D.
【分析】当时，先求出导函数，利用导数可判断函数在的单调性，根据奇偶性可判断在的单调性，再利用单调性与奇偶性可将不等式转化为：，解不等式可求出不等式的解集.
11．（2024·雅安模拟） 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若在上有且仅有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题可知，，当时，．
因为在上有且仅有3个极值点，所以，解得，
所以的取值范围为：．
故答案为：C.
【分析】先根据三角函数的图象变换可求出函数，根据的范围变形可得：，根据在上有且仅有3个极值点，可列出不等式，解不等式可求出的取值范围.
12．（2024·雅安模拟） 设，是双曲线：左、右焦点，以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，，双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
即有为等腰三角形，
设，
则，
所以
即为，
所以，
故答案为：A
【分析】根据题意可推出为等腰三角形，设，利用三角形的内角和定理可得：，利用三角函数的诱导公式和二倍角的正切公式可求出，利用双曲线的离心率计算公式可求出双曲线的离心率.
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共20分，将答案书写在答题卡对应题号的横线上。
13．（2024·雅安模拟） ．
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：．
故答案为：
【分析】先利用三角函数的诱导公式化简可得：原式，再利用二倍角的正弦公式进行计算可求出答案.
14．（2024·雅安模拟） 直线与圆交于两点，则 .
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由圆，得，则圆心坐标为，半径为2．
圆心到直线的距离，
．
故答案为：．
【分析】先将圆的方程进行配方可得：，据此可求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，利用圆的弦长公式可求出圆的弦长.
15．（2024·雅安模拟） 若函数存在极值点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，可得，
因为函数存在极值点，所以有两不等实根，
则，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】先求出导函数，根据题意可得方程有两个不等的实根，根据一元二次不等式根的判别式可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围.
16．（2024·雅安模拟）已知球的表面积为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则该正四棱锥体积的最大值为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正四棱锥底面边长为，高为，如图所示：
由，故该球半径，
则，，
则有，化简得，
令，
则，故当时，，当时，，
即有极大值，
即该正四棱锥体积的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据四棱锥底面边长与高的关系求出体积的表达式，结合导数计算即可得.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题每题12分，第22题10分.
17．（2024·雅安模拟）为提升学生身体素质，鼓励学生参加体育运动，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，运动达标与运动欠佳的人数比为，运动达标的女生与男生的人数比为，运动欠佳的男生有5人.
（1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“运动达标情况”与“性别”是否有关
（2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.
参考公式：，.
0.10 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解： 2×2列联表为：
假设：运动达标情况与性别无关.
.
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即认为“运动达标情况”与“性别”无关
（2）解： 已知“运动达标”的男生、女生分别有20人和40人，按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生、女生分别抽到2人和4人，则选中2人中恰有一人是女生的概率为
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】本题考查独立性检验，古典概型的概率公式.
（1）先根据条件完成列联表，利用计算公式可求出值，将指与临界值进行比较，可作出判断；
（2）先根利用分层抽样方法抽取求出男生、女生分别抽取人数，再利用古典概型的概率公式进行计算可求出概率.
18．（2024·雅安模拟）如图，在平面四边形中，已知点C关于直线BD的对称点在直线AD上，，．
（1）求的值；
（2）设，求.
【答案】（1）解： 因为C点关于直线BD的对称点在直线AD上，
所以DB平分，所以，因为，所以，BC=CD，
所以‖，所以，因为，，所以，
所以
（2）解： 因为在中，由正弦定理得，所以，，所以，所以，
在中，由余弦定理得，.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.
（1）根据对称的性质和已知条件可推出‖，利用平行线的性质可得：，利用角的运算可求出，再利用正弦定理进行计算可求出答案；
（2）在中先利用正弦定理可求出，再在中利用余弦定理可求出.
19．（2024·雅安模拟） 已知球内接正四棱锥的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明：依题意底面为正方形，、相交于，
所以为的中点，又为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）解： 设球的半径为，由球的表面积公式，解得（负值舍去），
设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，连接，如图所示：
则，，，则在，则，即解得（负值舍去），
则，
所以，
又为中点，平面且，
所以到平面的距离为，
所以.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定定理，三棱锥的体积公式.
（1）利用三角形的中位线定理可证明，再利用直线与平面平行的判定定理可证明结论；
（2）由球的表面积求出球的半径，由正四棱锥的性质可知球心必在上，连接，利用勾股定理可求出，进而求出，再根据为中点可推出到平面的距离为，最后根据，利用三棱锥的体积计算公式可求出三棱锥的体积.
20．（2024·雅安模拟）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【答案】（1）解：由题意可得： ，解得： ，故椭圆方程为： .
（2）解：设点 .
因为AM⊥AN，∴ ，即 ，①
当直线MN的斜率存在时，设方程为 ，如图1.
代入椭圆方程消去 并整理得： ，
②，
根据 ，代入①整理可得：
将②代入， ，
整理化简得 ，
∵ 不在直线 上，∴ ，
∴ ，
于是MN的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线MN的斜率不存在时，可得 ，如图2.
代入 得 ，
结合 ，解得 ，
此时直线MN过点 ，
由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足 为定值（AE长度的一半 ）.
由于 ，故由中点坐标公式可得 .
故存在点 ，使得|DQ|为定值.
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意得到关于a，b，c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为 ， 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m，k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
21．（2024·雅安模拟）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意知的定义域为，
，
当时，，在上单调递减；
当时，令，
，
故方程有两个不同的实数根，
分别为，，且，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上可知，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：由可得，即，
设，，
则，
设，，
因为，
则在上单调递减，且，
所以当时，，即，所以在上单调递增，
当时，，即，所以在上单调递减，
所以的最大值为，
所以，即的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的恒成立问题.
（1）先求出函数的定义域，再求出导函数，对的进行分类讨论：当时和当时，讨论的正负，进而确定函数的单调性；
（2）将不等式变形为，令，对求导，再令，通过的单调性判断的正负，进而确定的单调性，求出的最大值，进而求出的取值范围.
22．（2024·雅安模拟） 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C交于A，B两点，定点，若，求直线l的倾斜角．
【答案】（1）解： 将代入曲线的极坐标方程中，
得曲线的直角坐标方程为，即；
（2）解： 因为点在直线上，将直线的参数方程(为参数)代入曲线的直角坐标方程，
整理得，满足，
设点对应的参数分别为，则，
由参数的几何意义，不妨令，
所以，
当时，，，
所以，则，所以直线的倾斜角为
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程；直线的参数方程
【解析】【分析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的互化.
（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，进行替换后可求出曲线的直角坐标方程为；
（2）联立直线参数方程与曲线的直角坐标方程可得：，设点对应的参数分别为，应用韦达定理可求出，利用直线参数方程中参数的几何意义可列出方程，解方程可求出直线的倾斜角.
1 / 1四川省雅安市天立高2024年高考数学适应性考试
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（2024·雅安模拟） 已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·雅安模拟）已知复数是虚数单位，若，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·雅安模拟）已知平面向量，，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
4．（2024·雅安模拟）已知函数 若 ，则m的值为（ ）
A． B．2 C．9 D．2或9
5．（2024·雅安模拟）在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·雅安模拟） 函数在的图象大致为
A． B．
C． D．
7．（2024·雅安模拟） 已知，为双曲线的左，右焦点，过点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，则的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．（2024·雅安模拟） 设命题，使是幂函数，且在上单调递减；命题，则下列命题为真的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·雅安模拟） 已知数列满足且，则（ ）
A．3 B． C．-2 D．
10．（2024·雅安模拟） 设函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·雅安模拟） 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若在上有且仅有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·雅安模拟） 设，是双曲线：左、右焦点，以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，，双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共20分，将答案书写在答题卡对应题号的横线上。
13．（2024·雅安模拟） ．
14．（2024·雅安模拟） 直线与圆交于两点，则 .
15．（2024·雅安模拟） 若函数存在极值点，则实数a的取值范围为 ．
16．（2024·雅安模拟）已知球的表面积为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则该正四棱锥体积的最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题每题12分，第22题10分.
17．（2024·雅安模拟）为提升学生身体素质，鼓励学生参加体育运动，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，运动达标与运动欠佳的人数比为，运动达标的女生与男生的人数比为，运动欠佳的男生有5人.
（1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“运动达标情况”与“性别”是否有关
（2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.
参考公式：，.
0.10 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
18．（2024·雅安模拟）如图，在平面四边形中，已知点C关于直线BD的对称点在直线AD上，，．
（1）求的值；
（2）设，求.
19．（2024·雅安模拟） 已知球内接正四棱锥的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
20．（2024·雅安模拟）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
21．（2024·雅安模拟）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
22．（2024·雅安模拟） 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C交于A，B两点，定点，若，求直线l的倾斜角．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A
【分析】先解一元二次不等式求出集合B，再利用集合交集的定义可求出.
2．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，
由已知
所以，解得，
则其虚部为.
故答案为：A.
【分析】利用复数加法运算和共轭复数求解即可.
3．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，所以.
故答案为：B
【分析】利用共线向量定理的坐标运算即可.
4．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】∵函数 ， ，
∴ 或 ，
解得 .
故答案为：C.
【分析】由分段函数解析式可得 或 ，即可求解。
5．【答案】C
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：设区间内取数，在内取数，
由两数之和大于，即，
则满足，作出不等式组对应你的平面区域，如图所示：
可得对应的图形的面积为，
设直线交于点，可得，
则的面积为，
所以五边形的面积为，
则两数之和大于的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据几何概型中面积关系计算概率即可求解.
6．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：当时，，据此可排除A选项和D选项；
当时，
令可得：，解得：，据此可知当时，函数只有一个零点，排除B选项
故答案为：C
【分析】先求出的函数值，据此可排除A选项和D选项；再求出当时，函数零点的个数，据此可排除B选项，选出答案.
7．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
由题意可得双曲线的一条渐近线方程为，
焦点到渐近线的距离为，
所以，，
所以.
故答案为：D.
【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式可求出，进而求出，利用三角形面积计算公式可求出三角形的面积.
8．【答案】A
【知识点】四种命题的真假关系；复合命题的真假；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于命题，当时，函数，是幂函数，且在上单调递减，故命题为真命题；
对于命题，当时，，不满足，故命题为假命题．
所以“”为真命题，“”为假命题，“”为假命题，“”为假命题．
故答案为：A．
【分析】当时，利用幂函数的性质可判断命题的真假；举出反例，当时，通过计算可判断命题的真假；再判断出的真假，根据“或”、“且”、“非”命题的真假，可判断各选项的真假，据此可选出选项.
9．【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由题意数列满足，则，
故由，得，
由此可知数列的周期为4，
故，
故答案为：B
【分析】先将数列递推式进行变形可得：，再求出，据此可推出数列的周期为4，利用数列的周期性可求出.
10．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，，所以，因为，所以，即，
所以函数在上单调递增，又因为函数为上的偶函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则不等式，等价于，所以或.
故答案为：D.
【分析】当时，先求出导函数，利用导数可判断函数在的单调性，根据奇偶性可判断在的单调性，再利用单调性与奇偶性可将不等式转化为：，解不等式可求出不等式的解集.
11．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题可知，，当时，．
因为在上有且仅有3个极值点，所以，解得，
所以的取值范围为：．
故答案为：C.
【分析】先根据三角函数的图象变换可求出函数，根据的范围变形可得：，根据在上有且仅有3个极值点，可列出不等式，解不等式可求出的取值范围.
12．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
即有为等腰三角形，
设，
则，
所以
即为，
所以，
故答案为：A
【分析】根据题意可推出为等腰三角形，设，利用三角形的内角和定理可得：，利用三角函数的诱导公式和二倍角的正切公式可求出，利用双曲线的离心率计算公式可求出双曲线的离心率.
13．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：．
故答案为：
【分析】先利用三角函数的诱导公式化简可得：原式，再利用二倍角的正弦公式进行计算可求出答案.
14．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由圆，得，则圆心坐标为，半径为2．
圆心到直线的距离，
．
故答案为：．
【分析】先将圆的方程进行配方可得：，据此可求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，利用圆的弦长公式可求出圆的弦长.
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，可得，
因为函数存在极值点，所以有两不等实根，
则，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】先求出导函数，根据题意可得方程有两个不等的实根，根据一元二次不等式根的判别式可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围.
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正四棱锥底面边长为，高为，如图所示：
由，故该球半径，
则，，
则有，化简得，
令，
则，故当时，，当时，，
即有极大值，
即该正四棱锥体积的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据四棱锥底面边长与高的关系求出体积的表达式，结合导数计算即可得.
17．【答案】（1）解： 2×2列联表为：
假设：运动达标情况与性别无关.
.
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即认为“运动达标情况”与“性别”无关
（2）解： 已知“运动达标”的男生、女生分别有20人和40人，按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生、女生分别抽到2人和4人，则选中2人中恰有一人是女生的概率为
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】本题考查独立性检验，古典概型的概率公式.
（1）先根据条件完成列联表，利用计算公式可求出值，将指与临界值进行比较，可作出判断；
（2）先根利用分层抽样方法抽取求出男生、女生分别抽取人数，再利用古典概型的概率公式进行计算可求出概率.
18．【答案】（1）解： 因为C点关于直线BD的对称点在直线AD上，
所以DB平分，所以，因为，所以，BC=CD，
所以‖，所以，因为，，所以，
所以
（2）解： 因为在中，由正弦定理得，所以，，所以，所以，
在中，由余弦定理得，.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.
（1）根据对称的性质和已知条件可推出‖，利用平行线的性质可得：，利用角的运算可求出，再利用正弦定理进行计算可求出答案；
（2）在中先利用正弦定理可求出，再在中利用余弦定理可求出.
19．【答案】（1）证明：依题意底面为正方形，、相交于，
所以为的中点，又为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）解： 设球的半径为，由球的表面积公式，解得（负值舍去），
设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，连接，如图所示：
则，，，则在，则，即解得（负值舍去），
则，
所以，
又为中点，平面且，
所以到平面的距离为，
所以.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定定理，三棱锥的体积公式.
（1）利用三角形的中位线定理可证明，再利用直线与平面平行的判定定理可证明结论；
（2）由球的表面积求出球的半径，由正四棱锥的性质可知球心必在上，连接，利用勾股定理可求出，进而求出，再根据为中点可推出到平面的距离为，最后根据，利用三棱锥的体积计算公式可求出三棱锥的体积.
20．【答案】（1）解：由题意可得： ，解得： ，故椭圆方程为： .
（2）解：设点 .
因为AM⊥AN，∴ ，即 ，①
当直线MN的斜率存在时，设方程为 ，如图1.
代入椭圆方程消去 并整理得： ，
②，
根据 ，代入①整理可得：
将②代入， ，
整理化简得 ，
∵ 不在直线 上，∴ ，
∴ ，
于是MN的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线MN的斜率不存在时，可得 ，如图2.
代入 得 ，
结合 ，解得 ，
此时直线MN过点 ，
由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足 为定值（AE长度的一半 ）.
由于 ，故由中点坐标公式可得 .
故存在点 ，使得|DQ|为定值.
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意得到关于a，b，c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为 ， 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m，k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
21．【答案】（1）解：由题意知的定义域为，
，
当时，，在上单调递减；
当时，令，
，
故方程有两个不同的实数根，
分别为，，且，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上可知，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：由可得，即，
设，，
则，
设，，
因为，
则在上单调递减，且，
所以当时，，即，所以在上单调递增，
当时，，即，所以在上单调递减，
所以的最大值为，
所以，即的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的恒成立问题.
（1）先求出函数的定义域，再求出导函数，对的进行分类讨论：当时和当时，讨论的正负，进而确定函数的单调性；
（2）将不等式变形为，令，对求导，再令，通过的单调性判断的正负，进而确定的单调性，求出的最大值，进而求出的取值范围.
22．【答案】（1）解： 将代入曲线的极坐标方程中，
得曲线的直角坐标方程为，即；
（2）解： 因为点在直线上，将直线的参数方程(为参数)代入曲线的直角坐标方程，
整理得，满足，
设点对应的参数分别为，则，
由参数的几何意义，不妨令，
所以，
当时，，，
所以，则，所以直线的倾斜角为
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程；直线的参数方程
【解析】【分析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的互化.
（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，进行替换后可求出曲线的直角坐标方程为；
（2）联立直线参数方程与曲线的直角坐标方程可得：，设点对应的参数分别为，应用韦达定理可求出，利用直线参数方程中参数的几何意义可列出方程，解方程可求出直线的倾斜角.
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