人教版八年级上学期数学课时进阶测试12.3角平分线的性质（三阶）
数学考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·花都期中）如图，在中，和的平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于B，BF交AC于F，过点O作于D，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，
∴，，
故
∴，①正确；
②如图，在AB上取一点H，使BH=BE，连接OH，
∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，
∴，，∠HBO=∠EBO，
∴
∴，
∴∠BOE=180°-∠AOB=60°，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°-∠BOH-∠BOE=180°-60°-60°=60°，
∵∠AOF=∠BOE=60°，
∴∠AOH=∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故②正确；
③过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，且ON⊥AC，OM⊥AB，OD⊥BC，
∴ON=OM=OD=a，
∵AB+AC+BC=2b
∴
=ab；③正确．
故答案为：C.
【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可求得，结合三角形内角和是180°即可得出，判断①正确；在AB上取一点H，使BH=BE，连接OH，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠HBO=∠EBO，∠OAB+∠OBA=60°，求得，∠BOE=60°，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等可得∠BOH=∠BOE=60°，推得∠AOH=∠AOF，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AF=AH，即可判断②正确；过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得ON=OM=OD=a，结合题意和三角形的面积格式即可判断③正确；得出结论.
2．（2020八上·黄石港期中）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，故③错误，
故答案为：B.
【分析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.利用同角的补角相等，可证得∠EPF=∠MPN，从而可推出∠EPM=∠FPN，利用角平分线的性质可得到PE=PF，利用HL证明Rt△POE≌Rt△POF利用全等三角形的性质可得到OE=OF；再利用AAS证明△PEM≌△PFN，利用全等三角形的性质可证得EM=NF，PM=PN，可对①作出判断；利用全等三角形的面积相等，可推出S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，可对④作出判断；再证明OM+ON=2OE，可对②作出判断；在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，可对③作出判断。综上所述可得到正确结论的序号。
3．（2022八上·沙坪坝开学考）如图，在△ABC中，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且∠DAB＝∠CAE＝α，AD＝AB，AC＝AE，DC、BE交于点P，连接AP，则∠APC的度数为（ ）
A．90°﹣α B．90°+α C．90°﹣α D．90°+α
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，则∠AFC＝∠AGE＝90°，
∵∠DAB＝∠CAE＝α，
∴∠DAC＝∠BAE＝α+∠BAC，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ACF＝∠AEG，
在△ACF和△AEG中
，
∴△ACF≌△AEG（AAS），
∴AF＝AG，
∴点A在∠DPE的平分线上，
∴∠APE＝∠APD＝∠DPE，
∵∠CPE+∠ACF＝∠CAE+∠AEG＝∠AHP，
∴∠CPE＝∠CAE＝α，
∴∠APE＝∠DPE＝（180°﹣∠CPE）＝90°﹣α，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝90°﹣α+α＝90°+α，
∴∠APC的度数为90°+α.
故答案为：D.
【分析】作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，则∠DAC＝∠BAE＝α+∠BAC，证明△DAC≌△BAE，得到∠ACF＝∠AEG，进而证明△ACF≌△AEG，得到AF＝AG，根据角平分线的概念可得∠APE＝∠APD＝∠DPE，则∠CPE＝∠CAE＝α，∠APE＝∠DPE＝(180°-∠CPE)＝90°-α，然后根据角的和差，由∠APC=∠APE+∠CPE进行解答.
4．（2021八上·汇川期末）如图 是 的角平分线， 于E，点F，G分别是 ， 上的点，且 ， 与 的面积分别是10和3，则 的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC
∴DE=DH，
在Rt△DEF和Rt△DHG中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），
∴S△EDF=S△GDH=3，
同理Rt△ADE≌Rt△ADH，
∴S△ADE=S△ADH=
∴S△ADF= ，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF≌Rt△DHG全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，然后根据S△ADE=S△ADH列出方程求解即可.
5．（2018八上·芜湖期中）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】①∠ACB=∠CBE-∠CAB=2∠PBE－2∠PAB=2（∠PBE－∠PAB）=2∠APB.
②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC：S△PAB=AC：AB，
③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE(三线合一)，
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠BCP，
又∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
故①②③④都符合题意.
故答案选：D.
【分析】分别根据三角形外角的性质以及角的平分线的性质进行判断即可。
6．（2023八上·恩施期末）如图，中，，点I为各内角平分线的交点，过I点作的垂线，垂足为H，若，，，那么的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AI、BI、CI，
∵点I为△ABC各角平分线的交点
∴点I是△ABC的内心，点I到三角形的三边距离相等
∴S△ABC=×3×4=×3×IH+×4×IH+×5×IH
∴可得IH=1
故答案为：A.
【分析】根据三角形内心到三角形的三边距离相等；根据三角形面积相等的原则，列一元一次方程，即可求出IH的值.
7．（2019八上·双流开学考）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A = 50°，∠D =10°，则∠P的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A=50°，
∴∠ACD=∠A+∠AEC=50°+∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，
∴∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°，
∴∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，
整理得∠ACD-∠ABD=60°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB=∠POC，
∴∠P+ ∠ACD=∠A+ ∠ABD，
即∠P=50°- （∠ACD-∠ABD）=20°．
故答案为：B．
【分析】利用三角形外角的性质，得到∠ACD与∠ABD的关系，然后用角平分线的性质得到角相等的关系，代入计算即可得到答案．
8．（2023八上·黄山期中）如图，在△ABC中，点E和F分别是AC、BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若，，，则、、三者间的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠ABC=β，
∵∠MAC=∠ADC+∠ACD，
∠ADC=∠ABC+∠DCB，
且 ，， ，
∴α=γ+∠ACD，γ=β+∠DCB，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD=∠BCD，
∴α-γ=γ-β，
即β=2γ-α，
故B正确，A、C、D错误；
故答案为：B.
【分析】考查角平分线定义以及三角形外角的性质，由∠MAC是△ADC的外角，可得α与γ间的关系，又∠ADC是△DBC的外角，可得γ与β的关系，然后利用角平分线可知∠ACD和∠DCB相等找到α、β、γ间的数量关系。
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024八上·松原期末）如图，在中，平分，，于点E，若，，，则四边形的面积是 ．
【答案】21
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，
∵平分， DF⊥BC，DE⊥AB，
∴DE=DF=3，∠AED=∠BED=∠BFD=90°，∠DBE=∠DBF，
∴△DBE≌△DBF（AAS），
∴BE=BF，
∵DA=DC，DE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△CFD（HL），
∴AE=CF=2，
∴AB=AE+BE=AE+BF=AE+BC+CF=9，
∴，
故答案为：21.
【分析】根据角平分线，全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式计算求解即可。
10．（2023八上·福州开学考）如图，在中，，角平分线、交于点，于点下列结论：
：：；
；
；
，
其中正确结论是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图1，过点O作OH⊥BC于点H
∵BD平分∠ABC，OF⊥AB ∴OF=OH ∴ 故结论正确；
∵∠A=60° ∴∠ABC+∠ACB=120°
又∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE相交于点O
∴∠OBD=∠OBA=∠ABC，∠OCB=∠OCA=∠ACB
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB）=60°
∴∠EOB=∠OBC+∠OCB=60°
∴∠EOF=∠BOE-∠BOF
又∵∠OBF=∠ABC ∴∠BOF=90°-∠ABC
∴∠EOF=60°-（90°-∠ABC）=∠ABC-30°=（∠ABC-60°）=（∠ABC-∠A）.故结论
②错误；
如图2，在BC上截取BM=BE，连接OM
在和中，∴
∴OE=OM，∠EOB=∠BOM=60°
又∵∠COD=∠EOB=60° ∴∠COM=180°-∠BOM-∠COD=60° ∴∠COD=∠COM
在和中，∴
∴CD=CM ∴BE+CD=BC 故结论正确；
∵，
∴，
∴
∴，故结论正确.
故答案为：.
【分析】主要利用全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理及其推论解题，解题的关键是正确地做出所需要的辅助线，构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质解决问题。
11．（2024八上·越秀月考）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有 （填写序号）．
【答案】①③④
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故②错误；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故①正确；
过点作于，作于，连接，
在中，和的平分线相交于点，
，
；故④正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故③正确．
故答案为：①③④．
【分析】在中，和的平分线相交于点，由角平分线的定义和三角形内角和定理可得，故②错误；由角平分线的定义及平行线的性质可推出，，可得，，从而得出EF=BE+CF，故①正确；过点作于，作于，连接，利用角平分线的性质可得，从而得出，故③④都正确.
12．（2024九下·南山模拟）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
13．（2020八上·赵县期中）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A=64°，则∠A= ，∠A3= ，若∠A=α，则∠A2018为 。
【答案】32°；8°；
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵A1B为∠ABC的角平分线，A1C为∠ACD的角平分线
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1
∴∠A1=∠A
∵∠A=α
∴∠A1=α
同理，∠A2=∠A1=α
∴∠A2018=
当∠A=64°时，∠A1=32°，∠A3=8
【分析】根据角平分线的性质以及三角形外角的性质，即可得到∠A1=α，同理即可得到∠A2=∠A1=α，以此类推即可得到后一个角为前一个角的，即可得到规律，计算得到答案即可。
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024七下·丰泽期中）在中，，AE平分，点F为射线AE上一点（不与点E重合），且于点D．
（1）如图1，如果点F在线段AE上，且，，则_______°；
（2）如果点F在的外部，分别作出和的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究、、三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若点F与点A重合，PE、PC分别平分和的外角，连接PA，过点P作交BC延长线于点G，交BA的延长线于点H，若，且，请直接写出与的度数．
【答案】（1）；
（2）；
（3），．
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
阅卷人 四、实践探究题
得分
15．（2024八上·黔南期末）八年级学生芳芳放学后去幼儿园接弟弟回家，姐弟俩双手相牵在幼儿园门口开心地旋转起来．芳芳突然想起某天数学活动课上老师提出的一个问题：如图，在△AOB和△EOF中，OA＝OB，OE＝OF，且∠1＝∠2，连接AE，BF交于点M．试猜想AE与BF的数量关系，并加以证明．
（1）独立思考：如图①，请解决老师提出的问题。
（2）实践探究：如图②．当∠1＝45°时，∠AMB＝ 度；当∠OAB＝65°时，∠AMB＝ 度；
（3）解决问题：如图③，连接OM，MO平分∠BME吗？并加以说明．
【答案】（1）解：结论：AE=BF.
理由：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AOF=∠2+∠AOF，
∴∠AOE=∠BOF，
∵OA=OB，OE=EF，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴AE=BF；
（2）45；50
（3）解：结论：MO平分∠BME；
理由：作OI⊥EM于点I，作OW⊥BM于点W，如图所示：
∵OI⊥EM，OW⊥BM，
∴∠BWO=∠AIO=90°，
由（2）可得∠EAO=∠FBO，
∵OA=OB，
∴△AIO≌△BWO（AAS），
∴OI=OW，
∴MO平分∠BME.
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）如图所示：
设OA与BF的交点为X，
由（1）可得△AOE≌△BOF，
∴∠EAO=∠FBO，
∵∠AXM=∠BXO，
∴∠AMB=∠1=45°，
∵OA=OB，∠OAB=65°，
∴∠OBA=∠OAB=65°，
∴∠1=180°-2×65°=50°，
∴∠AMB=∠1=50°，
故答案为：45；50；
【分析】（1）利用角的运算求出∠AOE=∠BOF，再结合OA=OB，OE=EF，利用“SAS”证出△AOE≌△BOF可得AE=BF；
（2）利用全等三角形的性质可得∠EAO=∠FBO，再结合∠AXM=∠BXO，求出∠AMB=∠1=45°，再利用角的运算求出∠1=180°-2×65°=50°，即可得到∠AMB=∠1=50°；
（3）作OI⊥EM于点I，作OW⊥BM于点W，先利用“AAS”证出△AIO≌△BWO可得OI=OW，再利用角平分线判定方法可得MO平分∠BME.
1 / 1人教版八年级上学期数学课时进阶测试12.3角平分线的性质（三阶）
数学考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·花都期中）如图，在中，和的平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于B，BF交AC于F，过点O作于D，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
2．（2020八上·黄石港期中）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．（2022八上·沙坪坝开学考）如图，在△ABC中，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且∠DAB＝∠CAE＝α，AD＝AB，AC＝AE，DC、BE交于点P，连接AP，则∠APC的度数为（ ）
A．90°﹣α B．90°+α C．90°﹣α D．90°+α
4．（2021八上·汇川期末）如图 是 的角平分线， 于E，点F，G分别是 ， 上的点，且 ， 与 的面积分别是10和3，则 的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2018八上·芜湖期中）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023八上·恩施期末）如图，中，，点I为各内角平分线的交点，过I点作的垂线，垂足为H，若，，，那么的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．（2019八上·双流开学考）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A = 50°，∠D =10°，则∠P的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．（2023八上·黄山期中）如图，在△ABC中，点E和F分别是AC、BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若，，，则、、三者间的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024八上·松原期末）如图，在中，平分，，于点E，若，，，则四边形的面积是 ．
10．（2023八上·福州开学考）如图，在中，，角平分线、交于点，于点下列结论：
：：；
；
；
，
其中正确结论是 ．
11．（2024八上·越秀月考）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有 （填写序号）．
12．（2024九下·南山模拟）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．
13．（2020八上·赵县期中）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A=64°，则∠A= ，∠A3= ，若∠A=α，则∠A2018为 。
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024七下·丰泽期中）在中，，AE平分，点F为射线AE上一点（不与点E重合），且于点D．
（1）如图1，如果点F在线段AE上，且，，则_______°；
（2）如果点F在的外部，分别作出和的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究、、三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若点F与点A重合，PE、PC分别平分和的外角，连接PA，过点P作交BC延长线于点G，交BA的延长线于点H，若，且，请直接写出与的度数．
阅卷人 四、实践探究题
得分
15．（2024八上·黔南期末）八年级学生芳芳放学后去幼儿园接弟弟回家，姐弟俩双手相牵在幼儿园门口开心地旋转起来．芳芳突然想起某天数学活动课上老师提出的一个问题：如图，在△AOB和△EOF中，OA＝OB，OE＝OF，且∠1＝∠2，连接AE，BF交于点M．试猜想AE与BF的数量关系，并加以证明．
（1）独立思考：如图①，请解决老师提出的问题。
（2）实践探究：如图②．当∠1＝45°时，∠AMB＝ 度；当∠OAB＝65°时，∠AMB＝ 度；
（3）解决问题：如图③，连接OM，MO平分∠BME吗？并加以说明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，
∴，，
故
∴，①正确；
②如图，在AB上取一点H，使BH=BE，连接OH，
∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，
∴，，∠HBO=∠EBO，
∴
∴，
∴∠BOE=180°-∠AOB=60°，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°-∠BOH-∠BOE=180°-60°-60°=60°，
∵∠AOF=∠BOE=60°，
∴∠AOH=∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故②正确；
③过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，且ON⊥AC，OM⊥AB，OD⊥BC，
∴ON=OM=OD=a，
∵AB+AC+BC=2b
∴
=ab；③正确．
故答案为：C.
【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可求得，结合三角形内角和是180°即可得出，判断①正确；在AB上取一点H，使BH=BE，连接OH，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠HBO=∠EBO，∠OAB+∠OBA=60°，求得，∠BOE=60°，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等可得∠BOH=∠BOE=60°，推得∠AOH=∠AOF，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AF=AH，即可判断②正确；过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得ON=OM=OD=a，结合题意和三角形的面积格式即可判断③正确；得出结论.
2．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，故③错误，
故答案为：B.
【分析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.利用同角的补角相等，可证得∠EPF=∠MPN，从而可推出∠EPM=∠FPN，利用角平分线的性质可得到PE=PF，利用HL证明Rt△POE≌Rt△POF利用全等三角形的性质可得到OE=OF；再利用AAS证明△PEM≌△PFN，利用全等三角形的性质可证得EM=NF，PM=PN，可对①作出判断；利用全等三角形的面积相等，可推出S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，可对④作出判断；再证明OM+ON=2OE，可对②作出判断；在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，可对③作出判断。综上所述可得到正确结论的序号。
3．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，则∠AFC＝∠AGE＝90°，
∵∠DAB＝∠CAE＝α，
∴∠DAC＝∠BAE＝α+∠BAC，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ACF＝∠AEG，
在△ACF和△AEG中
，
∴△ACF≌△AEG（AAS），
∴AF＝AG，
∴点A在∠DPE的平分线上，
∴∠APE＝∠APD＝∠DPE，
∵∠CPE+∠ACF＝∠CAE+∠AEG＝∠AHP，
∴∠CPE＝∠CAE＝α，
∴∠APE＝∠DPE＝（180°﹣∠CPE）＝90°﹣α，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝90°﹣α+α＝90°+α，
∴∠APC的度数为90°+α.
故答案为：D.
【分析】作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，则∠DAC＝∠BAE＝α+∠BAC，证明△DAC≌△BAE，得到∠ACF＝∠AEG，进而证明△ACF≌△AEG，得到AF＝AG，根据角平分线的概念可得∠APE＝∠APD＝∠DPE，则∠CPE＝∠CAE＝α，∠APE＝∠DPE＝(180°-∠CPE)＝90°-α，然后根据角的和差，由∠APC=∠APE+∠CPE进行解答.
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC
∴DE=DH，
在Rt△DEF和Rt△DHG中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），
∴S△EDF=S△GDH=3，
同理Rt△ADE≌Rt△ADH，
∴S△ADE=S△ADH=
∴S△ADF= ，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF≌Rt△DHG全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，然后根据S△ADE=S△ADH列出方程求解即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】①∠ACB=∠CBE-∠CAB=2∠PBE－2∠PAB=2（∠PBE－∠PAB）=2∠APB.
②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC：S△PAB=AC：AB，
③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE(三线合一)，
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠BCP，
又∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
故①②③④都符合题意.
故答案选：D.
【分析】分别根据三角形外角的性质以及角的平分线的性质进行判断即可。
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AI、BI、CI，
∵点I为△ABC各角平分线的交点
∴点I是△ABC的内心，点I到三角形的三边距离相等
∴S△ABC=×3×4=×3×IH+×4×IH+×5×IH
∴可得IH=1
故答案为：A.
【分析】根据三角形内心到三角形的三边距离相等；根据三角形面积相等的原则，列一元一次方程，即可求出IH的值.
7．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A=50°，
∴∠ACD=∠A+∠AEC=50°+∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，
∴∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°，
∴∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，
整理得∠ACD-∠ABD=60°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB=∠POC，
∴∠P+ ∠ACD=∠A+ ∠ABD，
即∠P=50°- （∠ACD-∠ABD）=20°．
故答案为：B．
【分析】利用三角形外角的性质，得到∠ACD与∠ABD的关系，然后用角平分线的性质得到角相等的关系，代入计算即可得到答案．
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠ABC=β，
∵∠MAC=∠ADC+∠ACD，
∠ADC=∠ABC+∠DCB，
且 ，， ，
∴α=γ+∠ACD，γ=β+∠DCB，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD=∠BCD，
∴α-γ=γ-β，
即β=2γ-α，
故B正确，A、C、D错误；
故答案为：B.
【分析】考查角平分线定义以及三角形外角的性质，由∠MAC是△ADC的外角，可得α与γ间的关系，又∠ADC是△DBC的外角，可得γ与β的关系，然后利用角平分线可知∠ACD和∠DCB相等找到α、β、γ间的数量关系。
9．【答案】21
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，
∵平分， DF⊥BC，DE⊥AB，
∴DE=DF=3，∠AED=∠BED=∠BFD=90°，∠DBE=∠DBF，
∴△DBE≌△DBF（AAS），
∴BE=BF，
∵DA=DC，DE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△CFD（HL），
∴AE=CF=2，
∴AB=AE+BE=AE+BF=AE+BC+CF=9，
∴，
故答案为：21.
【分析】根据角平分线，全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式计算求解即可。
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图1，过点O作OH⊥BC于点H
∵BD平分∠ABC，OF⊥AB ∴OF=OH ∴ 故结论正确；
∵∠A=60° ∴∠ABC+∠ACB=120°
又∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE相交于点O
∴∠OBD=∠OBA=∠ABC，∠OCB=∠OCA=∠ACB
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB）=60°
∴∠EOB=∠OBC+∠OCB=60°
∴∠EOF=∠BOE-∠BOF
又∵∠OBF=∠ABC ∴∠BOF=90°-∠ABC
∴∠EOF=60°-（90°-∠ABC）=∠ABC-30°=（∠ABC-60°）=（∠ABC-∠A）.故结论
②错误；
如图2，在BC上截取BM=BE，连接OM
在和中，∴
∴OE=OM，∠EOB=∠BOM=60°
又∵∠COD=∠EOB=60° ∴∠COM=180°-∠BOM-∠COD=60° ∴∠COD=∠COM
在和中，∴
∴CD=CM ∴BE+CD=BC 故结论正确；
∵，
∴，
∴
∴，故结论正确.
故答案为：.
【分析】主要利用全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理及其推论解题，解题的关键是正确地做出所需要的辅助线，构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质解决问题。
11．【答案】①③④
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故②错误；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故①正确；
过点作于，作于，连接，
在中，和的平分线相交于点，
，
；故④正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故③正确．
故答案为：①③④．
【分析】在中，和的平分线相交于点，由角平分线的定义和三角形内角和定理可得，故②错误；由角平分线的定义及平行线的性质可推出，，可得，，从而得出EF=BE+CF，故①正确；过点作于，作于，连接，利用角平分线的性质可得，从而得出，故③④都正确.
12．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
13．【答案】32°；8°；
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵A1B为∠ABC的角平分线，A1C为∠ACD的角平分线
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1
∴∠A1=∠A
∵∠A=α
∴∠A1=α
同理，∠A2=∠A1=α
∴∠A2018=
当∠A=64°时，∠A1=32°，∠A3=8
【分析】根据角平分线的性质以及三角形外角的性质，即可得到∠A1=α，同理即可得到∠A2=∠A1=α，以此类推即可得到后一个角为前一个角的，即可得到规律，计算得到答案即可。
14．【答案】（1）；
（2）；
（3），．
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
15．【答案】（1）解：结论：AE=BF.
理由：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AOF=∠2+∠AOF，
∴∠AOE=∠BOF，
∵OA=OB，OE=EF，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴AE=BF；
（2）45；50
（3）解：结论：MO平分∠BME；
理由：作OI⊥EM于点I，作OW⊥BM于点W，如图所示：
∵OI⊥EM，OW⊥BM，
∴∠BWO=∠AIO=90°，
由（2）可得∠EAO=∠FBO，
∵OA=OB，
∴△AIO≌△BWO（AAS），
∴OI=OW，
∴MO平分∠BME.
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）如图所示：
设OA与BF的交点为X，
由（1）可得△AOE≌△BOF，
∴∠EAO=∠FBO，
∵∠AXM=∠BXO，
∴∠AMB=∠1=45°，
∵OA=OB，∠OAB=65°，
∴∠OBA=∠OAB=65°，
∴∠1=180°-2×65°=50°，
∴∠AMB=∠1=50°，
故答案为：45；50；
【分析】（1）利用角的运算求出∠AOE=∠BOF，再结合OA=OB，OE=EF，利用“SAS”证出△AOE≌△BOF可得AE=BF；
（2）利用全等三角形的性质可得∠EAO=∠FBO，再结合∠AXM=∠BXO，求出∠AMB=∠1=45°，再利用角的运算求出∠1=180°-2×65°=50°，即可得到∠AMB=∠1=50°；
（3）作OI⊥EM于点I，作OW⊥BM于点W，先利用“AAS”证出△AIO≌△BWO可得OI=OW，再利用角平分线判定方法可得MO平分∠BME.
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