人教版九年级上学期数学第二十一章质量检测

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人教版九年级上学期数学第二十一章质量检测
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 五 总分
评分
第Ⅰ卷
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2023九上·太原月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2016九上·岑溪期中）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17
C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15
3．（2021九上·禅城期末）若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A．2 B．±2 C．±4 D．±2
4．（2023九上·禹城月考）已知关于的方程有一个根为，则另一个根为（　　）
A． B． C． D．
5．（2019九上·珠海开学考）已知方程 的两个解分别为 、 ，则 的值为（）
A． B． C．7 D．3
6．（2024九上·蓬江期末）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（　　）
A． B．
C． D．
7．（2018九上·青海期中）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则 的值是（　　）
A． B． C． 或 D． 或
8．（2018-2019学年数学人教版九年级上册21.2.2 解一元二次方程（2） 同步训练）已知m，n是关于 的一元二次方程 的两实数根，则 的最小值是（　　）
A．7 B．11 C．12 D．16
9．（2023九上·铜梁月考） 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（　　）
A．52 B．60 C．68 D．76
10．（2019九上·和平期中）已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（　　）
A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根；
B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2016九上·桑植期中）若某商品经过两次连续降价后，由400元下调至256元，则这种商品平均每次降价的百分率是　 　．
12．（2016九上·自贡期中）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为　 　．
13．（2024九上·耒阳期末）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是　 　．
14．（2024九上·织金期末）已知：，是关于的方程的两个实数根，则的值为　 　．
15．（2020九上·龙海月考）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有　 　（填序号）．
①方程 是“倍根方程”；
②若 是“倍根方程”，则 ；
③若 满足 ，则关于x的方程 是“倍根方程”；
④若方程 是“倍根方程”，则必有 ．
阅卷人 三、计算题（共16分）
得分
16．（2023九上·怀仁月考）用合适的方法解方程
（1）
（2）
（3）
（4）．
阅卷人 四、解答题（共5题，共41分）
得分
17．（2022九上·长沙开学考）先化简，再求值：，其中满足．
18．（2023九上·宝安月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
19．（2024九上·雅安期末）已知：关于x的一元二次方程，
（1）已知是方程的一个根，求m的值及另一个根；
（2）若以这个方程的两个实数根作为中BC、AC的边长，，当时，求此时m的值．
20．（2024九上·深圳期末）已知：的两邻边，的长是关于x的方程的两个实数根.
（1）当m为何值时，是菱形？
（2）若的长为3，求的周长.
21．（2023九上·西安开学考）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径现有甲、乙两个社区疫苗接种点，已知甲社区接种点平均每天接种疫苗的人数是乙社区接种点平均每天接种疫苗的人数的倍，且甲社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间少天．
（1）求甲、乙两个社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数；
（2）一段时间后，乙社区疫苗接种点加大了宣传力度该接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数增加了，受乙社区疫苗接种点宣传的影响，甲社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数减少了人，但不低于人，这样乙社区接种点天接种疫苗的人数比甲社区接种点天接种疫苗的人数多人，求的值．
阅卷人 五、实践探究题（共2题，共18分）
得分
22．（2023九上·南海期中）阅读材料：若，求m、n的值.
解：∵，∴.
∴，∴，，∴，.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值.
（2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的值.
23．（2019九上·莲池期中）阅读下面方法，解答后面的问题：
【阅读理解】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用。
例题：已知x可取任意实数，试求二次三项式 的取值范围。
解：
∵x取任何实数，总有 ，∴ 。
因此，无论x取任何实数， 的值总是不小于-4的实数。
特别的，当x=3时， 有最小值-4
（1）【应用1】：已知x可取任何实数，则二次三项式 的最值情况是（　　）
A．有最大值-10 B．有最小值-10 C．有最大值-7 D．有最小值-7
（2）【应用2】：某品牌服装进货价为每件50元，商家在销售中发现：当以每件90元销售时，平均每天可售出20件，为了扩大销售量，增加盈利，商家决定采取适当的降价措施。
①将市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天那就可多售出2件，要想平均每天销售这种服装盈利为1200元，我们设降价x元，根据题意列方程得（　　）
A. B.
C. D.
②请利用上面【阅读理解】提供的方法解决下面问题：
这家服装专柜为了获得每天的最大盈利，每件服装需要降价多少元？每天的最大盈利又是多少元？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、 二元一次方程，故不符合题意；
B、 分式方程，故不符合题意；
C、 二元二次方程，故不符合题意；
D、， 一元二次方程，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，
∴x2﹣8x=1，
∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，
故选：B．
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，
∴△=m2－4×4=0，
解得：m=±4，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x
则-2+x=-3，解得：x=-1
故答案为：B.
【分析】设方程的另一个根为x，根据方程的根与系数的关系列出方程，解方程即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程x2 5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝5，x1 x2＝2，
∴x1＋x2 x1 x2＝5 2＝3．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1＋x2＝5，x1 x2＝2，然后整体代入计算即可.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】第一个月到第三个月经历了两次增长，第二个月的充电桩的数量为300(1+x)，第三个月的充电桩数量为300（1+x）2，故可列方程300（1+x）2=500.选C.
【分析】注意到连续2个月增长，表达第三个月的充电桩数量即可列出方程.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】根据条件知：
α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，∴ =﹣1，即m2﹣2m﹣3=0，所以，得： ，解得：m=3．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，再将分式方程的左边利用异分母分式的加法法则化简，再整体代入即可得出关于m的方程，再根据原一元二次方程有两个不相等的实数根得出其根的判别式应该大于0，从而得出一个不等式，解混合组即可得出m的值。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵△=（2t）2﹣4（ ）≥0，∴t≥2，又∵m+n=2t，mn= ，∴ = = = = ，根据二次函数的性质，t≥-1时，函数值随t的增大而增大，∵t≥2，∴当t=2时， 的值最小，此时 = =16，即最小值为16．故答案为：D
【分析】根据方程有实数根得出判别式应该不为负数列出不等式，求解得出t的取值范围，再根据根与系数的关系得出m+n=2t，mn= t 2 2 t + 4 ，然后将代数式利用多项式乘以多项式去括号，再整体代入得出一个关于t的式子，根据偶次方的非负性及t的取值范围，得出答案，
9．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；配方法的应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，
设，
∵正方形中，E是边中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴的最小值为，
故答案为：B．
【分析】过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，证四边形和四边形都是矩形，根据AAS证明，利全等三角形的性质，结合勾股定理和配方法求解即可．
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．∵方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴△1=b2﹣4ac≥0．
∵△2=b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a=0也有两个实数根，不符合题意；
B．∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，∴ ，∴ 是cx2+bx+a=0的一个根，故不符合题意；
C．由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c=0①，cm2+bm+a=0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a=0，整理得：（a﹣c）（m2﹣1）=0．
∵a≠c，∴m2﹣1=0，∴m=±1，故C符合题意，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．
11．【答案】20%
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
400（1﹣x）2=256，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8=180%（舍去），
即：这种商品平均每次降价的百分率为20%．
故答案是：20%．
【分析】设这种商品每次降价的百分率是x，则第一次下调后的价格为400（1﹣x），第二次下调的价格为400（1﹣x）2，根据题意可列方程为400（1﹣x）2=256求解即可．
12．【答案】x=3或x=﹣7
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：据题意得，
∵（x+2）*5=（x+2）2﹣52
∴x2+4x﹣21=0，
∴（x﹣3）（x+7）=0，
∴x=3或x=﹣7．
故答案为：x=3或x=﹣7
【分析】此题考查学生的分析问题和探索问题的能力．解题的关键是理解题意，在此题中x+2=a，5=b，代入所给公式得：（x+2）*5=（x+2）2﹣52，则可得一元二次方程，解方程即可求得．
13．【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： ∵已知是一元二次方程的一个根，
∴m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴2024-m2+m
=2024-(m2-m)
=2024-1
=2023.
故答案为：2023.
【分析】根据方程的根的定义，把x=m代入一元二次方程，得到m2-m-1=0，m2-m=1，2024-m2+m变形为2024-(m2-m)，把m2-m=1整体代入2024-(m2-m)即可。
14．【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵，是关于的方程的两个实数根，
∴x1+x2=1-2a，x1x2=a2，
∵，
∴x1x2+2（x1+x2）+4=11，
∴a2+2（1-2a）+4=11，
解得：a1=-1，a2=5，
∵，是关于的方程的两个实数根，
∴△=（2a-1）2-4×1×a2≥0，
解得：a≤，
∴a=-1，
故答案为：-1.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=1-2a，x1x2=a2，再结合求出a1=-1，a2=5，再利用根的判别式求出a≤，即可得到a的值.
15．【答案】②③④
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】①解方程 ，得 ，
，
方程 不是“倍根方程”．故①不符合题意；② 是“倍根方程”，且 ，
因此 或 ．
当 时， ，
当 时， ，
，故②符合题意；③ ，
，
，
，
因此 是“倍根方程”，故③符合题意；④方程 的根为 ，
若 ，则 ，
即 ，
，
，
，
，
，
若 ，则 ，
，
，
，
，
．故④符合题意，
故答案为：②③④．
【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；③当 满足 时，有 ，求出两个根，再根据 代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；④用求根公式求出两个根，当 或 时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
16．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（4）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，再直接开平方即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
（3）利用因式分解法即可求解；
（4）利用因式分解法即可求解；
17．【答案】解：原式
，
解方程得，舍去，，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，然后把各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，接着约分化简；再利用因式分解法求出一元二次方程的解，然后把符合题意的x的值代入进行计算，即可得出答案.
18．【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得，100（1+x）2＝144，
解得x＝20%或x＝﹣2.2（舍去），
∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元，
由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000，
整理得m2﹣130m+4000＝0，
解得m＝50或m＝80，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴m＝50，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：初始销售量×（1+月增长率）×（1+月增长率）=最终的销售量，设月增长率为x，代入即可得到方程，求解即可，注意月增长率为正数；
（2）根据题意：上涨的价格=实际售价－40；故减少的销售量=10×上涨的价格，可得等量关系：（实际售价－进价）×（原销售量－减少的销售量）=10000.设实际售价为m元，代入得关于m的方程求解即可.注意m的选取.
19．【答案】（1）解：将代入中，
得：，
解得：，，
当时，，
解得：，；
当时，，
解得：，；
综上：m的值为1或4，另一个根为3或12
（2）解：由题意可得：，，
∵，
∴，则，
∴，
解得：，，
当时，方程无解，∴．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理
【解析】【分析】（1）把x=1代入方程中，求出m值，再代入到方程中，求出另一个根；
（2）根据根与系数的关系得出AC+BC=3m+1，AC×BC=m2-2m+4，利用勾股定理得到AC2+BC2=AB2，利用完全平方公式变形，求出m值即可．
20．【答案】（1）解：当时，是菱形
此时，即
∴或8
时，方程为，（舍）
时，方程为，
∴时，是菱形.
（2）解：将代入得：，
此时方程：
解得：，
∴，
∴周长.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据菱形的判定可得AB=AD，推出方程的判别式为0，求得m的值，逐一分析，即可求得；
（2）将x=3代入方程求得m的值，再取出另一个根的值，再根据平行四边形的周长公式，即可求得.
21．【答案】（1）解：设乙社区疫苗接种点平均每天接种人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种人，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲社区疫苗接种点平均每天接种人，乙社区疫苗接种点平均每天接种人；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
，
不符合题意舍去，
答：的值为．
【知识点】一元二次方程的其他应用；分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙社区疫苗接种点平均每天接种人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种人，根据 甲社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间少天 即可列出分式方程即可求解；
（2） 根据乙社区接种点天接种疫苗的人数比甲社区接种点天接种疫苗的人数多人 列出一元二次方程即可求解.
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴.
（2）解：∵，
∴.
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵c为正整数，
∴.
【知识点】三角形三边关系；配方法的应用
【解析】【分析】(1)根据x2 ＋4xy+5y2 +6y＋9=0，应用因式分解的方法，判断出（x＋3）2 +（y+3）2 =0，可求出x，y的值，再计算x-y即可.
（2）同理运用因式分解的方法求解a，b的值，再根据三角形的三边的关系的求出c的值.
23．【答案】（1）B
（2）①A
②解：
∵
∴
特别的，当x=15时， 有最大值1250
∴降价15元时，每天的盈利最大，每天的最大盈利是1250元。
【知识点】配方法的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）
=3（x2+2x）-7
=3（x2+2x+12-12）-7
=3（x+1）2-3-7
=3（x-1）2-10
∵x取任何实数，总有（x-1）2≥0，
∴
3（x-1）2-10≥-10。
故答案为：B。
（2）①设降价x元，则每件盈利为（90-50-x）元，每天能售出（20+2x）件，根据题意可列方程：
。
故答案为：A。
【分析】（1）二次三项式的配方是先提取二次项系数，常数项不变，将二次项一次项提取系数后进行配方变成完全平方式即可；
（2）①降价x元，利润随之下降x元，每天售出的件数增加，每天的总利润等于每件的利润乘以每天销售的件数，根据题意列出方程即可；
②根据题意可表示出降价x元后每天销售所得的总利润，再由（1）中对二次三项式配方的方法即可x取多少时求得最大值。
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姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 五 总分
评分
第Ⅰ卷
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2023九上·太原月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、 二元一次方程，故不符合题意；
B、 分式方程，故不符合题意；
C、 二元二次方程，故不符合题意；
D、， 一元二次方程，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此判断即可.
2．（2016九上·岑溪期中）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17
C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，
∴x2﹣8x=1，
∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，
故选：B．
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
3．（2021九上·禅城期末）若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A．2 B．±2 C．±4 D．±2
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，
∴△=m2－4×4=0，
解得：m=±4，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
4．（2023九上·禹城月考）已知关于的方程有一个根为，则另一个根为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x
则-2+x=-3，解得：x=-1
故答案为：B.
【分析】设方程的另一个根为x，根据方程的根与系数的关系列出方程，解方程即可求出答案.
5．（2019九上·珠海开学考）已知方程 的两个解分别为 、 ，则 的值为（）
A． B． C．7 D．3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程x2 5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝5，x1 x2＝2，
∴x1＋x2 x1 x2＝5 2＝3．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1＋x2＝5，x1 x2＝2，然后整体代入计算即可.
6．（2024九上·蓬江期末）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】第一个月到第三个月经历了两次增长，第二个月的充电桩的数量为300(1+x)，第三个月的充电桩数量为300（1+x）2，故可列方程300（1+x）2=500.选C.
【分析】注意到连续2个月增长，表达第三个月的充电桩数量即可列出方程.
7．（2018九上·青海期中）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则 的值是（　　）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】根据条件知：
α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，∴ =﹣1，即m2﹣2m﹣3=0，所以，得： ，解得：m=3．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，再将分式方程的左边利用异分母分式的加法法则化简，再整体代入即可得出关于m的方程，再根据原一元二次方程有两个不相等的实数根得出其根的判别式应该大于0，从而得出一个不等式，解混合组即可得出m的值。
8．（2018-2019学年数学人教版九年级上册21.2.2 解一元二次方程（2） 同步训练）已知m，n是关于 的一元二次方程 的两实数根，则 的最小值是（　　）
A．7 B．11 C．12 D．16
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵△=（2t）2﹣4（ ）≥0，∴t≥2，又∵m+n=2t，mn= ，∴ = = = = ，根据二次函数的性质，t≥-1时，函数值随t的增大而增大，∵t≥2，∴当t=2时， 的值最小，此时 = =16，即最小值为16．故答案为：D
【分析】根据方程有实数根得出判别式应该不为负数列出不等式，求解得出t的取值范围，再根据根与系数的关系得出m+n=2t，mn= t 2 2 t + 4 ，然后将代数式利用多项式乘以多项式去括号，再整体代入得出一个关于t的式子，根据偶次方的非负性及t的取值范围，得出答案，
9．（2023九上·铜梁月考） 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（　　）
A．52 B．60 C．68 D．76
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；配方法的应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，
设，
∵正方形中，E是边中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴的最小值为，
故答案为：B．
【分析】过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，证四边形和四边形都是矩形，根据AAS证明，利全等三角形的性质，结合勾股定理和配方法求解即可．
10．（2019九上·和平期中）已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（　　）
A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根；
B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．∵方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴△1=b2﹣4ac≥0．
∵△2=b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a=0也有两个实数根，不符合题意；
B．∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，∴ ，∴ 是cx2+bx+a=0的一个根，故不符合题意；
C．由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c=0①，cm2+bm+a=0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a=0，整理得：（a﹣c）（m2﹣1）=0．
∵a≠c，∴m2﹣1=0，∴m=±1，故C符合题意，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2016九上·桑植期中）若某商品经过两次连续降价后，由400元下调至256元，则这种商品平均每次降价的百分率是　 　．
【答案】20%
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
400（1﹣x）2=256，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8=180%（舍去），
即：这种商品平均每次降价的百分率为20%．
故答案是：20%．
【分析】设这种商品每次降价的百分率是x，则第一次下调后的价格为400（1﹣x），第二次下调的价格为400（1﹣x）2，根据题意可列方程为400（1﹣x）2=256求解即可．
12．（2016九上·自贡期中）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为　 　．
【答案】x=3或x=﹣7
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：据题意得，
∵（x+2）*5=（x+2）2﹣52
∴x2+4x﹣21=0，
∴（x﹣3）（x+7）=0，
∴x=3或x=﹣7．
故答案为：x=3或x=﹣7
【分析】此题考查学生的分析问题和探索问题的能力．解题的关键是理解题意，在此题中x+2=a，5=b，代入所给公式得：（x+2）*5=（x+2）2﹣52，则可得一元二次方程，解方程即可求得．
13．（2024九上·耒阳期末）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是　 　．
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： ∵已知是一元二次方程的一个根，
∴m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴2024-m2+m
=2024-(m2-m)
=2024-1
=2023.
故答案为：2023.
【分析】根据方程的根的定义，把x=m代入一元二次方程，得到m2-m-1=0，m2-m=1，2024-m2+m变形为2024-(m2-m)，把m2-m=1整体代入2024-(m2-m)即可。
14．（2024九上·织金期末）已知：，是关于的方程的两个实数根，则的值为　 　．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵，是关于的方程的两个实数根，
∴x1+x2=1-2a，x1x2=a2，
∵，
∴x1x2+2（x1+x2）+4=11，
∴a2+2（1-2a）+4=11，
解得：a1=-1，a2=5，
∵，是关于的方程的两个实数根，
∴△=（2a-1）2-4×1×a2≥0，
解得：a≤，
∴a=-1，
故答案为：-1.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=1-2a，x1x2=a2，再结合求出a1=-1，a2=5，再利用根的判别式求出a≤，即可得到a的值.
15．（2020九上·龙海月考）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有　 　（填序号）．
①方程 是“倍根方程”；
②若 是“倍根方程”，则 ；
③若 满足 ，则关于x的方程 是“倍根方程”；
④若方程 是“倍根方程”，则必有 ．
【答案】②③④
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】①解方程 ，得 ，
，
方程 不是“倍根方程”．故①不符合题意；② 是“倍根方程”，且 ，
因此 或 ．
当 时， ，
当 时， ，
，故②符合题意；③ ，
，
，
，
因此 是“倍根方程”，故③符合题意；④方程 的根为 ，
若 ，则 ，
即 ，
，
，
，
，
，
若 ，则 ，
，
，
，
，
．故④符合题意，
故答案为：②③④．
【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；③当 满足 时，有 ，求出两个根，再根据 代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；④用求根公式求出两个根，当 或 时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
阅卷人 三、计算题（共16分）
得分
16．（2023九上·怀仁月考）用合适的方法解方程
（1）
（2）
（3）
（4）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（4）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，再直接开平方即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
（3）利用因式分解法即可求解；
（4）利用因式分解法即可求解；
阅卷人 四、解答题（共5题，共41分）
得分
17．（2022九上·长沙开学考）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】解：原式
，
解方程得，舍去，，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，然后把各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，接着约分化简；再利用因式分解法求出一元二次方程的解，然后把符合题意的x的值代入进行计算，即可得出答案.
18．（2023九上·宝安月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得，100（1+x）2＝144，
解得x＝20%或x＝﹣2.2（舍去），
∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元，
由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000，
整理得m2﹣130m+4000＝0，
解得m＝50或m＝80，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴m＝50，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：初始销售量×（1+月增长率）×（1+月增长率）=最终的销售量，设月增长率为x，代入即可得到方程，求解即可，注意月增长率为正数；
（2）根据题意：上涨的价格=实际售价－40；故减少的销售量=10×上涨的价格，可得等量关系：（实际售价－进价）×（原销售量－减少的销售量）=10000.设实际售价为m元，代入得关于m的方程求解即可.注意m的选取.
19．（2024九上·雅安期末）已知：关于x的一元二次方程，
（1）已知是方程的一个根，求m的值及另一个根；
（2）若以这个方程的两个实数根作为中BC、AC的边长，，当时，求此时m的值．
【答案】（1）解：将代入中，
得：，
解得：，，
当时，，
解得：，；
当时，，
解得：，；
综上：m的值为1或4，另一个根为3或12
（2）解：由题意可得：，，
∵，
∴，则，
∴，
解得：，，
当时，方程无解，∴．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理
【解析】【分析】（1）把x=1代入方程中，求出m值，再代入到方程中，求出另一个根；
（2）根据根与系数的关系得出AC+BC=3m+1，AC×BC=m2-2m+4，利用勾股定理得到AC2+BC2=AB2，利用完全平方公式变形，求出m值即可．
20．（2024九上·深圳期末）已知：的两邻边，的长是关于x的方程的两个实数根.
（1）当m为何值时，是菱形？
（2）若的长为3，求的周长.
【答案】（1）解：当时，是菱形
此时，即
∴或8
时，方程为，（舍）
时，方程为，
∴时，是菱形.
（2）解：将代入得：，
此时方程：
解得：，
∴，
∴周长.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据菱形的判定可得AB=AD，推出方程的判别式为0，求得m的值，逐一分析，即可求得；
（2）将x=3代入方程求得m的值，再取出另一个根的值，再根据平行四边形的周长公式，即可求得.
21．（2023九上·西安开学考）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径现有甲、乙两个社区疫苗接种点，已知甲社区接种点平均每天接种疫苗的人数是乙社区接种点平均每天接种疫苗的人数的倍，且甲社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间少天．
（1）求甲、乙两个社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数；
（2）一段时间后，乙社区疫苗接种点加大了宣传力度该接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数增加了，受乙社区疫苗接种点宣传的影响，甲社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数减少了人，但不低于人，这样乙社区接种点天接种疫苗的人数比甲社区接种点天接种疫苗的人数多人，求的值．
【答案】（1）解：设乙社区疫苗接种点平均每天接种人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种人，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲社区疫苗接种点平均每天接种人，乙社区疫苗接种点平均每天接种人；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
，
不符合题意舍去，
答：的值为．
【知识点】一元二次方程的其他应用；分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙社区疫苗接种点平均每天接种人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种人，根据 甲社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间少天 即可列出分式方程即可求解；
（2） 根据乙社区接种点天接种疫苗的人数比甲社区接种点天接种疫苗的人数多人 列出一元二次方程即可求解.
阅卷人 五、实践探究题（共2题，共18分）
得分
22．（2023九上·南海期中）阅读材料：若，求m、n的值.
解：∵，∴.
∴，∴，，∴，.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值.
（2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的值.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴.
（2）解：∵，
∴.
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵c为正整数，
∴.
【知识点】三角形三边关系；配方法的应用
【解析】【分析】(1)根据x2 ＋4xy+5y2 +6y＋9=0，应用因式分解的方法，判断出（x＋3）2 +（y+3）2 =0，可求出x，y的值，再计算x-y即可.
（2）同理运用因式分解的方法求解a，b的值，再根据三角形的三边的关系的求出c的值.
23．（2019九上·莲池期中）阅读下面方法，解答后面的问题：
【阅读理解】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用。
例题：已知x可取任意实数，试求二次三项式 的取值范围。
解：
∵x取任何实数，总有 ，∴ 。
因此，无论x取任何实数， 的值总是不小于-4的实数。
特别的，当x=3时， 有最小值-4
（1）【应用1】：已知x可取任何实数，则二次三项式 的最值情况是（　　）
A．有最大值-10 B．有最小值-10 C．有最大值-7 D．有最小值-7
（2）【应用2】：某品牌服装进货价为每件50元，商家在销售中发现：当以每件90元销售时，平均每天可售出20件，为了扩大销售量，增加盈利，商家决定采取适当的降价措施。
①将市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天那就可多售出2件，要想平均每天销售这种服装盈利为1200元，我们设降价x元，根据题意列方程得（　　）
A. B.
C. D.
②请利用上面【阅读理解】提供的方法解决下面问题：
这家服装专柜为了获得每天的最大盈利，每件服装需要降价多少元？每天的最大盈利又是多少元？
【答案】（1）B
（2）①A
②解：
∵
∴
特别的，当x=15时， 有最大值1250
∴降价15元时，每天的盈利最大，每天的最大盈利是1250元。
【知识点】配方法的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）
=3（x2+2x）-7
=3（x2+2x+12-12）-7
=3（x+1）2-3-7
=3（x-1）2-10
∵x取任何实数，总有（x-1）2≥0，
∴
3（x-1）2-10≥-10。
故答案为：B。
（2）①设降价x元，则每件盈利为（90-50-x）元，每天能售出（20+2x）件，根据题意可列方程：
。
故答案为：A。
【分析】（1）二次三项式的配方是先提取二次项系数，常数项不变，将二次项一次项提取系数后进行配方变成完全平方式即可；
（2）①降价x元，利润随之下降x元，每天售出的件数增加，每天的总利润等于每件的利润乘以每天销售的件数，根据题意列出方程即可；
②根据题意可表示出降价x元后每天销售所得的总利润，再由（1）中对二次三项式配方的方法即可x取多少时求得最大值。
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