人教版九年级上学期数学第二十二章质量检测

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人教版九年级上学期数学第二十二章质量检测
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
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第Ⅰ卷
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2021九上·郑州月考）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A，D符合，B，C不符合舍去；
A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确；
D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误.
故答案为：A.
【分析】二次函数y=ax2+bx，当a>0时，图象开口向上，当a<0时，图象开口向下，对称轴为直线x=，其图象过原点；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限.
2．（2022九上·西城期末）抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（　　）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线，
故答案为：D
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
3．（2021九上·安吉期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解A、此函数不是二次函数，故A不符合题意；
B、此函数不是二次函数，故B不符合题意；
C、此函数是二次函数，故C符合题意；
D、此函数不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）则y是x的二次函数，再对各选项逐一判断.
4．（2023九上·南开月考）已知二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①当a＞0时，b2-4ac＞0；当a＜0时，b2-4ac＜0；
②当x=-1时，a-b+c＜0；
③∵b＜c，∴-b+c＞0，∵a-b+c＜0，∴a＜0；
∴由a＜0，A和B选项不符合题意；
根据C和D的图象可得，c＜0，∵b＜c
∴b＜0
二次函数的对称轴x=-＜0，
∴D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断。
5．（2024九上·湘西期末）已知二次函数下列结论正确的是（　　）
①已知点，点在二次函数的图象上，则；②该图象一定过定点和；③直线与抛物线一定存在两个交点；④当时，的最小值是，则．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：二次函数，开口向下，
且对称轴为直线，
①∵点，点在二次函数的图象上，且，
∴，故①正确；
②∵，
当时，即，
解得：或，
该图象一定过定点和；故②正确；
③将代入，即，
整理得，，
∴，
∴直线与抛物线一定存在两个交点，故③正确；
④当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最小值为m，
即，
解得：，故④错误；
综上，正确的有①②③，
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
6．（2024九上·嘉兴期末）已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（　　）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
对称轴为，顶点坐标为，开口向上.
当，即-3故，故.
当，即b<－3时，最小值在处取得，
故，故(不符合题意，舍去).
当，即b>1时，最小值在处取得，
故，故.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数表达式求出对称轴和顶点坐标.然后分情况讨论，当时，最小值在顶点处取得；当时，最小值在处取得；当时，最小值在处取得；把x的值代入，得到关于b的方程，求解即可。
7．（2024九上·阿克苏期末）已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：在二次函数（m为常数）中，
a=1，b=-5，
该抛物线的对称轴为，
该抛物线的图象与x轴的一个交点为，
根据抛物线的对称性可知，该抛物线的图象与x轴的另一个交点为，
关于x的一元二次方程的两个实数根分别是.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程的解，求出二次函数的对称轴，再利用对称性求出另外一个交点的横坐标，即可得到对应的一元二次方程的实数根.
8．（2024九上·黔江期末）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解： ∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A（-3，-1），B（0，3），
∴不等式ax2+bx+c≥kx+m为：x≤-3或x≥0．
故答案为：B.
【分析】利用抛物线的图象，只需写出抛物线在直线上方时x的取值范围．
9．（2021九上·建水期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2
C．当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：二次函数y=x2-4x+5=（x-2）2+1，
A、∵a=1＞0，该函数的图象开口向上，
∴当x=2时y的最小值为1，故A不符合题意；
B、
∴，对称轴为直线x=2，顶点为（2，1），当x=2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；A、B的说法不符合题意，C的说法符合题意；
根据平移的规律，y= x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y=（x-2）2+1，D的说法不符合题意，
故答案为：C．
【分析】将二次函数的一般式转换为顶点式，再利用二次函数的图象和性质及函数平移的特征逐项判断即可。
10．（2024九上·游仙期末）已知抛物线与轴的两个交点在两旁，则关于的方程的根的情况是（　　）
A．有两个正数根 B．有两个负数根
C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴的两个交点在两旁，
∴当时，，
，
∴，
∴关于的方程有两个不相等的实数根．
∴，，
∴关于的方程有两个不相等的负实数根．
故答案为：B
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点问题得到m的取值，进而根据判别式即可得到关于的方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2021九上·淮北月考）若是关于x的二次函数，则m=　 　．
【答案】1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵是关于x的二次函数，
∴，解得：，
∴．
故答案为：1．
【分析】根据二次函数的定义可得，解得：即可。
12．（2021九上·黄冈月考）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点.当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为　 　.
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点 代入抛物线 中，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
设CD、EF分别与y轴交于点M和点N，
当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
此时E点坐标为(x，4-2x)，代入抛物线 中，
得到： ，
解得 ， (负值舍去)，
∴.
故答案为： .
【分析】将点A的坐标代入y=ax2中可得a，据此可得抛物线的解析式，设CD、EF分别与y轴交于点M和点N，当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=4-2x，将点E的坐标代入抛物线中可得x，进而可得CD.
13．（2024九上·高青模拟）已知抛物线经过，，三点，且恒成立，则的取值范围为 　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
14．（2020九上·古蔺期中）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是　 　
【答案】（1，2）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，
∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
15．（2024九上·上城期末）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边是围墙，且的长不能超过，其余三边，，用长的铁质栅栏．有下列结论：
①的长可以为；
②当农场面积为时，满足条件的的长只有一个值；
③农场面积的最大值为；
④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过．
其中，正确结论的是　 　．(只需填序号)
【答案】②④
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设边长为则边长为长为，
当时，，
解得，
的长不能超过，
，
故①不正确．
菜园面积为，
．
解得：．
又，
．
满足条件的的长只有一个值，故②正确．
由题意，设矩形菜园的面积为，
根据题意得：
，，
当时，有最大值，最大值为不可能为．
故③不正确．
直径一侧是围墙，当直径取最大值时，半圆的弧长为，
设沿方向栅栏延伸米，则
．
农场的最大面积为．
农场的面积可以超过
故④正确．
故答案为：②④．
【分析】设边长为 当时，求出BC长判断①；根据菜园面积为，列方程计算判断②；设矩形菜园的面积为，列二次函数，结合的取值范围利用增减性判断③，设沿方向栅栏延伸米，则，解方程求出的值判断④解题．
阅卷人 三、解答题（共7题，共63分）
得分
16．（2024九上·梁溪期末）如图1，二次函数的图象与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C．
（1）①___________，②顶点D的坐标为 ___________；
（2）如图2，抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段上的一个动点（不与点E重合），连接，作交x轴于点，求k的取值范围；
（3）如图3，连接、，点M、N分别在线段、上（均含端点），且，若是等腰三角形，求点M的坐标．
【答案】（1）①1，②
（2）
（3）(2，0)，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
17．（2024九上·钟山期末） 为抢抓大数据产业发展先机，紧跟电商发展新机遇、新模式、新业态，贵州省大力打造地方特色电商平台，通过“云”销售，助力“黔货出山”．贵州特产某品牌维C刺梨汁的进价为45元/箱，售价为60元/箱，某销售网店平均每周可售出100箱；而当销售价每降低1元时，平均每周多售出20箱．设每箱产品降价x元，每个周的销售利润为y元
（1）求y与x的关系式；
（2）当销售价为多少元时，每周获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）解：
（2）解：由（1）得：
∵-20＜0
∴该函数有最大值
∴当每箱产品降价5元，有最大利润
∴当售价为55元时，每周的利润最大，且最大利润是2000元。
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每箱产品降价x元， 根据利润=每箱产品的利润乘以总销量，代入数据即可累出y关于x的关系式；
（2）先将（1）中二次函数转化为顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.
18．（2024九上·昭通期末）在平面直角坐标系中，已知点A（2m+1，7）在抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）上．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当m＞0时，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+n（n是常数）在第四象限内有两个交点，请求出n的取值范围．
【答案】（1）解：已知点A（2m+1，7）在抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）上，
∴7＝（2m+1）2﹣（m+2）（2m+1）+m，
解得m＝2 或 m＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2或y＝x2﹣2；
（2）解：当m＞0时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+2
令 y＝x2﹣4x+2＝0，
解得x1＝2+，x2＝2﹣，
∴抛物线与x轴交点坐标为（2+，0），（2﹣，0），
如图，当直线y＝x+n经过（2+，0）时，2+＝0，
解得n＝﹣2﹣，
当直线 y＝x+n与抛物线y＝x2﹣4x+2只有1个公共点时，
于是得到x2﹣4x+2＝x+n，
整理得：x2﹣5x+2﹣n＝0，
∴Δ＝52﹣4（2﹣n）＝0，解得n＝﹣，
∴n的取值范围是﹣＜n＜﹣2﹣．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式，求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式即可；
（2）根据m>0确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴交点的坐标，再求出直线分别经过抛物线与x轴交点对应的n的值，最后联立，根据根的判别式求解即可。
19．（2023九上·义乌月考）在平面直角坐标系xOy中，有抛物线.
（1）若点在抛物线上，
①求抛物线的对称轴；
②若点也在抛物线上，求的取值范围；
（2）当时，有已知点，若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围.
【答案】（1）解：①点在抛物线上，，
，
抛物线的对称轴为直线；
②抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线顶点坐标为，
点在抛物线上，
当时，，解得；
当时，，解得
综上所述，或.
（2）当时，，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
当时，，
当时，点在第一象限内，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
线段AB只有和在左侧的抛物线相交，
抛物线与线段AB恰有一个公共点，
当时，点在第一象限内，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
线段AB只有和在右侧的抛物线相交，
抛物线与线段AB恰有一个公共点，
或
即满足条件的的范围为或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1） ① 把（2，3）代入抛物线解析式： 可得到：b=-2a，由抛物线的对称轴，得x=1；②先求出抛物线的顶点坐标（1，3-a），再进行讨论，当抛物线开口向上时，函数有最小值，即3-a≤-3，解得a≥6；当当抛物线开口向下时，函数有最大值，即3-a≥6，解得a≤-3.综上所述，或；
（2）根据题意可知抛物线的开口向下，当x=b时，y=3，当x=-b时，y=-2b2+3，所以可知点A在抛物线与x轴围成的图像内部，线段AB只有和在在x=b的左侧的抛物线相交，且由抛物线与线段AB只有一个公共点可知分两种情况，当b≥0时，可知，解得b≥1；当吧＜0时，线段AB只有和在右侧的抛物线相交，可知，解得b≤-3，综上所述，满足条件的的范围为或.本题的关键就是判断出点A的位置和分类讨论确定b的取值范围.
20．（2024九上·宁波期末）如图，直线yx＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
【答案】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
解得：x＝6，
∴C（6，0），
把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2x+c中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：yx2x+4
（2）解：如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，
设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），
∴EG＝（m2m+4）﹣（m+4）4m，
∴S△BECEG OC6（4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，此时E（3，8）；
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据直线的解析式即可求出点B和点C的坐标，然后利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），即可得到EG的长度，根据三角形的面积计算公式即可得到：然后根据二次函数的性质即可求出其最大值.
21．（2024九上·福州期末）如图1，抛物线）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式；
（3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m ，点F的横坐标为．过点D作x轴的垂线交直线于点M，过点F作x轴的垂线交直线于点N．
①如图2，连接，求四边形的最大值及此时点D的坐标；
②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意知，，
∴，
将，代入得，，
解得，，
∴
（2）解：由题意知，当时，当过中点时，A、C两点到直线的距离相等，
①当时，
当时，，
解得，或，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
②当过中点时，
由题意知，中点坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
综上所述，直线的解析式为或
（3）解：①解：由题意知，，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大，最大值为2，
∴；
②解：由题意知 ，
，
∴与的面积之和是定值，且定值为2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行线之间的距离；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由题意知需分两种情况讨论，①当时，根据题意得到点A的坐标，然后设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出其解析式，再设直线的解析式为，进而即可求解；②当过中点时，由题意知，中点坐标为，设直线的解析式为，利用待定系数法即可求解；
（3）①由题意知，，，，，进而可用含m的式子表示DM和FN，得到，最后根据二次函数的性质求最值即可；
②由题意知 ，据此即可求解.
22．（2024九上·梅河口期末）某市政府大力扶持大学生创业，小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每千克6元的农产品.销售过程中发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，另外在销售过程中小明每天需要支付其他费用200元.
销售单价（元/千克） 10 11
销售量（千克） 300 270
（1）求与的函数关系式：
（2）根据物价部门的规定，这种农产品的销售单价不得高于12元，那么如何定价才能使小明每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？
【答案】（1）解：设，
根据题意得，解得，
∴；
（2）解：设每天获得的纯利润为元，
根据题意得，
∵，∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于12元，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值，（元）.
答：当销售单价定为12元时，小明每月获得的纯利润最大，最大纯利润是1240元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设每天获得的纯利润为元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
阅卷人 四、实践探究题（共12分）
得分
23．（2024九上·鄞州期末）根据以下材料，探索完成任务：
智能浇灌系统使用方案
材料 如图1是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP最大高度不超过2.4m），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，OM为半径的圆形浇灌区域． 当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面0.1m． 如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长8m，宽6m的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处．
问题解决
任务1 确定水流形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究浇灌最大区域 当调节水管OP的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留）
任务3 解决具体问题 若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管OP至少需要调节到什么高度？
【答案】解：任务1：如图，以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
此时，，顶点坐标为，
设抛物线的函数表达为，
将代入得，，
∴抛物线的函数表达式为．
（其他建系方式均可，按步给分）
任务2：当时，即将抛物线向上平移2.4个单位，
得．
令，则，解得：，（舍去），
∴浇灌最大圆形区域面积为．
任务3：连结AC，如图：
由题意知AC过点O，，
∴，
∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少为5m．
设，此时抛物线函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴OP至少调节到1.5m．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）以O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，表示出点O和M以及顶点的坐标，可用两点式设函数表达式，代入顶点坐标求出a值，即可得表达式；
（2）灌溉面积最大时，OP=2.4米，相当于将函数图象向上平移2.4个单位，求出新的函数表达式，令y=0，求解，即可得到最大灌溉半径，从而得到最大灌溉面积；
（3）确定灌溉完整个矩形区域时的最大灌溉半径r，即矩形对角线的一半长，设水管调节高度为h，即向上平移h个单位，得到新的函数表达式，把半径r的值代入，即可得到调节高度h.
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人教版九年级上学期数学第二十二章质量检测
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
第Ⅰ卷
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2021九上·郑州月考）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022九上·西城期末）抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（　　）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
3．（2021九上·安吉期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023九上·南开月考）已知二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·湘西期末）已知二次函数下列结论正确的是（　　）
①已知点，点在二次函数的图象上，则；②该图象一定过定点和；③直线与抛物线一定存在两个交点；④当时，的最小值是，则．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
6．（2024九上·嘉兴期末）已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（　　）
A．或 B．或 C． D．或
7．（2024九上·阿克苏期末）已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2024九上·黔江期末）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C． D．
9．（2021九上·建水期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2
C．当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
10．（2024九上·游仙期末）已知抛物线与轴的两个交点在两旁，则关于的方程的根的情况是（　　）
A．有两个正数根 B．有两个负数根
C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2021九上·淮北月考）若是关于x的二次函数，则m=　 　．
12．（2021九上·黄冈月考）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点.当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为　 　.
13．（2024九上·高青模拟）已知抛物线经过，，三点，且恒成立，则的取值范围为 　 　．
14．（2020九上·古蔺期中）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是　 　
15．（2024九上·上城期末）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边是围墙，且的长不能超过，其余三边，，用长的铁质栅栏．有下列结论：
①的长可以为；
②当农场面积为时，满足条件的的长只有一个值；
③农场面积的最大值为；
④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过．
其中，正确结论的是　 　．(只需填序号)
阅卷人 三、解答题（共7题，共63分）
得分
16．（2024九上·梁溪期末）如图1，二次函数的图象与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C．
（1）①___________，②顶点D的坐标为 ___________；
（2）如图2，抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段上的一个动点（不与点E重合），连接，作交x轴于点，求k的取值范围；
（3）如图3，连接、，点M、N分别在线段、上（均含端点），且，若是等腰三角形，求点M的坐标．
17．（2024九上·钟山期末） 为抢抓大数据产业发展先机，紧跟电商发展新机遇、新模式、新业态，贵州省大力打造地方特色电商平台，通过“云”销售，助力“黔货出山”．贵州特产某品牌维C刺梨汁的进价为45元/箱，售价为60元/箱，某销售网店平均每周可售出100箱；而当销售价每降低1元时，平均每周多售出20箱．设每箱产品降价x元，每个周的销售利润为y元
（1）求y与x的关系式；
（2）当销售价为多少元时，每周获得的利润最大？并求出最大利润．
18．（2024九上·昭通期末）在平面直角坐标系中，已知点A（2m+1，7）在抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）上．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当m＞0时，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+n（n是常数）在第四象限内有两个交点，请求出n的取值范围．
19．（2023九上·义乌月考）在平面直角坐标系xOy中，有抛物线.
（1）若点在抛物线上，
①求抛物线的对称轴；
②若点也在抛物线上，求的取值范围；
（2）当时，有已知点，若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围.
20．（2024九上·宁波期末）如图，直线yx＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
21．（2024九上·福州期末）如图1，抛物线）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式；
（3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m ，点F的横坐标为．过点D作x轴的垂线交直线于点M，过点F作x轴的垂线交直线于点N．
①如图2，连接，求四边形的最大值及此时点D的坐标；
②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由．
22．（2024九上·梅河口期末）某市政府大力扶持大学生创业，小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每千克6元的农产品.销售过程中发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，另外在销售过程中小明每天需要支付其他费用200元.
销售单价（元/千克） 10 11
销售量（千克） 300 270
（1）求与的函数关系式：
（2）根据物价部门的规定，这种农产品的销售单价不得高于12元，那么如何定价才能使小明每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？
阅卷人 四、实践探究题（共12分）
得分
23．（2024九上·鄞州期末）根据以下材料，探索完成任务：
智能浇灌系统使用方案
材料 如图1是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP最大高度不超过2.4m），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，OM为半径的圆形浇灌区域． 当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面0.1m． 如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长8m，宽6m的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处．
问题解决
任务1 确定水流形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究浇灌最大区域 当调节水管OP的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留）
任务3 解决具体问题 若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管OP至少需要调节到什么高度？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A，D符合，B，C不符合舍去；
A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确；
D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误.
故答案为：A.
【分析】二次函数y=ax2+bx，当a>0时，图象开口向上，当a<0时，图象开口向下，对称轴为直线x=，其图象过原点；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限.
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线，
故答案为：D
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
3．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解A、此函数不是二次函数，故A不符合题意；
B、此函数不是二次函数，故B不符合题意；
C、此函数是二次函数，故C符合题意；
D、此函数不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）则y是x的二次函数，再对各选项逐一判断.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①当a＞0时，b2-4ac＞0；当a＜0时，b2-4ac＜0；
②当x=-1时，a-b+c＜0；
③∵b＜c，∴-b+c＞0，∵a-b+c＜0，∴a＜0；
∴由a＜0，A和B选项不符合题意；
根据C和D的图象可得，c＜0，∵b＜c
∴b＜0
二次函数的对称轴x=-＜0，
∴D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断。
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：二次函数，开口向下，
且对称轴为直线，
①∵点，点在二次函数的图象上，且，
∴，故①正确；
②∵，
当时，即，
解得：或，
该图象一定过定点和；故②正确；
③将代入，即，
整理得，，
∴，
∴直线与抛物线一定存在两个交点，故③正确；
④当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最小值为m，
即，
解得：，故④错误；
综上，正确的有①②③，
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
6．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
对称轴为，顶点坐标为，开口向上.
当，即-3故，故.
当，即b<－3时，最小值在处取得，
故，故(不符合题意，舍去).
当，即b>1时，最小值在处取得，
故，故.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数表达式求出对称轴和顶点坐标.然后分情况讨论，当时，最小值在顶点处取得；当时，最小值在处取得；当时，最小值在处取得；把x的值代入，得到关于b的方程，求解即可。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：在二次函数（m为常数）中，
a=1，b=-5，
该抛物线的对称轴为，
该抛物线的图象与x轴的一个交点为，
根据抛物线的对称性可知，该抛物线的图象与x轴的另一个交点为，
关于x的一元二次方程的两个实数根分别是.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程的解，求出二次函数的对称轴，再利用对称性求出另外一个交点的横坐标，即可得到对应的一元二次方程的实数根.
8．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解： ∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A（-3，-1），B（0，3），
∴不等式ax2+bx+c≥kx+m为：x≤-3或x≥0．
故答案为：B.
【分析】利用抛物线的图象，只需写出抛物线在直线上方时x的取值范围．
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：二次函数y=x2-4x+5=（x-2）2+1，
A、∵a=1＞0，该函数的图象开口向上，
∴当x=2时y的最小值为1，故A不符合题意；
B、
∴，对称轴为直线x=2，顶点为（2，1），当x=2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；A、B的说法不符合题意，C的说法符合题意；
根据平移的规律，y= x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y=（x-2）2+1，D的说法不符合题意，
故答案为：C．
【分析】将二次函数的一般式转换为顶点式，再利用二次函数的图象和性质及函数平移的特征逐项判断即可。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴的两个交点在两旁，
∴当时，，
，
∴，
∴关于的方程有两个不相等的实数根．
∴，，
∴关于的方程有两个不相等的负实数根．
故答案为：B
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点问题得到m的取值，进而根据判别式即可得到关于的方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。
11．【答案】1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵是关于x的二次函数，
∴，解得：，
∴．
故答案为：1．
【分析】根据二次函数的定义可得，解得：即可。
12．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点 代入抛物线 中，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
设CD、EF分别与y轴交于点M和点N，
当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
此时E点坐标为(x，4-2x)，代入抛物线 中，
得到： ，
解得 ， (负值舍去)，
∴.
故答案为： .
【分析】将点A的坐标代入y=ax2中可得a，据此可得抛物线的解析式，设CD、EF分别与y轴交于点M和点N，当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=4-2x，将点E的坐标代入抛物线中可得x，进而可得CD.
13．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
14．【答案】（1，2）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，
∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
15．【答案】②④
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设边长为则边长为长为，
当时，，
解得，
的长不能超过，
，
故①不正确．
菜园面积为，
．
解得：．
又，
．
满足条件的的长只有一个值，故②正确．
由题意，设矩形菜园的面积为，
根据题意得：
，，
当时，有最大值，最大值为不可能为．
故③不正确．
直径一侧是围墙，当直径取最大值时，半圆的弧长为，
设沿方向栅栏延伸米，则
．
农场的最大面积为．
农场的面积可以超过
故④正确．
故答案为：②④．
【分析】设边长为 当时，求出BC长判断①；根据菜园面积为，列方程计算判断②；设矩形菜园的面积为，列二次函数，结合的取值范围利用增减性判断③，设沿方向栅栏延伸米，则，解方程求出的值判断④解题．
16．【答案】（1）①1，②
（2）
（3）(2，0)，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
17．【答案】（1）解：
（2）解：由（1）得：
∵-20＜0
∴该函数有最大值
∴当每箱产品降价5元，有最大利润
∴当售价为55元时，每周的利润最大，且最大利润是2000元。
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每箱产品降价x元， 根据利润=每箱产品的利润乘以总销量，代入数据即可累出y关于x的关系式；
（2）先将（1）中二次函数转化为顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.
18．【答案】（1）解：已知点A（2m+1，7）在抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）上，
∴7＝（2m+1）2﹣（m+2）（2m+1）+m，
解得m＝2 或 m＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2或y＝x2﹣2；
（2）解：当m＞0时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+2
令 y＝x2﹣4x+2＝0，
解得x1＝2+，x2＝2﹣，
∴抛物线与x轴交点坐标为（2+，0），（2﹣，0），
如图，当直线y＝x+n经过（2+，0）时，2+＝0，
解得n＝﹣2﹣，
当直线 y＝x+n与抛物线y＝x2﹣4x+2只有1个公共点时，
于是得到x2﹣4x+2＝x+n，
整理得：x2﹣5x+2﹣n＝0，
∴Δ＝52﹣4（2﹣n）＝0，解得n＝﹣，
∴n的取值范围是﹣＜n＜﹣2﹣．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式，求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式即可；
（2）根据m>0确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴交点的坐标，再求出直线分别经过抛物线与x轴交点对应的n的值，最后联立，根据根的判别式求解即可。
19．【答案】（1）解：①点在抛物线上，，
，
抛物线的对称轴为直线；
②抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线顶点坐标为，
点在抛物线上，
当时，，解得；
当时，，解得
综上所述，或.
（2）当时，，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
当时，，
当时，点在第一象限内，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
线段AB只有和在左侧的抛物线相交，
抛物线与线段AB恰有一个公共点，
当时，点在第一象限内，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
线段AB只有和在右侧的抛物线相交，
抛物线与线段AB恰有一个公共点，
或
即满足条件的的范围为或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1） ① 把（2，3）代入抛物线解析式： 可得到：b=-2a，由抛物线的对称轴，得x=1；②先求出抛物线的顶点坐标（1，3-a），再进行讨论，当抛物线开口向上时，函数有最小值，即3-a≤-3，解得a≥6；当当抛物线开口向下时，函数有最大值，即3-a≥6，解得a≤-3.综上所述，或；
（2）根据题意可知抛物线的开口向下，当x=b时，y=3，当x=-b时，y=-2b2+3，所以可知点A在抛物线与x轴围成的图像内部，线段AB只有和在在x=b的左侧的抛物线相交，且由抛物线与线段AB只有一个公共点可知分两种情况，当b≥0时，可知，解得b≥1；当吧＜0时，线段AB只有和在右侧的抛物线相交，可知，解得b≤-3，综上所述，满足条件的的范围为或.本题的关键就是判断出点A的位置和分类讨论确定b的取值范围.
20．【答案】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
解得：x＝6，
∴C（6，0），
把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2x+c中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：yx2x+4
（2）解：如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，
设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），
∴EG＝（m2m+4）﹣（m+4）4m，
∴S△BECEG OC6（4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，此时E（3，8）；
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据直线的解析式即可求出点B和点C的坐标，然后利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），即可得到EG的长度，根据三角形的面积计算公式即可得到：然后根据二次函数的性质即可求出其最大值.
21．【答案】（1）解：由题意知，，
∴，
将，代入得，，
解得，，
∴
（2）解：由题意知，当时，当过中点时，A、C两点到直线的距离相等，
①当时，
当时，，
解得，或，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
②当过中点时，
由题意知，中点坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
综上所述，直线的解析式为或
（3）解：①解：由题意知，，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大，最大值为2，
∴；
②解：由题意知 ，
，
∴与的面积之和是定值，且定值为2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行线之间的距离；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由题意知需分两种情况讨论，①当时，根据题意得到点A的坐标，然后设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出其解析式，再设直线的解析式为，进而即可求解；②当过中点时，由题意知，中点坐标为，设直线的解析式为，利用待定系数法即可求解；
（3）①由题意知，，，，，进而可用含m的式子表示DM和FN，得到，最后根据二次函数的性质求最值即可；
②由题意知 ，据此即可求解.
22．【答案】（1）解：设，
根据题意得，解得，
∴；
（2）解：设每天获得的纯利润为元，
根据题意得，
∵，∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于12元，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值，（元）.
答：当销售单价定为12元时，小明每月获得的纯利润最大，最大纯利润是1240元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设每天获得的纯利润为元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
23．【答案】解：任务1：如图，以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
此时，，顶点坐标为，
设抛物线的函数表达为，
将代入得，，
∴抛物线的函数表达式为．
（其他建系方式均可，按步给分）
任务2：当时，即将抛物线向上平移2.4个单位，
得．
令，则，解得：，（舍去），
∴浇灌最大圆形区域面积为．
任务3：连结AC，如图：
由题意知AC过点O，，
∴，
∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少为5m．
设，此时抛物线函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴OP至少调节到1.5m．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）以O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，表示出点O和M以及顶点的坐标，可用两点式设函数表达式，代入顶点坐标求出a值，即可得表达式；
（2）灌溉面积最大时，OP=2.4米，相当于将函数图象向上平移2.4个单位，求出新的函数表达式，令y=0，求解，即可得到最大灌溉半径，从而得到最大灌溉面积；
（3）确定灌溉完整个矩形区域时的最大灌溉半径r，即矩形对角线的一半长，设水管调节高度为h，即向上平移h个单位，得到新的函数表达式，把半径r的值代入，即可得到调节高度h.
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