四川省眉山市2024年中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑．
1．（2024·眉山） 下列四个数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、-3.14是有理数，故A不符合题意；
B、-2是有理数，故B不符合题意；
C、是有理数，故C不符合题意；
D、是无理数，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用开方开不尽的数是无理数，可得答案.
2．（2024·眉山） 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、此标志图案是轴对称图形，故A符合题意；
B、此标志图案不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此标志图案不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此标志图案不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
3．（2024·眉山） 下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2-a不能合并，故A不符合题意；
B、a·a2=a3，故B符合题意；
C、（a2）3=a6，故C不符合题意；
D、（2ab2）3=8a3b6，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对C作出判断；利用积的乘方法则，可对D作出判断.
4．（2024·眉山） 为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．1.5，1.5 B．1.4，1.5 C．1.48，1.5 D．1，2
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将已知数从小到大排列为：1，1.4，1.5，1.5，2，
处于最中间的数是1.5，
∴这组数据的中位数是1.5，
∵1.5出现了2次，是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是1.5.
故答案为：A.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可求解.
5．（2024·眉山） 如图，在□中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C，故①③正确；
∴∠EDO=∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴OD=OB，
在△DOE和△BOF中
∴△DOE≌△BOF（ASA）
∴S△DOE=S△BOF，
∴OE=OF，ED=BF，故②错误；
∵△ABD≌△BCD，
∴S△ABD=S△BCD，
∴S△ABD-S△DOE=S△BCD-S△BOF，
∴， 故④正确
∴正确结论的个数为3个.
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质可证得AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C，可对①③作出判断；利用平行线的性质可推出∠EDO=∠FBO，同时可证得OB=OD，利用ASA可证得△DOE≌△BOF，利用全等三角形的对应边相等，可对②作出判断；同时可证得S△DOE=S△BOF，易证S△ABD=S△BCD，根据∴S△ABD-S△DOE=S△BCD-S△BOF，可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
6．（2024·眉山） 不等式组的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得：x＞1，
由②得x≤4，
∴不等式组的解集为1＜x≤4.
故答案为：D.
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
7．（2024·眉山） 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，EF垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴△BCD的周长为：BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.
故答案为：C.
【分析】由作图可知，EF垂直平分AB，利用垂直平分线的性质，可证得AD=BD；再证明△BCD的周长等于AC+BC，代入计算可求解.
8．（2024·眉山） 眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 该村水稻亩产量年平均增长率为 ，根据题意得
670（1+x）2=780.
故答案为：B.
【分析】此题的等量关系为：2021年水稻亩产量×（1+增长率）2=2023年水稻亩产量 ，据此列方程即可.
9．（2024·眉山） 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求余弦值
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC=8，∠B=∠D=90°
∵ 把沿折叠，点恰好落在边上的点处，
∴AD=AF=8，∠AFE=∠D=90°，
∴，
∴∠AFB+∠CFE=90°，∠CFE+∠CEF=90°，
∴∠AFB=∠CEF，
∴.
故答案为：A.
【分析】利用矩形的性质可证得AD=BC=8，∠B=∠D=90°，利用折叠的性质可知AD=AF=8，∠AFE=∠D=90°，利用勾股定理求出BF的长；再利用余角的性质去证明∠AFB=∠CEF，然后利用余弦的定义可求出cos∠CEF的值.
10．（2024·眉山） 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： =（x+1+4）（x+1-2）=（x+5）（x-1）
∴y=x2+4x-5=（x+2）2-9，
∵a=1＞0，
∴当x=-2时y的最小值为-9.
故答案为：B.
【分析】利用定义新运算，可得到y=（x+2）2-9，再利用二次函数的图象及性质，可得y的最小值.
11．（2024·眉山） 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
【答案】D
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设直角三角形的较长的直角边为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，
∵图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，
∴a2+b2=c2=24，（a-b）2=a2-2ab+b2=4
∴24-2ab=4
解之：ab=10；
图2中大正方形的面积为：c2+4×ab=24+4××10=44.
故答案为：D.
【分析】设直角三角形的较长的直角边为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用勾股定理及已知条件可得到a2+b2=c2=24，（a-b）2=a2-2ab+b2=4，代入计算求出ab的值；观察图2，可知其面积=c2+4×ab，然后代入计算可求解.
12．（2024·眉山） 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
，故③正确；
④，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C．
【分析】利用抛物线的开口方向可得到a的取值范围，利用对称轴的位置可确定出b的取值范围，再根据抛物线与y轴的交点情况，可确定出c的取值范围，据此可对①作出判断；利用抛物线与x轴的交点坐标及对称轴，可得到b=-2a，a-b+c=0，据此可得到3a+c的值，可对②作出判断；利用函数图象及对称轴，可得到函数的最小值为a+b+c，据此可对③作出判断；利用一元二次方程根与系数，可得到c=-3a，利用c的取值范围，可得到a的取值范围，再求出a+b+c=-4a，据此可得到a+b+c的取值范围，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上．
13．（2024·眉山） 分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=3a（a2-4）=3a（a+2）（a-2）.
故答案为：3a（a+2）（a-2）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式3a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
14．（2024·眉山） 已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根分别为， ，
∴x1+x2=-1，x1x2=-2，
∴.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根与系数，可得到x1+x2=-1，x1x2=-2，再将代数式转化为，然后整体代入求值.
15．（2024·眉山） 如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，
∵EF∥CG，
∴∠DCG=∠DEF，
∵ 斜坡的坡度 ，
∴，
设BF=x，则EF=2x，
∴
解之：
∴，
∵ 太阳光与水平面的夹角为，
∴∠EAF=180°-90°-60°=30°，
∴∠AEF=90°-30°=60°
，
∴.
故答案为：.
【分析】过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，利用平行线的性质可证得∠DCG=∠DEF，利用坡度的定义可知，设BF=x，则EF=2x，利用勾股定理可求出BF，EF的长；再求出∠AEF=60°，利用解直角三角形求出AF的长，然后根据AB=AF-BF，代入计算可求解.
16．（2024·眉山） 如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AD=BC=CD=6，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠ADC=∠DCE=180°-120°=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠ADE=90°，
∴∠EDC=90°-∠DCE=90°-60°=30°，
∴CE=CD=3，
∴DE=CEtan∠DCE=CEtan60°=
∴BE=BC+CE=6+3=9，
∴
∵AD∥BE，
∴△AFD∽△EFB，
∴即
解之：；
∵AD∥BE，
∴△ADG∽△CEG，
∴即
解之：；
∴.
故答案为：.
【分析】利用菱形的性质和平行线的性质可证得AD=BC=CD=6，∠ADC=∠DCE=60°，利用垂直的定义和三角形内角和定理可证得∠EDC=30°，利用解直角三角形求出DE的长，可得到BE的长，利用勾股定理可求出AE的长；由AD∥BE，可证得△AFD∽△EFB，△ADG∽△CEG，利用相似三角形的性质可求出AF，AG的长；然后根据FG=AG-AF，代入计算求出FG的长.
17．（2024·眉山） 已知（且），，则的值为 ．
【答案】
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴三个一循环，
∴2024÷3=674×3+2，
∴
故答案为：.
【分析】利用已知法则，分别表示出a2，a3，a4，a5，观察可得规律，根据其规律可求出a2024的值.
18．（2024·眉山） 如图，内接于，点在上，平分交于，连结．若，，则的长为 ．
【答案】8
【知识点】相似三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：延长，交于，
是的直径，
，
，
平分，
，
在△ADE和△ABD中
∴△ADE≌△ABD（ASA）
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：8．
【分析】延长，交于，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=∠ADE=90°，利用角平分线的定义可证得∠BAD=∠DAE，利用ASA可证得△ADE≌△ABD，利用全等三角形的性质可求出DE的长，利用勾股定理求出AD的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABD∽△BCE，利用相似三角形的性质可求出BC的长.
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．
19．（2024·眉山） 计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可.
20．（2024·眉山） 解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
【答案】解：，
，
，
，
，
，
其解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集.
21．（2024·眉山） 为响应国家政策，保障耕地面积，提高粮食产量，确保粮食安全，我市开展高标准农田改造建设，调查统计了其中四台不同型号的挖掘机（分别为型，型，型，型）一个月内改造建设高标准农田的面积（亩），并绘制成如图不完整的统计图表：
改造农田面积统计表
型号
亩数 16 20 12
利用图中的信息，解决下列问题：
（1）① ；②扇形统计图中的度数为 ．
（2）若这四台不同型号的挖掘机共改造建设了960亩高标准农田，估计其中型挖掘机改造建设了多少亩？
（3）若从这四台不同型号的挖掘机中随机抽调两台挖掘机参加其它任务，请用画树状图或列表的方法求出恰好同时抽到，两种型号挖掘机的概率．
【答案】（1）32；
（2）解：根据题意得：
（亩），
答：估计其中型挖掘机改造建设了240亩；
（3）解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，同时抽到，两种型号挖掘机的有2中情况，
同时抽到，两种型号挖掘机的概率为：．
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）12÷=80，
∴m=80-16-20-12=32；
②扇形统计图中的度数为360°×=72°.
故答案为：32，72°.
【分析】（1） ①利用统计表和统计图可求出总面积，再求出m的值； ②利用的度数为360°×A所占的百分比，列式计算即可.
（2）根据题意可知用960×B型所占的百分比，列式计算.
（3）由题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，利用树状图可求出恰好同时抽到，两种型号挖掘机的概率 .
22．（2024·眉山） 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，，
，，
，
连接，
平分，
，，
，
是的直径，
，
．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接OA，利用圆周角定理可证得∠BAE=90°，再利用等腰三角形的性质去证明∠CAE+∠OAE=90°，可推出OA⊥AC，利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△EAC，利用相似三角形的性质可求出BC的长，然后求出BE的长；连接BD，利用角平分线的定义及圆心角，弧，弦的关系定理可证得BD=DE，利用圆周角定理可知∠BDE=90°，然后利用解直角三角形求出DE的长.
23．（2024·眉山） 眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的款文创产品和用780元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多15元．
（1）求，两款文创产品每件的进价各是多少元？
（2）已知，文创产品每件售价为100元，款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元，根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
．
答：款文创产品每件的进价80元，则文创产品每件的进价是65元．
（2）解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，根据题意得：，
解得：，
，
，随的增大而增大，
当时，利润最大，．
答：购进款文创产品60件，购进款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：每件款文创产品进价=每件款文创产品进价+15； 960÷每件款文创产品进价=780÷每件B款文创产品进价，再设未知数，列方程，求解即可.
（2）此题的等量关系为：A文创产品的数量+B文创产品的数量=100；购进这两款文创产品共100件的总费用≤7400；设未知数，列不等式，可求出x的取值范围；设总利润为W，可得到W关于x的函数解析式，利用一次函数的性质可求解.
24．（2024·眉山） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
（3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
【答案】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，，
反比例函数的表达式为，
，，
，，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）
（3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，
直线的解析式为，
，，
，
，
解得或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
则此时，的周长最小，
点，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
故答案为：（0，5）
【分析】（1）利用点A，B的坐标，可求出m和n的值，可得到反比例函数解析式；将点A，B的坐标分别代入一次函数解析式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式.
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，可知此时，的周长最小，同时可得到点E的坐标，利用待定系数法求出直线BE的函数解析式，由x=0求出对应的y的值，可得到点P的坐标.
（3）利用一次函数图象平移规律，可得到直线的解析式为，可表示出点E，F的坐标，再根据，利用直角坐标系中，两点之间的距离公式可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
25．（2024·眉山） 综合与实践
问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况．
操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中：
（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为 ；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为 ．
（2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为 ．
（3）类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明．
（4）拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积．（参考数据：，，）
【答案】（1）4；4
（2）
（3）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
（4）解：过点作于点，于点．
同（2）可知四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
重叠部分的面积
．
【知识点】旋转的性质；四边形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）四边形是正方形，
，
当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为；
当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
四边形的面积是4，
故答案为：4，4；
（2）如图，过点作于点，于点．
是正方形的中心，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠BOC=90°，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为正方形面积的四分之一，据此可求出重叠部分的面积；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，易证四边形MONC是矩形，利用正方形的性质去证明∠MOC=∠MCO，可得到OM=CM，可证四边形OMCN是正方形，可求出OM的长，然后求出四边形OMCN的面积.
（2）过点作于点，于点．易证OH=OG，利用有三个角是直角的四边形是矩形可证得四边形OGCH是矩形，由此可推出四边形OGCH是正方形，利用正方形的性质去证明∠EOG=∠FOH，利用ASA证明△OGE≌△OHF，利用全等三角形的面积相等可得到，由此可证得结论.
（3）利用正方形的性质去证明∠EOB=∠FOC，利用ASA证明△EOB≌△FOC，利用全等三角形的性质可证得BE=CF，可推出BE+DF=CD，由，可证得结论.
（4）过点作于点，于点．利用正方形的性质可证得BG=BH，OG=OH，同时可证得GM=NH，利用SAS证明△OGM≌△OHN，利用全等三角形的性质可证得两个三角形的面积相等，同时可证得∠GOM=∠NOH，可推出∠GOM=15°，利用解直角三角形求出GM的长，再求出△OGM的面积，然后根据重叠部分的面积，代入计算即可.
26．（2024·眉山） 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线的解析式，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到抛物线的解析式.
（2）过作轴交于，由点A、C的坐标，可求出直线AC的函数解析式，利用两函数解析式，设，则，可表示出DK的长，利用三角形的面积公式，根据△ACD的面积为3，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可得到点D的坐标.
（3）利用二次函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；设，，过作轴于，过作轴于，分情况讨论：OA=OC=3时，当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，可得到点P的坐标；当在第一象限，在第四象限时，利用AAS证明△DOM≌△OPN，可推出PN=OM，ON=DM，由此可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，可得到符合题意的点P的坐标；当在第四象限，在第三象限时，如图：利用AAS证明△DOM≌△OPN，利用 全等三角形的性质可知PN=OM，ON=DM，可得到关于m、n的方程组，解方程组求出n、m的值，可得到符合题意的点P的坐标；当在第四象限，在第一象限，如图：同理可求出符合题意的点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
1 / 1四川省眉山市2024年中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑．
1．（2024·眉山） 下列四个数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·眉山） 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·眉山） 下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·眉山） 为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．1.5，1.5 B．1.4，1.5 C．1.48，1.5 D．1，2
5．（2024·眉山） 如图，在□中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024·眉山） 不等式组的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
7．（2024·眉山） 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
8．（2024·眉山） 眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·眉山） 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·眉山） 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·眉山） 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
12．（2024·眉山） 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上．
13．（2024·眉山） 分解因式： ．
14．（2024·眉山） 已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
15．（2024·眉山） 如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米．
16．（2024·眉山） 如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
17．（2024·眉山） 已知（且），，则的值为 ．
18．（2024·眉山） 如图，内接于，点在上，平分交于，连结．若，，则的长为 ．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．
19．（2024·眉山） 计算：．
20．（2024·眉山） 解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
21．（2024·眉山） 为响应国家政策，保障耕地面积，提高粮食产量，确保粮食安全，我市开展高标准农田改造建设，调查统计了其中四台不同型号的挖掘机（分别为型，型，型，型）一个月内改造建设高标准农田的面积（亩），并绘制成如图不完整的统计图表：
改造农田面积统计表
型号
亩数 16 20 12
利用图中的信息，解决下列问题：
（1）① ；②扇形统计图中的度数为 ．
（2）若这四台不同型号的挖掘机共改造建设了960亩高标准农田，估计其中型挖掘机改造建设了多少亩？
（3）若从这四台不同型号的挖掘机中随机抽调两台挖掘机参加其它任务，请用画树状图或列表的方法求出恰好同时抽到，两种型号挖掘机的概率．
22．（2024·眉山） 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的长．
23．（2024·眉山） 眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的款文创产品和用780元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多15元．
（1）求，两款文创产品每件的进价各是多少元？
（2）已知，文创产品每件售价为100元，款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
24．（2024·眉山） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
（3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
25．（2024·眉山） 综合与实践
问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况．
操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中：
（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为 ；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为 ．
（2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为 ．
（3）类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明．
（4）拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积．（参考数据：，，）
26．（2024·眉山） 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、-3.14是有理数，故A不符合题意；
B、-2是有理数，故B不符合题意；
C、是有理数，故C不符合题意；
D、是无理数，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用开方开不尽的数是无理数，可得答案.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、此标志图案是轴对称图形，故A符合题意；
B、此标志图案不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此标志图案不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此标志图案不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2-a不能合并，故A不符合题意；
B、a·a2=a3，故B符合题意；
C、（a2）3=a6，故C不符合题意；
D、（2ab2）3=8a3b6，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对C作出判断；利用积的乘方法则，可对D作出判断.
4．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将已知数从小到大排列为：1，1.4，1.5，1.5，2，
处于最中间的数是1.5，
∴这组数据的中位数是1.5，
∵1.5出现了2次，是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是1.5.
故答案为：A.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C，故①③正确；
∴∠EDO=∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴OD=OB，
在△DOE和△BOF中
∴△DOE≌△BOF（ASA）
∴S△DOE=S△BOF，
∴OE=OF，ED=BF，故②错误；
∵△ABD≌△BCD，
∴S△ABD=S△BCD，
∴S△ABD-S△DOE=S△BCD-S△BOF，
∴， 故④正确
∴正确结论的个数为3个.
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质可证得AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C，可对①③作出判断；利用平行线的性质可推出∠EDO=∠FBO，同时可证得OB=OD，利用ASA可证得△DOE≌△BOF，利用全等三角形的对应边相等，可对②作出判断；同时可证得S△DOE=S△BOF，易证S△ABD=S△BCD，根据∴S△ABD-S△DOE=S△BCD-S△BOF，可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
6．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得：x＞1，
由②得x≤4，
∴不等式组的解集为1＜x≤4.
故答案为：D.
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，EF垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴△BCD的周长为：BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.
故答案为：C.
【分析】由作图可知，EF垂直平分AB，利用垂直平分线的性质，可证得AD=BD；再证明△BCD的周长等于AC+BC，代入计算可求解.
8．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 该村水稻亩产量年平均增长率为 ，根据题意得
670（1+x）2=780.
故答案为：B.
【分析】此题的等量关系为：2021年水稻亩产量×（1+增长率）2=2023年水稻亩产量 ，据此列方程即可.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求余弦值
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC=8，∠B=∠D=90°
∵ 把沿折叠，点恰好落在边上的点处，
∴AD=AF=8，∠AFE=∠D=90°，
∴，
∴∠AFB+∠CFE=90°，∠CFE+∠CEF=90°，
∴∠AFB=∠CEF，
∴.
故答案为：A.
【分析】利用矩形的性质可证得AD=BC=8，∠B=∠D=90°，利用折叠的性质可知AD=AF=8，∠AFE=∠D=90°，利用勾股定理求出BF的长；再利用余角的性质去证明∠AFB=∠CEF，然后利用余弦的定义可求出cos∠CEF的值.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： =（x+1+4）（x+1-2）=（x+5）（x-1）
∴y=x2+4x-5=（x+2）2-9，
∵a=1＞0，
∴当x=-2时y的最小值为-9.
故答案为：B.
【分析】利用定义新运算，可得到y=（x+2）2-9，再利用二次函数的图象及性质，可得y的最小值.
11．【答案】D
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设直角三角形的较长的直角边为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，
∵图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，
∴a2+b2=c2=24，（a-b）2=a2-2ab+b2=4
∴24-2ab=4
解之：ab=10；
图2中大正方形的面积为：c2+4×ab=24+4××10=44.
故答案为：D.
【分析】设直角三角形的较长的直角边为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用勾股定理及已知条件可得到a2+b2=c2=24，（a-b）2=a2-2ab+b2=4，代入计算求出ab的值；观察图2，可知其面积=c2+4×ab，然后代入计算可求解.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
，故③正确；
④，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C．
【分析】利用抛物线的开口方向可得到a的取值范围，利用对称轴的位置可确定出b的取值范围，再根据抛物线与y轴的交点情况，可确定出c的取值范围，据此可对①作出判断；利用抛物线与x轴的交点坐标及对称轴，可得到b=-2a，a-b+c=0，据此可得到3a+c的值，可对②作出判断；利用函数图象及对称轴，可得到函数的最小值为a+b+c，据此可对③作出判断；利用一元二次方程根与系数，可得到c=-3a，利用c的取值范围，可得到a的取值范围，再求出a+b+c=-4a，据此可得到a+b+c的取值范围，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=3a（a2-4）=3a（a+2）（a-2）.
故答案为：3a（a+2）（a-2）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式3a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根分别为， ，
∴x1+x2=-1，x1x2=-2，
∴.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根与系数，可得到x1+x2=-1，x1x2=-2，再将代数式转化为，然后整体代入求值.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，
∵EF∥CG，
∴∠DCG=∠DEF，
∵ 斜坡的坡度 ，
∴，
设BF=x，则EF=2x，
∴
解之：
∴，
∵ 太阳光与水平面的夹角为，
∴∠EAF=180°-90°-60°=30°，
∴∠AEF=90°-30°=60°
，
∴.
故答案为：.
【分析】过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，利用平行线的性质可证得∠DCG=∠DEF，利用坡度的定义可知，设BF=x，则EF=2x，利用勾股定理可求出BF，EF的长；再求出∠AEF=60°，利用解直角三角形求出AF的长，然后根据AB=AF-BF，代入计算可求解.
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AD=BC=CD=6，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠ADC=∠DCE=180°-120°=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠ADE=90°，
∴∠EDC=90°-∠DCE=90°-60°=30°，
∴CE=CD=3，
∴DE=CEtan∠DCE=CEtan60°=
∴BE=BC+CE=6+3=9，
∴
∵AD∥BE，
∴△AFD∽△EFB，
∴即
解之：；
∵AD∥BE，
∴△ADG∽△CEG，
∴即
解之：；
∴.
故答案为：.
【分析】利用菱形的性质和平行线的性质可证得AD=BC=CD=6，∠ADC=∠DCE=60°，利用垂直的定义和三角形内角和定理可证得∠EDC=30°，利用解直角三角形求出DE的长，可得到BE的长，利用勾股定理可求出AE的长；由AD∥BE，可证得△AFD∽△EFB，△ADG∽△CEG，利用相似三角形的性质可求出AF，AG的长；然后根据FG=AG-AF，代入计算求出FG的长.
17．【答案】
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴三个一循环，
∴2024÷3=674×3+2，
∴
故答案为：.
【分析】利用已知法则，分别表示出a2，a3，a4，a5，观察可得规律，根据其规律可求出a2024的值.
18．【答案】8
【知识点】相似三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：延长，交于，
是的直径，
，
，
平分，
，
在△ADE和△ABD中
∴△ADE≌△ABD（ASA）
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：8．
【分析】延长，交于，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=∠ADE=90°，利用角平分线的定义可证得∠BAD=∠DAE，利用ASA可证得△ADE≌△ABD，利用全等三角形的性质可求出DE的长，利用勾股定理求出AD的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABD∽△BCE，利用相似三角形的性质可求出BC的长.
19．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可.
20．【答案】解：，
，
，
，
，
，
其解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集.
21．【答案】（1）32；
（2）解：根据题意得：
（亩），
答：估计其中型挖掘机改造建设了240亩；
（3）解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，同时抽到，两种型号挖掘机的有2中情况，
同时抽到，两种型号挖掘机的概率为：．
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）12÷=80，
∴m=80-16-20-12=32；
②扇形统计图中的度数为360°×=72°.
故答案为：32，72°.
【分析】（1） ①利用统计表和统计图可求出总面积，再求出m的值； ②利用的度数为360°×A所占的百分比，列式计算即可.
（2）根据题意可知用960×B型所占的百分比，列式计算.
（3）由题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，利用树状图可求出恰好同时抽到，两种型号挖掘机的概率 .
22．【答案】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，，
，，
，
连接，
平分，
，，
，
是的直径，
，
．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接OA，利用圆周角定理可证得∠BAE=90°，再利用等腰三角形的性质去证明∠CAE+∠OAE=90°，可推出OA⊥AC，利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△EAC，利用相似三角形的性质可求出BC的长，然后求出BE的长；连接BD，利用角平分线的定义及圆心角，弧，弦的关系定理可证得BD=DE，利用圆周角定理可知∠BDE=90°，然后利用解直角三角形求出DE的长.
23．【答案】（1）解：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元，根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
．
答：款文创产品每件的进价80元，则文创产品每件的进价是65元．
（2）解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，根据题意得：，
解得：，
，
，随的增大而增大，
当时，利润最大，．
答：购进款文创产品60件，购进款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：每件款文创产品进价=每件款文创产品进价+15； 960÷每件款文创产品进价=780÷每件B款文创产品进价，再设未知数，列方程，求解即可.
（2）此题的等量关系为：A文创产品的数量+B文创产品的数量=100；购进这两款文创产品共100件的总费用≤7400；设未知数，列不等式，可求出x的取值范围；设总利润为W，可得到W关于x的函数解析式，利用一次函数的性质可求解.
24．【答案】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，，
反比例函数的表达式为，
，，
，，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）
（3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，
直线的解析式为，
，，
，
，
解得或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
则此时，的周长最小，
点，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
故答案为：（0，5）
【分析】（1）利用点A，B的坐标，可求出m和n的值，可得到反比例函数解析式；将点A，B的坐标分别代入一次函数解析式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式.
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，可知此时，的周长最小，同时可得到点E的坐标，利用待定系数法求出直线BE的函数解析式，由x=0求出对应的y的值，可得到点P的坐标.
（3）利用一次函数图象平移规律，可得到直线的解析式为，可表示出点E，F的坐标，再根据，利用直角坐标系中，两点之间的距离公式可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
25．【答案】（1）4；4
（2）
（3）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
（4）解：过点作于点，于点．
同（2）可知四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
重叠部分的面积
．
【知识点】旋转的性质；四边形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）四边形是正方形，
，
当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为；
当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
四边形的面积是4，
故答案为：4，4；
（2）如图，过点作于点，于点．
是正方形的中心，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠BOC=90°，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为正方形面积的四分之一，据此可求出重叠部分的面积；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，易证四边形MONC是矩形，利用正方形的性质去证明∠MOC=∠MCO，可得到OM=CM，可证四边形OMCN是正方形，可求出OM的长，然后求出四边形OMCN的面积.
（2）过点作于点，于点．易证OH=OG，利用有三个角是直角的四边形是矩形可证得四边形OGCH是矩形，由此可推出四边形OGCH是正方形，利用正方形的性质去证明∠EOG=∠FOH，利用ASA证明△OGE≌△OHF，利用全等三角形的面积相等可得到，由此可证得结论.
（3）利用正方形的性质去证明∠EOB=∠FOC，利用ASA证明△EOB≌△FOC，利用全等三角形的性质可证得BE=CF，可推出BE+DF=CD，由，可证得结论.
（4）过点作于点，于点．利用正方形的性质可证得BG=BH，OG=OH，同时可证得GM=NH，利用SAS证明△OGM≌△OHN，利用全等三角形的性质可证得两个三角形的面积相等，同时可证得∠GOM=∠NOH，可推出∠GOM=15°，利用解直角三角形求出GM的长，再求出△OGM的面积，然后根据重叠部分的面积，代入计算即可.
26．【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线的解析式，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到抛物线的解析式.
（2）过作轴交于，由点A、C的坐标，可求出直线AC的函数解析式，利用两函数解析式，设，则，可表示出DK的长，利用三角形的面积公式，根据△ACD的面积为3，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可得到点D的坐标.
（3）利用二次函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；设，，过作轴于，过作轴于，分情况讨论：OA=OC=3时，当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，可得到点P的坐标；当在第一象限，在第四象限时，利用AAS证明△DOM≌△OPN，可推出PN=OM，ON=DM，由此可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，可得到符合题意的点P的坐标；当在第四象限，在第三象限时，如图：利用AAS证明△DOM≌△OPN，利用 全等三角形的性质可知PN=OM，ON=DM，可得到关于m、n的方程组，解方程组求出n、m的值，可得到符合题意的点P的坐标；当在第四象限，在第一象限，如图：同理可求出符合题意的点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
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