四川省内江市2024年中考数学试卷
一、单选题
1．（2024·内江）下列四个数中，最大数是( )
A． B．0 C． D．3
2．（2024·内江）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
3．（2024·内江）下列单项式中，的同类项是( )
A． B． C． D．
4．（2024·内江）2023年我国汽车出口491万辆，首次超越日本，成为全球第一大汽车出口国，其中491万用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
5．（2024·内江）16的平方根是（ ）
A． B．4 C．2 D．
6．（2024·内江）下列事件时必然事件的是( )
A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
7．（2024·内江）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为( )
A． B． C． D．
8．（2024·内江）不等式的解集是( )
A． B． C． D．
9．（2024·内江）如图，，直线分别交、于点E、F，若，则的大小是( )
A． B． C． D．
10．（2024·内江）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是( )
A． B．
C． D．
11．（2024·内江）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为( )
A． B． C． D．
12．（2024·内江）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点B，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点B的坐标为，则点的坐标为( ).
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2024·内江）在函数中，自变量x的取值范围是 .
14．（2024·内江）分解因式： ．
15．（2024·内江）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点，在抛物线C上，则 （填“>”或“<”）；
16．（2024·内江）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么 .
17．（2024·内江）已知实数a，b满足，那么的值为 .
18．（2024·内江）如图，在中，，，，则的度数为
19．（2024·内江）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”.若偶数m为“极数”，且是完全平方数，则
20．（2024·内江）如图，在中，，，E是边上一点，且，点I是的内心，的延长线交于点D，P是上一动点，连接、，则的最小值为 .
三、解答题
21．（2024·内江）（1）计算：.
（2）化简：.
22．（2024·内江）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的度数.
23．（2024·内江）某校为了解学生对“生命.生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行综合测试.测试结果分为A级、B级、C级、D级四个等级，并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图.根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ；
（2）扇形统计图中表示D级的扇形圆心角的度数是 ▲ ，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为A级的学生大约有多少人？
24．（2024·内江）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集
25．（2024·内江）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒.
（1）求这两种粽子的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元，y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数表达式并求出y的最大值.
26．（2024·内江）已知关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和.
（1）填空： ， ；
（2）求，；
（3）已知，求p的值.
27．（2024·内江）如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E.
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求阴影部分的面积.
28．（2024·内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作轴于点C，交于点E.
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点D，使得和相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交于点G，连接，当四边形为菱形时，求点D的横坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-2＜-1＜0＜3，
∴最大的数是3.
故答案为：D
【分析】利用正数都大于0，正数大于负数，可得到最大的数.
2．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A，此图形不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图形不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、此图形不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、此图形是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断.
3．【答案】A
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：A、与ab3是同类项，故A符合题意；
B、与ab3是同类项，故A符合题意；
C、与ab3是同类项，故A符合题意；
D、与ab3不是同类项，故A符合题意；
故答案为：A.
【分析】同类项满足的条件是：1、含有相同的字母；2、相同字母的指数也必需相同。两个条件缺一不可，再对各选项逐一判断.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：491万=4.91×106.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较小的数，因此n是负整数.
5．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：，D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查平方根的相关概念，注意不要漏掉正负号.
6．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻，是随机事件，故A不符合题意；
B、从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件，故B符合题意；
C、小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票，是必然事件，故C不符合题意；
D、从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》，是随机事件，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】在一定条件下，一定会发生的事件，叫必然事件；再对各选项逐一判断即可.
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解： 已知与相似，且相似比为，则与的周长比为1：3.
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比，可得答案.
8．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：3x-x≥-4，
2x≥-4，
x≥-2.
故答案为：A.
【分析】先移项，再合并同类项，然后将x的系数化为1，可求出不等式的解集.
9．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∴∠BEF=180°-64°=116°.
故答案为：C.
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠BEF的度数.
10．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两年森林覆盖率的年平均增长率为，根据题意得
0.64（1+x）2=0.69.
故答案为：B.
【分析】抓住关键已知条件：某市2021年底森林覆盖率为，2023年底森林覆盖率已达到，据此列方程即可.
11．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：设开关、、分别为1，2，3，
列树状图如下
一共有6种结果数，但灯泡能发光有12，13，21，31，一共4种，
∴P（灯泡能发光）=.
故答案为：A.
【分析】设开关、、分别为1，2，3，根据题意列出树状图，可得到所有等可能的结果数及灯泡能发光的情况数，然后利用概率公式进行计算.
12．【答案】C
【知识点】旋转的性质；坐标系中的两点距离公式；探索规律-函数图象与几何图形的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），
∴点A的纵坐标为3，
当y=3时，-3x=`12，
解之：x=-4，
∴点A（-4，3），
∴，
∴△AOB的周长为3+4+5=12，
∵旋转，
∴点B2n-1（n为正整数）在直线上 ，
∵OB1=OA+AB1=5+4=9，
OB3=9+12×1=21，
OB5=9+2×12=21，
∴OB2n-1=9+12×（n-1）=12n-3，
当2n-1=37时，
解之：n=19，
∴12n-3=12×19-3=225，
设点B37（）
∴
解之：m=-180（取负）
∴
∴B37（-180，135）
故答案为：C.
【分析】利用点B的坐标及AB⊥y轴，可得到点A的纵坐标，据此可求出点A的坐标，可得到AB，OB的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出△AOB的周长；利用旋转的性质可得到点B2n-1（n为正整数）在直线上 ，可得到OB1的长；OB3=9+12×1，OB5=9+2×12，根据其规律可得到OB2n-1=9+12×（n-1）=12n-3，据此可得到关于n的方程，解方程求出n的值，设点B37（），利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点B37的坐标.
13．【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解： 在函数中，自变量x的取值范围是x≠0.
故答案为：x≠0.
【分析】观察含自变量的式子是分式，由分母不等于0，可求得x的取值范围.
14．【答案】m(m-5)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】原式=．
故答案为：m(m-5)．
【分析】提取公因式m即可得到答案。
15．【答案】<
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-2x+1=（x-1）2，
∵ 二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线C，
∴平移后的函数解析式为y=（x-1+2）2=（x+1）2，
∴此抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-1，
当x＞-1时y随x的增大而增大，
∵2＜3，
∴y1＜y2，
故答案为：＜.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，再利用二次函数平移规律，可得到平移后的函数解析式，可得到此抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-1，利用二次函数的性质，可得答案.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：∵ 将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，
∴AD=AF=BC=5，DE=EF，∠B=∠C=90°，
∴
∴CF=BC-BF=5-4=1，
设CE=x，则DE=EF=3-x，
∵CE2+CF2=EF2即x2+12=（3-x）2
解之：
∴
在Rt△CEF中
.
故答案为：.
【分析】利用矩形的性质和折叠的性质可证得AD=AF=BC=5，DE=EF，∠B=∠C=90°，利用勾股定理求出BF的长，可得到CF的长，设CE=x，则DE=EF=3-x，利用勾股定理可求出x的值，可得到CE的长，然后利用正切的定义可求出结果.
17．【答案】1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵ab=1，
∴原式=
故答案为：1.
【分析】将1=ab代入分式，然后进行化简即可.
18．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AE=AC，BC=BD，
∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，
设∠AEC=∠ACE=x，∠BDC=∠BCD=y，
∴∠A=180°-2x，∠B=180°-2y，
∵∠ACB+∠A+∠B=180°，
∴180°-2x+180°-2y+x+y-40°=180°
解之：x+y=140°，
∴∠ACB=x+y-40°=140°-40°=100°.
故答案为：100°.
【分析】利用等边对等角可证得∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，设∠AEC=∠ACE=x，∠BDC=∠BCD=y，利用三角形的内角和定理可表示出∠B和∠A，利用△的内角和定理可求出ux+y的值，再根据∠ACB=x+y-40°，代入计算可求解.
19．【答案】1188或4752
【知识点】不等式的性质；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数），
.m=1000(9-y)+100(9-x)+10y+x=99(100-10y-x)
∵m是四位数，
∴99(100-10y-x)是四位数，
即1000≤99(100-10y-x)<10000，
=3(100-10y-x)，
∴
∵是完全平方数，
∴3（100-10y-x）既是3的倍数也是完全平方数，
∴3（100-10y-x)只有36，81，144，225这四种可能，
∴是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425，
∵m是偶数，
∴m=1188或4752，
故答案为：1188或4752.
【分析】设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数），可表示出m=99(100-10y-x)，根据m是四位数，可知99(100-10y-x)是四位数，由此可得到99(100-10y-x)的取值范围，可推出=3(100-10y-x)，根据是完全平方数，可得到3（100-10y-x）既是3的倍数也是完全平方数，根据m是偶数，可得到符合题意的m的值.
20．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的实际应用-最短路径问题；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在AB上截取BF，使BF=BE=2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H，
∴∠BHF=90°，
∵点I是△ABC的内心，可证得∠BHF=90°，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BFP和△BEP中
∴△BFP≌△BEP（SAS），
∴PF=PE，
∵PE+PC=PF+PC≥CF，
∴当点C、P、F在同一直线上时，PE+PC的值最小，即最小值就是CF的长；
在Rt△BFH中
∠BFH=90°-∠ABC=90°-60°=30°，
∴BH=BF=1，
∴
∴CH=BC-BH=8-1=7，
∴，
∴PE+PC的最小值为.
故答案为：.
【分析】在AB上截取BF，使BF=BE=2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H，利用三角形内心的定义可证得∠ABD=∠CBD，利用SAS可证得△BFP≌△BEP，利用全等三角形的性质可得到PF=PE，利用三角形三边关系定理可推出PE+PC=PF+PC≥CF，可推出当点C、P、F在同一直线上时，PE+PC的值最小，即最小值就是CF的长；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BH的长，利用勾股定理可求出FH的长，即可得到CH的长；然后利用勾股定理求出CF的长即可.
21．【答案】（1）原式
.
（2）原式
.
【知识点】整式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先算乘方运算，同时代入特殊角的三角函数值和化简绝对值，再算乘法运算，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
（2）利用平方差公式先去括号，再合并同类项.
22．【答案】（1）证明：
，即，
，，
.
（2），，
，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；平移全等模型
【解析】【分析】利用AD=BE，可证得AB=DE，利用SSS可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可求出∠FDE的度数，再利用三角形的内角和定理可求出∠F的度数.
23．【答案】（1）40
（2）解：72°
C级的人数为：（名）
补充完整的条形统计图如图所示：
；
（3）（人）
答：该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为A级的学生大约有90人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是12÷30％=40人.
故答案为：40.
（2）扇形统计图中表示D级的扇形圆心角的度数是：
故答案为：72°.
【分析】（1）利用两统计图可知本次抽样测试的学生人数=B级的人数÷B级的人数所占的百分比，列式计算.
（2）扇形统计图中表示D级的扇形圆心角的度数=360°×D级的人数所占的百分比，列式计算；再求出C级的人数，然后补全条形统计图.
（3）用该校八年级学生的总人数×A级的学生的人数所占的百分比，列式计算即可.
24．【答案】（1）把A的坐标代入，
得，
解得，
反比例函数的解析式为：，
把B的坐标代入，
得，
B的坐标，
把，代入，
得，
解得：，
一次函数的解析式为：.
（2）关于x的不等式的解集，即反比例函数的图像在一次函数的图像上方.
根据图象，关于x的不等式的解集为：或.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将已知点的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值，据此可得到函数解析式；再将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出n的值，可得到点B的坐标；然后将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，可得到关于a，b的方程组，求出a、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）利用点A、B的横坐标及函数图象，可求出不等式的解集.
25．【答案】（1）设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
，
答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元.
（2）设猪肉粽每盒售价x元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则
，
，，
当时，y取得最大值为1000元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：市场上每盒猪肉粽的进价=每盒豆沙粽的进价+20；5000÷市场上每盒猪肉粽的进价=3000÷每盒豆沙粽的进价，设未知数，列方程求解即可.
（2）设猪肉粽每盒售价x元，表示该商家销售猪肉粽的利润，根据题意可得到y关于x的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出结果.
26．【答案】（1）p；
（2），，
，
关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和，
，
，
.
（3）由根与系数的关系得，，，
，
，
，
，
解得或，
一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）由题意得
x1+x2=p，x1x2=1.
故答案为：p，1.
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数，可得到x1+x2=p，x1x2=1.
（2）将 转化为，然后整体代入即可；将x=x1代入方程，可得到，再在方程两边同时除以x1即可求解.
（3）将已知等式转化为，然后整体代入可得到关于p的方程，解方程求出p的值，然后检验可得到符合题意的p的值.
27．【答案】（1）证明：是的直径，
，
又，
，
，
C是的中点，
，
，
；
（2）证明：连接
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（3）连接、
是的直径，
，
，
四边形是矩形，
，
是半径，C是的中点，
，，
即，
，
，
，
，
.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用垂直的定义可推出∠ACB=∠AEC，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠BAC=∠EAC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）连接OC，利用等边对等角可证得∠CAO=∠ACO，可推出∠EAC=∠ACO，可推出OC∥AE，结合已知条件可推出CE⊥OC，利用切线的判定定理可证得结论.
（3）连接DB，OD，利用圆周角定理可推出∠AEC=∠ECO=90°，利用矩形的性质可证得DF=EC，利用垂径定理可推出AD=DB，由此可推出∠DAB=∠DBA=45°，利用圆周角角和定理可证得∠DOA=90°，然后根据，利用三角形和扇形的面积公式可求出阴影部分的面积.
28．【答案】（1）令，则，则；令，则，
，，
把，代入，得：
解得：，
这条抛物线所对应的函数表达式为：.
（2）存在点D，使得和相似.过点B作于H，
设点，则，，，
，，，，，
和相似，，
或，
①如图1，当时，，
D点纵坐标为6，
，解得：或，
.
②如图2，当时，，
过B作于H，
，
，
，
，解得：（舍去）或，
，
综上所述，点D的坐标为或.
（3）如图3，四边形为菱形
，，，
设点，，，，
，，
，即，
，
，即或，
，，
，，
，
过点G作于K，
，
，
，即，
，
，
，
，
解得：（不合题意，舍去）或，
故，
答：点D的横坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数-特殊四边形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）将y=0代入一次函数解析式，求出对应的y的值，可得到点A的坐标，将x=0代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后将点A，B的坐标代入函数解析式，可求出b，c的值，可得到二次函数解析式.
（2）过点B作于H，利用函数解析式设点，则，，，可表示出EC、AC、BH、DH、DE的长，利用相似三角形的性质分情况讨论：①如图1，当时，，BD∥AC，可得到点D的纵坐标，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点D的坐标；②如图2，当时，，过B作于H，利用，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得到点D的坐标；综上所述可得到符合题意的点D的坐标.
（3）利用菱形的性质可证得DE∥FG，DE=FG，ED=EG，设，，，，可表示出DE，FG的长，据此可得到关于m，n的方程，可求出m+n的值，利用点A，B的坐标，可得到AO，BO的长，利用勾股定理求出AB的长，过点G作于K，利用平行线的性质可证得∠EGK=∠BAC，利用锐角三角函数的定义可表示出EG的长，根据DE=EG，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，即可得到符合题意的点D的横坐标.
1 / 1四川省内江市2024年中考数学试卷
一、单选题
1．（2024·内江）下列四个数中，最大数是( )
A． B．0 C． D．3
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-2＜-1＜0＜3，
∴最大的数是3.
故答案为：D
【分析】利用正数都大于0，正数大于负数，可得到最大的数.
2．（2024·内江）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A，此图形不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图形不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、此图形不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、此图形是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断.
3．（2024·内江）下列单项式中，的同类项是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：A、与ab3是同类项，故A符合题意；
B、与ab3是同类项，故A符合题意；
C、与ab3是同类项，故A符合题意；
D、与ab3不是同类项，故A符合题意；
故答案为：A.
【分析】同类项满足的条件是：1、含有相同的字母；2、相同字母的指数也必需相同。两个条件缺一不可，再对各选项逐一判断.
4．（2024·内江）2023年我国汽车出口491万辆，首次超越日本，成为全球第一大汽车出口国，其中491万用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：491万=4.91×106.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较小的数，因此n是负整数.
5．（2024·内江）16的平方根是（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：，D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查平方根的相关概念，注意不要漏掉正负号.
6．（2024·内江）下列事件时必然事件的是( )
A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻，是随机事件，故A不符合题意；
B、从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件，故B符合题意；
C、小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票，是必然事件，故C不符合题意；
D、从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》，是随机事件，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】在一定条件下，一定会发生的事件，叫必然事件；再对各选项逐一判断即可.
7．（2024·内江）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解： 已知与相似，且相似比为，则与的周长比为1：3.
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比，可得答案.
8．（2024·内江）不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：3x-x≥-4，
2x≥-4，
x≥-2.
故答案为：A.
【分析】先移项，再合并同类项，然后将x的系数化为1，可求出不等式的解集.
9．（2024·内江）如图，，直线分别交、于点E、F，若，则的大小是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∴∠BEF=180°-64°=116°.
故答案为：C.
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠BEF的度数.
10．（2024·内江）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两年森林覆盖率的年平均增长率为，根据题意得
0.64（1+x）2=0.69.
故答案为：B.
【分析】抓住关键已知条件：某市2021年底森林覆盖率为，2023年底森林覆盖率已达到，据此列方程即可.
11．（2024·内江）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：设开关、、分别为1，2，3，
列树状图如下
一共有6种结果数，但灯泡能发光有12，13，21，31，一共4种，
∴P（灯泡能发光）=.
故答案为：A.
【分析】设开关、、分别为1，2，3，根据题意列出树状图，可得到所有等可能的结果数及灯泡能发光的情况数，然后利用概率公式进行计算.
12．（2024·内江）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点B，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点B的坐标为，则点的坐标为( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质；坐标系中的两点距离公式；探索规律-函数图象与几何图形的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），
∴点A的纵坐标为3，
当y=3时，-3x=`12，
解之：x=-4，
∴点A（-4，3），
∴，
∴△AOB的周长为3+4+5=12，
∵旋转，
∴点B2n-1（n为正整数）在直线上 ，
∵OB1=OA+AB1=5+4=9，
OB3=9+12×1=21，
OB5=9+2×12=21，
∴OB2n-1=9+12×（n-1）=12n-3，
当2n-1=37时，
解之：n=19，
∴12n-3=12×19-3=225，
设点B37（）
∴
解之：m=-180（取负）
∴
∴B37（-180，135）
故答案为：C.
【分析】利用点B的坐标及AB⊥y轴，可得到点A的纵坐标，据此可求出点A的坐标，可得到AB，OB的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出△AOB的周长；利用旋转的性质可得到点B2n-1（n为正整数）在直线上 ，可得到OB1的长；OB3=9+12×1，OB5=9+2×12，根据其规律可得到OB2n-1=9+12×（n-1）=12n-3，据此可得到关于n的方程，解方程求出n的值，设点B37（），利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点B37的坐标.
二、填空题
13．（2024·内江）在函数中，自变量x的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解： 在函数中，自变量x的取值范围是x≠0.
故答案为：x≠0.
【分析】观察含自变量的式子是分式，由分母不等于0，可求得x的取值范围.
14．（2024·内江）分解因式： ．
【答案】m(m-5)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】原式=．
故答案为：m(m-5)．
【分析】提取公因式m即可得到答案。
15．（2024·内江）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点，在抛物线C上，则 （填“>”或“<”）；
【答案】<
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-2x+1=（x-1）2，
∵ 二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线C，
∴平移后的函数解析式为y=（x-1+2）2=（x+1）2，
∴此抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-1，
当x＞-1时y随x的增大而增大，
∵2＜3，
∴y1＜y2，
故答案为：＜.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，再利用二次函数平移规律，可得到平移后的函数解析式，可得到此抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-1，利用二次函数的性质，可得答案.
16．（2024·内江）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么 .
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：∵ 将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，
∴AD=AF=BC=5，DE=EF，∠B=∠C=90°，
∴
∴CF=BC-BF=5-4=1，
设CE=x，则DE=EF=3-x，
∵CE2+CF2=EF2即x2+12=（3-x）2
解之：
∴
在Rt△CEF中
.
故答案为：.
【分析】利用矩形的性质和折叠的性质可证得AD=AF=BC=5，DE=EF，∠B=∠C=90°，利用勾股定理求出BF的长，可得到CF的长，设CE=x，则DE=EF=3-x，利用勾股定理可求出x的值，可得到CE的长，然后利用正切的定义可求出结果.
17．（2024·内江）已知实数a，b满足，那么的值为 .
【答案】1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵ab=1，
∴原式=
故答案为：1.
【分析】将1=ab代入分式，然后进行化简即可.
18．（2024·内江）如图，在中，，，，则的度数为
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AE=AC，BC=BD，
∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，
设∠AEC=∠ACE=x，∠BDC=∠BCD=y，
∴∠A=180°-2x，∠B=180°-2y，
∵∠ACB+∠A+∠B=180°，
∴180°-2x+180°-2y+x+y-40°=180°
解之：x+y=140°，
∴∠ACB=x+y-40°=140°-40°=100°.
故答案为：100°.
【分析】利用等边对等角可证得∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，设∠AEC=∠ACE=x，∠BDC=∠BCD=y，利用三角形的内角和定理可表示出∠B和∠A，利用△的内角和定理可求出ux+y的值，再根据∠ACB=x+y-40°，代入计算可求解.
19．（2024·内江）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”.若偶数m为“极数”，且是完全平方数，则
【答案】1188或4752
【知识点】不等式的性质；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数），
.m=1000(9-y)+100(9-x)+10y+x=99(100-10y-x)
∵m是四位数，
∴99(100-10y-x)是四位数，
即1000≤99(100-10y-x)<10000，
=3(100-10y-x)，
∴
∵是完全平方数，
∴3（100-10y-x）既是3的倍数也是完全平方数，
∴3（100-10y-x)只有36，81，144，225这四种可能，
∴是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425，
∵m是偶数，
∴m=1188或4752，
故答案为：1188或4752.
【分析】设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数），可表示出m=99(100-10y-x)，根据m是四位数，可知99(100-10y-x)是四位数，由此可得到99(100-10y-x)的取值范围，可推出=3(100-10y-x)，根据是完全平方数，可得到3（100-10y-x）既是3的倍数也是完全平方数，根据m是偶数，可得到符合题意的m的值.
20．（2024·内江）如图，在中，，，E是边上一点，且，点I是的内心，的延长线交于点D，P是上一动点，连接、，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的实际应用-最短路径问题；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在AB上截取BF，使BF=BE=2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H，
∴∠BHF=90°，
∵点I是△ABC的内心，可证得∠BHF=90°，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BFP和△BEP中
∴△BFP≌△BEP（SAS），
∴PF=PE，
∵PE+PC=PF+PC≥CF，
∴当点C、P、F在同一直线上时，PE+PC的值最小，即最小值就是CF的长；
在Rt△BFH中
∠BFH=90°-∠ABC=90°-60°=30°，
∴BH=BF=1，
∴
∴CH=BC-BH=8-1=7，
∴，
∴PE+PC的最小值为.
故答案为：.
【分析】在AB上截取BF，使BF=BE=2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H，利用三角形内心的定义可证得∠ABD=∠CBD，利用SAS可证得△BFP≌△BEP，利用全等三角形的性质可得到PF=PE，利用三角形三边关系定理可推出PE+PC=PF+PC≥CF，可推出当点C、P、F在同一直线上时，PE+PC的值最小，即最小值就是CF的长；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BH的长，利用勾股定理可求出FH的长，即可得到CH的长；然后利用勾股定理求出CF的长即可.
三、解答题
21．（2024·内江）（1）计算：.
（2）化简：.
【答案】（1）原式
.
（2）原式
.
【知识点】整式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先算乘方运算，同时代入特殊角的三角函数值和化简绝对值，再算乘法运算，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
（2）利用平方差公式先去括号，再合并同类项.
22．（2024·内江）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的度数.
【答案】（1）证明：
，即，
，，
.
（2），，
，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；平移全等模型
【解析】【分析】利用AD=BE，可证得AB=DE，利用SSS可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可求出∠FDE的度数，再利用三角形的内角和定理可求出∠F的度数.
23．（2024·内江）某校为了解学生对“生命.生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行综合测试.测试结果分为A级、B级、C级、D级四个等级，并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图.根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ；
（2）扇形统计图中表示D级的扇形圆心角的度数是 ▲ ，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为A级的学生大约有多少人？
【答案】（1）40
（2）解：72°
C级的人数为：（名）
补充完整的条形统计图如图所示：
；
（3）（人）
答：该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为A级的学生大约有90人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是12÷30％=40人.
故答案为：40.
（2）扇形统计图中表示D级的扇形圆心角的度数是：
故答案为：72°.
【分析】（1）利用两统计图可知本次抽样测试的学生人数=B级的人数÷B级的人数所占的百分比，列式计算.
（2）扇形统计图中表示D级的扇形圆心角的度数=360°×D级的人数所占的百分比，列式计算；再求出C级的人数，然后补全条形统计图.
（3）用该校八年级学生的总人数×A级的学生的人数所占的百分比，列式计算即可.
24．（2024·内江）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集
【答案】（1）把A的坐标代入，
得，
解得，
反比例函数的解析式为：，
把B的坐标代入，
得，
B的坐标，
把，代入，
得，
解得：，
一次函数的解析式为：.
（2）关于x的不等式的解集，即反比例函数的图像在一次函数的图像上方.
根据图象，关于x的不等式的解集为：或.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将已知点的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值，据此可得到函数解析式；再将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出n的值，可得到点B的坐标；然后将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，可得到关于a，b的方程组，求出a、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）利用点A、B的横坐标及函数图象，可求出不等式的解集.
25．（2024·内江）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒.
（1）求这两种粽子的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元，y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数表达式并求出y的最大值.
【答案】（1）设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
，
答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元.
（2）设猪肉粽每盒售价x元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则
，
，，
当时，y取得最大值为1000元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：市场上每盒猪肉粽的进价=每盒豆沙粽的进价+20；5000÷市场上每盒猪肉粽的进价=3000÷每盒豆沙粽的进价，设未知数，列方程求解即可.
（2）设猪肉粽每盒售价x元，表示该商家销售猪肉粽的利润，根据题意可得到y关于x的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出结果.
26．（2024·内江）已知关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和.
（1）填空： ， ；
（2）求，；
（3）已知，求p的值.
【答案】（1）p；
（2），，
，
关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和，
，
，
.
（3）由根与系数的关系得，，，
，
，
，
，
解得或，
一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）由题意得
x1+x2=p，x1x2=1.
故答案为：p，1.
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数，可得到x1+x2=p，x1x2=1.
（2）将 转化为，然后整体代入即可；将x=x1代入方程，可得到，再在方程两边同时除以x1即可求解.
（3）将已知等式转化为，然后整体代入可得到关于p的方程，解方程求出p的值，然后检验可得到符合题意的p的值.
27．（2024·内江）如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E.
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：是的直径，
，
又，
，
，
C是的中点，
，
，
；
（2）证明：连接
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（3）连接、
是的直径，
，
，
四边形是矩形，
，
是半径，C是的中点，
，，
即，
，
，
，
，
.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用垂直的定义可推出∠ACB=∠AEC，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠BAC=∠EAC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）连接OC，利用等边对等角可证得∠CAO=∠ACO，可推出∠EAC=∠ACO，可推出OC∥AE，结合已知条件可推出CE⊥OC，利用切线的判定定理可证得结论.
（3）连接DB，OD，利用圆周角定理可推出∠AEC=∠ECO=90°，利用矩形的性质可证得DF=EC，利用垂径定理可推出AD=DB，由此可推出∠DAB=∠DBA=45°，利用圆周角角和定理可证得∠DOA=90°，然后根据，利用三角形和扇形的面积公式可求出阴影部分的面积.
28．（2024·内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作轴于点C，交于点E.
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点D，使得和相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交于点G，连接，当四边形为菱形时，求点D的横坐标.
【答案】（1）令，则，则；令，则，
，，
把，代入，得：
解得：，
这条抛物线所对应的函数表达式为：.
（2）存在点D，使得和相似.过点B作于H，
设点，则，，，
，，，，，
和相似，，
或，
①如图1，当时，，
D点纵坐标为6，
，解得：或，
.
②如图2，当时，，
过B作于H，
，
，
，
，解得：（舍去）或，
，
综上所述，点D的坐标为或.
（3）如图3，四边形为菱形
，，，
设点，，，，
，，
，即，
，
，即或，
，，
，，
，
过点G作于K，
，
，
，即，
，
，
，
，
解得：（不合题意，舍去）或，
故，
答：点D的横坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数-特殊四边形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）将y=0代入一次函数解析式，求出对应的y的值，可得到点A的坐标，将x=0代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后将点A，B的坐标代入函数解析式，可求出b，c的值，可得到二次函数解析式.
（2）过点B作于H，利用函数解析式设点，则，，，可表示出EC、AC、BH、DH、DE的长，利用相似三角形的性质分情况讨论：①如图1，当时，，BD∥AC，可得到点D的纵坐标，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点D的坐标；②如图2，当时，，过B作于H，利用，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得到点D的坐标；综上所述可得到符合题意的点D的坐标.
（3）利用菱形的性质可证得DE∥FG，DE=FG，ED=EG，设，，，，可表示出DE，FG的长，据此可得到关于m，n的方程，可求出m+n的值，利用点A，B的坐标，可得到AO，BO的长，利用勾股定理求出AB的长，过点G作于K，利用平行线的性质可证得∠EGK=∠BAC，利用锐角三角函数的定义可表示出EG的长，根据DE=EG，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，即可得到符合题意的点D的横坐标.
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