陕西省2024年中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（2024·陕西） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2024·陕西）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·陕西）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．（2024·陕西）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（2024·陕西）分解因式： = ．
10．（2024·陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可）
11．（2024·陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．
12．（2024·陕西）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则 0．
13．（2024·陕西）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
三、解答题（共13小题，计81分。解答题应写出过程）
14．（2024·陕西）计算：．
15．（2024·陕西）先化简，再求值：，其中，．
16．（2024·陕西）解方程：．
17．（2024·陕西）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
18．（2024·陕西）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：．
19．（2024·陕西）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是 ．
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
20．（2024·陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间．
21．（2024·陕西）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）
22．（2024·陕西）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．
23．（2024·陕西）水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，他们从一小区随机抽取了30户家庭，收集了这30户家庭去年7月份的用水量，并对这30个数据进行整理，绘制了如下统计图表：
组别 用水量 组内平均数
A
B
C
D
根据以上信息，解答下列问：
（1）这30个数据的中位数落在 组（填组别）；
（2）求这30户家庭去年7月份的总用水量；
（3）该小区有1000户家庭，若每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约，请估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约多少
24．（2024·陕西）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接．
（1）求证：；
（2）若的半径，，，求的长．
25．（2024·陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）
（1）求缆索所在抛物线的函数表达式；
（2）点E在缆索上，，且，，求的长．
26．（2024·陕西）
（1）问题提出
如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为 ；（结果保留π）
（2）问题解决
如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．
请问：是否存在满足要求的点P和点F 若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】互为倒数的两数之积为1，故答案为：C
【分析】根据乘积是1的两个数其中的一个是另一个的倒数作出判断即可.
2．【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：半圆绕直径所在虚线旋转一圈为(球).
故答案为：C.
【分析】由平面图旋转进行想象与联想，即形成空间几何体.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠B=180°-145°=35°，
又∵BC∥DE，
∴∠D=∠C=35°，
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质从条件角逐一往目标角推导角度即可.
4．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
去括号得：2x-2≥6，
移项并合并同类项得：2x≥8，
系数化为1得：x≥4.
故答案为：D.
【分析】按解一元一次不等式的步骤逐一计算解之即可.
5．【答案】C
【知识点】直角三角形的概念
【解析】【解答】解：依题意，∵∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形，
又∵AD⊥BC，
∴△ADB、△ADE与△ADC均为直角三角形，
∴直角三角形有4个.
故答案为：C.
【分析】利用已知直角信息为直角顶点，即以A和D为直角顶点逐一找出符合题意的直角三角形即可.
6．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵和点关于原点对称，
∴n=-2，m=6，
设正比例函数表达式为y=kx，将A(2，6)代入，
∴2k=6，解得k=3.
∴正比例函数的表达式为y=3x.
故答案为：A.
【分析】由原点对称分析得出m，n值，后利用待定系数法解出正比例函数表达式即可.
7．【答案】B
【知识点】正方形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，
∴AD=CD=AB=6，GF=CG=CE=2，
∠D=∠CGF=90°，
又∵点G在边CD上，
∴DG=CD-CG=4，∠DGF=180°-∠CGF=90°，
又∵∠AHD=∠FHG，
∴△ADH∽△FGH，
∴，
∴DH=3GH，即DG=4GH，
∴GH=，
∴DH=DG-GH=4-1=3.
故答案为：B.
【分析】根据正方形读题标量，为进一步求出目标线段DH，故在与目标线段中，易发现并证明△ADH∽△FGH，利用相似的性质求出目标线段DH即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵ 二次函数 中经过（0，0），
∴c=0，
又∵二次函数经过（-2，-8）和（3，-3），
∴，解得，
∴二次函数，
对于A，a<0，此时图象开口向下，故A错误，不符合题意；
对于B，对称轴所在直线x=1，即当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x增大而增大，故B错误，不符合题意；
对于C，顶点（1，1）结合图象可知，图象经过一三四象限，故C错误，不符合题意；
对于D，对称轴所在直线x=1，故D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由待定系数法利用三点求出二次函数解析式，逐一根据图象性质判断选项即可.
9．【答案】a（a﹣b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： =a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
【分析】直接提取公因式a即可分解因式.
10．【答案】0
【知识点】有理数的加法实际应用；幻方数学问题
【解析】【解答】解：根据题意，
①假设中间位置为0，此时横纵两组三数之和为：=0，即平均一组三数之和为0，
只需将-1和1放一组，-2和2放一组，符合题意；
②假设中间位置为-2，此时横纵两组三数之和为：=-2，即平均一组三数之和为-1，
只需将0和1放一组，-1和2放一组，符合题意；
③假设中间位置为-1，此时横纵两组三数之和为：=-1，即平均一组三数之和为-，
由任意三数之和为整数，故此时不符合题意；
④假设中间位置为1，此时横纵两组三数之和为：=1，即平均一组三数之和为，
由任意三数之和为整数，故此时不符合题意；
⑤假设中间位置为2，此时横纵两组三数之和为：=2，即平均一组三数之和为1，
只需将-2和1放一组，0和-1放一组，符合题意；
综上所述，符合的答案为0，-2或2.
故答案为：0(-2或2也可以).
【分析】根据题意将所有可能一一尝试列出等量关系检验组合情况即可.
11．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：设∠A=x，
∵，
∴∠O=2∠A=2x，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=，
∴∠A+∠OBC=x+(90°-x)=90°.
故答案为：90°.
【分析】根据圆周角定理及圆内等腰角度推理得出两角和，不熟练可设元表示目标角更为直观.
12．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点 在反比例函数，
∴，
又∵点在反比例函数上，结合反比例图象可知，
当时，，
此时，即<0，
故答案为：<.
【分析】根据已知的反比例函数解析式可求出，利用反比例函数大致图象可分析或解分式方程可得出的取值范围，从而计算目标值的正负.
13．【答案】60
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥AB，CH⊥BF，垂足分别为点G和点H，过点A作AO⊥BC，垂足为点O，
∵AB=AC，BF∥AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠CBF，
∴BC平分∠ABF，
∴CG=CH，
又∵BF=AE，
∴，
在等腰△ABC中，AB=AC=13，
∴BO=CO=，
在Rt△AOB中，
AO=，
∴，
∴.
故答案为：60.
【分析】利用平行和等腰推出角平分线，进而利用角平分线性质将目标四边形的一部分面积进行转化，将不规则四边形的面积转化为定△ABC的面积，最后利用三线合一构造直角结合勾股定理求其面积即求得目标四边形面积即可.
14．【答案】解：.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由算术平方根、零指数幂及负数乘方运算法则逐步计算得出结果.
15．【答案】解：
将，代入原式得.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】由多项式乘法运算法则或结合完全平方公式进行化简合并同类项，后代入求值即可.
16．【答案】解：，
方程两边同乘以得，
2+x(x+1)=
解得x=-3，
检验，当x=-3时，，
∴原方程的解为x=-3.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】按照解分式方程的一般步骤解之即可.
17．【答案】解：如图所示，△ABC为所求.
【知识点】等腰直角三角形；尺规作图-垂线
【解析】【分析】依据中垂线的作法过点A作直线l的垂线，后画弧作等线段即可.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
又∵BE=CF，BF=BC-CF，CE=BC-BE，
∴CE=BF，
∴△ABF≌△DCE(SAS)
∴AF=DF.
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用矩形的性质和已知条件证明与目标线段相关的两组三角形全等即可得出对应边相等.
19．【答案】（1）0.3
（2）解：依题意，树状图如图所示，
其中，事件包含的可能结果为25个，符合题意的事件有9个，
∴.
【知识点】频数与频率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）.
【分析】（1）根据随机事件的频率计算即可；
（2）将事件的所有可能一 一列举，找出符合题意的事件即得出其概率.
20．【答案】解：设小峰打扫了x h，则爸爸打扫了(3-x) h，
依题意，，
解得x=2，
答：小峰打扫了．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】由工程问题根据题意分析小峰和爸爸的工作效率，利用单位“1”建立等量关系解之即可.
21．【答案】解：如图所示，过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D，
依题意得，∠CAE=42°，∠CBD=45°，AB=10，
∴∠BCD=180°-∠D-∠CBD=45°，
∴CD=BD，
设BD=CD=x，则AD=AB+BD=x+10
有，即，
解得x≈90.
∴山顶C处的海拔高度=90+1600=1690.
答：山顶C点处的海拔高度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意为求目标C点处海拔且结合解三角形的已知条件，需进一步构造直角利用三角函数建立等量关系解之即可.
22．【答案】（1）解：设直线关系式为y=kx+b，
依题意得，函数经过(150，50)和(0，80)
∴，解得.
∴y与x之间的关系式为；
（2）解：当x=240 km时，y=-0.2×240+80=32（ ），
∴.
答：该车的剩余电量占“满电量”的．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）由待定系数法求出直线解析式/关系式；
（2）在（1）的基础上计算出行驶后剩余电量，即计算其占总电量的百分比.
23．【答案】（1）B
（2）解：总用水量=5.3×10+8.0×12+12.5×6+15.5×2=53+96+75+31=255（m3）.
答： 这30户家庭去年7月份的总用水量.
（3）解：（m3）；
答： 这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约.
【知识点】条形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）在30个数据中，其中位数为第15和第16位的平均数，
用水量从小到大排列， 的家庭数为10户， 为12户，
故中位数第15位和第16位落在范围，即B组内.
【分析】（1）结合条形统计图和表格及中位数的定义按数据从小到大排列找出即可；
（2）结合表格组内平均数和条形统计图家庭数计算总用水量即可；
（3）以频率估计概率，按当前30个数据的用水量估计1000户用水量节约水量.
24．【答案】（1）证明：∵AB是的直径 ，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABF=180°-∠AFB=90°，
又∵ 直线l与相切于点A，
∴∠BAD=90°，
同理，∠ABF+∠ADB=180°-∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠CDB.
（2）解：由（1）得，
在Rt△BAD和Rt△BAC中，
∵AB=2r=12，AC=12，AD=9，
∴CD=AC+AD=12+9=21，
，
.
又∵AE⊥BC，
∴BE=CE=，
又∵
∴∠BEF=∠BAF，
由（1）得∠BAF=∠CDB.
∴∠BEF=∠BDC，
又∵∠CBD=∠FBE，
∴△BEF∽△BDC，
∴，即
解得：.
【知识点】勾股定理；切线的判定；A字型相似模型
【解析】【分析】（1）利用直径所对圆周角及相切得出同角余角相等即得证目标角；
（2）在已知线段和直角三角形中，由勾股定理解出斜边，进一步为解目标线段EF，即找出与目标相关△BEF，利用（1）中角度转换易得等角由相似直接求得目标EF长.
25．【答案】（1）解：∵OC=100，
由对称可知，OD=CD=50，
又∵PD=2，
设 缆索所在抛物线的函数表达为，经过点A(0，17)，
∴，解得：.
∴缆索所在抛物线的函数表达为；
（2）解： ∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，
∴L2为，
当EF=2.6时，即y=2.6时，，解得x=-40或x=-60，
此时E未达到最低点，故x=-40，
∴的长为．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件设抛物线解析式为顶点式，代入点A解出抛物线表达式；
（2）利用函数关于y轴对称得出所在抛物线解析式，代入EF=2.6解出OF长即可.
26．【答案】（1）
（2）解：存在满足要求的点P和点F，此时的长为．
连接CD，构造符合题意的∠DPC=60°，其中PF经过点E，设PF交CD于点H，过点C作CG⊥PH，
∵∠DAB+∠ABC=60°+120°=180°，
∴AD∥BC，
又∵AD=BC=900，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=1200，CD∥AB，
∵ 新步道经过观测点E，
∴FP平分平行四边形ABCD，
∵PF将五边形的面积平分，
故PF也需平分△CDP的面积，
∴H是CD的中点，CH=DH=，
又∵AE=EC，即E也是AC的中点，
∴HE∥AD，即PF∥AD，
∴四边形AFHD也是平行四边形，
∴FH=AD=900，
∴∠BFH=∠BAD=60°，∠CHP=∠BFH=60°，
又∵∠DPC=60°，∠DCP=∠PCD，
∴△CPH∽△CDP，
∴，即，
在Rt△CGH中，
∠HCG=180°-∠CGH-∠CHG=30°，
∴HG=，
∴，
∴，
∴PF=FH+GH+PG=1200+.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：（1）连接OA，OB，
∵，∠C=30°，
∴∠O=2∠C=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=15，
∴，
【分析】（1）由特殊角及弧长计算公式，连接半径进而通过圆周角定理得出圆心角度数，利用弧长计算公式计算即可；
（2）根据题意补全平行四边形，找出符合题意的点P，进而分析得出对应点F，利用等角60°分析结合相似、勾股定理逐一分解求出与目标线段PF有关的线段即可.
1 / 1陕西省2024年中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（2024·陕西） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】互为倒数的两数之积为1，故答案为：C
【分析】根据乘积是1的两个数其中的一个是另一个的倒数作出判断即可.
2．（2024·陕西）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：半圆绕直径所在虚线旋转一圈为(球).
故答案为：C.
【分析】由平面图旋转进行想象与联想，即形成空间几何体.
3．（2024·陕西）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠B=180°-145°=35°，
又∵BC∥DE，
∴∠D=∠C=35°，
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质从条件角逐一往目标角推导角度即可.
4．（2024·陕西）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
去括号得：2x-2≥6，
移项并合并同类项得：2x≥8，
系数化为1得：x≥4.
故答案为：D.
【分析】按解一元一次不等式的步骤逐一计算解之即可.
5．（2024·陕西）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】直角三角形的概念
【解析】【解答】解：依题意，∵∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形，
又∵AD⊥BC，
∴△ADB、△ADE与△ADC均为直角三角形，
∴直角三角形有4个.
故答案为：C.
【分析】利用已知直角信息为直角顶点，即以A和D为直角顶点逐一找出符合题意的直角三角形即可.
6．（2024·陕西）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵和点关于原点对称，
∴n=-2，m=6，
设正比例函数表达式为y=kx，将A(2，6)代入，
∴2k=6，解得k=3.
∴正比例函数的表达式为y=3x.
故答案为：A.
【分析】由原点对称分析得出m，n值，后利用待定系数法解出正比例函数表达式即可.
7．（2024·陕西）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，
∴AD=CD=AB=6，GF=CG=CE=2，
∠D=∠CGF=90°，
又∵点G在边CD上，
∴DG=CD-CG=4，∠DGF=180°-∠CGF=90°，
又∵∠AHD=∠FHG，
∴△ADH∽△FGH，
∴，
∴DH=3GH，即DG=4GH，
∴GH=，
∴DH=DG-GH=4-1=3.
故答案为：B.
【分析】根据正方形读题标量，为进一步求出目标线段DH，故在与目标线段中，易发现并证明△ADH∽△FGH，利用相似的性质求出目标线段DH即可.
8．（2024·陕西）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵ 二次函数 中经过（0，0），
∴c=0，
又∵二次函数经过（-2，-8）和（3，-3），
∴，解得，
∴二次函数，
对于A，a<0，此时图象开口向下，故A错误，不符合题意；
对于B，对称轴所在直线x=1，即当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x增大而增大，故B错误，不符合题意；
对于C，顶点（1，1）结合图象可知，图象经过一三四象限，故C错误，不符合题意；
对于D，对称轴所在直线x=1，故D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由待定系数法利用三点求出二次函数解析式，逐一根据图象性质判断选项即可.
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（2024·陕西）分解因式： = ．
【答案】a（a﹣b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： =a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
【分析】直接提取公因式a即可分解因式.
10．（2024·陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可）
【答案】0
【知识点】有理数的加法实际应用；幻方数学问题
【解析】【解答】解：根据题意，
①假设中间位置为0，此时横纵两组三数之和为：=0，即平均一组三数之和为0，
只需将-1和1放一组，-2和2放一组，符合题意；
②假设中间位置为-2，此时横纵两组三数之和为：=-2，即平均一组三数之和为-1，
只需将0和1放一组，-1和2放一组，符合题意；
③假设中间位置为-1，此时横纵两组三数之和为：=-1，即平均一组三数之和为-，
由任意三数之和为整数，故此时不符合题意；
④假设中间位置为1，此时横纵两组三数之和为：=1，即平均一组三数之和为，
由任意三数之和为整数，故此时不符合题意；
⑤假设中间位置为2，此时横纵两组三数之和为：=2，即平均一组三数之和为1，
只需将-2和1放一组，0和-1放一组，符合题意；
综上所述，符合的答案为0，-2或2.
故答案为：0(-2或2也可以).
【分析】根据题意将所有可能一一尝试列出等量关系检验组合情况即可.
11．（2024·陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：设∠A=x，
∵，
∴∠O=2∠A=2x，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=，
∴∠A+∠OBC=x+(90°-x)=90°.
故答案为：90°.
【分析】根据圆周角定理及圆内等腰角度推理得出两角和，不熟练可设元表示目标角更为直观.
12．（2024·陕西）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则 0．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点 在反比例函数，
∴，
又∵点在反比例函数上，结合反比例图象可知，
当时，，
此时，即<0，
故答案为：<.
【分析】根据已知的反比例函数解析式可求出，利用反比例函数大致图象可分析或解分式方程可得出的取值范围，从而计算目标值的正负.
13．（2024·陕西）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
【答案】60
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥AB，CH⊥BF，垂足分别为点G和点H，过点A作AO⊥BC，垂足为点O，
∵AB=AC，BF∥AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠CBF，
∴BC平分∠ABF，
∴CG=CH，
又∵BF=AE，
∴，
在等腰△ABC中，AB=AC=13，
∴BO=CO=，
在Rt△AOB中，
AO=，
∴，
∴.
故答案为：60.
【分析】利用平行和等腰推出角平分线，进而利用角平分线性质将目标四边形的一部分面积进行转化，将不规则四边形的面积转化为定△ABC的面积，最后利用三线合一构造直角结合勾股定理求其面积即求得目标四边形面积即可.
三、解答题（共13小题，计81分。解答题应写出过程）
14．（2024·陕西）计算：．
【答案】解：.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由算术平方根、零指数幂及负数乘方运算法则逐步计算得出结果.
15．（2024·陕西）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
将，代入原式得.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】由多项式乘法运算法则或结合完全平方公式进行化简合并同类项，后代入求值即可.
16．（2024·陕西）解方程：．
【答案】解：，
方程两边同乘以得，
2+x(x+1)=
解得x=-3，
检验，当x=-3时，，
∴原方程的解为x=-3.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】按照解分式方程的一般步骤解之即可.
17．（2024·陕西）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图所示，△ABC为所求.
【知识点】等腰直角三角形；尺规作图-垂线
【解析】【分析】依据中垂线的作法过点A作直线l的垂线，后画弧作等线段即可.
18．（2024·陕西）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
又∵BE=CF，BF=BC-CF，CE=BC-BE，
∴CE=BF，
∴△ABF≌△DCE(SAS)
∴AF=DF.
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用矩形的性质和已知条件证明与目标线段相关的两组三角形全等即可得出对应边相等.
19．（2024·陕西）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是 ．
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【答案】（1）0.3
（2）解：依题意，树状图如图所示，
其中，事件包含的可能结果为25个，符合题意的事件有9个，
∴.
【知识点】频数与频率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）.
【分析】（1）根据随机事件的频率计算即可；
（2）将事件的所有可能一 一列举，找出符合题意的事件即得出其概率.
20．（2024·陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间．
【答案】解：设小峰打扫了x h，则爸爸打扫了(3-x) h，
依题意，，
解得x=2，
答：小峰打扫了．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】由工程问题根据题意分析小峰和爸爸的工作效率，利用单位“1”建立等量关系解之即可.
21．（2024·陕西）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）
【答案】解：如图所示，过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D，
依题意得，∠CAE=42°，∠CBD=45°，AB=10，
∴∠BCD=180°-∠D-∠CBD=45°，
∴CD=BD，
设BD=CD=x，则AD=AB+BD=x+10
有，即，
解得x≈90.
∴山顶C处的海拔高度=90+1600=1690.
答：山顶C点处的海拔高度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意为求目标C点处海拔且结合解三角形的已知条件，需进一步构造直角利用三角函数建立等量关系解之即可.
22．（2024·陕西）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．
【答案】（1）解：设直线关系式为y=kx+b，
依题意得，函数经过(150，50)和(0，80)
∴，解得.
∴y与x之间的关系式为；
（2）解：当x=240 km时，y=-0.2×240+80=32（ ），
∴.
答：该车的剩余电量占“满电量”的．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）由待定系数法求出直线解析式/关系式；
（2）在（1）的基础上计算出行驶后剩余电量，即计算其占总电量的百分比.
23．（2024·陕西）水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，他们从一小区随机抽取了30户家庭，收集了这30户家庭去年7月份的用水量，并对这30个数据进行整理，绘制了如下统计图表：
组别 用水量 组内平均数
A
B
C
D
根据以上信息，解答下列问：
（1）这30个数据的中位数落在 组（填组别）；
（2）求这30户家庭去年7月份的总用水量；
（3）该小区有1000户家庭，若每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约，请估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约多少
【答案】（1）B
（2）解：总用水量=5.3×10+8.0×12+12.5×6+15.5×2=53+96+75+31=255（m3）.
答： 这30户家庭去年7月份的总用水量.
（3）解：（m3）；
答： 这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约.
【知识点】条形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）在30个数据中，其中位数为第15和第16位的平均数，
用水量从小到大排列， 的家庭数为10户， 为12户，
故中位数第15位和第16位落在范围，即B组内.
【分析】（1）结合条形统计图和表格及中位数的定义按数据从小到大排列找出即可；
（2）结合表格组内平均数和条形统计图家庭数计算总用水量即可；
（3）以频率估计概率，按当前30个数据的用水量估计1000户用水量节约水量.
24．（2024·陕西）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接．
（1）求证：；
（2）若的半径，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵AB是的直径 ，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABF=180°-∠AFB=90°，
又∵ 直线l与相切于点A，
∴∠BAD=90°，
同理，∠ABF+∠ADB=180°-∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠CDB.
（2）解：由（1）得，
在Rt△BAD和Rt△BAC中，
∵AB=2r=12，AC=12，AD=9，
∴CD=AC+AD=12+9=21，
，
.
又∵AE⊥BC，
∴BE=CE=，
又∵
∴∠BEF=∠BAF，
由（1）得∠BAF=∠CDB.
∴∠BEF=∠BDC，
又∵∠CBD=∠FBE，
∴△BEF∽△BDC，
∴，即
解得：.
【知识点】勾股定理；切线的判定；A字型相似模型
【解析】【分析】（1）利用直径所对圆周角及相切得出同角余角相等即得证目标角；
（2）在已知线段和直角三角形中，由勾股定理解出斜边，进一步为解目标线段EF，即找出与目标相关△BEF，利用（1）中角度转换易得等角由相似直接求得目标EF长.
25．（2024·陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）
（1）求缆索所在抛物线的函数表达式；
（2）点E在缆索上，，且，，求的长．
【答案】（1）解：∵OC=100，
由对称可知，OD=CD=50，
又∵PD=2，
设 缆索所在抛物线的函数表达为，经过点A(0，17)，
∴，解得：.
∴缆索所在抛物线的函数表达为；
（2）解： ∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，
∴L2为，
当EF=2.6时，即y=2.6时，，解得x=-40或x=-60，
此时E未达到最低点，故x=-40，
∴的长为．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件设抛物线解析式为顶点式，代入点A解出抛物线表达式；
（2）利用函数关于y轴对称得出所在抛物线解析式，代入EF=2.6解出OF长即可.
26．（2024·陕西）
（1）问题提出
如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为 ；（结果保留π）
（2）问题解决
如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．
请问：是否存在满足要求的点P和点F 若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）
【答案】（1）
（2）解：存在满足要求的点P和点F，此时的长为．
连接CD，构造符合题意的∠DPC=60°，其中PF经过点E，设PF交CD于点H，过点C作CG⊥PH，
∵∠DAB+∠ABC=60°+120°=180°，
∴AD∥BC，
又∵AD=BC=900，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=1200，CD∥AB，
∵ 新步道经过观测点E，
∴FP平分平行四边形ABCD，
∵PF将五边形的面积平分，
故PF也需平分△CDP的面积，
∴H是CD的中点，CH=DH=，
又∵AE=EC，即E也是AC的中点，
∴HE∥AD，即PF∥AD，
∴四边形AFHD也是平行四边形，
∴FH=AD=900，
∴∠BFH=∠BAD=60°，∠CHP=∠BFH=60°，
又∵∠DPC=60°，∠DCP=∠PCD，
∴△CPH∽△CDP，
∴，即，
在Rt△CGH中，
∠HCG=180°-∠CGH-∠CHG=30°，
∴HG=，
∴，
∴，
∴PF=FH+GH+PG=1200+.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：（1）连接OA，OB，
∵，∠C=30°，
∴∠O=2∠C=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=15，
∴，
【分析】（1）由特殊角及弧长计算公式，连接半径进而通过圆周角定理得出圆心角度数，利用弧长计算公式计算即可；
（2）根据题意补全平行四边形，找出符合题意的点P，进而分析得出对应点F，利用等角60°分析结合相似、勾股定理逐一分解求出与目标线段PF有关的线段即可.
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