湖北省潜江市、天门市、仙桃市2024年中考数学模拟考试试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．（2024·潜江模拟）的绝对值是（ ）
A．2024 B． C． D．
2．（2024·潜江模拟）右图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ）
A．正方体 B．长方体 C．六棱柱 D．六棱锥
3．（2024·潜江模拟）三峡电站总装机容量约22500000千瓦，是世界上装机容量最大的水电站.数22500000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·潜江模拟）如图，直线，的顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，，则的度数是（ ）
A．18° B．20° C．28° D．30°
5．（2024·潜江模拟）某校举行“交通安全”知识竞赛，甲、乙两班的参加人数均为40人，平均分均为91分（满分100分），甲班中位数87，乙班中位数91，甲班方差4.9，乙班方差3.2，规定成绩大于或等于90分为优异.下列说法正确的是（ ）
A．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
B．甲班的优异成绩与乙班一样多
C．乙班的成绩比甲班的成绩稳定
D．小亮得90分将排在乙班的前20名
6．（2024·潜江模拟）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是（ ）
A．或 B．或2 C．2 D．
7．（2024·潜江模拟）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
8．（2024·潜江模拟）如图，将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则小水杯水面的高度（cm）与注水时间（min）的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·潜江模拟）如图，扇形的圆心角为120°，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·潜江模拟）已知抛物线（，，是常数，）经过点，，当时，与其对应的函数值.有下列结论：①；②关于的方程有两个不等的实数根；③.其中，正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分）
11．（2024·潜江模拟）化简的结果是 .
12．（2024·潜江模拟）不等式组的解集是 .
13．（2024·潜江模拟）如图，点，，，都在上，，，，则 度.
14．（2024·潜江模拟）一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球后（不放回），再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号都是偶数的概率为 .
15．（2024·潜江模拟）如图，在中，，，是上的一个动点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，与相交于点，连接.下列结论：①；②若，则；③；④若，，则.其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题（本大题共9个题，满分75分）
16．（2024·潜江模拟） 计算：；
17．（2024·潜江模拟）如图，B是的中点，，.求证：．
18．（2024·潜江模拟） 某校兴趣小组通过调查，形成了如表调查报告（不完整）.
调查目的 1.了解本校初中生最喜爱的球类运动项目. 2.给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议.
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生
调查内容 调查你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A.篮球 B.乒乓球 C.足球 D.排球 E.羽毛球
调查结果
建议 ……
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了多少名学生？
（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数；
（3）假如你是小组成员，请向该校提一条合理建议.
19．（2024·潜江模拟） 某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目 测量数据
从处测得路灯顶部的仰角
从处测得路灯顶部的仰角
测角仪到地面的距离 m
两次测量时测角仪之间的水平距离 m
计算路灯顶部到地面的距离约为多少米？（结果精确到0.1米.参考数据：，，，）
20．（2024·潜江模拟） 在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点.已知点的横坐标是2，点的纵坐标是.
（1）求函数与函数的表达式；
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点.
求证：直线经过原点.
21．（2024·潜江模拟） 如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点.
（1）求证：；
（2）若的半径为5，，点是的中点，求的长.
22．（2024·潜江模拟）如图1，公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图.开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，m；若喷水口上升1.5m到处，水线落地点为，m.
（1）求水线最高点与点之间的水平距离；
（2）当喷水口在处时，
①求水线的最大高度；
②身高1.5m的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由.
23．（2024·潜江模拟） 综合与实践：
（1）【思考尝试】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，是边上一点，于点，，，，求证：四边形为正方形；
（2）【实践探究】小宇受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，是边上一点，于点，于点，交于点，请探究线段，，之间的数量关系并说明理由；
（3）【拓展迁移】小阳深入研究小宇提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点在上，且，连接，，请探究线段与的数量关系并说明理由.
24．（2024·潜江模拟） 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 0 0 5 …
（1）求二次函数的表达式；
（2）若将线段向下平移，得到的线段与二次函数的图象交于，两点（在左边），为二次函数的图象上的一点，当点的横坐标为，点的横坐标为时，求的值；
（3）若将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个公共点，其中为常数，请直接写出的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：一个负数的绝对值等于它的相反数，故-2024的绝对值为2024，
故答案为：A.
【分析】本题考查负数的绝对值，属于简单题，根据概念即可作答。
2．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：∵这个几何体的视图为长方形和正六边形，
∴该立体图形是六棱柱，
故答案为：．
【分析】根据题意这个几何体的视图为长方形和正六边形，即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：B．
【分析】科学记数法表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时是负数，由此即可得到答案.
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：∵，∴
∵，
由M模型得：
故答案为：A．
【分析】根据“猪蹄”模型：已知AB//CD，得出∠B+∠D=∠E，可得，代数求解即可.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：甲班方差，乙班方差，故乙班的成绩稳定，故选项A不符合题意，选项C符合题意；
、成绩大于或等于分为优异，甲班中位数，乙班中位数，则乙班成绩优异的人数比甲班多，故选项B不符合题意；
、由乙班中位数，则小亮得分将排在乙班的后名，故选项D不符合题意.
故答案为：．
【分析】根据平均数、中位数、方差的意义逐项判断即可．
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作图可得：CM=DM.
∵CM=DM，OC=OD，OM=OM，
∴△OCM≌△ODM（SSS），
∴∠1=∠2.
故答案为：A.
【分析】由作图可得：CM=DM，OC=OD，利用SSS证明△OCM≌△ODM，据此判断.
8．【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
9．【答案】B
【知识点】平行线的判定；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，
，由圆周角定理得，
又，
是等边三角形，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】由圆周角定理得出，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，，由平行线的判定可得，得出，，代入扇形面积公式，计算求解即可.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质
11．【答案】
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式.
故答案为：．
【分析】根据积的乘方和单项式的乘法法则，计算求解即可．
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】先分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可.
13．【答案】43
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接BC，
∵，
∴，
∵，，
由三角形内角和定理可得，.
∴，
四边形ABCD是的圆内接四边形，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】连接BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理分别求出、，进而得到，由圆内接四边形对角互补可得，进而可求得的度数.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
15．【答案】①②③
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
由旋转知，CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），故①正确；
∵∠ACB=90°，BC=AC，
∴∠B=45°
已知∠BCD=25°，
由三角形内角和公式可得∠BDC=180°-45°-25°=110°，
由①知△BCD≌△ACE，
∴∠AEC=∠BDC=110°，
∵∠DCE=90°，CD=CE，
∴∠CED=45°，
则∠AED=∠AEC-∠CED=65°，故②正确；
由△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠CBD=45°=∠CEF，
∵∠ECF=∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，
由相似三角形的性质可得： ，
即：CE2=CF AC，
在等腰直角三角形CDE中，DE2=2CE2=2CF AC，故③正确；
如图，过点D作DG⊥BC于G，
∵AB=3，
∴AC=BC=3，
∵AD=2BD，
∴BD=AB=，
∴DG=BG=1，
∴CG=BC-BG=3-1=2，
在Rt△CDG中，由勾股定理得，CD=，
由△BCD≌△ACE，
得CE=CD=，
∵CE2=CF AC，
∴CF=，
∴AF=AC-CF=3-=，故④错误.
故答案为：①②③．
【分析】由旋转的性质推出∠BCD=∠ACE，由全等三角形判定定理可判断出①正确；由三角形内角和定理先求出∠BDC=110°，由全等三角形的性质得出∠AEC=110°，进而可判断出②正确；先判断出∠CAE=∠CEF，进而得出△CEF∽△CAE，由相似三角形的性质得出CE2=CF AC，最后用勾股定理即可得出③正确；过点D作DG⊥BC于G，先求出BC=AC=3，再求出BD=，进而由勾股定理求出CE=CD=，求出CF=，AF=AC-CF=，即可判断出④错误．
16．【答案】解：原式=
=．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】分别化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂、二次根式的化简，再进行实数运算即可.
17．【答案】证明：∵B是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
18．【答案】（1）解：（名），
答：本次调查共抽查了100名学生．
（2）解：被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：（名），
∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：（名），
（名）
答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360名．
（3）解：答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等.
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据乒乓球人数和所占比例，即可求出抽查的学生数；
（2）先求出喜爱篮球学生，然后用总数乘以喜爱篮球学生所占比例，即可求解；
（3）从图中观察喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球，合理即可．
19．【答案】解：如图，延长，交于点，
则，，，
设m，
.
在中，，
，
在中，，
，
.
经检验：是原方程的根，
.
（米）.
路灯顶部到地面的距离约为3.5米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长DA，交PE于点F，则，，，设m，则，然后根据解直角三角形得 ，，解得x的值进而求出PE的长.
20．【答案】（1）解：点的横坐标是2，
将代入.
.
将代入得：.
.
点的纵坐标是，
将代入，得.
.
将代入得：.
解得：.
.
（2）解：证明：如图所示，
由题意可得：，.
设所在直线的表达式为，
.
解得：.
所在直线的表达式为.
当时，.
直线经过原点.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
21．【答案】（1）证明：∵点均在上，
∴四边形ABCE为圆内接四边形．
.
又，
．
又，
.
又，，
.
（2）解：作于，过点作于点，连接，如图：
又，
为的垂直平分线.
为的垂直平分线，
点在上.
.
.
.
，，
.
∴∠CDM=∠CAH，∠DCM=∠ACH
∴
又.
.
，.
.
由勾股定理得：.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质得到，结合等腰三角形的性质，得到，，即可求解，
（2）作，，由为的垂直平分线，得到，根据勾股定理，，根据相似三角形的判定定理得，相似三角形的对应边成比例得，依次求出，，，根据勾股定理，计算求解即可.
22．【答案】（1）解：如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，为原点，建立平面直角坐标系.
m，抛物线上下平移过程中对称轴不变，
抛物线的对称轴是直线.
又m，
水线最高点与点之间的水平距离为：（m）.
（2）解：①由题意，结合（1），又因为抛物线形水线上下平移时对称轴不变，
可设过点的抛物线为.
又，，
，.
所求解析式为.
水线的最大高度为2m.
②令，
.
或4.
为了不被水喷到，
.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）根据得出抛物线对称轴为直线，进而求出水线最高点与点之间的水平距离；
（2）①根据题意，结合（1）可设过点的抛物线为，将，代入，利用待定系数法求出解析式，利用二次函数的性质求出最值即可；
②令，解出，即可求解．
23．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
.
，
.
.
又，，
.
.
四边形是正方形；
（2）解：.
理由：于点，于点，交于点，
四边形是矩形.
.
四边形是正方形，
，.
.
.
，.
矩形是正方形.
；
（3）解：，理由如下：
连接，如图，
四边形是正方形，
，
，，
是等腰直角三角形.
.
.
，
.
.
即.
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；正方形的判定；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质及全等三角形的判定证明，可得，进而得出答案；
（2）根据矩形的判定证明四边形是矩形，再根据全等三角形的判定证明，可得，，即可得出矩形是正方形，进而可得答案；
（3）连接，根据正方形和等腰直角三角形的性质证明，，然后根据相似三角形的判定证明，再根据相似三角形的性质可得，即可
得出答案．
24．【答案】（1）解：二次函数的图象经过，，三个点，
，
二次函数的表达式为：.
（2）解：过作，垂足为，如图：
点的横坐标为，点的横坐标为，
.
二次函数的对称轴为直线，
点，关于直线对称.
到的距离是，
.
.
，，
.
在中，.
（3）解：的取值范围是：或或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣平移；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；求正切值
【解析】【解答】解：的取值范围是：或或.
线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段设为，则，，
二次函数与轴交于，两点，对称轴为直线，
二次函数与二次函数只是开口大小和方向发生了变化，并且越大，开口越小.
若线段与二次函数的图象只有一个交点，分以下三种情况：
①当时，开口向上，如图，
线段与二次函数的图象只有一个交点，当抛物线经过时开口最大，最小，最大，
把代入得，
.
②当时，开口向下，如图，
线段与二次函数的图象只有一个交点，
代入得.
③当时，开口向下，如图，
线段与二次函数的图象只有一个交点，
当抛物线经过时开口最大，最小，最小，把代入得，
.
综上所述，的取值范围是：或或.
【分析】（1）把，，三点代入，利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）过作RT⊥PQ于点T，由题意得到，，在中，根据正切的定义即可得到的值；
（3）由题意得则，，分类讨论：当时，当抛物线经过时开口最大，最小，最大，把代入可求得；当时，当抛物线的顶点在线段上时，；当抛物线经过时开口最大，最小，最小，把代入推出，即可得到答案.
1 / 1湖北省潜江市、天门市、仙桃市2024年中考数学模拟考试试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．（2024·潜江模拟）的绝对值是（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：一个负数的绝对值等于它的相反数，故-2024的绝对值为2024，
故答案为：A.
【分析】本题考查负数的绝对值，属于简单题，根据概念即可作答。
2．（2024·潜江模拟）右图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ）
A．正方体 B．长方体 C．六棱柱 D．六棱锥
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：∵这个几何体的视图为长方形和正六边形，
∴该立体图形是六棱柱，
故答案为：．
【分析】根据题意这个几何体的视图为长方形和正六边形，即可得到答案.
3．（2024·潜江模拟）三峡电站总装机容量约22500000千瓦，是世界上装机容量最大的水电站.数22500000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：B．
【分析】科学记数法表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时是负数，由此即可得到答案.
4．（2024·潜江模拟）如图，直线，的顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，，则的度数是（ ）
A．18° B．20° C．28° D．30°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：∵，∴
∵，
由M模型得：
故答案为：A．
【分析】根据“猪蹄”模型：已知AB//CD，得出∠B+∠D=∠E，可得，代数求解即可.
5．（2024·潜江模拟）某校举行“交通安全”知识竞赛，甲、乙两班的参加人数均为40人，平均分均为91分（满分100分），甲班中位数87，乙班中位数91，甲班方差4.9，乙班方差3.2，规定成绩大于或等于90分为优异.下列说法正确的是（ ）
A．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
B．甲班的优异成绩与乙班一样多
C．乙班的成绩比甲班的成绩稳定
D．小亮得90分将排在乙班的前20名
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：甲班方差，乙班方差，故乙班的成绩稳定，故选项A不符合题意，选项C符合题意；
、成绩大于或等于分为优异，甲班中位数，乙班中位数，则乙班成绩优异的人数比甲班多，故选项B不符合题意；
、由乙班中位数，则小亮得分将排在乙班的后名，故选项D不符合题意.
故答案为：．
【分析】根据平均数、中位数、方差的意义逐项判断即可．
6．（2024·潜江模拟）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是（ ）
A．或 B．或2 C．2 D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
7．（2024·潜江模拟）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作图可得：CM=DM.
∵CM=DM，OC=OD，OM=OM，
∴△OCM≌△ODM（SSS），
∴∠1=∠2.
故答案为：A.
【分析】由作图可得：CM=DM，OC=OD，利用SSS证明△OCM≌△ODM，据此判断.
8．（2024·潜江模拟）如图，将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则小水杯水面的高度（cm）与注水时间（min）的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
9．（2024·潜江模拟）如图，扇形的圆心角为120°，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，
，由圆周角定理得，
又，
是等边三角形，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】由圆周角定理得出，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，，由平行线的判定可得，得出，，代入扇形面积公式，计算求解即可.
10．（2024·潜江模拟）已知抛物线（，，是常数，）经过点，，当时，与其对应的函数值.有下列结论：①；②关于的方程有两个不等的实数根；③.其中，正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分）
11．（2024·潜江模拟）化简的结果是 .
【答案】
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式.
故答案为：．
【分析】根据积的乘方和单项式的乘法法则，计算求解即可．
12．（2024·潜江模拟）不等式组的解集是 .
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】先分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可.
13．（2024·潜江模拟）如图，点，，，都在上，，，，则 度.
【答案】43
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接BC，
∵，
∴，
∵，，
由三角形内角和定理可得，.
∴，
四边形ABCD是的圆内接四边形，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】连接BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理分别求出、，进而得到，由圆内接四边形对角互补可得，进而可求得的度数.
14．（2024·潜江模拟）一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球后（不放回），再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号都是偶数的概率为 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
15．（2024·潜江模拟）如图，在中，，，是上的一个动点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，与相交于点，连接.下列结论：①；②若，则；③；④若，，则.其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
由旋转知，CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），故①正确；
∵∠ACB=90°，BC=AC，
∴∠B=45°
已知∠BCD=25°，
由三角形内角和公式可得∠BDC=180°-45°-25°=110°，
由①知△BCD≌△ACE，
∴∠AEC=∠BDC=110°，
∵∠DCE=90°，CD=CE，
∴∠CED=45°，
则∠AED=∠AEC-∠CED=65°，故②正确；
由△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠CBD=45°=∠CEF，
∵∠ECF=∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，
由相似三角形的性质可得： ，
即：CE2=CF AC，
在等腰直角三角形CDE中，DE2=2CE2=2CF AC，故③正确；
如图，过点D作DG⊥BC于G，
∵AB=3，
∴AC=BC=3，
∵AD=2BD，
∴BD=AB=，
∴DG=BG=1，
∴CG=BC-BG=3-1=2，
在Rt△CDG中，由勾股定理得，CD=，
由△BCD≌△ACE，
得CE=CD=，
∵CE2=CF AC，
∴CF=，
∴AF=AC-CF=3-=，故④错误.
故答案为：①②③．
【分析】由旋转的性质推出∠BCD=∠ACE，由全等三角形判定定理可判断出①正确；由三角形内角和定理先求出∠BDC=110°，由全等三角形的性质得出∠AEC=110°，进而可判断出②正确；先判断出∠CAE=∠CEF，进而得出△CEF∽△CAE，由相似三角形的性质得出CE2=CF AC，最后用勾股定理即可得出③正确；过点D作DG⊥BC于G，先求出BC=AC=3，再求出BD=，进而由勾股定理求出CE=CD=，求出CF=，AF=AC-CF=，即可判断出④错误．
三、解答题（本大题共9个题，满分75分）
16．（2024·潜江模拟） 计算：；
【答案】解：原式=
=．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】分别化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂、二次根式的化简，再进行实数运算即可.
17．（2024·潜江模拟）如图，B是的中点，，.求证：．
【答案】证明：∵B是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
18．（2024·潜江模拟） 某校兴趣小组通过调查，形成了如表调查报告（不完整）.
调查目的 1.了解本校初中生最喜爱的球类运动项目. 2.给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议.
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生
调查内容 调查你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A.篮球 B.乒乓球 C.足球 D.排球 E.羽毛球
调查结果
建议 ……
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了多少名学生？
（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数；
（3）假如你是小组成员，请向该校提一条合理建议.
【答案】（1）解：（名），
答：本次调查共抽查了100名学生．
（2）解：被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：（名），
∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：（名），
（名）
答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360名．
（3）解：答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等.
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据乒乓球人数和所占比例，即可求出抽查的学生数；
（2）先求出喜爱篮球学生，然后用总数乘以喜爱篮球学生所占比例，即可求解；
（3）从图中观察喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球，合理即可．
19．（2024·潜江模拟） 某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目 测量数据
从处测得路灯顶部的仰角
从处测得路灯顶部的仰角
测角仪到地面的距离 m
两次测量时测角仪之间的水平距离 m
计算路灯顶部到地面的距离约为多少米？（结果精确到0.1米.参考数据：，，，）
【答案】解：如图，延长，交于点，
则，，，
设m，
.
在中，，
，
在中，，
，
.
经检验：是原方程的根，
.
（米）.
路灯顶部到地面的距离约为3.5米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长DA，交PE于点F，则，，，设m，则，然后根据解直角三角形得 ，，解得x的值进而求出PE的长.
20．（2024·潜江模拟） 在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点.已知点的横坐标是2，点的纵坐标是.
（1）求函数与函数的表达式；
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点.
求证：直线经过原点.
【答案】（1）解：点的横坐标是2，
将代入.
.
将代入得：.
.
点的纵坐标是，
将代入，得.
.
将代入得：.
解得：.
.
（2）解：证明：如图所示，
由题意可得：，.
设所在直线的表达式为，
.
解得：.
所在直线的表达式为.
当时，.
直线经过原点.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
21．（2024·潜江模拟） 如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点.
（1）求证：；
（2）若的半径为5，，点是的中点，求的长.
【答案】（1）证明：∵点均在上，
∴四边形ABCE为圆内接四边形．
.
又，
．
又，
.
又，，
.
（2）解：作于，过点作于点，连接，如图：
又，
为的垂直平分线.
为的垂直平分线，
点在上.
.
.
.
，，
.
∴∠CDM=∠CAH，∠DCM=∠ACH
∴
又.
.
，.
.
由勾股定理得：.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质得到，结合等腰三角形的性质，得到，，即可求解，
（2）作，，由为的垂直平分线，得到，根据勾股定理，，根据相似三角形的判定定理得，相似三角形的对应边成比例得，依次求出，，，根据勾股定理，计算求解即可.
22．（2024·潜江模拟）如图1，公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图.开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，m；若喷水口上升1.5m到处，水线落地点为，m.
（1）求水线最高点与点之间的水平距离；
（2）当喷水口在处时，
①求水线的最大高度；
②身高1.5m的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由.
【答案】（1）解：如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，为原点，建立平面直角坐标系.
m，抛物线上下平移过程中对称轴不变，
抛物线的对称轴是直线.
又m，
水线最高点与点之间的水平距离为：（m）.
（2）解：①由题意，结合（1），又因为抛物线形水线上下平移时对称轴不变，
可设过点的抛物线为.
又，，
，.
所求解析式为.
水线的最大高度为2m.
②令，
.
或4.
为了不被水喷到，
.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）根据得出抛物线对称轴为直线，进而求出水线最高点与点之间的水平距离；
（2）①根据题意，结合（1）可设过点的抛物线为，将，代入，利用待定系数法求出解析式，利用二次函数的性质求出最值即可；
②令，解出，即可求解．
23．（2024·潜江模拟） 综合与实践：
（1）【思考尝试】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，是边上一点，于点，，，，求证：四边形为正方形；
（2）【实践探究】小宇受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，是边上一点，于点，于点，交于点，请探究线段，，之间的数量关系并说明理由；
（3）【拓展迁移】小阳深入研究小宇提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点在上，且，连接，，请探究线段与的数量关系并说明理由.
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
.
，
.
.
又，，
.
.
四边形是正方形；
（2）解：.
理由：于点，于点，交于点，
四边形是矩形.
.
四边形是正方形，
，.
.
.
，.
矩形是正方形.
；
（3）解：，理由如下：
连接，如图，
四边形是正方形，
，
，，
是等腰直角三角形.
.
.
，
.
.
即.
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；正方形的判定；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质及全等三角形的判定证明，可得，进而得出答案；
（2）根据矩形的判定证明四边形是矩形，再根据全等三角形的判定证明，可得，，即可得出矩形是正方形，进而可得答案；
（3）连接，根据正方形和等腰直角三角形的性质证明，，然后根据相似三角形的判定证明，再根据相似三角形的性质可得，即可
得出答案．
24．（2024·潜江模拟） 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 0 0 5 …
（1）求二次函数的表达式；
（2）若将线段向下平移，得到的线段与二次函数的图象交于，两点（在左边），为二次函数的图象上的一点，当点的横坐标为，点的横坐标为时，求的值；
（3）若将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个公共点，其中为常数，请直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：二次函数的图象经过，，三个点，
，
二次函数的表达式为：.
（2）解：过作，垂足为，如图：
点的横坐标为，点的横坐标为，
.
二次函数的对称轴为直线，
点，关于直线对称.
到的距离是，
.
.
，，
.
在中，.
（3）解：的取值范围是：或或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣平移；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；求正切值
【解析】【解答】解：的取值范围是：或或.
线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段设为，则，，
二次函数与轴交于，两点，对称轴为直线，
二次函数与二次函数只是开口大小和方向发生了变化，并且越大，开口越小.
若线段与二次函数的图象只有一个交点，分以下三种情况：
①当时，开口向上，如图，
线段与二次函数的图象只有一个交点，当抛物线经过时开口最大，最小，最大，
把代入得，
.
②当时，开口向下，如图，
线段与二次函数的图象只有一个交点，
代入得.
③当时，开口向下，如图，
线段与二次函数的图象只有一个交点，
当抛物线经过时开口最大，最小，最小，把代入得，
.
综上所述，的取值范围是：或或.
【分析】（1）把，，三点代入，利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）过作RT⊥PQ于点T，由题意得到，，在中，根据正切的定义即可得到的值；
（3）由题意得则，，分类讨论：当时，当抛物线经过时开口最大，最小，最大，把代入可求得；当时，当抛物线的顶点在线段上时，；当抛物线经过时开口最大，最小，最小，把代入推出，即可得到答案.
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