四川省达州市2024年中考数学试卷
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．（2024·达州）有理数2024的相反数是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C． D．-
2．（2024·达州）大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为（ ）
A．2×109 B．2×108 C．0.2×108 D．2×107
3．（2024·达州）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a+2）2＝a2+2a+4
C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．a12÷a6＝a2
4．（2024·达州）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ）
A．热 B．爱 C．中 D．国
5．（2024·达州）小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．（2024·达州）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
7．（2024·达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan∠BCD的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
9．（2024·达州）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞1 B．b＝2 C．b2+4c＜0 D．c＜0
10．（2024·达州）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D，E分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD＝CE，则下列结论：①；②∠DFE＝135°；③△ABF面积的最大值是；④CF的最小值是．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（2024·达州）分解因式：3x2﹣18x+27= ．
12．（2024·达州）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是 ．
13．（2024·达州）若关于x的方程无解，则k的值为 ．
14．（2024·达州）如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝ 度．
15．（2024·达州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是 ．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（2024·达州）
（1）计算：（﹣）﹣2﹣+2sin60°﹣（π﹣2024）0；
（2）解不等式组：．
17．（2024·达州） 先化简：，再从﹣2，﹣1，0，1，2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
18．（2024·达州） 2024年4月21日，达州马拉松暨“跑遍四川”达州站马拉松赛鸣枪开跑，本次赛事以“相约巴人故里，乐跑红色达州”为主题，旨在增强全市民众科学健身意识，推动全民健身活动．本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表：
等级 A B C D
分数段 90﹣100 80﹣89 70﹣79 60﹣69
频数 440 280 m 40
请根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了 名选手，m＝ ，n＝ ；
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 度；
（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率．
19．（2024·达州） 如图，线段AC，BD相交于点O，且AB∥CD，AE⊥BD于点E．
（1）尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F，连接AF，CE；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2）若AB＝CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
20．（2024·达州） “三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图1），在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E、F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.73，≈1.41）
21．（2024·达州） 如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（m为常数，m≠0）的图象交于点A（2，3），B（a，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA＝90°，求点C的坐标．
22．（2024·达州） 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．
（1）求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
23．（2024·达州） 如图，BD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，且AB＝AC，以AD为边作∠DAF＝∠ACD交BD的延长线于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD交BD于点E，若CD＝3DE，求cos∠ABC的值．
24．（2024·达州） 如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2024·达州） 在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO．
∴AB2＝AO2+BO2
又∵AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AB2＝ + ．
化简整理得AC2+BD2＝ ．
（2）[类比探究]
如图2，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．
（3）[拓展应用]
如图3，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E为AO的中点，点F为BC的中点，连接EF，若AB＝8，BD＝8，AC＝12，直接写出EF的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2024的相反数是-2024.
故答案为：B.
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可求解.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2亿=200000000=2×108.
故答案为：B.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵a2和a3不是同类项，∴a2+a3≠a5，此选项错误，不符合题意；
B、（a+2）2=a2+4a+4≠a2+2a+4，此选项错误，不符合题意；
C 、原式=-8a6b9，此选项正确，符合题意；
D 、原式=a12-6=a6≠a2，此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知a2和a3不是同类项，所以不能合并；
B、根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”可判断求解；
C、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
4．【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：∵正方体展开图的特征是：相间、Z端是对面，
∴“我”的对面是“爱”.
故答案为：B.
【分析】根据正方体展开图的特征即可判断求解.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
6．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠AMN=∠2+∠3，
∵∠1=80°，∠2=40°，
∴∠3=80°-40°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质“两直线平行内错角相等”和角的构成可求解.
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，
由题意得：.
故答案为：D.
【分析】设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，根据题中的相等关系“乙加工120个零件所用的时间-甲加工120个零件所用的时间=”可列方程求解.
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：如图，延长BC交格点于E，连接AE，
由题意得：AE⊥BE，
∵∠ABD=120°，小菱形边长为2，
∴AE=，EC=2，
∴tan∠BCD=tan∠ACE=.
故答案为：B.
【分析】延长BC交格点于E，连接AE，根据菱形的性质和网格图的特征并结合锐角三角函数的定义可求解.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点，分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，
∴x1-1＜0，x2-1＞0，
∴（x1-1）（x2-1）＜0，
∴x1x2-(x1+x2)+1＜0，
由一元二次方程根与系数的关系得：-c-b+1＜0，
∴b+c＞1.故选项A正确，符合题意；
无法确定b和c的值，故B和D错误；
因为函数与x轴有两个交点，
∴b2-4ac=b2+4c>0，故选项C错误；
故答案为：A.
【分析】抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点，分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，根据题意可得（x1-1）（x2-1）＜0，再结合一元二次方程根与系数的关系可判断求解.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；圆-动点问题；相似三角形的判定-SAS
11．【答案】3（x﹣3）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3x2﹣18x+27，
=3（x2﹣6x+9），
=3（x﹣3）2．
故答案为：3（x﹣3）2．
【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
13．【答案】2或﹣1
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：去分母得：3-（kx-1）=x-2，
整理得：(1+k)x=6.
∵关于x的方程无解，
∴由题意可分两种情况讨论：
①当x=2时分母为0，方程无解，
即：=2，解得：k=2，
∴当k=2时方程无解；
②当k+1=0即k=-1时，方程无解；
综上可知：当k=2或-1时，方程无解.
故答案为：2或-1.
【分析】根据分式方程无解的条件可知：分式方程去分母后所得的整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母为0.
14．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由题意可得：∠E1AD=∠CAB，∠E1BD=∠CBD，
∴设∠E1AD=α，∠E1BD=β，
则∠CAB=3α，∠CBD=3β，
由三角形外角的性质可得：
β=α+∠E1，3β=3α+∠C，∠E1=∠C，
同理可得：∠E2=∠E1，∠E2=()2∠C……，
∠En=()n∠C，即∠En=m°.
故答案为：m°.
【分析】由题意，设∠E1AD=α，∠E1BD=β，则∠CAB=3α，∠CBD=3β，再分别对△ABC、△E1AB运用三角形的外角的性质可求解.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；求正弦值
16．【答案】（1）解：原式＝4﹣3+2×﹣1
＝4﹣3+﹣1
＝3﹣2；
（2）解：，
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x≤5，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤5．
【知识点】解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
17．【答案】解：原式＝
＝
＝
＝，
∵x﹣2≠0且x+2≠0且x≠0且x+1≠0，
∴x可以取1，
当x＝1时，原式＝＝2．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，根据"除以一个数等于乘以这个数的倒数"将除法转化为乘法，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再选取使分式有意义的x的值的代入化简后的分式计算可求解.
18．【答案】（1）800；40；5
（2）126
（3）解：用A、B、C分别表示马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．
画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中马拉松和欢乐跑冠军的结果数为2种，
所以恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率＝．
【知识点】频数与频率；统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）第一空：由统计表和扇形图可知：A等级的频数和百分数分别为440、55%，
∴此次调查共抽取的选手为：440÷55%=800；
第二空：m=800×5%=40；
第三空：∵=5%，
故答案为：800；40；5.
（2）=126°.
故答案为：126.
【分析】（1）由统计表和扇形图可知：A等级的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求得此次调查共抽取的选手总人数；根据频数等于样本容量×相对应的百分数可求得m的值；根据百分数等于频数÷样本容量可求得n的值；
（2）根据圆心角等于百分数×360°可求得B等级所对应的扇形圆心角度数；
（3）用A、B、C分别表示马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目，由题意画出树状图，根据树状图的信息可知：共有6种等可能的结果，其中马拉松和欢乐跑冠军的结果数为2种，然后用概率公式计算即可求解.
19．【答案】（1）解：如图，CF、AF、CE为所作；
（2）解：四边形AECF平行四边形．
理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
而AE∥CF，
∴四边形AECF平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）由题意画出图形即可；
（2）四边形AECF平行四边形．理由如下：由题意，用角角边可证△ABE≌△CDF，则AE=CF，结合已知根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解.
20．【答案】解：过点M作MN⊥AB，垂足为N．
由题意知，四边形CMNB是矩形．
∴CM＝BN＝1.5米，
MN＝CB＝6米，
AN＝AB﹣BN＝6.3﹣1.5＝4.8（米）．
在Rt△DMN中，
∵tan∠DMN＝，
∴DN＝tan∠DMN MN＝tan30°×MN＝（米）．
在Rt△AEF中，
∵sin∠AEF＝，
∴AF＝sin∠AEF EF＝sin45°×EF＝×4＝2（米）．
∵AF+DN＝AN+DF，
∴DF＝
≈2×1.73+2×1.41﹣4.8
＝3.46+2.82﹣4.8
＝1.48
≈1.5（米）．
答：中轴上DF的长度为1.5米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点M作MN⊥AB，垂足为N．由题意知，四边形CMNB是矩形．在Rt△DMN中，根据锐角三角函数tan∠DMN=可得求得DN的值；在Rt△AEF中，根据锐角三角函数sin∠AEF=可得求得AF的值；然后由线段的构成AF+DN=AN+DF得DF=AF+DN-AN可求解.
21．【答案】（1）解：将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：m＝2×3＝﹣2a，
解得：a＝﹣3，m＝6，
即反比例函数的表达式为：，点B（﹣3，﹣2），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
则一次函数的表达式为：y＝x+1；
（2）解：设点C（x，0），
由点A、B、C的坐标得，AB2＝50，AC2＝（x﹣2）2+9，BC2＝（x+3）2+4，
∵∠BCA＝90°，
则AB2＝AC2+BC2，
即50＝（x﹣2）2+9+（x+3）2+4，
解得：x＝3或﹣4（舍去），
即点C（3，0）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
22．【答案】（1）解：设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为（x+20）元，
由题意得：25x+15（x+20）＝3500，
解得：x＝80，
∴x+20＝100，
答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的售价为100元；
（2）解：设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为（1000﹣m）盒，
由题意得：，
解得：595≤m≤600，
设收益为w元，
由题意得：w＝（80﹣50）m+（100﹣60）（1000﹣m）＝﹣10m+40000，
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝595时，w有最大值＝﹣10×595+40000＝34050，
此时，1000﹣m＝1000﹣595＝405，
答：使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒，B种柑橘礼盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34050元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
23．【答案】（1）证明：如图所示，连接OA，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠OAB+∠OAD＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠DAF＝∠ACD，∠OBA＝∠ACD，
∴∠DAF＝∠OAB，
∴∠DAF+∠OAD＝∠OAB+∠OAD＝90°，
∴∠OAF＝90°，
∴OA⊥AF，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：如图所示，延长CD交AF于H，延长AO交BC于G，连接OC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，即CH⊥BC，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴OA垂直平分BC，
∴AG⊥BC，
∴AG∥CH，
∵∠OAF＝90°，AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠AHC＝90°，
又∵∠ABE＝∠ACH，
∴△ABE≌△ACH（AAS），
∴AE＝AH，BE＝CH，
∵AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴DH＝DE，设DH＝DE＝a，则CD＝3a，
∴BE＝CH＝DH+CD＝4a，
∴BD＝BE+DE＝5a，
∴OA＝OD＝2.5a，
∴OE＝OD﹣DE＝1.5a，
∴
∴，
∴，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADE，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；圆的综合题；解直角三角形
24．【答案】（1）解：由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，
∴-3a=-3
解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）解：由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3）、D（﹣1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，
由点A、C坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
∵DG∥AC，
则直线DG的表达式为：y＝﹣（x+1）﹣4，
则点G（0，﹣5），则CG＝﹣3-(-5)＝2，则CL＝4，
则点L（0，1），
则直线LP的表达式为：y＝﹣x+1，
联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3＝﹣x+1，
解得：x＝1或﹣4，
即点P（1，0）或（﹣4，5）；
（3）解：N（﹣1，±）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在，理由：
设点N（﹣1，m），
由点A、C、N的坐标得，AC2＝18，AN2＝4+m2，CN2＝1+（m+3）2，
当AC＝AN时，
则18＝4+m2，
解得：m＝±，
则点N（﹣1，±）；
当AC＝CN或AN＝CN时，
则18＝1+（m+3）2或4+m2＝1+（m+3）2，
解得：m＝﹣3+或﹣1（不合题意的值已舍去），
则点N（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+），
综上，N（﹣1，±）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+）．
【分析】（1）由题意，根据点A、B的坐标可将抛物线的解析式化为交点式即可求解；
（2）过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，用待定系数法可求得直线AC、DG、LP的解析式，然后将直线LP与抛物线的解析式联立解方程组即可求解；
（3）存在，理由如下：设点N（﹣1，m），用勾股定理可将AC2、CN2、AN2用含m的代数式表示出来，然后根据等腰三角形的性质可分三种情况：当AC＝AN时，当AC＝CN时，当AN＝CN时，可得关于m的方程，解方程即可求解.
25．【答案】（1）AC2；BD2；4AB2
（2）解：AC2+BD2＝2AB2+2AD2理由如下，如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，
∴∠DEA＝∠DEB＝∠CFB＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠CBF，
在△DAE和△CBF中，
∴△DAE≌△CBF（AAS），
∴AE＝BF，DE＝CF，在Rt△DBE中，DB2＝DE2+BE2＝DE2+（AB﹣AE）2
在Rt△CAF中，AC2＝CF2+AF2＝CF2+（AB+BF）2
∴AC2+BD2＝DE2+（AB﹣AE）2+CF2+（AB+BF）2
＝2DE2+AB2﹣2AB AE+AE2+AB2+2AB AE+AE2
＝2（DE2+AE2）+2AB2
＝2AD2+2AB2，
∴AC2+BD2＝2AB2+2AD2；
（3）解：EF＝
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB2=OA2+OB2，
∴AB2=（AC）2+（BD）2=AC2+BD2，
化简得：AC2+BD2=4AB2.
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，BD＝8，AC＝12，
∴由（2）可得AC2+BD2＝2AB2+2AD2，
∴122+82＝2×82+2AD2，
解得：（负值舍去），
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝8，
∴，
如图所示，过点E、O分别作BC的垂线，垂足分别为M、G，连接OF，
∵F分别为BC的中点，
∴，
∵OG⊥BF，
∴，
∵F是BC的中点，
∴，
∴，
∴，
在Rt△OGC中，OG⊥BC，
∴，
∵E为AO的中点，
∴，
∵AO＝OC，
∴，
∴，
∵EM⊥BC，OG⊥BC，
∴EM∥OG，
∴，
∵，
∴，
∵EM∥OG，
∴△COG∽△CEM，
∴，
在Rt△EMF中，．
故答案为：EF＝．
【分析】（1）由菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可得：∠AOB=90°，OA=OC=AC，OB=OD=BD，在Rt△AOB中，用勾股定理可求解；
（2）AC2+BD2＝2AB2+2AD2，理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，由题意用角角边可证△DAE≌△CBF，则AE＝BF，DE＝CF，在Rt△DBE和Rt△CAF中，用勾股定理可将DB2、AC2表示出来，将两个等式相加即可求解；
（3）过点E、O分别作BC的垂线，垂足分别为M、G，连接OF，由题意，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△COG∽△CEM，根据相似三角形的性质可得比例式，在Rt△EMF中，用勾股定理即可求解.
1 / 1四川省达州市2024年中考数学试卷
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．（2024·达州）有理数2024的相反数是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C． D．-
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2024的相反数是-2024.
故答案为：B.
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可求解.
2．（2024·达州）大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为（ ）
A．2×109 B．2×108 C．0.2×108 D．2×107
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2亿=200000000=2×108.
故答案为：B.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
3．（2024·达州）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a+2）2＝a2+2a+4
C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．a12÷a6＝a2
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵a2和a3不是同类项，∴a2+a3≠a5，此选项错误，不符合题意；
B、（a+2）2=a2+4a+4≠a2+2a+4，此选项错误，不符合题意；
C 、原式=-8a6b9，此选项正确，符合题意；
D 、原式=a12-6=a6≠a2，此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知a2和a3不是同类项，所以不能合并；
B、根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”可判断求解；
C、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
4．（2024·达州）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ）
A．热 B．爱 C．中 D．国
【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：∵正方体展开图的特征是：相间、Z端是对面，
∴“我”的对面是“爱”.
故答案为：B.
【分析】根据正方体展开图的特征即可判断求解.
5．（2024·达州）小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
6．（2024·达州）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠AMN=∠2+∠3，
∵∠1=80°，∠2=40°，
∴∠3=80°-40°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质“两直线平行内错角相等”和角的构成可求解.
7．（2024·达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，
由题意得：.
故答案为：D.
【分析】设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，根据题中的相等关系“乙加工120个零件所用的时间-甲加工120个零件所用的时间=”可列方程求解.
8．（2024·达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan∠BCD的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】菱形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：如图，延长BC交格点于E，连接AE，
由题意得：AE⊥BE，
∵∠ABD=120°，小菱形边长为2，
∴AE=，EC=2，
∴tan∠BCD=tan∠ACE=.
故答案为：B.
【分析】延长BC交格点于E，连接AE，根据菱形的性质和网格图的特征并结合锐角三角函数的定义可求解.
9．（2024·达州）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞1 B．b＝2 C．b2+4c＜0 D．c＜0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点，分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，
∴x1-1＜0，x2-1＞0，
∴（x1-1）（x2-1）＜0，
∴x1x2-(x1+x2)+1＜0，
由一元二次方程根与系数的关系得：-c-b+1＜0，
∴b+c＞1.故选项A正确，符合题意；
无法确定b和c的值，故B和D错误；
因为函数与x轴有两个交点，
∴b2-4ac=b2+4c>0，故选项C错误；
故答案为：A.
【分析】抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点，分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，根据题意可得（x1-1）（x2-1）＜0，再结合一元二次方程根与系数的关系可判断求解.
10．（2024·达州）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D，E分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD＝CE，则下列结论：①；②∠DFE＝135°；③△ABF面积的最大值是；④CF的最小值是．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；圆-动点问题；相似三角形的判定-SAS
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（2024·达州）分解因式：3x2﹣18x+27= ．
【答案】3（x﹣3）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3x2﹣18x+27，
=3（x2﹣6x+9），
=3（x﹣3）2．
故答案为：3（x﹣3）2．
【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．
12．（2024·达州）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
13．（2024·达州）若关于x的方程无解，则k的值为 ．
【答案】2或﹣1
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：去分母得：3-（kx-1）=x-2，
整理得：(1+k)x=6.
∵关于x的方程无解，
∴由题意可分两种情况讨论：
①当x=2时分母为0，方程无解，
即：=2，解得：k=2，
∴当k=2时方程无解；
②当k+1=0即k=-1时，方程无解；
综上可知：当k=2或-1时，方程无解.
故答案为：2或-1.
【分析】根据分式方程无解的条件可知：分式方程去分母后所得的整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母为0.
14．（2024·达州）如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝ 度．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由题意可得：∠E1AD=∠CAB，∠E1BD=∠CBD，
∴设∠E1AD=α，∠E1BD=β，
则∠CAB=3α，∠CBD=3β，
由三角形外角的性质可得：
β=α+∠E1，3β=3α+∠C，∠E1=∠C，
同理可得：∠E2=∠E1，∠E2=()2∠C……，
∠En=()n∠C，即∠En=m°.
故答案为：m°.
【分析】由题意，设∠E1AD=α，∠E1BD=β，则∠CAB=3α，∠CBD=3β，再分别对△ABC、△E1AB运用三角形的外角的性质可求解.
15．（2024·达州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；求正弦值
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（2024·达州）
（1）计算：（﹣）﹣2﹣+2sin60°﹣（π﹣2024）0；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解：原式＝4﹣3+2×﹣1
＝4﹣3+﹣1
＝3﹣2；
（2）解：，
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x≤5，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤5．
【知识点】解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
17．（2024·达州） 先化简：，再从﹣2，﹣1，0，1，2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】解：原式＝
＝
＝
＝，
∵x﹣2≠0且x+2≠0且x≠0且x+1≠0，
∴x可以取1，
当x＝1时，原式＝＝2．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，根据"除以一个数等于乘以这个数的倒数"将除法转化为乘法，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再选取使分式有意义的x的值的代入化简后的分式计算可求解.
18．（2024·达州） 2024年4月21日，达州马拉松暨“跑遍四川”达州站马拉松赛鸣枪开跑，本次赛事以“相约巴人故里，乐跑红色达州”为主题，旨在增强全市民众科学健身意识，推动全民健身活动．本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表：
等级 A B C D
分数段 90﹣100 80﹣89 70﹣79 60﹣69
频数 440 280 m 40
请根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了 名选手，m＝ ，n＝ ；
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 度；
（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率．
【答案】（1）800；40；5
（2）126
（3）解：用A、B、C分别表示马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．
画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中马拉松和欢乐跑冠军的结果数为2种，
所以恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率＝．
【知识点】频数与频率；统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）第一空：由统计表和扇形图可知：A等级的频数和百分数分别为440、55%，
∴此次调查共抽取的选手为：440÷55%=800；
第二空：m=800×5%=40；
第三空：∵=5%，
故答案为：800；40；5.
（2）=126°.
故答案为：126.
【分析】（1）由统计表和扇形图可知：A等级的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求得此次调查共抽取的选手总人数；根据频数等于样本容量×相对应的百分数可求得m的值；根据百分数等于频数÷样本容量可求得n的值；
（2）根据圆心角等于百分数×360°可求得B等级所对应的扇形圆心角度数；
（3）用A、B、C分别表示马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目，由题意画出树状图，根据树状图的信息可知：共有6种等可能的结果，其中马拉松和欢乐跑冠军的结果数为2种，然后用概率公式计算即可求解.
19．（2024·达州） 如图，线段AC，BD相交于点O，且AB∥CD，AE⊥BD于点E．
（1）尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F，连接AF，CE；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2）若AB＝CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
【答案】（1）解：如图，CF、AF、CE为所作；
（2）解：四边形AECF平行四边形．
理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
而AE∥CF，
∴四边形AECF平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）由题意画出图形即可；
（2）四边形AECF平行四边形．理由如下：由题意，用角角边可证△ABE≌△CDF，则AE=CF，结合已知根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解.
20．（2024·达州） “三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图1），在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E、F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.73，≈1.41）
【答案】解：过点M作MN⊥AB，垂足为N．
由题意知，四边形CMNB是矩形．
∴CM＝BN＝1.5米，
MN＝CB＝6米，
AN＝AB﹣BN＝6.3﹣1.5＝4.8（米）．
在Rt△DMN中，
∵tan∠DMN＝，
∴DN＝tan∠DMN MN＝tan30°×MN＝（米）．
在Rt△AEF中，
∵sin∠AEF＝，
∴AF＝sin∠AEF EF＝sin45°×EF＝×4＝2（米）．
∵AF+DN＝AN+DF，
∴DF＝
≈2×1.73+2×1.41﹣4.8
＝3.46+2.82﹣4.8
＝1.48
≈1.5（米）．
答：中轴上DF的长度为1.5米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点M作MN⊥AB，垂足为N．由题意知，四边形CMNB是矩形．在Rt△DMN中，根据锐角三角函数tan∠DMN=可得求得DN的值；在Rt△AEF中，根据锐角三角函数sin∠AEF=可得求得AF的值；然后由线段的构成AF+DN=AN+DF得DF=AF+DN-AN可求解.
21．（2024·达州） 如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（m为常数，m≠0）的图象交于点A（2，3），B（a，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA＝90°，求点C的坐标．
【答案】（1）解：将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：m＝2×3＝﹣2a，
解得：a＝﹣3，m＝6，
即反比例函数的表达式为：，点B（﹣3，﹣2），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
则一次函数的表达式为：y＝x+1；
（2）解：设点C（x，0），
由点A、B、C的坐标得，AB2＝50，AC2＝（x﹣2）2+9，BC2＝（x+3）2+4，
∵∠BCA＝90°，
则AB2＝AC2+BC2，
即50＝（x﹣2）2+9+（x+3）2+4，
解得：x＝3或﹣4（舍去），
即点C（3，0）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
22．（2024·达州） 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．
（1）求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【答案】（1）解：设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为（x+20）元，
由题意得：25x+15（x+20）＝3500，
解得：x＝80，
∴x+20＝100，
答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的售价为100元；
（2）解：设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为（1000﹣m）盒，
由题意得：，
解得：595≤m≤600，
设收益为w元，
由题意得：w＝（80﹣50）m+（100﹣60）（1000﹣m）＝﹣10m+40000，
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝595时，w有最大值＝﹣10×595+40000＝34050，
此时，1000﹣m＝1000﹣595＝405，
答：使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒，B种柑橘礼盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34050元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
23．（2024·达州） 如图，BD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，且AB＝AC，以AD为边作∠DAF＝∠ACD交BD的延长线于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD交BD于点E，若CD＝3DE，求cos∠ABC的值．
【答案】（1）证明：如图所示，连接OA，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠OAB+∠OAD＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠DAF＝∠ACD，∠OBA＝∠ACD，
∴∠DAF＝∠OAB，
∴∠DAF+∠OAD＝∠OAB+∠OAD＝90°，
∴∠OAF＝90°，
∴OA⊥AF，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：如图所示，延长CD交AF于H，延长AO交BC于G，连接OC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，即CH⊥BC，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴OA垂直平分BC，
∴AG⊥BC，
∴AG∥CH，
∵∠OAF＝90°，AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠AHC＝90°，
又∵∠ABE＝∠ACH，
∴△ABE≌△ACH（AAS），
∴AE＝AH，BE＝CH，
∵AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴DH＝DE，设DH＝DE＝a，则CD＝3a，
∴BE＝CH＝DH+CD＝4a，
∴BD＝BE+DE＝5a，
∴OA＝OD＝2.5a，
∴OE＝OD﹣DE＝1.5a，
∴
∴，
∴，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADE，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；圆的综合题；解直角三角形
24．（2024·达州） 如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，
∴-3a=-3
解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）解：由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3）、D（﹣1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，
由点A、C坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
∵DG∥AC，
则直线DG的表达式为：y＝﹣（x+1）﹣4，
则点G（0，﹣5），则CG＝﹣3-(-5)＝2，则CL＝4，
则点L（0，1），
则直线LP的表达式为：y＝﹣x+1，
联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3＝﹣x+1，
解得：x＝1或﹣4，
即点P（1，0）或（﹣4，5）；
（3）解：N（﹣1，±）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在，理由：
设点N（﹣1，m），
由点A、C、N的坐标得，AC2＝18，AN2＝4+m2，CN2＝1+（m+3）2，
当AC＝AN时，
则18＝4+m2，
解得：m＝±，
则点N（﹣1，±）；
当AC＝CN或AN＝CN时，
则18＝1+（m+3）2或4+m2＝1+（m+3）2，
解得：m＝﹣3+或﹣1（不合题意的值已舍去），
则点N（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+），
综上，N（﹣1，±）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+）．
【分析】（1）由题意，根据点A、B的坐标可将抛物线的解析式化为交点式即可求解；
（2）过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，用待定系数法可求得直线AC、DG、LP的解析式，然后将直线LP与抛物线的解析式联立解方程组即可求解；
（3）存在，理由如下：设点N（﹣1，m），用勾股定理可将AC2、CN2、AN2用含m的代数式表示出来，然后根据等腰三角形的性质可分三种情况：当AC＝AN时，当AC＝CN时，当AN＝CN时，可得关于m的方程，解方程即可求解.
25．（2024·达州） 在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO．
∴AB2＝AO2+BO2
又∵AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AB2＝ + ．
化简整理得AC2+BD2＝ ．
（2）[类比探究]
如图2，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．
（3）[拓展应用]
如图3，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E为AO的中点，点F为BC的中点，连接EF，若AB＝8，BD＝8，AC＝12，直接写出EF的长度．
【答案】（1）AC2；BD2；4AB2
（2）解：AC2+BD2＝2AB2+2AD2理由如下，如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，
∴∠DEA＝∠DEB＝∠CFB＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠CBF，
在△DAE和△CBF中，
∴△DAE≌△CBF（AAS），
∴AE＝BF，DE＝CF，在Rt△DBE中，DB2＝DE2+BE2＝DE2+（AB﹣AE）2
在Rt△CAF中，AC2＝CF2+AF2＝CF2+（AB+BF）2
∴AC2+BD2＝DE2+（AB﹣AE）2+CF2+（AB+BF）2
＝2DE2+AB2﹣2AB AE+AE2+AB2+2AB AE+AE2
＝2（DE2+AE2）+2AB2
＝2AD2+2AB2，
∴AC2+BD2＝2AB2+2AD2；
（3）解：EF＝
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB2=OA2+OB2，
∴AB2=（AC）2+（BD）2=AC2+BD2，
化简得：AC2+BD2=4AB2.
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，BD＝8，AC＝12，
∴由（2）可得AC2+BD2＝2AB2+2AD2，
∴122+82＝2×82+2AD2，
解得：（负值舍去），
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝8，
∴，
如图所示，过点E、O分别作BC的垂线，垂足分别为M、G，连接OF，
∵F分别为BC的中点，
∴，
∵OG⊥BF，
∴，
∵F是BC的中点，
∴，
∴，
∴，
在Rt△OGC中，OG⊥BC，
∴，
∵E为AO的中点，
∴，
∵AO＝OC，
∴，
∴，
∵EM⊥BC，OG⊥BC，
∴EM∥OG，
∴，
∵，
∴，
∵EM∥OG，
∴△COG∽△CEM，
∴，
在Rt△EMF中，．
故答案为：EF＝．
【分析】（1）由菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可得：∠AOB=90°，OA=OC=AC，OB=OD=BD，在Rt△AOB中，用勾股定理可求解；
（2）AC2+BD2＝2AB2+2AD2，理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，由题意用角角边可证△DAE≌△CBF，则AE＝BF，DE＝CF，在Rt△DBE和Rt△CAF中，用勾股定理可将DB2、AC2表示出来，将两个等式相加即可求解；
（3）过点E、O分别作BC的垂线，垂足分别为M、G，连接OF，由题意，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△COG∽△CEM，根据相似三角形的性质可得比例式，在Rt△EMF中，用勾股定理即可求解.
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