四川省南充市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的。请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分。
1．（2024·南充）如图，数轴上表示的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．（2024·南充）学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制人选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（ ）
A．170分 B．86分 C．85分 D．84分
3．（2024·南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·南充）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·南充）如图，在中，，AD平分交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．（2024·南充）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房、设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·南充）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·南充）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·南充）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
10．（2024·南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上。
11．（2024·南充）计算的结果为 ．
12．（2024·南充）若一组数据6，6，m，7，7，8的众数为7，则这组数据的中位数为 ．
13．（2024·南充）如图，AB是的直径，位于AB两侧的点C，D均在上，，则 度．
14．（2024·南充）已知m是方程的一个根，则的值为 ．
15．（2024·南充）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，，将沿BE折叠得，连接CF，DF，若CF平分，，则DF的长为 ．
16．（2024·南充）已知抛物线与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），抛物线与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），且．下列四个结论：①与交点为；②；③；④A，D两点关于对称．其中正确的结论是 （填写序号）
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2024·南充）先化简，再求值：，其中．
18．（2024·南充）如图，在中，点D为BC边的中点，过点B作交AD的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：，
19．（2024·南充）某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，（如图）．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数．
（2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．
20．（2024·南充）已知x1，x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．
21．（2024·南充）如图，直线经过两点，与双曲线交于点．
（1）求直线和双曲线的解析式．
（2）过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标．
22．（2024·南充）如图，在中，AB是直径，AE是弦，点F是上一点，，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且．
（1）求证：AD是的切线．
（2）若，求的半径长．
23．（2024·南充）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润=售价-进价）
24．（2024·南充）如图，正方形ABCD边长为，点E为对角线AC上一点，，点P在AB边上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）．
（1）求证：．
（2）当是直角三角形时，求t的值．
（3）连接AQ，当时，求的面积．
25．（2024·南充）已知抛物线与x轴交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段OC上一点（不与端点重合），直线PA，PB分别交抛物线于点E，D，设面积为，面积为，求的值．
（3）如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线轴，点Q是直线l上一动点．求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵1＜2＜4，
∴1＜＜2，
∴ 数轴上表示的点是点C.
故答案为：C.
【分析】由题意，找出在1和2两个连续整数之间，即可判断在数轴上的位置.
2．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：李林综合成绩为：90×60%+80×40%=86（分）.
故答案为：B.
【分析】根据加权平均数的公式计算即可求解.
3．【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠2=40°，
∴∠4=180°-∠1-∠2=100°，
∵两个平面镜平行放置，
∴ 光线经过平面镜两次反射后的光线与入射光线平行，
∴∠3=∠4=100°.
故答案为：C.
【分析】根据平角的定义求出∠4的度数。再根据光线经过平面镜两次反射后的光线与入射光线平行得∠3=∠4可求解.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵a2与a3不是同类项，∴a2与a3不能合并，此选项不符合题意；
B、原式=a8-4=a4≠a2，此选项不符合题意；
C 、原式=a2+3=a5≠a6，此选项不符合题意；
D、原式=27a6，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知2x和3y不是同类项，所以不能合并；
B、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
D、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解.
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，tanB=，
∴AC=×6=2，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=60°=30°，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=，
∴CD=×2=2，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，
∴点D到AB边的距离等于线段CD的长，即线段DE的最小值为2.
故答案为：C.
【分析】根据30度角的正切求出AC的长，在Rt△ACD中，根据∠CAD的正切求出CD的长，然后根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”得CD=DE可求解.
6．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设有客房x间，客人y人，则可列方程组：
.
故答案为：D.
【分析】设有客房x间，客人y人，根据题中的相等关系“一房七客多七客，一房九客一房空”可列方程组.
7．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；黄金分割
9．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意分两种情况：
①当m+1＞0，即m＞-1时，y随x的增大而增大，
当x=5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，
∴5(m+1)+m2+1=6，
解得：m1=0，m2=-5(舍去)；
②当m+1＜0，即m＜-1时，y随x的增大而减小，
当x=2时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，
∴2(m+1)+m2+1=6，
解得：m1=-3，m2=1(舍去)；
综上可得：当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，则实数m的值为0或-3.
故答案为：A.
【分析】由题意分两种情况：
①当m+1＞0，即m＞-1时，y随x的增大而增大，②当m+1＜0，即m＜-1时，y随x的增大而减小，然后根据“当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6”可得关于m的方程，解之可求解.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；求正切值
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=10，
①在Rt△ADF中，tan∠ADF=，
令AF=3x，DF=4x，则（3x)2+(4x)2=102，
解得：x1=2，x2=-2(舍去)，
∴DE=AF=6，DF=8.
∴EF=8-6=2，故此结论正确；
②∵Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，
∴，
∵BG=AF=AG-FG，
∴（AG-FG）·AG=3FG2，
整理可得：6FG2+FG·AG-AG2=0，
则6+-1=0，
解得：=，即点F是AG的三等分点，故此结论正确；
③由旋转可知：∠AG D=∠AGB=90°，
∴点G 在以AD为直径的圆上.M为圆心，如图，
在Rt△ABM中，BM=，
当点B、M、G 共线时，BG 取得最大值，此时BG =+5，故此结论正确.
故答案为：D.
【分析】①根据∠ADF的正切值，并结合勾股定理可求得EF的值；
②根据Rt△ABG的面积和正方形EFGH的面积之间的关系可得关于的方程，解方程求出的值，于是可判断F是AG的三等分点；
③由题意易得点G 在以AD为直径的圆上，在Rt△ABM中，用勾股定理求出BM的值，然后根据当点B、M、G 共线时，BG 取得最大值可求解.
11．【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式==1.
故答案为：1.
【分析】根据同分母的分式加减法法则计算即可求解.
12．【答案】7
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵ 数据6，6，m，7，7，8的众数为7，
∴m=7，
把这组数据从小到大排列：6，6，7，7，7，8，
中间第三和第四两个数都是7，，
∴ 这组数据的中位数为7.
故答案为：7.
【分析】根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”可得m=7，然后根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”可求得这组数据的中位数.
13．【答案】75
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BOC=30°，
∴∠AOC=180°-30°=150°，
∴∠ADC=∠AOC=×150°=75°.
故答案为：75.
【分析】由平角的定义可求得∠AOC的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可求解.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m是方程x2+4x-1=0的一个根，
∴m2+4m-1=0，则m2+4m=1，
∴（m+5）（m-1）=m2+5m-m-5
=m2+4m-5=1-5=-4.
故答案为：-4.
【分析】根据一元二次方程的根的定义可把x=m代入原方程，整理可得m2+4m的值；再根据多项式乘以多项式法则和合并同类项法则将所求代数式化简，整体代换即可求解.
15．【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
16．【答案】①②④
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图，
①令x2+mx+m=x2+nx+n，解得：x=-1，
把x=-1代入y=x2+mx+m得，y=1，
∴C1与C2交点为（-1，1），此结论正确；
②∵抛物线C1：y=x2+mx+m与抛物线C2：y=x2+nx+n的开口方向和大小相同，且AB=CD，
∴两抛物线关于x=-1对称，
∴，即：m+n=4，此结论正确；
③抛物线C1：y=x2+mx+m的对称轴为直线x=，抛物线C2：y=x2+nx+n的对称轴为直线x=，
由①知，C1与C2交于点（-1，1），
m＞2，n＜2或m＜2，n＞2，
∴mn＞0不一定成立，此结论错误；
④由②可得：A、D关于（-1，0）对称，此结论正确.
故答案为：①②④.
【分析】①将抛物线C1、C2的解析式联立解方程组可求解；
②由题意知：抛物线C1：y=x2+mx+m与抛物线C2：y=x2+nx+n的开口方向和大小相同，且AB=CD，于是可得两抛物线关于x=-1对称，则，整理可求解；
③根据抛物线的对称轴和C1与C2交于点（-1，1）可得：m＞2，n＜2或m＜2，n＞2，于是可得mn＞0不一定成立；
④由②可判断求解.
17．【答案】解：原式
．
当时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”和多项式除以单项式法则"多项式除以单项式就是把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加"和合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可将代数式化简；再将x的值代入化简后的代数式计算即可求解.
18．【答案】（1）证明：为BC的中点，
．
．
在和中，
．
（2）证明：，
∴
垂直平分AE，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由题意，用角角边可证△BDE≌△CDA；
（2）由（1）中的全等三角形可得ED=AD，结合已知可得BD垂直平分AE，然后根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可求解.
19．【答案】（1）解：（人）．
．
答：喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为108°．
（2）解：喜爱D类研学项目的4名学生分别记为男1，男2，女1，女2，列表如下：
第2位 第1位 男1 男2 女1 女2
男1 男1男2 男1女1 男1女2
男2 男2男1 男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2 女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1
由表可知，抽选2名学生共有12种等可能结果，抽中一名男生和一名女生（记作事件M）共8种可能．
．
答：抽中一名男生和一名女生的概率为．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
20．【答案】（1）解：原方程有两个不相等的实数根，
．
．
解得．
（2）解：由（1）k>1，
∴1∴整数k的值为2，3，4．
当时，方程为，解得．
当或4时，此时方程解不为整数．
综上所述，k的值为2．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"和题意可的关于k的不等式，解之可求解；
（2）结合（1）的结论可得k的范围：1＜k＜5，根据k是整数可得k的值，然后把k的值分别代入一元二次方程计算即可求解.
21．【答案】（1）解：点在直线上，
解得直线解析式为．
点在直线上，
，即点C为．
双曲线过点．
双曲线解析式为．
（2）解：点P坐标为或或或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解（2）∵CD⊥x轴，C（-2，2），
∴D（-2，0），CD=2，
∵B（-1，0），
∴BD=1，
∵A（0，-2），
∴OA=2，
若以O，A，P为顶点的三角形与相似，
当△CDB∽△AOP，
则，∴OP=1.
当△CDB∽△POA，
则，∴OP=4.
∴OP=1或4，
∵点P在x轴上，
∴点P的坐标为（-4，0）或（-1，0）或（1，0）或（4，0）.
【分析】（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）由题意根据点A、B、C的坐标可确定CD和BD的长，然后根据相似三角形的性质可得OP=1或4，再由x轴上的点的纵坐标为0可求解.
22．【答案】（1）证明：．
，
．
即．
∵AB为直径，
是的切线．
（2）解：连接AF．
∵，
是直径，
．
在中，．
．
又AB是直径的半径长为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由圆周角定理及推论和角的构成可得∠BAD=90°，根据圆的切线的判定可求解；
（2）连接AF，由圆周角定理可得∠AFB=90°，在Rt△ADF中，用勾股定理可求得DF的值，于是根据锐角三角函数tanD=可得关于AB的方程，解之可求解.
23．【答案】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元．
根据题意得．
解得．
每件B类特产的售价（元）．
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
（2）解：由题意得（）．
（3）解：
．
当时，w有最大值1840．
即A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为（132-x）元；根据题中的相等关系“3件A类特产的费用+5件B类特产的费用=540”可列方程求解；
（2）根据销售量=原价销售的量+降价多销售的量可求解；
（3）根据利润W=A类特产的利润+B类特产的利润可得w与x之间的函数关系式，化为顶点式并结合二次函数的性质即可求解.
24．【答案】（1）证明：四边形ABCD是正方形，
．
，
．
（2）解：过点E作于点M，过点E作于点N．
∵正方形ABCD，
∴AB=BC=6，
∴AC=.
∵CE=2AE，
∴．
∴
∵AP=t.
∴．
，即，
，即，
，即．
①当时，有．
即，整理得．
解得（不合题意，舍去）．
②当时，有．
即，整理得，解得．
③当时，有．
即，整理得，该方程无实数解．
综上所述，当是直角三角形时，t的值为秒或2秒．
（3）解：过点A作，交CB的延长线于点F，连接FE交AQ于点G．
，
．
又．
．
．
．
．
，即，
是等腰直角三角形．
．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形；一元二次方程的应用-几何问题；相似三角形的判定-SAS
25．【答案】（1）解：由题意得
解得抛物线的解析式为．
（2）解：设，直线AP为，据题意得
解得
，联立得
解得或
同理可得.
.
.
.
（3）解：如图， 作点N关于直线l的对称点，连接． 过M点作于F，
设直线MN为．由得
．
设．
联立直线MN与抛物线
得．
根据根与系数的关系可得：．
作点N关于直线l的对称点，连接．
由题意得直线，则．
．
过M点作于F，则．
则．
在中，
．
即当时，，此时．
故的最小值为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）设点P（0，p），直线AP的解析式为：y=k1x+b1，用待定系数法可将直线AP的解析式用含p的代数式表示出来；与（1）中的抛物线的解析式联立解方程组，可将点E的坐标用含p的代数式表示出来，同理可将点D的坐标用含p的代数式表示出来，根据S1=S△ABD-S△ABP，S2=S△ABE-S△ABP可将S1、S2用含p的代数式表示出来，然后求即可；
（3）设直线MN为y=kx+d，根据点K的坐标可将直线MN的解析式用含k的代数式表示出来；设M（m，-m2+2m+3），N（n，-n2+2n+3），将直线MN和抛物线的解析式联立解方程组，根据一元二次方程的根的判别式可知方程有两个不相等的实数根，由一元二次方程的根与系数的关系可将m+n和mn的值用含k的代数式表示出来，根据三角形三边关系定理和两点之间线段最短可得QM+QN=QM+QN ≥MN ；过M点作MF⊥NN 于F，于是可得F（n，-m2+2m+3），则N F、FM可用含m、n的代数式表示出来，在Rt△MFN 中，用勾股定理可将MN 2=MF2+N F2用含k的代数式表示出来，整理可求解.
1 / 1四川省南充市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的。请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分。
1．（2024·南充）如图，数轴上表示的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵1＜2＜4，
∴1＜＜2，
∴ 数轴上表示的点是点C.
故答案为：C.
【分析】由题意，找出在1和2两个连续整数之间，即可判断在数轴上的位置.
2．（2024·南充）学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制人选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（ ）
A．170分 B．86分 C．85分 D．84分
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：李林综合成绩为：90×60%+80×40%=86（分）.
故答案为：B.
【分析】根据加权平均数的公式计算即可求解.
3．（2024·南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠2=40°，
∴∠4=180°-∠1-∠2=100°，
∵两个平面镜平行放置，
∴ 光线经过平面镜两次反射后的光线与入射光线平行，
∴∠3=∠4=100°.
故答案为：C.
【分析】根据平角的定义求出∠4的度数。再根据光线经过平面镜两次反射后的光线与入射光线平行得∠3=∠4可求解.
4．（2024·南充）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵a2与a3不是同类项，∴a2与a3不能合并，此选项不符合题意；
B、原式=a8-4=a4≠a2，此选项不符合题意；
C 、原式=a2+3=a5≠a6，此选项不符合题意；
D、原式=27a6，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知2x和3y不是同类项，所以不能合并；
B、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
D、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解.
5．（2024·南充）如图，在中，，AD平分交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，tanB=，
∴AC=×6=2，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=60°=30°，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=，
∴CD=×2=2，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，
∴点D到AB边的距离等于线段CD的长，即线段DE的最小值为2.
故答案为：C.
【分析】根据30度角的正切求出AC的长，在Rt△ACD中，根据∠CAD的正切求出CD的长，然后根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”得CD=DE可求解.
6．（2024·南充）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房、设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设有客房x间，客人y人，则可列方程组：
.
故答案为：D.
【分析】设有客房x间，客人y人，根据题中的相等关系“一房七客多七客，一房九客一房空”可列方程组.
7．（2024·南充）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
8．（2024·南充）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；黄金分割
9．（2024·南充）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意分两种情况：
①当m+1＞0，即m＞-1时，y随x的增大而增大，
当x=5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，
∴5(m+1)+m2+1=6，
解得：m1=0，m2=-5(舍去)；
②当m+1＜0，即m＜-1时，y随x的增大而减小，
当x=2时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，
∴2(m+1)+m2+1=6，
解得：m1=-3，m2=1(舍去)；
综上可得：当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，则实数m的值为0或-3.
故答案为：A.
【分析】由题意分两种情况：
①当m+1＞0，即m＞-1时，y随x的增大而增大，②当m+1＜0，即m＜-1时，y随x的增大而减小，然后根据“当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6”可得关于m的方程，解之可求解.
10．（2024·南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；求正切值
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=10，
①在Rt△ADF中，tan∠ADF=，
令AF=3x，DF=4x，则（3x)2+(4x)2=102，
解得：x1=2，x2=-2(舍去)，
∴DE=AF=6，DF=8.
∴EF=8-6=2，故此结论正确；
②∵Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，
∴，
∵BG=AF=AG-FG，
∴（AG-FG）·AG=3FG2，
整理可得：6FG2+FG·AG-AG2=0，
则6+-1=0，
解得：=，即点F是AG的三等分点，故此结论正确；
③由旋转可知：∠AG D=∠AGB=90°，
∴点G 在以AD为直径的圆上.M为圆心，如图，
在Rt△ABM中，BM=，
当点B、M、G 共线时，BG 取得最大值，此时BG =+5，故此结论正确.
故答案为：D.
【分析】①根据∠ADF的正切值，并结合勾股定理可求得EF的值；
②根据Rt△ABG的面积和正方形EFGH的面积之间的关系可得关于的方程，解方程求出的值，于是可判断F是AG的三等分点；
③由题意易得点G 在以AD为直径的圆上，在Rt△ABM中，用勾股定理求出BM的值，然后根据当点B、M、G 共线时，BG 取得最大值可求解.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上。
11．（2024·南充）计算的结果为 ．
【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式==1.
故答案为：1.
【分析】根据同分母的分式加减法法则计算即可求解.
12．（2024·南充）若一组数据6，6，m，7，7，8的众数为7，则这组数据的中位数为 ．
【答案】7
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵ 数据6，6，m，7，7，8的众数为7，
∴m=7，
把这组数据从小到大排列：6，6，7，7，7，8，
中间第三和第四两个数都是7，，
∴ 这组数据的中位数为7.
故答案为：7.
【分析】根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”可得m=7，然后根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”可求得这组数据的中位数.
13．（2024·南充）如图，AB是的直径，位于AB两侧的点C，D均在上，，则 度．
【答案】75
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BOC=30°，
∴∠AOC=180°-30°=150°，
∴∠ADC=∠AOC=×150°=75°.
故答案为：75.
【分析】由平角的定义可求得∠AOC的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可求解.
14．（2024·南充）已知m是方程的一个根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m是方程x2+4x-1=0的一个根，
∴m2+4m-1=0，则m2+4m=1，
∴（m+5）（m-1）=m2+5m-m-5
=m2+4m-5=1-5=-4.
故答案为：-4.
【分析】根据一元二次方程的根的定义可把x=m代入原方程，整理可得m2+4m的值；再根据多项式乘以多项式法则和合并同类项法则将所求代数式化简，整体代换即可求解.
15．（2024·南充）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，，将沿BE折叠得，连接CF，DF，若CF平分，，则DF的长为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
16．（2024·南充）已知抛物线与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），抛物线与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），且．下列四个结论：①与交点为；②；③；④A，D两点关于对称．其中正确的结论是 （填写序号）
【答案】①②④
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图，
①令x2+mx+m=x2+nx+n，解得：x=-1，
把x=-1代入y=x2+mx+m得，y=1，
∴C1与C2交点为（-1，1），此结论正确；
②∵抛物线C1：y=x2+mx+m与抛物线C2：y=x2+nx+n的开口方向和大小相同，且AB=CD，
∴两抛物线关于x=-1对称，
∴，即：m+n=4，此结论正确；
③抛物线C1：y=x2+mx+m的对称轴为直线x=，抛物线C2：y=x2+nx+n的对称轴为直线x=，
由①知，C1与C2交于点（-1，1），
m＞2，n＜2或m＜2，n＞2，
∴mn＞0不一定成立，此结论错误；
④由②可得：A、D关于（-1，0）对称，此结论正确.
故答案为：①②④.
【分析】①将抛物线C1、C2的解析式联立解方程组可求解；
②由题意知：抛物线C1：y=x2+mx+m与抛物线C2：y=x2+nx+n的开口方向和大小相同，且AB=CD，于是可得两抛物线关于x=-1对称，则，整理可求解；
③根据抛物线的对称轴和C1与C2交于点（-1，1）可得：m＞2，n＜2或m＜2，n＞2，于是可得mn＞0不一定成立；
④由②可判断求解.
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2024·南充）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
．
当时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”和多项式除以单项式法则"多项式除以单项式就是把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加"和合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可将代数式化简；再将x的值代入化简后的代数式计算即可求解.
18．（2024·南充）如图，在中，点D为BC边的中点，过点B作交AD的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：，
【答案】（1）证明：为BC的中点，
．
．
在和中，
．
（2）证明：，
∴
垂直平分AE，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由题意，用角角边可证△BDE≌△CDA；
（2）由（1）中的全等三角形可得ED=AD，结合已知可得BD垂直平分AE，然后根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可求解.
19．（2024·南充）某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，（如图）．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数．
（2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）解：（人）．
．
答：喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为108°．
（2）解：喜爱D类研学项目的4名学生分别记为男1，男2，女1，女2，列表如下：
第2位 第1位 男1 男2 女1 女2
男1 男1男2 男1女1 男1女2
男2 男2男1 男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2 女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1
由表可知，抽选2名学生共有12种等可能结果，抽中一名男生和一名女生（记作事件M）共8种可能．
．
答：抽中一名男生和一名女生的概率为．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
20．（2024·南充）已知x1，x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．
【答案】（1）解：原方程有两个不相等的实数根，
．
．
解得．
（2）解：由（1）k>1，
∴1∴整数k的值为2，3，4．
当时，方程为，解得．
当或4时，此时方程解不为整数．
综上所述，k的值为2．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"和题意可的关于k的不等式，解之可求解；
（2）结合（1）的结论可得k的范围：1＜k＜5，根据k是整数可得k的值，然后把k的值分别代入一元二次方程计算即可求解.
21．（2024·南充）如图，直线经过两点，与双曲线交于点．
（1）求直线和双曲线的解析式．
（2）过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：点在直线上，
解得直线解析式为．
点在直线上，
，即点C为．
双曲线过点．
双曲线解析式为．
（2）解：点P坐标为或或或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解（2）∵CD⊥x轴，C（-2，2），
∴D（-2，0），CD=2，
∵B（-1，0），
∴BD=1，
∵A（0，-2），
∴OA=2，
若以O，A，P为顶点的三角形与相似，
当△CDB∽△AOP，
则，∴OP=1.
当△CDB∽△POA，
则，∴OP=4.
∴OP=1或4，
∵点P在x轴上，
∴点P的坐标为（-4，0）或（-1，0）或（1，0）或（4，0）.
【分析】（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）由题意根据点A、B、C的坐标可确定CD和BD的长，然后根据相似三角形的性质可得OP=1或4，再由x轴上的点的纵坐标为0可求解.
22．（2024·南充）如图，在中，AB是直径，AE是弦，点F是上一点，，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且．
（1）求证：AD是的切线．
（2）若，求的半径长．
【答案】（1）证明：．
，
．
即．
∵AB为直径，
是的切线．
（2）解：连接AF．
∵，
是直径，
．
在中，．
．
又AB是直径的半径长为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由圆周角定理及推论和角的构成可得∠BAD=90°，根据圆的切线的判定可求解；
（2）连接AF，由圆周角定理可得∠AFB=90°，在Rt△ADF中，用勾股定理可求得DF的值，于是根据锐角三角函数tanD=可得关于AB的方程，解之可求解.
23．（2024·南充）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润=售价-进价）
【答案】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元．
根据题意得．
解得．
每件B类特产的售价（元）．
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
（2）解：由题意得（）．
（3）解：
．
当时，w有最大值1840．
即A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为（132-x）元；根据题中的相等关系“3件A类特产的费用+5件B类特产的费用=540”可列方程求解；
（2）根据销售量=原价销售的量+降价多销售的量可求解；
（3）根据利润W=A类特产的利润+B类特产的利润可得w与x之间的函数关系式，化为顶点式并结合二次函数的性质即可求解.
24．（2024·南充）如图，正方形ABCD边长为，点E为对角线AC上一点，，点P在AB边上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）．
（1）求证：．
（2）当是直角三角形时，求t的值．
（3）连接AQ，当时，求的面积．
【答案】（1）证明：四边形ABCD是正方形，
．
，
．
（2）解：过点E作于点M，过点E作于点N．
∵正方形ABCD，
∴AB=BC=6，
∴AC=.
∵CE=2AE，
∴．
∴
∵AP=t.
∴．
，即，
，即，
，即．
①当时，有．
即，整理得．
解得（不合题意，舍去）．
②当时，有．
即，整理得，解得．
③当时，有．
即，整理得，该方程无实数解．
综上所述，当是直角三角形时，t的值为秒或2秒．
（3）解：过点A作，交CB的延长线于点F，连接FE交AQ于点G．
，
．
又．
．
．
．
．
，即，
是等腰直角三角形．
．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形；一元二次方程的应用-几何问题；相似三角形的判定-SAS
25．（2024·南充）已知抛物线与x轴交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段OC上一点（不与端点重合），直线PA，PB分别交抛物线于点E，D，设面积为，面积为，求的值．
（3）如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线轴，点Q是直线l上一动点．求的最小值．
【答案】（1）解：由题意得
解得抛物线的解析式为．
（2）解：设，直线AP为，据题意得
解得
，联立得
解得或
同理可得.
.
.
.
（3）解：如图， 作点N关于直线l的对称点，连接． 过M点作于F，
设直线MN为．由得
．
设．
联立直线MN与抛物线
得．
根据根与系数的关系可得：．
作点N关于直线l的对称点，连接．
由题意得直线，则．
．
过M点作于F，则．
则．
在中，
．
即当时，，此时．
故的最小值为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）设点P（0，p），直线AP的解析式为：y=k1x+b1，用待定系数法可将直线AP的解析式用含p的代数式表示出来；与（1）中的抛物线的解析式联立解方程组，可将点E的坐标用含p的代数式表示出来，同理可将点D的坐标用含p的代数式表示出来，根据S1=S△ABD-S△ABP，S2=S△ABE-S△ABP可将S1、S2用含p的代数式表示出来，然后求即可；
（3）设直线MN为y=kx+d，根据点K的坐标可将直线MN的解析式用含k的代数式表示出来；设M（m，-m2+2m+3），N（n，-n2+2n+3），将直线MN和抛物线的解析式联立解方程组，根据一元二次方程的根的判别式可知方程有两个不相等的实数根，由一元二次方程的根与系数的关系可将m+n和mn的值用含k的代数式表示出来，根据三角形三边关系定理和两点之间线段最短可得QM+QN=QM+QN ≥MN ；过M点作MF⊥NN 于F，于是可得F（n，-m2+2m+3），则N F、FM可用含m、n的代数式表示出来，在Rt△MFN 中，用勾股定理可将MN 2=MF2+N F2用含k的代数式表示出来，整理可求解.
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