【提升版】北师大版数学八上1.2 一定是直角三角形吗 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·东胜期中）在中，的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
2．（2023八上·鹿城开学考）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AB，AD，AC，BC，BD，CD，
根据题意可知
∵，∴△ABC是直角三角形，
∵，∴△ACD是直角三角形。
∵，∴△ABD是直角三角形；
即可构成的直角三角形有3个，即：△ABC，△ADC，△ABD.
故答案为：A.
【分析】考查各三角形三边长，根据勾股定理逆定理进行判断即可。
3．（2021八上·拱墅期末）在 中，已知 ，AD是 的角平分线， 于点E.若 的面积为S，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
∵ ，
设AC=5k，BC=12k，AB=13k，
∴AC2+BC2=AB2
∴ 为直角三角形，∠C=90°，
∵AD是 的角平分线， ，
∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED =90°，
∵AD=AD，
∴ ，
∴ ，AE=AC=5k，
∴BE=13k-5k=8k，
∵ 和 同高，
∴ ，
∵ 的面积为S，
∴ .
故答案为：B.
【分析】设AC=5k，BC=12k，AB=13k，由勾股定理的逆定理可得 为直角三角形，∠C=90°，由角平分线的性质可得DE=CD，可得Rt△ACD≌Rt△ADE，故AE=AC=5k，可得BE=13k-5k=8k，根据 和 同高，根据同高三角形的面积之比等于相似比的平方可得 ，可得结果.
4．（2023八上·织金期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四条线段，其中能组成直角三角形三边的一组线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由图可得：A：即故A能组成直角三角形，符合题意；
B：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
C：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
D：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据图形利用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理逆定理直接求证即可.
5．（2023八上·渠县月考）如图有一块菜地，经人工测得菜地的四周分别为AB=13，BC=3，CD=4，AD=12，∠C=90°，则这块菜地的面积为 （ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接BD，
∵ BC=3，CD=4， ∠C=90°，
∴BD==5，
∵ AB=13， AD=12，
∴BD2+AD2=52+122=132=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴ 这块菜地的面积=△BCD的面积+△ABD的面积=×3×4+ ×5×12=36.
故答案为：D.
【分析】连接BD，由勾股定理求出BD=5，根据勾股定理的逆定理可得△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，利用这块菜地的面积=△BCD的面积+△ABD的面积进行计算即可.
6．（2021八上·龙岗月考）在△ABC中，AB=12，BC=16，AC=20，则△ABC的面积为（ ）
A．96 B．120 C．160 D．200
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵122+162=202，即AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，且AC是直角边，
∴△ABC的面积是 ×12×16=96．
故答案为：A．
【分析】由已知得出△ABC是直角三角形，且AC是直角边，从而两直角边的乘积的一半即为其面积。
7．（2021八上·六盘水月考）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为（ ）
A．3 B．4 C． D．4.8
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，
，
是直角三角形，
，
，
．
故答案为：C.
【分析】根据已知条件可得AC2+AB2=BC2，利用勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，然后根据等面积法就可求出AD.
8．（2016八上·通许期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
根据勾股定理可以得到：AC=BC= ，AB= ．
∵（ ）2+（ ）2=（ ）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出AC=BC的值，再根据勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，求出∠ABC的度数.
二、填空题
9．（2023八上·济阳期中）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，则BD的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形且∠C=90°，
设BD=x，则CD=BC-BD=12-x，
∵将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，
∴AC=AE=5，CD=DE，∠AED=∠C=90°，
∵AC=5，AB=13，
∴BE=AB-AE=13-5=8，
在Rt△BDE中，BD2=BE2+DE2，
∴x2=82+（12-x）2，
解得：x=，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形且∠C=90°，设BD=x，则CD=BC-BD=12-x，再利用勾股定理可得x2=82+（12-x）2，再求出x的值即可.
10．（2016八上·湖州期中）有一块田地的形状和尺寸如图，则它的面积为 ．
【答案】96
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵△ACD是直角三角形，
∴AB= = =10，
因为102+122=132，所以△ABC是直角三角形，
则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，
即 ×24×10﹣ ×6×8
=120﹣24
=96．
故答案为：96．
【分析】先连接AC，求出AC的长，再判断出△ABC的形状即可解答．
11．（2021八上·丹东期末）如图，是的角平分线，，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴
是直角三角形
是的角平分线，
在与中
设，则
在中，
即
解得
在中
故答案为：
【分析】过点作于点，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明，可得BE=BC=9，进而求出AE的长，再利用勾股定理列出方程求解即可。
12．（2021八上·金华期中）如图， 是 的中线，把 沿着直线 对折，点 落在点 处.如果 ，则 .
【答案】45°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理的逆定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 是 的中线，把 沿着直线 对折，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴△BDE为直角三角形，∠BDE=90°，
∴∠EDC=90°， .
故答案为：45°.
【分析】根据中线以及折叠的性质可得BD=CD=DE，∠ADC=∠ADE，则BD2+DE2=2BD2，结合BC=BE可得BE2=2BD2，则可推出△BDE为直角三角形，且∠BDE=90°，据此解答.
13．（2019八上·扬州月考）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC =3，BC =4，AB=5，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是 .
【答案】2.4
【知识点】勾股定理的逆定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN＝ME，
∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN的最小值.
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴ AB CE＝ BC AC，
即5CE＝3×4
∴CE＝2.4.
即CM＋MN的最小值为2.4.
故答案为：2.4
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，由轴对称的性质可知CE＝CM＋ME＝CM＋MN是最小值.由勾股定理的逆定理可证得∠ACB＝90°，用面积法可求得CE的长，代入CE＝CM＋ME＝CM＋MN可求解.
三、解答题
14．（2023八上·绍兴期中）如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量．小明找了一卷米尺，测得AB＝3米，AD＝4米，CD＝13米，BC＝12米，又已知∠A＝90°，求这块四边形ABCD土地的面积．
【答案】解：如图，连接BD
∵∠A＝90°，AB＝3米，AD＝4米
∴BD=米
在△DBC中，BD2+BC2=52+122=169米2
DC2=132=169米2
∴BD2+BC2=DC2
∴△DBC是直角三角形
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=36米2
答：四边形ABCD面积为36平方米
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，先求出BD的长，再证得△DBC是直角三角形，利用两个直角三角形的面积之和求出四边形的面积.
15．（2023八上·西安期末）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13，
求证：△ACD是直角三角形.
【答案】证明：
∴△ACD是直角三角形.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】利用勾股定理可求出AC的值，然后结合勾股定理逆定理进行证明.
16．（2022八上·太原期中）为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现，，，．根据设计要求，还需保证．由于手头工具有限，小彬只能测得．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．
【答案】解：该材料符合设计要求，理由如下：
在中，，，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该材料符合设计要求．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证明，，可得，即可得到，从而得解。
17．（2022八上·青岛期中）如图，在中，D为边上一点，已知，，，．请判断的形状，并求出的长．
【答案】解：在中，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且；
在中，，，即，
，即，
解得：．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先利用勾股定理逆定理证明，再利用勾股定理可得，最后求出即可。
18．（2022八上·渭滨月考）已知，在长方形ABCD中，，，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF．当时，试说明是直角三角形．
【答案】证明；∵CF=2BE=2，
∴BE=1，
∴AE=AB-BE=7．
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=8，AD=BC=6，
在Rt△ADE中，
在Rt△DCF中，
在Rt△BEF中，
∴
∴△DEF是直角三角形，且∠DFE=90°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质
【解析】【分析】易得BE=1，BF=4，∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=8，AD=BC=6， 则AE=AB-BE=7，然后在Rt△ADE、Rt△DCF、Rt△BEF中，利用勾股定理可得DE2、DF2、EF2，再根据勾股定理逆定理进行解答.
19．（2021八上·卫辉期末）如图，在 中， ，且周长为 ，点 从点 开始沿 边向 点以每秒 的速度移动；点 从点 开始沿 边向点 以每秒 的速度移动，如果 ， 同时出发，问过 时， 的面积为多少
【答案】设AB为3x（cm），BC为4x（cm），AC为5x（cm），
∵周长为36cm，
∴AB＋BC＋AC＝36cm，
∴3x＋4x＋5x＝36，解得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9 3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ＝ BP BQ＝ ×6×6＝18（cm2）.
故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 设AB为3x，BC为4x，AC为5x，根据周长为36cm可得各边长，由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形， 故 S△PBQ 转化为求两直角边BP、BQ的长度，可得结果.
20．（2022八上·莲湖月考）已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF．
（1）如图①，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；
（2）如图②，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．
【答案】（1）证明： ，
，
．
四边形 是矩形，
， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
，
是直角三角形，且 ；
（2）解：作 于 ，
则 ．
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
．
设 ，则 ， ，
，
在 中， ，
，
，
即 ．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）在Rt△ADE中，由勾股定理求出DE2=85，在Rt△DCF中，由勾股定理求出DF2=68，在Rt△BEF中，由勾股定理求出EF2=17，从而得出 ，利用勾股定理的逆定理即得结论；
（2） 作于 ，先证明 ，可得 ， ，从而得出 ，再证 ，可得，设 ，则 ， ， DF=6+x， 在 中 ，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
1 / 1【提升版】北师大版数学八上1.2 一定是直角三角形吗 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·东胜期中）在中，的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八上·鹿城开学考）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2021八上·拱墅期末）在 中，已知 ，AD是 的角平分线， 于点E.若 的面积为S，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·织金期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四条线段，其中能组成直角三角形三边的一组线段是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八上·渠县月考）如图有一块菜地，经人工测得菜地的四周分别为AB=13，BC=3，CD=4，AD=12，∠C=90°，则这块菜地的面积为 （ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
6．（2021八上·龙岗月考）在△ABC中，AB=12，BC=16，AC=20，则△ABC的面积为（ ）
A．96 B．120 C．160 D．200
7．（2021八上·六盘水月考）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为（ ）
A．3 B．4 C． D．4.8
8．（2016八上·通许期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
二、填空题
9．（2023八上·济阳期中）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，则BD的长为 ．
10．（2016八上·湖州期中）有一块田地的形状和尺寸如图，则它的面积为 ．
11．（2021八上·丹东期末）如图，是的角平分线，，，，则的长为 ．
12．（2021八上·金华期中）如图， 是 的中线，把 沿着直线 对折，点 落在点 处.如果 ，则 .
13．（2019八上·扬州月考）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC =3，BC =4，AB=5，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是 .
三、解答题
14．（2023八上·绍兴期中）如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量．小明找了一卷米尺，测得AB＝3米，AD＝4米，CD＝13米，BC＝12米，又已知∠A＝90°，求这块四边形ABCD土地的面积．
15．（2023八上·西安期末）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13，
求证：△ACD是直角三角形.
16．（2022八上·太原期中）为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现，，，．根据设计要求，还需保证．由于手头工具有限，小彬只能测得．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．
17．（2022八上·青岛期中）如图，在中，D为边上一点，已知，，，．请判断的形状，并求出的长．
18．（2022八上·渭滨月考）已知，在长方形ABCD中，，，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF．当时，试说明是直角三角形．
19．（2021八上·卫辉期末）如图，在 中， ，且周长为 ，点 从点 开始沿 边向 点以每秒 的速度移动；点 从点 开始沿 边向点 以每秒 的速度移动，如果 ， 同时出发，问过 时， 的面积为多少
20．（2022八上·莲湖月考）已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF．
（1）如图①，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；
（2）如图②，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AB，AD，AC，BC，BD，CD，
根据题意可知
∵，∴△ABC是直角三角形，
∵，∴△ACD是直角三角形。
∵，∴△ABD是直角三角形；
即可构成的直角三角形有3个，即：△ABC，△ADC，△ABD.
故答案为：A.
【分析】考查各三角形三边长，根据勾股定理逆定理进行判断即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
∵ ，
设AC=5k，BC=12k，AB=13k，
∴AC2+BC2=AB2
∴ 为直角三角形，∠C=90°，
∵AD是 的角平分线， ，
∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED =90°，
∵AD=AD，
∴ ，
∴ ，AE=AC=5k，
∴BE=13k-5k=8k，
∵ 和 同高，
∴ ，
∵ 的面积为S，
∴ .
故答案为：B.
【分析】设AC=5k，BC=12k，AB=13k，由勾股定理的逆定理可得 为直角三角形，∠C=90°，由角平分线的性质可得DE=CD，可得Rt△ACD≌Rt△ADE，故AE=AC=5k，可得BE=13k-5k=8k，根据 和 同高，根据同高三角形的面积之比等于相似比的平方可得 ，可得结果.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由图可得：A：即故A能组成直角三角形，符合题意；
B：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
C：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
D：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据图形利用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理逆定理直接求证即可.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接BD，
∵ BC=3，CD=4， ∠C=90°，
∴BD==5，
∵ AB=13， AD=12，
∴BD2+AD2=52+122=132=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴ 这块菜地的面积=△BCD的面积+△ABD的面积=×3×4+ ×5×12=36.
故答案为：D.
【分析】连接BD，由勾股定理求出BD=5，根据勾股定理的逆定理可得△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，利用这块菜地的面积=△BCD的面积+△ABD的面积进行计算即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵122+162=202，即AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，且AC是直角边，
∴△ABC的面积是 ×12×16=96．
故答案为：A．
【分析】由已知得出△ABC是直角三角形，且AC是直角边，从而两直角边的乘积的一半即为其面积。
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，
，
是直角三角形，
，
，
．
故答案为：C.
【分析】根据已知条件可得AC2+AB2=BC2，利用勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，然后根据等面积法就可求出AD.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
根据勾股定理可以得到：AC=BC= ，AB= ．
∵（ ）2+（ ）2=（ ）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出AC=BC的值，再根据勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，求出∠ABC的度数.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形且∠C=90°，
设BD=x，则CD=BC-BD=12-x，
∵将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，
∴AC=AE=5，CD=DE，∠AED=∠C=90°，
∵AC=5，AB=13，
∴BE=AB-AE=13-5=8，
在Rt△BDE中，BD2=BE2+DE2，
∴x2=82+（12-x）2，
解得：x=，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形且∠C=90°，设BD=x，则CD=BC-BD=12-x，再利用勾股定理可得x2=82+（12-x）2，再求出x的值即可.
10．【答案】96
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵△ACD是直角三角形，
∴AB= = =10，
因为102+122=132，所以△ABC是直角三角形，
则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，
即 ×24×10﹣ ×6×8
=120﹣24
=96．
故答案为：96．
【分析】先连接AC，求出AC的长，再判断出△ABC的形状即可解答．
11．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴
是直角三角形
是的角平分线，
在与中
设，则
在中，
即
解得
在中
故答案为：
【分析】过点作于点，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明，可得BE=BC=9，进而求出AE的长，再利用勾股定理列出方程求解即可。
12．【答案】45°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理的逆定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 是 的中线，把 沿着直线 对折，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴△BDE为直角三角形，∠BDE=90°，
∴∠EDC=90°， .
故答案为：45°.
【分析】根据中线以及折叠的性质可得BD=CD=DE，∠ADC=∠ADE，则BD2+DE2=2BD2，结合BC=BE可得BE2=2BD2，则可推出△BDE为直角三角形，且∠BDE=90°，据此解答.
13．【答案】2.4
【知识点】勾股定理的逆定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN＝ME，
∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN的最小值.
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴ AB CE＝ BC AC，
即5CE＝3×4
∴CE＝2.4.
即CM＋MN的最小值为2.4.
故答案为：2.4
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，由轴对称的性质可知CE＝CM＋ME＝CM＋MN是最小值.由勾股定理的逆定理可证得∠ACB＝90°，用面积法可求得CE的长，代入CE＝CM＋ME＝CM＋MN可求解.
14．【答案】解：如图，连接BD
∵∠A＝90°，AB＝3米，AD＝4米
∴BD=米
在△DBC中，BD2+BC2=52+122=169米2
DC2=132=169米2
∴BD2+BC2=DC2
∴△DBC是直角三角形
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=36米2
答：四边形ABCD面积为36平方米
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，先求出BD的长，再证得△DBC是直角三角形，利用两个直角三角形的面积之和求出四边形的面积.
15．【答案】证明：
∴△ACD是直角三角形.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】利用勾股定理可求出AC的值，然后结合勾股定理逆定理进行证明.
16．【答案】解：该材料符合设计要求，理由如下：
在中，，，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该材料符合设计要求．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证明，，可得，即可得到，从而得解。
17．【答案】解：在中，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且；
在中，，，即，
，即，
解得：．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先利用勾股定理逆定理证明，再利用勾股定理可得，最后求出即可。
18．【答案】证明；∵CF=2BE=2，
∴BE=1，
∴AE=AB-BE=7．
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=8，AD=BC=6，
在Rt△ADE中，
在Rt△DCF中，
在Rt△BEF中，
∴
∴△DEF是直角三角形，且∠DFE=90°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质
【解析】【分析】易得BE=1，BF=4，∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=8，AD=BC=6， 则AE=AB-BE=7，然后在Rt△ADE、Rt△DCF、Rt△BEF中，利用勾股定理可得DE2、DF2、EF2，再根据勾股定理逆定理进行解答.
19．【答案】设AB为3x（cm），BC为4x（cm），AC为5x（cm），
∵周长为36cm，
∴AB＋BC＋AC＝36cm，
∴3x＋4x＋5x＝36，解得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9 3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ＝ BP BQ＝ ×6×6＝18（cm2）.
故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 设AB为3x，BC为4x，AC为5x，根据周长为36cm可得各边长，由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形， 故 S△PBQ 转化为求两直角边BP、BQ的长度，可得结果.
20．【答案】（1）证明： ，
，
．
四边形 是矩形，
， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
，
是直角三角形，且 ；
（2）解：作 于 ，
则 ．
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
．
设 ，则 ， ，
，
在 中， ，
，
，
即 ．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）在Rt△ADE中，由勾股定理求出DE2=85，在Rt△DCF中，由勾股定理求出DF2=68，在Rt△BEF中，由勾股定理求出EF2=17，从而得出 ，利用勾股定理的逆定理即得结论；
（2） 作于 ，先证明 ，可得 ， ，从而得出 ，再证 ，可得，设 ，则 ， ， DF=6+x， 在 中 ，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
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