【培优版】北师大版数学八上1.2 一定是直角三角形吗 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·德阳月考） 能判断是直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C． D．，
2．（2024八下·揭阳月考）如果三角形三边长为5，m，n，且，那么此三角形形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
3．（2021八下·包河期中）如图，ABCD是一张长方形纸片，将AD，BC折起，使A、B两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH．若PE＝8cm，PG＝6cm，EG＝10cm，则长方形纸片ABCD的面积为（ ）
A．105.6cm2 B．110.4cm2 C．115.2cm2 D．124.8cm2
4．（2023八下·庐阳期末）的三边长分别为，，．下列条件：；；∶∶∶∶；∶∶∶∶．其中能判断是直角三角形的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2023八下·西安月考）如图，在中，，，，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2019八上·李沧期中）下列三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2017八下·承德期末）如图，四边形ABCD中，AB=15，BC=12，CD=16，AD=25，且∠C=90°，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．246 B．296 C．592 D．以上都不对
8．（2020八下·邯郸月考）如图， ，且 ， ， ，则线段 的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
二、填空题
9．（2021八下·北海期末）如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入 元.
10．（2018九上·深圳期末）如图，已知点 A（-1，0）和点B（1，2） ，在 y 轴正半轴上确定点 P ，使得△ABP 为直角三角形，则满足条件的点 P 的坐标为 ．
11．（2024八上·杭州月考）如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则 ．
12．（2023八下·永定期中）已知等腰的底边，D是腰上一点，且，，则的长为 .
13．（勾股定理的逆定理+++++++++++2 ）如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，点P的速度都是1cm/s，点Q的速度都是2cm/s当点P到达点B时，P、Q两点停止．当t= 时，△PBQ是直角三角形．
三、作图题
14．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形(涂上阴影)．
（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数．
（2）在图2、图3中分别画两个不全等的直角三角形，使它的三边长都是无理数．
四、解答题
15．（2017八下·凉山期末）如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2，试判断△ABC的形状，并说明理由．
16．（2024八下·谷城月考） 如图，在等边中，P是等边内一点，且，，，，求的度数．
17．（2023八下·交城期中）如图，在四边形中，平分，，点E是上一点，，若，，求的长．
18．（2023八下·安乡县期中）【阅读】
定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
（1）【理解】
①若，，则 “准直角三角形”；（填“是”或“不是”）
②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为 ．
（2）【应用】
如图，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”．
19．（2022八下·康巴什期末）课本矩形一节，根据矩形的的性质得到了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中为直角，AD为斜边BC上的中线，．它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使，连结BE，再证，从而就可以证明得到；
（1）小聪同学还想借助图②，在任意的中，为直角，AD为斜边BC上的中线，证明结论，请你帮助小聪同学完成；
（2）如图③，在中，垂足为D，如果，，，求的中线AE的长度．
20．（2023八下·息县期末）在中，，，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状按角分类．
（1）当三边分别为6、8、9时，为 三角形；当三边分别为6、8、11时，为 三角形．
（2）猜想，当 时，为锐角三角形；当 时，为钝角三角形．
（3）判断当，时，的形状，并求出对应的的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A. ∵，∴不是直角三角形，故原选项不合题意；
B. ∵，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意；
C. 设，则，∵，∴是直角三角形，故原选项符合题意；
D. ∵，，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意．
故答案为 ：C
【分析】分别根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理等逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，则，即：，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：D．
【分析】由，可得，根据勾股定理逆定理，可判断三角形为直角三角形．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：依题意，得AE＝PE＝8cm，BG＝PG＝6cm，
∴AB＝AE+EG+GB＝24cm，
∵
∴是直角三角形
∴∠EPG＝90°，
设EG边上的高为h
∴长方形的宽为h=6×8÷10＝4.8（cm），
故面积为24×4.8＝115.2（cm2）．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理可得 是直角三角形且∠EPG＝90°，设EG边上的高为h，根据Rt△PEG的面积求出EG边上的高即得长方形的宽，继而求出长方形的面积即可.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： ∵∠A=∠B一∠C，所以∠B=∠A+∠C
又∵三角形内角和为180°
∴∠B=90°， 可得ABC是直角三角形.
故项符合题意.
②∵a2=(b+c)(b-c)
∴a2=b2-c2
∴b2=a2+c2
∴满足勾股定理，可得∠B=90°
∴ 可得△ABC是直角三角形.
故②项符合题意.
∵∠A：∠B：∠C=3：4：5
∴设∠A=3x.∠B=4x.∠C=5x
则有3x+4x+5x=180°.解得x=15°
∴∠A=45°.∠B=60°，∠C=75°
∴△ABC不是直角三角形. 故项不符合题意.
∵：b：c=5：12：13
∴设a=5x.b=12x. C=13x
此时有a2+b2=c2
∴满足勾股定理，可得C=90°
∴△ABC是直角三角形.
故项符合题意.
∴能判断△ABC是直角三角形的个数有3 个..
故答案为：C.
【分析】由勾股定理逆定理和角的运算解题即可。
5．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：过点D作，如图所示：
根据题意可得：，
∴平分，
∵，，，
又∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长度为，故C正确.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AC，由题意可得∠BAD=∠CAD，由勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，由角平分线的性质可得DE=BD，利用HL证明△ADB≌△ADE，得到AE=AB=4，则CE=AC-AE=1，设DB=DE=x，则CD=3-x，然后在Rt△CDE中，由勾股定理进行计算.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A选项中三角形三边按从小到大为： ， ，3， ，不是直角三角形；
B选项中三角形三边按从小到大为： ， ， ， ，故不是直角三角形；
C选项中三角形三边按从小到大为： ， ， ， ，故不是直角三角形；
D选项中三角形三边按从小到大为： ， ， ， ，故该三角形是直角三角形；
故答案为：D.
【分析】每个选项中，利用勾股定理计算出三边，看是否满足勾股定理关系式，即可判定.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BD．
∵∠C=90°，BC=12，CD=16，
∴BD= =20，
在△ABD中，∵BD=20，AB=15，DA=25，
152+202=252，
即AB2+BD2=AD2，
∴△ABD是直角三角形．
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
= AB BD+ BC CD
= ×15×20+ ×12×16
=150+96
=246．
故选：A．
【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角△BCD的面积+直角△ABD的面积．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵BC⊥AB，CD⊥AC，AC⊥DE，
∴∠B=∠ACD=∠ADE=90°，
∵AB=BC=CD=DE=1，
∴由勾股定理得：AC= ；
AD= ；
AE= =2．
故答案为：B．
【分析】由AB⊥BC，得到△ABC为直角三角形，进而由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，由AC⊥CD，得到△ACD为直角三角形，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，由DE⊥AD，得到△ADE为直角三角形，由AD及DE的长，利用勾股定理即可求出AE的长．
9．【答案】7200
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝ ，
＝ ＝36.
所以需费用36×200＝7200（元）.
故答案为7200.
【分析】连接BD，在Rt△ABD中，先根据勾股定理求出BD2的值，再运用勾股定理逆定理证明∠DBC＝90°，最后运用S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC即可求出面积，进而即可求解.
10．【答案】（0，3）或（0，1+）.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①如下图，
过点B作BP⊥AB，交y轴于点P，过点B作BD⊥OP，交OP于点D，
∴∠ABP=90°，BD=1，
∵点 A（-1，0），点B（1，2） 在直线AB上，
∴直线AB的函数解析式为：y=x+1，
∴点C（0，1），
即OC=1=OA，
∴AOC是等腰三角形，
∴∠ACO=∠BCP=45°，
∴BCP是等腰直角三角形，
∴CP=2BD=2，
∴OP=3，
即点P的坐标为（0，3）.
②如下图：
当∠APB=90°时，
∵点 A（-1，0），点B（1，2），点C（0，1），
∴点C为AB的中点，AB=，
∴CP=AB=，
∴OP=1+，
∴点P（0，1+），
综上，点P的坐标为（0，3）或（0，1+）.
故答案为：（0，3）或（0，1+）.
【分析】本题分两种情况讨论：①∠PBA是直角时，②∠APB是直角时，进而根据等腰直角三角形及直角三角形斜边中线的性质，求出点P的坐标即可.
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接BG，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC，CD=BD=BC=6，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDG=∠EDC，
∵EF⊥AB，
∴∠AFG=90°，
∴∠FAG+∠AGF=90°即∠FAG+∠DGE=90°，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠DGE=∠C，
在△DGE和△DCE中
∴△DGE≌△DCE（AAS）
∴DG=CD=6；
∴AD=AG+DG=2+6=8，
在Rt△ABC中
，
，
∴，
解之：，
在Rt△AFG中
故答案为：.
【分析】连接BG，利用等腰三角形的性质可证得∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC，同时求出BD，CD的长，利用角平分线的定义可证得∠EDG=∠EDC，利用垂直的定义和余角的性质可推出∠DGE=∠C，利用AAS证明△DGE≌△DCE，可求出DG的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出FG的长；然后在Rt△AFG中，利用勾股定理求出AF的长.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，，
，
为直角三角形，，
设，
是等腰三角形，
，
，
解得，，
故答案为：.
【分析】由勾股定理逆定理知△BDC为直角三角形，且∠BDC=90°，设AD=x，由等腰三角形的性质可得AC=AB=3+x，然后在Rt△ACD中，根据勾股定理进行计算.
13．【答案】 或
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=3cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=3﹣t，BQ=2t，
∴3﹣t=2×2t，
解得t= ；
当∠QPB=90°时，∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴2t=2（3﹣t），
解得t= ．
答：当t= 或 时，△PBQ是直角三角形．
故答案为： 或 ．
【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．
14．【答案】（1）解：答案不唯一，如图所示.
（2）
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）3、4、5都是正数，且，所以在直角坐标系中直接画图即可；
（2）都是无理数，且，，在直角坐标系中直接画图即可.
【分析】（1）有理数包括正数和分数，所以直角三角形的三边分别是正数，且满足两个直角边的平方和等于斜边的平方即可；
（2）无理数是指无限不循环的小数，所以直角三角形的三边分别是最简根式根式，且满足两个直角边的平方和等于斜边的平方即可.
15．【答案】解：△ABC是等腰直角三角形，
理由是：∵△ACE≌△BCD，
∴AC=BC，∠EAC=∠B，AE=BD，
∵AD2+DB2=DE2，
∴AD2+AE2=DE2，
∴∠EAD=90°，
∴∠EAC+∠DAC=90°，
∴∠DAC+∠B=90°，
∴∠ACB=180°﹣90°=90°，
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据全等三角形的性质得出AC=BC，∠EAC=∠B，AE=BD，根据勾股定理的逆定理得出∠EAD=90°，求出∠ACB=90°，即可求出答案．
16．【答案】解：连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；全等三角形的应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据手拉手模型得出三角形全等，进而将边长进行转移，再利用勾股定理的逆定理的出直角三角形，再加上等边三角形的内角即可求出答案.
17．【答案】解：∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴
∴，
∵
∴，
∵平分，
∴．
【知识点】勾股定理的逆定理；角平分线的概念
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再求出 是直角三角形， 最后根据角平分线计算求解即可。
18．【答案】（1）是；10°或25°
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴是“准直角三角形”．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】（1）①∵在△ABC中，∠A=60°，∠B=15°，
∴∠C=105°，
∴∠C-∠B=90°，
∴△ABC是"准三角形"；
②∵△ABC是"准三角形"，∠C＞90°，
∴∠C-∠A=90°，或∠C-∠B=90°，
当∠C-∠A=90°时：∠C=90°+40°=130°，
∴∠B=180°-130°-40°=10°；
当∠C-∠B=90°时，∠C+∠B=180°-40°=140°，
∴∠B=25°。
故第1空答案为：是；第2空答案为：10°或25°；
【分析】（1）①根据"准三角形"的定义，通过计算即可得出结论；
②根据"准三角形"的定义，分成两种情况：∠C-∠A=90°，或∠C-∠B=90°，分别求得∠B的度数即可。
（2）首先求出AD，CD的长度，从而得出BD的长度，根据勾股定理的逆定理，可以判定△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，即∠ABC-∠ABD=90°，进而得出∠ABC-∠A=90°，根据"准三角形"的定义，可以判定△ABC是"准三角形"。
19．【答案】（1）证明：如图②所示：延长AD至点E使DE=AD，连接BE．
在△ACD和△EBD中，，
∴△ACD≌△EBD．∴∠C=∠EBD
∴∠C+∠ABC=∠ABC+∠EBD，即∠BAC=∠ABE．
在△ABC和△BAE中，，
∴△ABC≌△BAE．∴AE=BC．∴BC=AE=2AD∴AD＝BC．
（2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°．
∵CD=1，AD=2，BD=4，
∴根据勾股定理得：
，，
∴△ABC是直角三角形．∴AE =
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）延长AD至点E使DE=AD，连接BE，在△ACD和△EBD中，证出△ACD≌△EBD，得出∠C=∠EBD，在△ABC和△BAE中，再证出△ABC≌△BAE，得出AE=BC，即可得出结论；
（2）根据AD⊥BC，得出∠ADC=∠ADB=90°，根据勾股定理得，证出△ABC是直角三角形，即可得出结论。
20．【答案】（1）锐角；钝角
（2）；
（3）解：为最长边，，
，
，
，即，，
当时，这个三角形是锐角三角形；
，即，，
当时，这个三角形是直角三角形；
，即，，
当时，这个三角形是钝角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）直角三角形的两直角边分别为6、8时，斜边长为=10，
∴ 当三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：锐角、钝角；
（2）猜想： 当＞时，为锐角三角形 ；
当＜时，为钝角三角形 ；
故答案为：＞，＜；
【分析】（1）由勾股定理求出两直角边长为6、8时的斜边的长，再和9比较，即可做出判断即可；
（2）根据（1）结论进行猜想即可；
（3）根据三角形三边关系，求出第三边c的范围，由勾股定理求出两直角边分别为a、b时， ，分三种情况：，，，据此分别求出c的范围即可.
1 / 1【培优版】北师大版数学八上1.2 一定是直角三角形吗 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·德阳月考） 能判断是直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C． D．，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A. ∵，∴不是直角三角形，故原选项不合题意；
B. ∵，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意；
C. 设，则，∵，∴是直角三角形，故原选项符合题意；
D. ∵，，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意．
故答案为 ：C
【分析】分别根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理等逐项判断即可。
2．（2024八下·揭阳月考）如果三角形三边长为5，m，n，且，那么此三角形形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，则，即：，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：D．
【分析】由，可得，根据勾股定理逆定理，可判断三角形为直角三角形．
3．（2021八下·包河期中）如图，ABCD是一张长方形纸片，将AD，BC折起，使A、B两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH．若PE＝8cm，PG＝6cm，EG＝10cm，则长方形纸片ABCD的面积为（ ）
A．105.6cm2 B．110.4cm2 C．115.2cm2 D．124.8cm2
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：依题意，得AE＝PE＝8cm，BG＝PG＝6cm，
∴AB＝AE+EG+GB＝24cm，
∵
∴是直角三角形
∴∠EPG＝90°，
设EG边上的高为h
∴长方形的宽为h=6×8÷10＝4.8（cm），
故面积为24×4.8＝115.2（cm2）．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理可得 是直角三角形且∠EPG＝90°，设EG边上的高为h，根据Rt△PEG的面积求出EG边上的高即得长方形的宽，继而求出长方形的面积即可.
4．（2023八下·庐阳期末）的三边长分别为，，．下列条件：；；∶∶∶∶；∶∶∶∶．其中能判断是直角三角形的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： ∵∠A=∠B一∠C，所以∠B=∠A+∠C
又∵三角形内角和为180°
∴∠B=90°， 可得ABC是直角三角形.
故项符合题意.
②∵a2=(b+c)(b-c)
∴a2=b2-c2
∴b2=a2+c2
∴满足勾股定理，可得∠B=90°
∴ 可得△ABC是直角三角形.
故②项符合题意.
∵∠A：∠B：∠C=3：4：5
∴设∠A=3x.∠B=4x.∠C=5x
则有3x+4x+5x=180°.解得x=15°
∴∠A=45°.∠B=60°，∠C=75°
∴△ABC不是直角三角形. 故项不符合题意.
∵：b：c=5：12：13
∴设a=5x.b=12x. C=13x
此时有a2+b2=c2
∴满足勾股定理，可得C=90°
∴△ABC是直角三角形.
故项符合题意.
∴能判断△ABC是直角三角形的个数有3 个..
故答案为：C.
【分析】由勾股定理逆定理和角的运算解题即可。
5．（2023八下·西安月考）如图，在中，，，，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：过点D作，如图所示：
根据题意可得：，
∴平分，
∵，，，
又∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长度为，故C正确.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AC，由题意可得∠BAD=∠CAD，由勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，由角平分线的性质可得DE=BD，利用HL证明△ADB≌△ADE，得到AE=AB=4，则CE=AC-AE=1，设DB=DE=x，则CD=3-x，然后在Rt△CDE中，由勾股定理进行计算.
6．（2019八上·李沧期中）下列三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A选项中三角形三边按从小到大为： ， ，3， ，不是直角三角形；
B选项中三角形三边按从小到大为： ， ， ， ，故不是直角三角形；
C选项中三角形三边按从小到大为： ， ， ， ，故不是直角三角形；
D选项中三角形三边按从小到大为： ， ， ， ，故该三角形是直角三角形；
故答案为：D.
【分析】每个选项中，利用勾股定理计算出三边，看是否满足勾股定理关系式，即可判定.
7．（2017八下·承德期末）如图，四边形ABCD中，AB=15，BC=12，CD=16，AD=25，且∠C=90°，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．246 B．296 C．592 D．以上都不对
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BD．
∵∠C=90°，BC=12，CD=16，
∴BD= =20，
在△ABD中，∵BD=20，AB=15，DA=25，
152+202=252，
即AB2+BD2=AD2，
∴△ABD是直角三角形．
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
= AB BD+ BC CD
= ×15×20+ ×12×16
=150+96
=246．
故选：A．
【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角△BCD的面积+直角△ABD的面积．
8．（2020八下·邯郸月考）如图， ，且 ， ， ，则线段 的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵BC⊥AB，CD⊥AC，AC⊥DE，
∴∠B=∠ACD=∠ADE=90°，
∵AB=BC=CD=DE=1，
∴由勾股定理得：AC= ；
AD= ；
AE= =2．
故答案为：B．
【分析】由AB⊥BC，得到△ABC为直角三角形，进而由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，由AC⊥CD，得到△ACD为直角三角形，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，由DE⊥AD，得到△ADE为直角三角形，由AD及DE的长，利用勾股定理即可求出AE的长．
二、填空题
9．（2021八下·北海期末）如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入 元.
【答案】7200
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝ ，
＝ ＝36.
所以需费用36×200＝7200（元）.
故答案为7200.
【分析】连接BD，在Rt△ABD中，先根据勾股定理求出BD2的值，再运用勾股定理逆定理证明∠DBC＝90°，最后运用S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC即可求出面积，进而即可求解.
10．（2018九上·深圳期末）如图，已知点 A（-1，0）和点B（1，2） ，在 y 轴正半轴上确定点 P ，使得△ABP 为直角三角形，则满足条件的点 P 的坐标为 ．
【答案】（0，3）或（0，1+）.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①如下图，
过点B作BP⊥AB，交y轴于点P，过点B作BD⊥OP，交OP于点D，
∴∠ABP=90°，BD=1，
∵点 A（-1，0），点B（1，2） 在直线AB上，
∴直线AB的函数解析式为：y=x+1，
∴点C（0，1），
即OC=1=OA，
∴AOC是等腰三角形，
∴∠ACO=∠BCP=45°，
∴BCP是等腰直角三角形，
∴CP=2BD=2，
∴OP=3，
即点P的坐标为（0，3）.
②如下图：
当∠APB=90°时，
∵点 A（-1，0），点B（1，2），点C（0，1），
∴点C为AB的中点，AB=，
∴CP=AB=，
∴OP=1+，
∴点P（0，1+），
综上，点P的坐标为（0，3）或（0，1+）.
故答案为：（0，3）或（0，1+）.
【分析】本题分两种情况讨论：①∠PBA是直角时，②∠APB是直角时，进而根据等腰直角三角形及直角三角形斜边中线的性质，求出点P的坐标即可.
11．（2024八上·杭州月考）如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接BG，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC，CD=BD=BC=6，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDG=∠EDC，
∵EF⊥AB，
∴∠AFG=90°，
∴∠FAG+∠AGF=90°即∠FAG+∠DGE=90°，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠DGE=∠C，
在△DGE和△DCE中
∴△DGE≌△DCE（AAS）
∴DG=CD=6；
∴AD=AG+DG=2+6=8，
在Rt△ABC中
，
，
∴，
解之：，
在Rt△AFG中
故答案为：.
【分析】连接BG，利用等腰三角形的性质可证得∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC，同时求出BD，CD的长，利用角平分线的定义可证得∠EDG=∠EDC，利用垂直的定义和余角的性质可推出∠DGE=∠C，利用AAS证明△DGE≌△DCE，可求出DG的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出FG的长；然后在Rt△AFG中，利用勾股定理求出AF的长.
12．（2023八下·永定期中）已知等腰的底边，D是腰上一点，且，，则的长为 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，，
，
为直角三角形，，
设，
是等腰三角形，
，
，
解得，，
故答案为：.
【分析】由勾股定理逆定理知△BDC为直角三角形，且∠BDC=90°，设AD=x，由等腰三角形的性质可得AC=AB=3+x，然后在Rt△ACD中，根据勾股定理进行计算.
13．（勾股定理的逆定理+++++++++++2 ）如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，点P的速度都是1cm/s，点Q的速度都是2cm/s当点P到达点B时，P、Q两点停止．当t= 时，△PBQ是直角三角形．
【答案】 或
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=3cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=3﹣t，BQ=2t，
∴3﹣t=2×2t，
解得t= ；
当∠QPB=90°时，∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴2t=2（3﹣t），
解得t= ．
答：当t= 或 时，△PBQ是直角三角形．
故答案为： 或 ．
【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．
三、作图题
14．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形(涂上阴影)．
（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数．
（2）在图2、图3中分别画两个不全等的直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【答案】（1）解：答案不唯一，如图所示.
（2）
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）3、4、5都是正数，且，所以在直角坐标系中直接画图即可；
（2）都是无理数，且，，在直角坐标系中直接画图即可.
【分析】（1）有理数包括正数和分数，所以直角三角形的三边分别是正数，且满足两个直角边的平方和等于斜边的平方即可；
（2）无理数是指无限不循环的小数，所以直角三角形的三边分别是最简根式根式，且满足两个直角边的平方和等于斜边的平方即可.
四、解答题
15．（2017八下·凉山期末）如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】解：△ABC是等腰直角三角形，
理由是：∵△ACE≌△BCD，
∴AC=BC，∠EAC=∠B，AE=BD，
∵AD2+DB2=DE2，
∴AD2+AE2=DE2，
∴∠EAD=90°，
∴∠EAC+∠DAC=90°，
∴∠DAC+∠B=90°，
∴∠ACB=180°﹣90°=90°，
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据全等三角形的性质得出AC=BC，∠EAC=∠B，AE=BD，根据勾股定理的逆定理得出∠EAD=90°，求出∠ACB=90°，即可求出答案．
16．（2024八下·谷城月考） 如图，在等边中，P是等边内一点，且，，，，求的度数．
【答案】解：连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；全等三角形的应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据手拉手模型得出三角形全等，进而将边长进行转移，再利用勾股定理的逆定理的出直角三角形，再加上等边三角形的内角即可求出答案.
17．（2023八下·交城期中）如图，在四边形中，平分，，点E是上一点，，若，，求的长．
【答案】解：∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴
∴，
∵
∴，
∵平分，
∴．
【知识点】勾股定理的逆定理；角平分线的概念
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再求出 是直角三角形， 最后根据角平分线计算求解即可。
18．（2023八下·安乡县期中）【阅读】
定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
（1）【理解】
①若，，则 “准直角三角形”；（填“是”或“不是”）
②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为 ．
（2）【应用】
如图，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”．
【答案】（1）是；10°或25°
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴是“准直角三角形”．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】（1）①∵在△ABC中，∠A=60°，∠B=15°，
∴∠C=105°，
∴∠C-∠B=90°，
∴△ABC是"准三角形"；
②∵△ABC是"准三角形"，∠C＞90°，
∴∠C-∠A=90°，或∠C-∠B=90°，
当∠C-∠A=90°时：∠C=90°+40°=130°，
∴∠B=180°-130°-40°=10°；
当∠C-∠B=90°时，∠C+∠B=180°-40°=140°，
∴∠B=25°。
故第1空答案为：是；第2空答案为：10°或25°；
【分析】（1）①根据"准三角形"的定义，通过计算即可得出结论；
②根据"准三角形"的定义，分成两种情况：∠C-∠A=90°，或∠C-∠B=90°，分别求得∠B的度数即可。
（2）首先求出AD，CD的长度，从而得出BD的长度，根据勾股定理的逆定理，可以判定△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，即∠ABC-∠ABD=90°，进而得出∠ABC-∠A=90°，根据"准三角形"的定义，可以判定△ABC是"准三角形"。
19．（2022八下·康巴什期末）课本矩形一节，根据矩形的的性质得到了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中为直角，AD为斜边BC上的中线，．它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使，连结BE，再证，从而就可以证明得到；
（1）小聪同学还想借助图②，在任意的中，为直角，AD为斜边BC上的中线，证明结论，请你帮助小聪同学完成；
（2）如图③，在中，垂足为D，如果，，，求的中线AE的长度．
【答案】（1）证明：如图②所示：延长AD至点E使DE=AD，连接BE．
在△ACD和△EBD中，，
∴△ACD≌△EBD．∴∠C=∠EBD
∴∠C+∠ABC=∠ABC+∠EBD，即∠BAC=∠ABE．
在△ABC和△BAE中，，
∴△ABC≌△BAE．∴AE=BC．∴BC=AE=2AD∴AD＝BC．
（2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°．
∵CD=1，AD=2，BD=4，
∴根据勾股定理得：
，，
∴△ABC是直角三角形．∴AE =
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）延长AD至点E使DE=AD，连接BE，在△ACD和△EBD中，证出△ACD≌△EBD，得出∠C=∠EBD，在△ABC和△BAE中，再证出△ABC≌△BAE，得出AE=BC，即可得出结论；
（2）根据AD⊥BC，得出∠ADC=∠ADB=90°，根据勾股定理得，证出△ABC是直角三角形，即可得出结论。
20．（2023八下·息县期末）在中，，，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状按角分类．
（1）当三边分别为6、8、9时，为 三角形；当三边分别为6、8、11时，为 三角形．
（2）猜想，当 时，为锐角三角形；当 时，为钝角三角形．
（3）判断当，时，的形状，并求出对应的的取值范围．
【答案】（1）锐角；钝角
（2）；
（3）解：为最长边，，
，
，
，即，，
当时，这个三角形是锐角三角形；
，即，，
当时，这个三角形是直角三角形；
，即，，
当时，这个三角形是钝角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）直角三角形的两直角边分别为6、8时，斜边长为=10，
∴ 当三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：锐角、钝角；
（2）猜想： 当＞时，为锐角三角形 ；
当＜时，为钝角三角形 ；
故答案为：＞，＜；
【分析】（1）由勾股定理求出两直角边长为6、8时的斜边的长，再和9比较，即可做出判断即可；
（2）根据（1）结论进行猜想即可；
（3）根据三角形三边关系，求出第三边c的范围，由勾股定理求出两直角边分别为a、b时， ，分三种情况：，，，据此分别求出c的范围即可.
1 / 1
