【提升版】北师大版数学九上 第一章 特殊的平行四边形 单元测试卷
一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2023九上·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形AB边上的高CE的长是（ ）
A．4.8cm B．9.6cm C．5cm D．10cm
2．（2021九上·新津月考）如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝，则点C的坐标为（ ）
A．（，1） B．（1，1） C．（1，） D．（+1，1）
3．（2024九上·江津期末）如图，正方形的边长为4，，将绕点按顺时针方向旋转得到．若，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．4
4．（2023九上·小店期中） 如图，四边形ABCD是正方形，在正方形内部作等边三角形EDC，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为（ ）
A． B．3 C． D．5
6．（2023九上·青白江期中）如图，已知线段AB，按下列步骤作图：分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交AB于点O，分别连接MA、MB、NA、NB，如果四边形MANB是正方形，需要添加的条件是（ ）
A．AO＝MO B．MA∥NB C．MA＝NB D．AB平分∠MAN
7．（2024九上·龙岗期末）如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·茂名期中）如图，在菱形中，是边上一动点，过点分别作于点于点，连接，则的最小值为（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
二、填空题
9．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是 ．
10．（2022九上·郓城期中）如图，在正方形中，点F为上一点，与交于点E．若，则等于 度．
11．（2023九上·章丘月考）正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是 ．
12．（2021九上·南岗开学考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F，若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 ．
13．（2023九上·达川月考）如图，点G是正方边AB上一点，以为边作正方形，延长交于点H，当矩形与正方形面积相等时，则 ．
三、解答题
14．（2023九上·都昌期中）如图，在正方形ABCD中，，请仅用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）.
图① 图②
（1）在图①中，画出AD的中点M；
（2）在图②中，画出CD的中点N.
15．（2024九上·巴彦期末）如图1，已知四边形是菱形，点E，F在对角线上，．
（1）求证：；
（2）如图2，若，点E为的中点，连接交于点O，连接并延长交于点G，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中等于线段的倍的四条线段．
16．（2024九上·哈尔滨期末）在菱形中，分别为上的点，且，连接并延长，与的延长线交于点，连接．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，连接，若，请直接写出长为线段长2倍的线段．
17．（2023九上·都昌期中）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点.
（1）求证：.
（2）连接MQ、PN，判断四边形MPNQ的形状，并说明理由.
（3）矩形ABCD的边AB与AD满足什么长度关系时，四边形MPNQ是正方形？请说明理由.
18．（2023九上·绥化期中）如图，矩形中，点是对角线的中点，过点的直线分别交、边于点.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长.
19．（2023九上·鄠邑期中）如图，在正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接。
（1）求证：；
（2）若正方形的边长是5，，求的长。
20．（2024九上·涪城开学考） 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，分别连接EF、BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N.
（1）求证：EF=BE+DF.为了证明“EF=BE+DF”，小明延长CB至点G，使BG=DF，连接AG，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程.
（2）若正方形ABCD的边长为6，BE=2，求DF的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AC、BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm
∴，，AC⊥BD，
，
由勾股定理得，
由可得，
CE=4.8cm；
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质及勾股定理可计算出AB的长度、菱形的面积，即可计算CE的长度.
2．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：作CD⊥x轴于点D，
则∠CDO=90°，
∵四边形OABC是菱形，OA=，
∴OC=OA=，
又∵∠AOC=45°，
∴∠OCD=90°-∠AOC=90°-45°=45°，
∴∠DOC=∠OCD，
∴CD=OD，
在Rt△OCD中，OC=，CD2+OD2=OC2，
∴2OD2=OC2=2，
∴OD2=1，
∴OD=CD=1（负值舍去），
则点C的坐标为（1，1）.
故答案为：B.
【分析】作CD⊥x轴于点D，根据菱形的性质可得OC=OA=，根据余角的性质可得∠OCD=45°，则CD=OD，在Rt△OCD中，根据勾股定理可得OD的值，进而可得点C的坐标.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可知，
，
，，，．
又四边形是正方形，
，，
∵
，
则．
在和中，
，
，
．
令，
则，，．
在中，
，
即，
解得，
即．
故答案为：C．
【分析】根据旋转性质可知，可得，，，再根据正方形的性质结合角与角之间的相等关系可得，然后根据全等三角形的判定定理可证，可得，再令，结合线段与线段之间的关系，运用勾股定理计算即可求解。
4．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，等边三角形EDC，
∴AD=CD=DE，∠CDE=∠CED=60°，∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-60°=30°，
∵AD=ED，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠DEA=，
∴∠AEC=∠DEA+∠CED=75°+60°=135°，
故答案为：D.
【分析】先利用正方形和等边三角形的性质求出∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-60°=30°，再求出∠DEA的度数，最后利用角的运算求出∠AEC的度数即可.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∵EF⊥AC于点F，AF=3，
∴EF=AF=3，
∵△EFC的周长为12，
∴CF+CE=9，
在Rt△CEF中，设CE=x，则CF=9-x，
∴，
解得x=5，
∴CE=5.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质得∠BAC=45°，从而得△AEF是等腰Rt△，由△EFC的周长为12，得CF+CE=9，在Rt△CEF中，设CE=x，则CF=9-x，根据勾股定理列方程，解方程即可求解.
6．【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图方法得AM=BM=AN=BN，
∴四边形AMBN为菱形，
∴OM=ON，OA=OB，
∴当OA=OM时，可得AB=MN，
∴四边形AMNB为正方形.
故答案为：A.
【分析】利用作图方法得到AM=BM=AN=BN，从而可判断四边形AMBN为菱形，得到OM=ON，OA=OB，然后当OA=OM时可得对角线相等，根据正方形的判定方法即可求解.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB=CD，AD=BC，
∵把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，
∴ AF=AD=4，EF=DE=，
在Rt△ABF中，BF==2，
∴ CF=BC-BF=2，
在Rt△CEF中，
即
解得，EC= .
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质得 AB=CD，AD=BC，根据翻折的性质得 AF=AD=4，EF=DE=，根据勾股定理得BF从而推出CF，再根据勾股定理得EC，即可求得.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接OE，如图：
∵四边形ABCD为菱形，
∴
在中，
∵
∴四边形OFEG为矩形，
∴则当时，OE有最小值，
∴
∴
∴FG的最小值为：2.4，
故答案为：B.
【分析】连接OE，根据菱形的性质得到：然后利用勾股定理计算出DC的长度，再证明四边形OFEG为矩形，进而得到：则当时，OE有最小值，最后利用等面积法即可求出OE的长.
9．【答案】5﹣5
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，
当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，
∵平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，
∴AB=AD=CD=BC=10，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO=5，
故AO的最小值为：AO=AE﹣EO=ABsin60°﹣×BD=5﹣5．
故答案为：5﹣5．
【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A点位置，进而求出AO的长．
10．【答案】63
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，具有关于对角线所在直线对称的对称性，
，，，
又是的外角，
，
故答案为：63．
【分析】根据轴对称的性质可得，，，再利用三角形外角的性质可得。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°
延长AD交EF于M，连接AC，CF
则AM=BC+CE=4，FM=EF-AB=2，∠AMF=90°
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形
∵H为AF的中点
故答案为：
【分析】延长AD交EF于M，连接AC，CF，根据正方形性质及勾股定理即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】 四边形 是矩形
，
，
，
OE⊥BC，
，
BC＝2AF，
，
是等边三角形
．
故答案为： ．
【分析】先求出，再利用勾股定理计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为1，正方形BEFG的边长为m，
则AB=AD=1，AG=1-m，
∵矩形AGHD与正方形BEFG面积相等，
∴1-m=，
解得m1=，m2=（舍去）
∴BG=，AG=1-=，
∴.
故答案为：.
【分析】设正方形ABCD的边长为1，正方形BEFG的边长为m，则AB=AD=1，AG=1-m，根据矩形AGHD与正方形BEFG面积相等列出关于m的方程，解方程求出m，即可求得结论.
14．【答案】（1）解：点F为所求
（2）解：点G即为所求
【知识点】正方形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】（1）解：如图1，连接AC，BD交于的O，作直线OE交AD于点F，则点F即为所求；
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，OA=OB=OC=OD，
∴点O在BC的垂直平分线上，
∵BE=CE，
∴点E在BC的垂直平分线上，
∴OE⊥BC，
∴OE⊥AD，
∵OA=OD，
∴点F为AD边的中点；
（2）解：如图，设直线OE交BC于点H，连接CF，DH交于点M，连接EM，并延长EM交CD于点G，则点G即为所求．
理由：由（1）得：∠DFH=∠FHC=∠DCH=90°，AF＝AD＝BC＝BH，
∴四边形CDFH是矩形，
∴FM=CM=HG=DM，
∵OA=OB，
∴Rt△AOF≌Rt△BOH（HL），
∴OF=OH，
∴OM为△CFH的中位线，
∴OM∥CH，即MG∥CH，
∴，
即点G为CD边的中点．
【分析】 （1）连接AC，BD交于的O，作直线OE交AD于点F，根据正方形的性质可得点O在BC的垂直平分线上，再根据BE=CE，可得OE⊥BC，从而得到OE⊥AD，即可求解；
（2）设直线OE交BC于点H，连接CF，DH交于点M，连接EM，并延长EM交CD于点G，先证明四边形CDFH是矩形，可得FM=CM=HG=DM，再根据Rt△AOF≌Rt△BOH，可得OM为△CFH的中位线，从而得到MG∥CH再由平行线分线段成比例，即可求解．
15．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴
（2）解：图2中等于线段的倍的四条线段分别是．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
综上可知，图2中等于线段的倍的四条线段分别是．
【分析】（1）由菱形的性质并结合已知条件用边角边可证△ABE≌△ADF，然后根据全等三角形的性质可求解；
（2）由（1）中的全等三角形并结合已知易证三角形ABF是直角三角形、三角形ACD是等边三角形，可得∠EAF=∠AFE=60°，由菱形的性质用勾股定理求出AO的值，易得∠DAF=∠ADF=∠AFE=30°，在等边三角形ACD中，由等边三角形的性质可求解.
16．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：长为线段长2倍的线段有．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：（2）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴长为线段长2倍的线段有．
【分析】（1）由菱形的性质和线段的构成可得BG=DE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解；
（2）由平行四边形的性质并结合已知，根据线段的构成可得BG=BF=AF=AE=DE=AB=AD=CD=BC，即长为线段长2倍的线段有．
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∵M、N分别是AD、BC的中点，∴，
∴，∴
（2）解：四边形MPNQ是菱形，理由如下：
如图，连接MN，则四边形ABNM是矩形，
∵P是BM的中点，∴，
同理可得，
∵，∴，
∴四边形MPNQ是菱形.
（3）解：当时，四边形MPNQ是正方形，理由如下：
如图：连接PQ、AP.
由（2）可知，四边形MPNQ是菱形，∴，
∵，∴，
∵P、Q分别是AN、DN的中点，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴菱形MPNQ是正方形.
【知识点】平行线的判定；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质得到，，，进而运用三角形全等的判定（SAS）与性质证明即可求解；
（2）连接MN，则四边形ABNM是矩形，先根据中点即可得到，同理可得，再结合菱形的判定即可求解；
（3）连接PQ、AP，先根据菱形的性质得到，进而根据平行线的判定得到，再根据题意运用正方形的判定即可求解。
18．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形
∵O是对角线的中点
又
又
∴四边形是平行四边形
又
是菱形
（2）解：∵四边形是矩形
在中，
，
.
∵四边形是菱形
令，则
在中，
解得，即
.
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到，利用"ASA"证明得到：，最后根据"一组邻边相等的平行四边形为菱形"，即可证明四边形AFCE是菱形；
（2）在中，利用勾股定理求出AC的长，进而得到OA和OC的长度，令，则，再在中，利用勾股定理列出方程，求出CF的长度，再利用勾股定理求出OF的长，进而可求出EF的长度.
19．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，，，
，，；
（2）解：正方形的边长是5，，
，由（1）得，
，
在中，由勾股定理得：。
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得，，已知，可推出，即可证明，从而可得结论；
（2）由（1）得：，则，在中，利用勾股定理可得的长．
20．【答案】（1）解：证明：画出辅助线如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，
在△ABG和△ADF中，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，
∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AEF和△AEG中，
∴△AEF≌△AEG(SAS)，∴EF=EG，
∵EG=BE+BG，∴EF=BE+DF.
（2）解：∵BC=6，BE=2，∴EC=4，
由(1)得EF=BE+DF=2+DF，
在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，
∴(2+DF)2=42+(6-DF)2，解得DF=3.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质求出 AB=AD，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据题意先求出 EC=4， 再利用勾股定理求出 (2+DF)2=42+(6-DF)2， 最后解方程求解即可。
1 / 1【提升版】北师大版数学九上 第一章 特殊的平行四边形 单元测试卷
一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2023九上·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形AB边上的高CE的长是（ ）
A．4.8cm B．9.6cm C．5cm D．10cm
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AC、BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm
∴，，AC⊥BD，
，
由勾股定理得，
由可得，
CE=4.8cm；
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质及勾股定理可计算出AB的长度、菱形的面积，即可计算CE的长度.
2．（2021九上·新津月考）如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝，则点C的坐标为（ ）
A．（，1） B．（1，1） C．（1，） D．（+1，1）
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：作CD⊥x轴于点D，
则∠CDO=90°，
∵四边形OABC是菱形，OA=，
∴OC=OA=，
又∵∠AOC=45°，
∴∠OCD=90°-∠AOC=90°-45°=45°，
∴∠DOC=∠OCD，
∴CD=OD，
在Rt△OCD中，OC=，CD2+OD2=OC2，
∴2OD2=OC2=2，
∴OD2=1，
∴OD=CD=1（负值舍去），
则点C的坐标为（1，1）.
故答案为：B.
【分析】作CD⊥x轴于点D，根据菱形的性质可得OC=OA=，根据余角的性质可得∠OCD=45°，则CD=OD，在Rt△OCD中，根据勾股定理可得OD的值，进而可得点C的坐标.
3．（2024九上·江津期末）如图，正方形的边长为4，，将绕点按顺时针方向旋转得到．若，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可知，
，
，，，．
又四边形是正方形，
，，
∵
，
则．
在和中，
，
，
．
令，
则，，．
在中，
，
即，
解得，
即．
故答案为：C．
【分析】根据旋转性质可知，可得，，，再根据正方形的性质结合角与角之间的相等关系可得，然后根据全等三角形的判定定理可证，可得，再令，结合线段与线段之间的关系，运用勾股定理计算即可求解。
4．（2023九上·小店期中） 如图，四边形ABCD是正方形，在正方形内部作等边三角形EDC，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，等边三角形EDC，
∴AD=CD=DE，∠CDE=∠CED=60°，∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-60°=30°，
∵AD=ED，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠DEA=，
∴∠AEC=∠DEA+∠CED=75°+60°=135°，
故答案为：D.
【分析】先利用正方形和等边三角形的性质求出∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-60°=30°，再求出∠DEA的度数，最后利用角的运算求出∠AEC的度数即可.
5．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∵EF⊥AC于点F，AF=3，
∴EF=AF=3，
∵△EFC的周长为12，
∴CF+CE=9，
在Rt△CEF中，设CE=x，则CF=9-x，
∴，
解得x=5，
∴CE=5.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质得∠BAC=45°，从而得△AEF是等腰Rt△，由△EFC的周长为12，得CF+CE=9，在Rt△CEF中，设CE=x，则CF=9-x，根据勾股定理列方程，解方程即可求解.
6．（2023九上·青白江期中）如图，已知线段AB，按下列步骤作图：分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交AB于点O，分别连接MA、MB、NA、NB，如果四边形MANB是正方形，需要添加的条件是（ ）
A．AO＝MO B．MA∥NB C．MA＝NB D．AB平分∠MAN
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图方法得AM=BM=AN=BN，
∴四边形AMBN为菱形，
∴OM=ON，OA=OB，
∴当OA=OM时，可得AB=MN，
∴四边形AMNB为正方形.
故答案为：A.
【分析】利用作图方法得到AM=BM=AN=BN，从而可判断四边形AMBN为菱形，得到OM=ON，OA=OB，然后当OA=OM时可得对角线相等，根据正方形的判定方法即可求解.
7．（2024九上·龙岗期末）如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB=CD，AD=BC，
∵把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，
∴ AF=AD=4，EF=DE=，
在Rt△ABF中，BF==2，
∴ CF=BC-BF=2，
在Rt△CEF中，
即
解得，EC= .
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质得 AB=CD，AD=BC，根据翻折的性质得 AF=AD=4，EF=DE=，根据勾股定理得BF从而推出CF，再根据勾股定理得EC，即可求得.
8．（2023九上·茂名期中）如图，在菱形中，是边上一动点，过点分别作于点于点，连接，则的最小值为（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接OE，如图：
∵四边形ABCD为菱形，
∴
在中，
∵
∴四边形OFEG为矩形，
∴则当时，OE有最小值，
∴
∴
∴FG的最小值为：2.4，
故答案为：B.
【分析】连接OE，根据菱形的性质得到：然后利用勾股定理计算出DC的长度，再证明四边形OFEG为矩形，进而得到：则当时，OE有最小值，最后利用等面积法即可求出OE的长.
二、填空题
9．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是 ．
【答案】5﹣5
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，
当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，
∵平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，
∴AB=AD=CD=BC=10，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO=5，
故AO的最小值为：AO=AE﹣EO=ABsin60°﹣×BD=5﹣5．
故答案为：5﹣5．
【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A点位置，进而求出AO的长．
10．（2022九上·郓城期中）如图，在正方形中，点F为上一点，与交于点E．若，则等于 度．
【答案】63
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，具有关于对角线所在直线对称的对称性，
，，，
又是的外角，
，
故答案为：63．
【分析】根据轴对称的性质可得，，，再利用三角形外角的性质可得。
11．（2023九上·章丘月考）正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°
延长AD交EF于M，连接AC，CF
则AM=BC+CE=4，FM=EF-AB=2，∠AMF=90°
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形
∵H为AF的中点
故答案为：
【分析】延长AD交EF于M，连接AC，CF，根据正方形性质及勾股定理即可求出答案.
12．（2021九上·南岗开学考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F，若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】 四边形 是矩形
，
，
，
OE⊥BC，
，
BC＝2AF，
，
是等边三角形
．
故答案为： ．
【分析】先求出，再利用勾股定理计算求解即可。
13．（2023九上·达川月考）如图，点G是正方边AB上一点，以为边作正方形，延长交于点H，当矩形与正方形面积相等时，则 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为1，正方形BEFG的边长为m，
则AB=AD=1，AG=1-m，
∵矩形AGHD与正方形BEFG面积相等，
∴1-m=，
解得m1=，m2=（舍去）
∴BG=，AG=1-=，
∴.
故答案为：.
【分析】设正方形ABCD的边长为1，正方形BEFG的边长为m，则AB=AD=1，AG=1-m，根据矩形AGHD与正方形BEFG面积相等列出关于m的方程，解方程求出m，即可求得结论.
三、解答题
14．（2023九上·都昌期中）如图，在正方形ABCD中，，请仅用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）.
图① 图②
（1）在图①中，画出AD的中点M；
（2）在图②中，画出CD的中点N.
【答案】（1）解：点F为所求
（2）解：点G即为所求
【知识点】正方形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】（1）解：如图1，连接AC，BD交于的O，作直线OE交AD于点F，则点F即为所求；
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，OA=OB=OC=OD，
∴点O在BC的垂直平分线上，
∵BE=CE，
∴点E在BC的垂直平分线上，
∴OE⊥BC，
∴OE⊥AD，
∵OA=OD，
∴点F为AD边的中点；
（2）解：如图，设直线OE交BC于点H，连接CF，DH交于点M，连接EM，并延长EM交CD于点G，则点G即为所求．
理由：由（1）得：∠DFH=∠FHC=∠DCH=90°，AF＝AD＝BC＝BH，
∴四边形CDFH是矩形，
∴FM=CM=HG=DM，
∵OA=OB，
∴Rt△AOF≌Rt△BOH（HL），
∴OF=OH，
∴OM为△CFH的中位线，
∴OM∥CH，即MG∥CH，
∴，
即点G为CD边的中点．
【分析】 （1）连接AC，BD交于的O，作直线OE交AD于点F，根据正方形的性质可得点O在BC的垂直平分线上，再根据BE=CE，可得OE⊥BC，从而得到OE⊥AD，即可求解；
（2）设直线OE交BC于点H，连接CF，DH交于点M，连接EM，并延长EM交CD于点G，先证明四边形CDFH是矩形，可得FM=CM=HG=DM，再根据Rt△AOF≌Rt△BOH，可得OM为△CFH的中位线，从而得到MG∥CH再由平行线分线段成比例，即可求解．
15．（2024九上·巴彦期末）如图1，已知四边形是菱形，点E，F在对角线上，．
（1）求证：；
（2）如图2，若，点E为的中点，连接交于点O，连接并延长交于点G，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中等于线段的倍的四条线段．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴
（2）解：图2中等于线段的倍的四条线段分别是．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
综上可知，图2中等于线段的倍的四条线段分别是．
【分析】（1）由菱形的性质并结合已知条件用边角边可证△ABE≌△ADF，然后根据全等三角形的性质可求解；
（2）由（1）中的全等三角形并结合已知易证三角形ABF是直角三角形、三角形ACD是等边三角形，可得∠EAF=∠AFE=60°，由菱形的性质用勾股定理求出AO的值，易得∠DAF=∠ADF=∠AFE=30°，在等边三角形ACD中，由等边三角形的性质可求解.
16．（2024九上·哈尔滨期末）在菱形中，分别为上的点，且，连接并延长，与的延长线交于点，连接．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，连接，若，请直接写出长为线段长2倍的线段．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：长为线段长2倍的线段有．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：（2）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴长为线段长2倍的线段有．
【分析】（1）由菱形的性质和线段的构成可得BG=DE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解；
（2）由平行四边形的性质并结合已知，根据线段的构成可得BG=BF=AF=AE=DE=AB=AD=CD=BC，即长为线段长2倍的线段有．
17．（2023九上·都昌期中）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点.
（1）求证：.
（2）连接MQ、PN，判断四边形MPNQ的形状，并说明理由.
（3）矩形ABCD的边AB与AD满足什么长度关系时，四边形MPNQ是正方形？请说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∵M、N分别是AD、BC的中点，∴，
∴，∴
（2）解：四边形MPNQ是菱形，理由如下：
如图，连接MN，则四边形ABNM是矩形，
∵P是BM的中点，∴，
同理可得，
∵，∴，
∴四边形MPNQ是菱形.
（3）解：当时，四边形MPNQ是正方形，理由如下：
如图：连接PQ、AP.
由（2）可知，四边形MPNQ是菱形，∴，
∵，∴，
∵P、Q分别是AN、DN的中点，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴菱形MPNQ是正方形.
【知识点】平行线的判定；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质得到，，，进而运用三角形全等的判定（SAS）与性质证明即可求解；
（2）连接MN，则四边形ABNM是矩形，先根据中点即可得到，同理可得，再结合菱形的判定即可求解；
（3）连接PQ、AP，先根据菱形的性质得到，进而根据平行线的判定得到，再根据题意运用正方形的判定即可求解。
18．（2023九上·绥化期中）如图，矩形中，点是对角线的中点，过点的直线分别交、边于点.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长.
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形
∵O是对角线的中点
又
又
∴四边形是平行四边形
又
是菱形
（2）解：∵四边形是矩形
在中，
，
.
∵四边形是菱形
令，则
在中，
解得，即
.
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到，利用"ASA"证明得到：，最后根据"一组邻边相等的平行四边形为菱形"，即可证明四边形AFCE是菱形；
（2）在中，利用勾股定理求出AC的长，进而得到OA和OC的长度，令，则，再在中，利用勾股定理列出方程，求出CF的长度，再利用勾股定理求出OF的长，进而可求出EF的长度.
19．（2023九上·鄠邑期中）如图，在正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接。
（1）求证：；
（2）若正方形的边长是5，，求的长。
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，，，
，，；
（2）解：正方形的边长是5，，
，由（1）得，
，
在中，由勾股定理得：。
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得，，已知，可推出，即可证明，从而可得结论；
（2）由（1）得：，则，在中，利用勾股定理可得的长．
20．（2024九上·涪城开学考） 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，分别连接EF、BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N.
（1）求证：EF=BE+DF.为了证明“EF=BE+DF”，小明延长CB至点G，使BG=DF，连接AG，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程.
（2）若正方形ABCD的边长为6，BE=2，求DF的长.
【答案】（1）解：证明：画出辅助线如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，
在△ABG和△ADF中，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，
∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AEF和△AEG中，
∴△AEF≌△AEG(SAS)，∴EF=EG，
∵EG=BE+BG，∴EF=BE+DF.
（2）解：∵BC=6，BE=2，∴EC=4，
由(1)得EF=BE+DF=2+DF，
在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，
∴(2+DF)2=42+(6-DF)2，解得DF=3.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质求出 AB=AD，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据题意先求出 EC=4， 再利用勾股定理求出 (2+DF)2=42+(6-DF)2， 最后解方程求解即可。
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