山西省2024年中考数学试卷
1．（2024·山西）中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·山西）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·山西）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山西）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山西）如图，已知，以AB为直径的交BC于点，与AC相切于点，连接OD．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山西）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·山西）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为（ ）
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A． B． C． D．
10．（2024·山西）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（ ）
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
11．（2024·山西）比较大小： 2（填“>”“<”或“=”）
12．（2024·山西）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点处，且．若，则BC的长为 （结果保留根号）。
13．（2024·山西）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
14．（2024·山西）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）。通过测量得到扇形AOB的圆心角为，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为
15．（2024·山西）如图，在中，AC为对角线，于点，点是AE延长线上一点，且，线段AB，CF的延长线交于点．若，则BG的长为 ．
16．（2024·山西）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（2024·山西）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个
18．（2024·山西）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛。各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
19．（2024·山西）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
20．（2024·山西）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如下图，点是纪念碑顶部一点，AB的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米；
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：，）．
21．（2024·山西）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的黄形（正方形除外）就是等边半正四边形．类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为： ▲ °. 对角线：……
任务：
（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容； .
（2）如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.
22．（2024·山西）综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图米，AB的垂直平分线与抛物线交于点，与AB交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点，使．用篱笆沿线段AC，BC分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用 笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米蓠笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为轴，OP所在直线为轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
23．（2024·山西）综合与探究
问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点作于点，过点作于点．
（1）猜想证明：判断四边形AECF的形状，并说明理由；
（2）深入探究：将图1中的绕点逆时针旋转，得到，点E，B的对应点分别为点G，H.
①如图2，当线段AH经过点时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由；
②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点．若，直接写出四边形AMNQ的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 零上150℃记作+150℃，则 零下记作 -100℃.
故答案为：C.
【分析】本题考查具有相反意义的量，具有相反意义的量包含两层含义：（1） 具有相反意义；（2） 具有数量，明确零上为正，则零下为负，可得答案。
2．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项中图形是中心对称图形，BC是轴对称图形，D既不是轴对称也不是中心对称图形.
故答案为：A.
【分析】本题考查中心对称图形的定义， 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 根据定义可得答案。
3．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：2m+n不能合并，原选项错误，不合题意；
B：， 原选项错误，不合题意；
C：，原选项错误，不合题意；
D： ，原选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘除法则，积的乘方，幂的乘方等知识是解题关键。根据法则对选项逐一判断，可得答案。
4．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
的左视图为
故答案为：C.
【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据左视图看到的图形，上方为矩形，下方为倒梯形，逐一区分实线和虚线，可得答案。
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图所示，
由题知：∠2+α=90°，α=25°
∴ ∠2=65°
由题知： ∠1=∠2，
∴ ∠1=65°
由题知： ∠1+β=180°，
∴ β=180°-∠1=115°
故答案为：C.
【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质与直角三角形的性质是解题关键。由∠2+α=90°，∠1=∠2，∠1+β=180°，可得β。
6．【答案】B
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数y=3x
∴ k=3＞0，y随x的增大而增大
∴ ，则
故答案为：B.
【分析】本题考查正比例函数的增减性，k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小，据此可得答案。
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ AC与 相切于点A
∴ ∠BAC=90°
∵∠AOD=80° ，
∴ ∠B=∠AOD=40°
∴ ∠C=90°-∠B=50°
故答案为：D.
【分析】本题考查圆的切线性质，同弧所对圆周角与圆心角的数量关系，直角三角形等知识，熟悉圆的切线，圆周角，圆心角的数量关系是解题关键。由切线得∠BAC=90°；由∠AOD=90° ，得 ∠B=40°，可得 ∠C=50°.
8．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： 从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球的所有情况如下表：
第一次摸出一个球后，不放回，再从中随机摸出一个球的情况共有6种，其中两次摸到的球恰好有一个红球的情况有4种，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是
故答案为：B.
【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法求概率是解题关键。求出摸到的两个球的所有情况，再找出两个摸到的球恰好有一个红球的情况，根据概率公式求解即可。
9．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵ 某种蛇其体长是尾长的一次函数，设该一次函数解析式是y=kx+b（k≠0）
由表格可知，该一次函数过点（6，45.5），（10，60.5），代入得：
解得：k=7.5，b=0.5
则y与x之间的关系式为y=7.5x+0.5
故答案为：A.
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，掌握该方法，准确计算是解题关键。由表格任选两个点坐标，代入y=kx+b（k≠0）可得答案。
10．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图所示，AC=BD，
∵ 点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点
∴ EF为的中位线， HG为的中位线， EH为的中位线， GF为的中位线，
∴ EFAC，FGDB，HGAC，EHDB，
∴ EF=HG=FG=EH
∴ 四边形EFGH为菱形
∴ EG与FH互相垂直且平分
故答案为：A.
【分析】本题考查菱形的判定与性质，三角形的中位线，熟悉菱形的判定与性质是解题关键。由点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点得 EFAC，FGDB，HGAC，EHDB，可得 EF=HG=FG=EH，证四边形EFGH为菱形，可得答案。
11．【答案】
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵6＞4，
∴；
故答案为：＞.
【分析】比较被开方数：被开方数越大，其算术平方根的值越大，即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵ 四边形MQPN是正方形
∴ ∠P=∠N=90°
∵AB∥PN
∴ ∠P+∠ABP=180°
∴ ∠ABP=90°
∴ 四边形ABPN为矩形
∴ AB=NP-2cm
∵
∴ BC=cm
故答案为：.
【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，黄金分割比，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质是解题关键。由正方形MQPN得 ∠P=∠N=90°，由AB∥PN可得∠ABP=90°，证矩形ABPN，结合可得BC.
13．【答案】4
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．
设该反比例函数为y=（v≠0）
由题知，该函数过点（60，6）
∴ v=my=60×6=360
∴ y=
∴ m=90kg时，v==4m/s
故答案为：4.
【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，由题意，列出y=（v≠0），代入点坐标可得解析式y=，求解当m=90时，可得v值.
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ OA=OB=1， 点C，D分别为OA，OB的中点
∴ OC=OD=OA=
∴ S花窗=S扇形AOB-S COD=
∴ 花窗的面积为m2.
故答案为：.
【分析】本题考查扇形面积，三角形面积，熟练掌握扇形面积公式（，n为扇形圆心角度数，r为扇形半径）是关键。由中点和OA=OB=1得OC=OD=，，则S花窗=S扇形AOB-S COD=.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形—构造直角三角形；解直角三角形—其他类型
【解析】【解答】解：如图所示，过G作GH⊥BC交CB延长线于点H，
∵ AE⊥BC，AB=，tan∠ABC=2
∴ AE=2，BE=1，EC=3，
∵∵ ∠ACF=∠CAF
∴ AF=CF
设EF=a，则CF=AF=AE+EF=2+a
在Rt△CEF中，
，即，
∴ EF=a=，
又∵∠GBH=∠ABC，
∴tan∠GBH=tan∠ABC=2，
设BH=b，则GH=2b，此时BG=b，
又∵，即，解得b=，
∴CF=.
故答案为：.
【分析】根据已知条件可知四边形均为定形，故方法多样，只需一一根据题干条件求得线段长度逐步往目标线段靠拢求解即可；即：根据平行四边形的两边及一内角正确值先求得分线段BE和CE长，利用等角构造等腰利用勾股定理直接设元EF即可求得EF长，故此时直角△CEF为定三角形，即∠BCG也为定角，结合∠CBG为定角，BC为定长，过点G构造直角三角形，解定三角形即可.
16．【答案】（1）解：原式
=-10
（2）解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】( 1 )先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可；
( 2 )先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可.
17．【答案】解：设可购买这种型号的水基灭火器个；
根据题意，得．
解，得．
因为为整数，且取最大值，所以．
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，根据购买个数的关系，购买总价列不等式，注意实际情况，未知数是整数，可得答案。设可购买这种型号的水基灭火器个，．求解可得答案。
18．【答案】（1）7.5；7；25%
（2）解：①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，所以从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；②虽然甲、乙两组成绩的平均数相等，但甲组成绩的方差为4.48，高于乙组成绩的方差0.73，所以从方差的角度看，乙组成绩更整齐；
【知识点】条形统计图；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：甲组8人的成绩按从小到大的顺序排列如下：3，7，7，7，8，9，10，10，处于中间位置的两个数是7和8，=7.5，则中位数是7.5，a=7.5；
乙组8人的成绩中，7出现了5次，出现的次数最多，则众数为7，b=7；乙组中9分及以上共有2人，则优秀率==25％，则c=25％.
【分析】本题考查复式条形统计图，中位数，众数，方差，平均数及其意义，熟练掌握其的计算和意义是解题关键。（1）根据中位数的定义，可得a；根据众数的定义，可得b；乙组优秀人数2人，计算优秀率，可得c；（2）结合优秀率的意义，方差的意义，可得答案。
19．【答案】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克．
根据题意，得
解，得
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组，正确求解是解题关键。设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克．根据题意，得求解即可。
20．【答案】解：延长CD交AB于点．
由题意得，四边形CMBH为矩形．
．
在Rt中，，
在Rt中，，
．
设．
．
解，得.1．
（米）．
答：点到地面的距离AB的长约为27米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题考查解直角三角形，找出线段的数量关系，根据锐角三角函数的定义，结合等量关系，列出方程，求解即可。延长CD交AB于点．由题意得，四边形CMBH为矩形．．解Rt得解Rt得．设．则EH=x+9；得，得.1得AB27米.
21．【答案】（1）240
（2）解：．
理由如下：连接BD，FD．
六边形ABCDEF是等边半正六边形，
．
．
在与中，
．
（3）解：如图，六边形ABCDEF即为所求.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（1）解：六边形内角和=（6-2）×180°=720°
根据等边半六边形的定义，可得，
∴ ∠A+∠B=∠C+∠D+∠E+∠F=×720°=240°
则等边半正六边形相邻两个内角的和为240°；
故答案为：240.
【分析】本题考查探究型题型，掌握多边形内角和计算，三角形全等的判定与性质，三角形外接圆性质是解题关键。（1）计算六边形内角和720°，由等边半六边形的定义得，可得∠A+∠B=∠C+∠D+∠E+∠F=240°；（2）连接BD，FD．由等边半六边形的性质证再证．可得∠BAD=∠FAD；（3）根据三角形外接圆的性质，可得答案。
22．【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系．
所在直线是AB的垂直平分线，且，
．
点的坐标为．
点的坐标为．
点是抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为．
点在抛物线上，
．解，得．
抛物线的函数表达式为．
（2）解：点D，E在抛物线上，
设点的坐标为．
，交轴于点，
．
在Rt中，，
．
．
根据题意，得，
．
解，得（不符合题意，舍去），
．
答：DE的长为4米，CF的长为2米.
（3）解：．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】（3）解：如图所示：矩形HGPK中，点K在直线AC上，点P与点K关于y轴对称
直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（-3，0），点C（0，3）代入得直线AC解析式：y=x+3
设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）
∴KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6
∴ 矩形HGPK的周长=2（KP+HK）=2（-2k-k2-k+6）=-2k2-6k+12=-2（k+）2+
∴ k=-，矩形周长最大值为.
【分析】本题考查二次函数的综合应用，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，结合题目，建立合适的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的性质，求函数解析式是解题关键。（1）由平面直角坐标系得点B（3，0）顶点P（0，9），可得抛物线解析式．；（2）设点的坐标为．结合抛物线对称性得DE=2m，计算OC=3．得CF=-m2+6．结合得m=2，可得DE，CF；（3）求出直线AC解析式：y=x+3设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）得KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6，则矩形HGPK周长=2（KP+HK）=-2（k+）2+，可得 k=-，矩形周长最大值为.
23．【答案】（1）解：四边形AECF为矩形．
理由如下：
，
．
四边形ABCD为菱形，．
．
四边形AECF为矩形.
（2）解：①CH=MD.
理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，．
旋转得到，
．
．
．
②或．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】（2） ②解：如图所示，当GH在线段CD上时，过点A作AP⊥CD于P，
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AB=AD，∠B=∠D
∵ AE⊥BC
∴ ∠AEB=90° =∠APD
∴ AE=AP
由旋转知：AH=AB=5，GH=BE=4，∠G=90°
∴ AE=AG=AP==3
∵ GH⊥CD
∴ ∠GNP=90°
∴ ∠APD=∠G= ∠GNP=90°
∴ 四边形APNG为正方形
∴ GN=PN=3，NH=ND=1，tan∠H=tan∠D=
∴ QN=MN=，PQ=
∴ S四AMNQ=S梯形AMNP-S APQ===
当GH在直线CD上时，如图所示，AG在AB上，过点A作AK⊥CD于K，
由旋转知：GH=BE=4，AG=AE=3，∠D=∠H，AH=AD
∴
∴ AM=AQ
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AB=AD，∠B=∠D
∵ AE⊥BC
∴ ∠AEB=90° =∠AKD
∴ AE=AK=AG=3
∴ 四边形AGNK为矩形
∴ GN=3，HN=7，∠ANM=∠ANQ，AG∥NK
∴，
∴
解得NQ=
∴ S四AMNQ=2S ANQ = 2×12NQ×AK=214×3=634
综上，四边形AMNQ的面积是或
【分析】本题正方形，菱形综合题，主要考查正方形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，四边形的面积等知识，熟练掌握特殊图形的性质与判定，添加正确的辅助线是解题关键。（1）由和菱形性质得=．可证四边形AECF为矩形；（2）①由菱形和旋转得性质证，可证CH=MD；②分情况谈论：GH在线段CD上和GH在直线CD上。第一种情况：GH在线段CD，过点A作AP⊥CD于P，证得 AE=AP；证四边形APNG为正方形，得 GN=PN=3，NH=ND=1，tan∠H=tan∠D=，得 QN=MN=，PQ=，得S四AMNQ=S梯形AMNP-S APQ=；当GH在直线CD上时，AG在AB上，过点A作AK⊥CD于K，证 ，，证四边形AGNK为正方形，得， ，得NQ=，则S四AMNQ=2S ANQ = 2×12NQ×AK=214×3=634
综上，四边形AMNQ的面积是或.
1 / 1山西省2024年中考数学试卷
1．（2024·山西）中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 零上150℃记作+150℃，则 零下记作 -100℃.
故答案为：C.
【分析】本题考查具有相反意义的量，具有相反意义的量包含两层含义：（1） 具有相反意义；（2） 具有数量，明确零上为正，则零下为负，可得答案。
2．（2024·山西）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项中图形是中心对称图形，BC是轴对称图形，D既不是轴对称也不是中心对称图形.
故答案为：A.
【分析】本题考查中心对称图形的定义， 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 根据定义可得答案。
3．（2024·山西）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：2m+n不能合并，原选项错误，不合题意；
B：， 原选项错误，不合题意；
C：，原选项错误，不合题意；
D： ，原选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘除法则，积的乘方，幂的乘方等知识是解题关键。根据法则对选项逐一判断，可得答案。
4．（2024·山西）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
的左视图为
故答案为：C.
【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据左视图看到的图形，上方为矩形，下方为倒梯形，逐一区分实线和虚线，可得答案。
5．（2024·山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图所示，
由题知：∠2+α=90°，α=25°
∴ ∠2=65°
由题知： ∠1=∠2，
∴ ∠1=65°
由题知： ∠1+β=180°，
∴ β=180°-∠1=115°
故答案为：C.
【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质与直角三角形的性质是解题关键。由∠2+α=90°，∠1=∠2，∠1+β=180°，可得β。
6．（2024·山西）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数y=3x
∴ k=3＞0，y随x的增大而增大
∴ ，则
故答案为：B.
【分析】本题考查正比例函数的增减性，k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小，据此可得答案。
7．（2024·山西）如图，已知，以AB为直径的交BC于点，与AC相切于点，连接OD．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ AC与 相切于点A
∴ ∠BAC=90°
∵∠AOD=80° ，
∴ ∠B=∠AOD=40°
∴ ∠C=90°-∠B=50°
故答案为：D.
【分析】本题考查圆的切线性质，同弧所对圆周角与圆心角的数量关系，直角三角形等知识，熟悉圆的切线，圆周角，圆心角的数量关系是解题关键。由切线得∠BAC=90°；由∠AOD=90° ，得 ∠B=40°，可得 ∠C=50°.
8．（2024·山西）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： 从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球的所有情况如下表：
第一次摸出一个球后，不放回，再从中随机摸出一个球的情况共有6种，其中两次摸到的球恰好有一个红球的情况有4种，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是
故答案为：B.
【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法求概率是解题关键。求出摸到的两个球的所有情况，再找出两个摸到的球恰好有一个红球的情况，根据概率公式求解即可。
9．（2024·山西）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为（ ）
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵ 某种蛇其体长是尾长的一次函数，设该一次函数解析式是y=kx+b（k≠0）
由表格可知，该一次函数过点（6，45.5），（10，60.5），代入得：
解得：k=7.5，b=0.5
则y与x之间的关系式为y=7.5x+0.5
故答案为：A.
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，掌握该方法，准确计算是解题关键。由表格任选两个点坐标，代入y=kx+b（k≠0）可得答案。
10．（2024·山西）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（ ）
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图所示，AC=BD，
∵ 点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点
∴ EF为的中位线， HG为的中位线， EH为的中位线， GF为的中位线，
∴ EFAC，FGDB，HGAC，EHDB，
∴ EF=HG=FG=EH
∴ 四边形EFGH为菱形
∴ EG与FH互相垂直且平分
故答案为：A.
【分析】本题考查菱形的判定与性质，三角形的中位线，熟悉菱形的判定与性质是解题关键。由点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点得 EFAC，FGDB，HGAC，EHDB，可得 EF=HG=FG=EH，证四边形EFGH为菱形，可得答案。
11．（2024·山西）比较大小： 2（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵6＞4，
∴；
故答案为：＞.
【分析】比较被开方数：被开方数越大，其算术平方根的值越大，即可得出答案.
12．（2024·山西）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点处，且．若，则BC的长为 （结果保留根号）。
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵ 四边形MQPN是正方形
∴ ∠P=∠N=90°
∵AB∥PN
∴ ∠P+∠ABP=180°
∴ ∠ABP=90°
∴ 四边形ABPN为矩形
∴ AB=NP-2cm
∵
∴ BC=cm
故答案为：.
【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，黄金分割比，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质是解题关键。由正方形MQPN得 ∠P=∠N=90°，由AB∥PN可得∠ABP=90°，证矩形ABPN，结合可得BC.
13．（2024·山西）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
【答案】4
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．
设该反比例函数为y=（v≠0）
由题知，该函数过点（60，6）
∴ v=my=60×6=360
∴ y=
∴ m=90kg时，v==4m/s
故答案为：4.
【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，由题意，列出y=（v≠0），代入点坐标可得解析式y=，求解当m=90时，可得v值.
14．（2024·山西）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）。通过测量得到扇形AOB的圆心角为，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ OA=OB=1， 点C，D分别为OA，OB的中点
∴ OC=OD=OA=
∴ S花窗=S扇形AOB-S COD=
∴ 花窗的面积为m2.
故答案为：.
【分析】本题考查扇形面积，三角形面积，熟练掌握扇形面积公式（，n为扇形圆心角度数，r为扇形半径）是关键。由中点和OA=OB=1得OC=OD=，，则S花窗=S扇形AOB-S COD=.
15．（2024·山西）如图，在中，AC为对角线，于点，点是AE延长线上一点，且，线段AB，CF的延长线交于点．若，则BG的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形—构造直角三角形；解直角三角形—其他类型
【解析】【解答】解：如图所示，过G作GH⊥BC交CB延长线于点H，
∵ AE⊥BC，AB=，tan∠ABC=2
∴ AE=2，BE=1，EC=3，
∵∵ ∠ACF=∠CAF
∴ AF=CF
设EF=a，则CF=AF=AE+EF=2+a
在Rt△CEF中，
，即，
∴ EF=a=，
又∵∠GBH=∠ABC，
∴tan∠GBH=tan∠ABC=2，
设BH=b，则GH=2b，此时BG=b，
又∵，即，解得b=，
∴CF=.
故答案为：.
【分析】根据已知条件可知四边形均为定形，故方法多样，只需一一根据题干条件求得线段长度逐步往目标线段靠拢求解即可；即：根据平行四边形的两边及一内角正确值先求得分线段BE和CE长，利用等角构造等腰利用勾股定理直接设元EF即可求得EF长，故此时直角△CEF为定三角形，即∠BCG也为定角，结合∠CBG为定角，BC为定长，过点G构造直角三角形，解定三角形即可.
16．（2024·山西）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）解：原式
=-10
（2）解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】( 1 )先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可；
( 2 )先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可.
17．（2024·山西）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个
【答案】解：设可购买这种型号的水基灭火器个；
根据题意，得．
解，得．
因为为整数，且取最大值，所以．
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，根据购买个数的关系，购买总价列不等式，注意实际情况，未知数是整数，可得答案。设可购买这种型号的水基灭火器个，．求解可得答案。
18．（2024·山西）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛。各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
【答案】（1）7.5；7；25%
（2）解：①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，所以从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；②虽然甲、乙两组成绩的平均数相等，但甲组成绩的方差为4.48，高于乙组成绩的方差0.73，所以从方差的角度看，乙组成绩更整齐；
【知识点】条形统计图；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：甲组8人的成绩按从小到大的顺序排列如下：3，7，7，7，8，9，10，10，处于中间位置的两个数是7和8，=7.5，则中位数是7.5，a=7.5；
乙组8人的成绩中，7出现了5次，出现的次数最多，则众数为7，b=7；乙组中9分及以上共有2人，则优秀率==25％，则c=25％.
【分析】本题考查复式条形统计图，中位数，众数，方差，平均数及其意义，熟练掌握其的计算和意义是解题关键。（1）根据中位数的定义，可得a；根据众数的定义，可得b；乙组优秀人数2人，计算优秀率，可得c；（2）结合优秀率的意义，方差的意义，可得答案。
19．（2024·山西）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
【答案】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克．
根据题意，得
解，得
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组，正确求解是解题关键。设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克．根据题意，得求解即可。
20．（2024·山西）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如下图，点是纪念碑顶部一点，AB的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米；
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：，）．
【答案】解：延长CD交AB于点．
由题意得，四边形CMBH为矩形．
．
在Rt中，，
在Rt中，，
．
设．
．
解，得.1．
（米）．
答：点到地面的距离AB的长约为27米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题考查解直角三角形，找出线段的数量关系，根据锐角三角函数的定义，结合等量关系，列出方程，求解即可。延长CD交AB于点．由题意得，四边形CMBH为矩形．．解Rt得解Rt得．设．则EH=x+9；得，得.1得AB27米.
21．（2024·山西）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的黄形（正方形除外）就是等边半正四边形．类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为： ▲ °. 对角线：……
任务：
（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容； .
（2）如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.
【答案】（1）240
（2）解：．
理由如下：连接BD，FD．
六边形ABCDEF是等边半正六边形，
．
．
在与中，
．
（3）解：如图，六边形ABCDEF即为所求.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（1）解：六边形内角和=（6-2）×180°=720°
根据等边半六边形的定义，可得，
∴ ∠A+∠B=∠C+∠D+∠E+∠F=×720°=240°
则等边半正六边形相邻两个内角的和为240°；
故答案为：240.
【分析】本题考查探究型题型，掌握多边形内角和计算，三角形全等的判定与性质，三角形外接圆性质是解题关键。（1）计算六边形内角和720°，由等边半六边形的定义得，可得∠A+∠B=∠C+∠D+∠E+∠F=240°；（2）连接BD，FD．由等边半六边形的性质证再证．可得∠BAD=∠FAD；（3）根据三角形外接圆的性质，可得答案。
22．（2024·山西）综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图米，AB的垂直平分线与抛物线交于点，与AB交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点，使．用篱笆沿线段AC，BC分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用 笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米蓠笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为轴，OP所在直线为轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系．
所在直线是AB的垂直平分线，且，
．
点的坐标为．
点的坐标为．
点是抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为．
点在抛物线上，
．解，得．
抛物线的函数表达式为．
（2）解：点D，E在抛物线上，
设点的坐标为．
，交轴于点，
．
在Rt中，，
．
．
根据题意，得，
．
解，得（不符合题意，舍去），
．
答：DE的长为4米，CF的长为2米.
（3）解：．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】（3）解：如图所示：矩形HGPK中，点K在直线AC上，点P与点K关于y轴对称
直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（-3，0），点C（0，3）代入得直线AC解析式：y=x+3
设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）
∴KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6
∴ 矩形HGPK的周长=2（KP+HK）=2（-2k-k2-k+6）=-2k2-6k+12=-2（k+）2+
∴ k=-，矩形周长最大值为.
【分析】本题考查二次函数的综合应用，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，结合题目，建立合适的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的性质，求函数解析式是解题关键。（1）由平面直角坐标系得点B（3，0）顶点P（0，9），可得抛物线解析式．；（2）设点的坐标为．结合抛物线对称性得DE=2m，计算OC=3．得CF=-m2+6．结合得m=2，可得DE，CF；（3）求出直线AC解析式：y=x+3设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）得KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6，则矩形HGPK周长=2（KP+HK）=-2（k+）2+，可得 k=-，矩形周长最大值为.
23．（2024·山西）综合与探究
问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点作于点，过点作于点．
（1）猜想证明：判断四边形AECF的形状，并说明理由；
（2）深入探究：将图1中的绕点逆时针旋转，得到，点E，B的对应点分别为点G，H.
①如图2，当线段AH经过点时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由；
②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点．若，直接写出四边形AMNQ的面积.
【答案】（1）解：四边形AECF为矩形．
理由如下：
，
．
四边形ABCD为菱形，．
．
四边形AECF为矩形.
（2）解：①CH=MD.
理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，．
旋转得到，
．
．
．
②或．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】（2） ②解：如图所示，当GH在线段CD上时，过点A作AP⊥CD于P，
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AB=AD，∠B=∠D
∵ AE⊥BC
∴ ∠AEB=90° =∠APD
∴ AE=AP
由旋转知：AH=AB=5，GH=BE=4，∠G=90°
∴ AE=AG=AP==3
∵ GH⊥CD
∴ ∠GNP=90°
∴ ∠APD=∠G= ∠GNP=90°
∴ 四边形APNG为正方形
∴ GN=PN=3，NH=ND=1，tan∠H=tan∠D=
∴ QN=MN=，PQ=
∴ S四AMNQ=S梯形AMNP-S APQ===
当GH在直线CD上时，如图所示，AG在AB上，过点A作AK⊥CD于K，
由旋转知：GH=BE=4，AG=AE=3，∠D=∠H，AH=AD
∴
∴ AM=AQ
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AB=AD，∠B=∠D
∵ AE⊥BC
∴ ∠AEB=90° =∠AKD
∴ AE=AK=AG=3
∴ 四边形AGNK为矩形
∴ GN=3，HN=7，∠ANM=∠ANQ，AG∥NK
∴，
∴
解得NQ=
∴ S四AMNQ=2S ANQ = 2×12NQ×AK=214×3=634
综上，四边形AMNQ的面积是或
【分析】本题正方形，菱形综合题，主要考查正方形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，四边形的面积等知识，熟练掌握特殊图形的性质与判定，添加正确的辅助线是解题关键。（1）由和菱形性质得=．可证四边形AECF为矩形；（2）①由菱形和旋转得性质证，可证CH=MD；②分情况谈论：GH在线段CD上和GH在直线CD上。第一种情况：GH在线段CD，过点A作AP⊥CD于P，证得 AE=AP；证四边形APNG为正方形，得 GN=PN=3，NH=ND=1，tan∠H=tan∠D=，得 QN=MN=，PQ=，得S四AMNQ=S梯形AMNP-S APQ=；当GH在直线CD上时，AG在AB上，过点A作AK⊥CD于K，证 ，，证四边形AGNK为正方形，得， ，得NQ=，则S四AMNQ=2S ANQ = 2×12NQ×AK=214×3=634
综上，四边形AMNQ的面积是或.
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