云南省2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1．（2024·云南） 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2024·云南） 某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人，57800用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南） 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·云南） 某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（ ）
A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体
6．（2024·云南） 一个七边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·云南） 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
9.9 9.5 8.2 8.5
0.09 0.65 0.16 2.85
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2024·云南） 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
9．（2024·云南） 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·云南） 按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·云南） 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·云南） 在中，，已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·云南） 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·云南） 分解因式：（ ）
A． B．
C． D．
15．（2024·云南） 某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．平方厘米 B．平方厘米
C．平方厘米 D．平方厘米
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16．（2024·云南） 若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ．
17．（2024·云南） 已知点在反比例函数的图象上，则 ．
18．（2024·云南） 如图，与交于点，且．若，则 ．
19．（2024·云南） 某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图：
注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目．
若该校共有学生人，则该校喜欢跳绳的学生大约有 人．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20．（2024·云南） 计算：．
21．（2024·云南） 如图，在和中，，，．
求证：．
22．（2024·云南） 某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
23．（2024·云南） 为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆、植物园、科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆为，选择植物园为，选择科技馆为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率．
24．（2024·云南） 如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长．
25．（2024·云南）、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．
某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个）
型号 35 a
型号 42
若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元．
（1）求、的值；
（2）若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值．
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．
26．（2024·云南） 已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．
（1）求的值；
（2）比较与的大小．
27．（2024·云南） 如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点．
（1）求的度数；
（2）求证：直线与相切：
（3）看一看，想一想，证一证：
以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵向北运动米记作米，
∴向南运动米可记作米 ，
故答案为：B
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量结合题意即可求解。
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得57800用科学记数法可以表示为
故答案为：A
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字整数的位数－1.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方结合题意对选项逐一分析计算即可求解。
4．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使 在实数范围内有意义， 只需.
故答案为：B.
【分析】要使二次根式在实数范围内有意义，只需二次根式内是非负数，转化为不等式求解.
5．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得几何体的三视图都是长方形，
∴几何体为长方体．
故答案为：D
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意还原几何体即可求解。
6．【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得七边形的内角和为（7-2）×180°=900°，
故答案为：B
【分析】根据多边形的内角和公式结合题意进行计算即可求解。
7．【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由题意得射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲，
∴应该选择甲去参加比赛，
故答案为：A
【分析】根据平均数和方差的定义选择一个平均数最大和方差最小的运动员去参加比赛即可求解。
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解： 如图所示：
∵是等腰底边上的高，
∴平分，
∴点F到直线，的距离相等，
∵点到直线的距离为3，
∴点到直线的距离为3．
故答案为：C
【分析】先根据题意画出草图，进而根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可求解。
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设甲种药品成本的年平均下降率为，由题意得。
故答案为：B
【分析】设甲种药品成本的年平均下降率为，根据“两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元”即可列出一元二次方程。
10．【答案】D
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，
∴第个代数式是
故答案为：D
【分析】根据题意观察代数式，，，，，，进而即可发现规律，从而写出第n个代数式。
11．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意得这四个字中，只有是轴对称图形，
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。
12．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴=，
故答案为：C
【分析】根据锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
13．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】连接，先根据圆心角与弧的关系得到，进而根据圆周角定理即可求解。
14．【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得=，
故答案为：A
【分析】先提取公因式a，进而运用平方差公式进行因式分解即可求解。
15．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：底面圆周长为厘米，
∴侧面积为平方厘米，
故答案为：
【分析】先根据题意求出圆锥的底面圆周长，进而即可求出圆锥的侧面积。
16．【答案】c＞1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴c＞1，
故答案为：c＞1
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可得到，进而即可求解。
17．【答案】5
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴2n=10，
∴n=5，
故答案为：5
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征结合题意即可求解。
18．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：
【分析】根据相似三角形的判定证明，利用相似三角形的性质即可求解。
19．【答案】120
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：该校喜欢跳绳的学生大约有人，
故答案为：
【分析】根据样本估计总体的知识结合题意直接用总人数乘跳绳所占的百分比即可求解。
20．【答案】解：，
，
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行运算即可求解。
21．【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据题意进行角的计算得到，进而根据三角形全等的判定即可证明．
22．【答案】 解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，由题意得，
解得，
经检验是该方程的解，
答：型车的平均速度为．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据题意即可列出分式方程，进而解方程，检验即可求解。
23．【答案】（1）解：由题意可列表如下：
由表格可知，所有可能出现的结果总数为以上6种；
（2）.解：由表格可知，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种，
（七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据题意列表，进而即可求解；
（2）根据（1）中列表的结果得到该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种，进而即可求解。
24．【答案】（1）解：连接，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形中，点、、、分别是各边的中点，
∴EH，HG，FG，EF分别是△ABD，△ACD，△BCD，△ABC的中位线，
，，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形中，点、、、分别是各边的中点，
，，
矩形的周长为22，
，
四边形是菱形，
即，
四边形的面积为10，
，即，
，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；中点四边形模型
【解析】【分析】（1）连接，，根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，进而根据三角形中位线定理得到，，再根据矩形的性质得到，从而结合题意根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据三角形中位线的性质得到，，进而结合矩形的性质和菱形的面积公式得到，，利用完全平方公式得到，再运用勾股定理即可求解。
25．【答案】（1）解：由题意得，
解得
（2）解：购买种型号吉祥物的数量个，
则购买种型号吉祥物的数量个，
且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，
，
解得，
种型号吉祥物的数量又不超过种型号吉祥物数量的2倍．
，
解得，
即，
由题知，，
整理得，
k=-3<0，随的增大而减小，
当时，的最大值为．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格结合“若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元”即可列出二元一次方程组；
（2）根据题意得到购买种型号吉祥物的数量个，则购买种型号吉祥物的数量个，进而即可列出不等式，从而解不等式即可得到x的取值范围为，再结合题意写出y与x的一次函数关系式，从而根据一次函数的性质即可求解。
26．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴
（2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标，
∴，
∴，
∴，
∴，
而
代入得：，
∴，
∴，
∵，
解得：，
当时，
∴；
当时，，
∴
【知识点】无理数的大小比较；整式的混合运算；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式结合题意即可求解；
（2）先根据题意求出，进而分类讨论：当时，当时，f分别与比较，从而即可求解。
27．【答案】（1）解：∵是的直径，点是上异于、的点，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴直线与相切；
（3）解：我认为正确，理由如下：
连接，连接交于点，如图所示：
则，
∴点在线段的中垂线上，
∵，
∴点在线段的中垂线上，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理结合题意即可求解；
（2）先根据相似三角形的判结合题意证明，进而得到，，从而进行角的运算得到，再根据切线的判定即可求解；
（3）连接，连接交于点，则，进而得到点在线段的中垂线上，点在线段的中垂线上，从而根据垂直平分线的性质得到，再根据圆周角定理得到，进而即可得到，从而根据平行线的判定与性质得到，再根据锐角三角函数的定义结合题意得到，，从而根据中点即可得到，再结合题意得到，进而即可得到，从而得到即可判断三点共线，再结合题意即可求解。
1 / 1云南省2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1．（2024·云南） 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵向北运动米记作米，
∴向南运动米可记作米 ，
故答案为：B
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量结合题意即可求解。
2．（2024·云南） 某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人，57800用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得57800用科学记数法可以表示为
故答案为：A
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字整数的位数－1.
3．（2024·云南） 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方结合题意对选项逐一分析计算即可求解。
4．（2024·云南）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使 在实数范围内有意义， 只需.
故答案为：B.
【分析】要使二次根式在实数范围内有意义，只需二次根式内是非负数，转化为不等式求解.
5．（2024·云南） 某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（ ）
A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得几何体的三视图都是长方形，
∴几何体为长方体．
故答案为：D
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意还原几何体即可求解。
6．（2024·云南） 一个七边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得七边形的内角和为（7-2）×180°=900°，
故答案为：B
【分析】根据多边形的内角和公式结合题意进行计算即可求解。
7．（2024·云南） 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
9.9 9.5 8.2 8.5
0.09 0.65 0.16 2.85
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由题意得射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲，
∴应该选择甲去参加比赛，
故答案为：A
【分析】根据平均数和方差的定义选择一个平均数最大和方差最小的运动员去参加比赛即可求解。
8．（2024·云南） 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解： 如图所示：
∵是等腰底边上的高，
∴平分，
∴点F到直线，的距离相等，
∵点到直线的距离为3，
∴点到直线的距离为3．
故答案为：C
【分析】先根据题意画出草图，进而根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可求解。
9．（2024·云南） 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设甲种药品成本的年平均下降率为，由题意得。
故答案为：B
【分析】设甲种药品成本的年平均下降率为，根据“两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元”即可列出一元二次方程。
10．（2024·云南） 按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，
∴第个代数式是
故答案为：D
【分析】根据题意观察代数式，，，，，，进而即可发现规律，从而写出第n个代数式。
11．（2024·云南） 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意得这四个字中，只有是轴对称图形，
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。
12．（2024·云南） 在中，，已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴=，
故答案为：C
【分析】根据锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
13．（2024·云南） 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】连接，先根据圆心角与弧的关系得到，进而根据圆周角定理即可求解。
14．（2024·云南） 分解因式：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得=，
故答案为：A
【分析】先提取公因式a，进而运用平方差公式进行因式分解即可求解。
15．（2024·云南） 某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．平方厘米 B．平方厘米
C．平方厘米 D．平方厘米
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：底面圆周长为厘米，
∴侧面积为平方厘米，
故答案为：
【分析】先根据题意求出圆锥的底面圆周长，进而即可求出圆锥的侧面积。
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16．（2024·云南） 若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ．
【答案】c＞1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴c＞1，
故答案为：c＞1
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可得到，进而即可求解。
17．（2024·云南） 已知点在反比例函数的图象上，则 ．
【答案】5
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴2n=10，
∴n=5，
故答案为：5
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征结合题意即可求解。
18．（2024·云南） 如图，与交于点，且．若，则 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：
【分析】根据相似三角形的判定证明，利用相似三角形的性质即可求解。
19．（2024·云南） 某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图：
注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目．
若该校共有学生人，则该校喜欢跳绳的学生大约有 人．
【答案】120
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：该校喜欢跳绳的学生大约有人，
故答案为：
【分析】根据样本估计总体的知识结合题意直接用总人数乘跳绳所占的百分比即可求解。
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20．（2024·云南） 计算：．
【答案】解：，
，
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行运算即可求解。
21．（2024·云南） 如图，在和中，，，．
求证：．
【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据题意进行角的计算得到，进而根据三角形全等的判定即可证明．
22．（2024·云南） 某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
【答案】 解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，由题意得，
解得，
经检验是该方程的解，
答：型车的平均速度为．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据题意即可列出分式方程，进而解方程，检验即可求解。
23．（2024·云南） 为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆、植物园、科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆为，选择植物园为，选择科技馆为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率．
【答案】（1）解：由题意可列表如下：
由表格可知，所有可能出现的结果总数为以上6种；
（2）.解：由表格可知，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种，
（七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据题意列表，进而即可求解；
（2）根据（1）中列表的结果得到该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种，进而即可求解。
24．（2024·云南） 如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长．
【答案】（1）解：连接，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形中，点、、、分别是各边的中点，
∴EH，HG，FG，EF分别是△ABD，△ACD，△BCD，△ABC的中位线，
，，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形中，点、、、分别是各边的中点，
，，
矩形的周长为22，
，
四边形是菱形，
即，
四边形的面积为10，
，即，
，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；中点四边形模型
【解析】【分析】（1）连接，，根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，进而根据三角形中位线定理得到，，再根据矩形的性质得到，从而结合题意根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据三角形中位线的性质得到，，进而结合矩形的性质和菱形的面积公式得到，，利用完全平方公式得到，再运用勾股定理即可求解。
25．（2024·云南）、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．
某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个）
型号 35 a
型号 42
若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元．
（1）求、的值；
（2）若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值．
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．
【答案】（1）解：由题意得，
解得
（2）解：购买种型号吉祥物的数量个，
则购买种型号吉祥物的数量个，
且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，
，
解得，
种型号吉祥物的数量又不超过种型号吉祥物数量的2倍．
，
解得，
即，
由题知，，
整理得，
k=-3<0，随的增大而减小，
当时，的最大值为．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格结合“若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元”即可列出二元一次方程组；
（2）根据题意得到购买种型号吉祥物的数量个，则购买种型号吉祥物的数量个，进而即可列出不等式，从而解不等式即可得到x的取值范围为，再结合题意写出y与x的一次函数关系式，从而根据一次函数的性质即可求解。
26．（2024·云南） 已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．
（1）求的值；
（2）比较与的大小．
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴
（2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标，
∴，
∴，
∴，
∴，
而
代入得：，
∴，
∴，
∵，
解得：，
当时，
∴；
当时，，
∴
【知识点】无理数的大小比较；整式的混合运算；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式结合题意即可求解；
（2）先根据题意求出，进而分类讨论：当时，当时，f分别与比较，从而即可求解。
27．（2024·云南） 如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点．
（1）求的度数；
（2）求证：直线与相切：
（3）看一看，想一想，证一证：
以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
【答案】（1）解：∵是的直径，点是上异于、的点，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴直线与相切；
（3）解：我认为正确，理由如下：
连接，连接交于点，如图所示：
则，
∴点在线段的中垂线上，
∵，
∴点在线段的中垂线上，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理结合题意即可求解；
（2）先根据相似三角形的判结合题意证明，进而得到，，从而进行角的运算得到，再根据切线的判定即可求解；
（3）连接，连接交于点，则，进而得到点在线段的中垂线上，点在线段的中垂线上，从而根据垂直平分线的性质得到，再根据圆周角定理得到，进而即可得到，从而根据平行线的判定与性质得到，再根据锐角三角函数的定义结合题意得到，，从而根据中点即可得到，再结合题意得到，进而即可得到，从而得到即可判断三点共线，再结合题意即可求解。
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