湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（PDF版含答案）

武汉外国语学校 2023-2024学年度下学期期末考试
高二数学试卷
命题教师： 审题教师：
考试时间：2024年 6月 26日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. (1 2x)
6
3
的展开式中 x 的系数为（ ）
A. 160 B. 160 C. 80 D. 80
2. 设 ， ， 是三个不同平面，且 m， n，则“m∥n ”是“ ∥ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 现有甲、乙、丙、丁、戊 5位同学，准备在A、 B、C三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至
少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个
景点，则不同的选法种数为（ ）
A. 24 B. 36 C. 48 D. 72
4. 现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为 1，将它重新制作成一个体积与高均不变的圆锥，则
该圆锥的底面积为（ ）
A. 2 3 B. 3 C. 3 2 3 D. 3 3
5. 下列说法中正确的是（ ）
A. 根据分类变量 x与 y的成对样本数据，计算得到 2 6.88 .依据 0.005对应的 x 7.879的独立性
检验，结论为：变量 x与 y独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.005.
B. 在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为 0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度
越窄表示回归效果越差.
C. X N , 2 ，当 不变时， 越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖.
D. 已知变量 x、 y线性相关，由样本数据算得线性回归方程式 y 0.4x a ，且由样本数据算得 x 4，
y 3.7，则 a 2 .
6. 已知等差数列 an 中，a
π
6是函数 f x sin 2x 的一个极大值点，则 tan a4 a8 的值为（ ）
6
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
3
7. 设函数 f x x3 ax 1，则下列正确的是（ ）
A. 当 a 0时， y 1不是 f x 的切线
B. 存在 a，使得 y f x 没有对称中心
C. 若 f x 有三个不同的零点 x1, x2 , x3，则 x1 x2 x3 0
D. 当 a 0时，若 x1, x2是 f x 的极值点，则 x1 x2 0
8. 已知 Sn是数列 bn 的前 n项和，若 1 2x 2025 a0 a1x a2x2 a x20252025 ，数列 bn 的首项
b a1 a 2 a 3 a 20251 2 3 2025 ，bn 1 bn 2
n n N* ，则 S2025 （ ）2 2 2 2
A 3 21014. B. 2 3 2
1012 C. 2 3 21012 D. 3 21014
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻
觅.已知点 A 2,0 ，直线 l : x 3，动点 P到点A的距离比到直线 l的距离小 1.若某直线上存在这样的点
P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）
A. 点 P的轨迹曲线是线段
B. y x 2是“最远距离直线”
C. 过点A的直线与点 P的轨迹交于M 、N 两点，则以MN为直径的圆与 y轴相交
D. 过点A的直线与点 P的轨迹交于M 、N 两点，则 MA 2 NA 的最小值为3 2 2
10. 一只口袋中装有形状、大小都相同的 8个小球，其中有黑球 2个，白球 2个，红球 4个，分别用有放
回和无放回两种不同方式依次摸出 3个球.则（ ）
3
A. 若有放回摸球，设摸出红色球的个数为 X ，则方差D X
4
3
B. 若有放回摸球，则摸出是同一种颜色球的概率
16
3
C. 若无放回摸球，设摸出红色球的个数为 X ，则期望 E X
2
1
D. 若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是 2红 1白的概率为
3
11. 设定义在R 上的函数 f x 与 g x 的导函数分别为 f x 和 g x ，若 f 2x 1 g x 2x，
g x 1 为偶函数， f x f x ，则（ ）
A. g 2 2 f 3 2 B. g 2 4
2024
C. f 3 f 33 99 D. g i 4048
i 1 2025
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 求函数 f x sin x 在点 P π,0 处的切线方程__________（请写成一般式）
x
13. F ,F C : x
2 y2
已知 1 2 是双曲线 1 a 0,b 0 的左、右焦点，以F 为圆心的圆与双曲线的两支分a2 b2 2

别在第一第二象限交于 A,B两点，且 2F1B F2A，则双曲线的离心率为___________
14. 小明对数学课上的随机游走模型充满兴趣，思维也进入丰富的想象，他将自己想象成一颗粒子，在一
个无限延展的平面上，从平面直角坐标系的原点出发，每秒向上、向下、向左、向右移动一个单位，且向
1
四个方向移动的概率均为 ，记第 n秒末小明回到原点的概率为 pn，求 p4 __________，4
n
p __________ n (Ck )2 Cn2n （与 有关的式子，附： n 2n）.
k 0
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 ABC的内角A， B，C的对边分别为 a，b，c，满足 2a cosB c a 0 .
（1）证明： B 2A；
1
（2）若 sin A ，b 4 2 ，求 ABC的面积.3
2 2
16. x y 2在平面直角坐标系 xoy中，已知椭圆 E : 2 2 1 a b 0 左焦点为F1，离心率为 ，且过点a b 2

A 2

1, ，直线 AF1 与椭圆C相交于另一点 B .
2
（1）求 E的方程；
（2）设点M 在椭圆 E上，记 OAB与△MAB的面积分别为 S1， S2 ，若 S2 2S1，求点M 的坐标.
17. 如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中， ABC是正三角形，四边形 AA1C1C为菱形， A1AC
π
，
3
A1B 2AB .
（1）证明： A1C1 A1B ；
（2）求二面角 B AA1 C1的正弦值.
18. （1）设函数 f x ln 1 ax x ，当 x 0时， f x 0恒成立，求 a的取值范围；
x 2
（2）从编号 1到 100的 100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20次，设抽到
19
20个号码互不相同的概率为 p，证明： p 9 1 10
.
e2
19. 已知有穷正项数列 an n m ，若将数列每项依次围成一圈，满足每一项等于相邻两项的乘积，则
1 1
称该数列可围成一个“T-Circle”.例如：数列 1,1,1 ， 2,1, , ,1, 22 2 都可围成“T-Circle”.
（1）设 a1 a，当m 5时，是否存在 a使该数列可围成“T-Circle”，并说明理由.
（2）若 an 的各项全不相等，且可围成“T-Circle”，写出m的取值（不必证明），并写出一个满足条件的
数列.
（3）若 an 的各项不．全．相．等．，且可围成“T-Circle”，求m的取值集合.
参考答案
1. A 2. B 3. B 4. B. 5. C. 6. D 7. C. 8. D.
9. BC 10. ACD 11. ACD
12. x πy π 0
13. 33
3
9 (Cn )2
14.①. ②. 2n
64 42n
15. （1）证明：由 2a cosB c a 0可得 2sin A cosB sinC sin A 0，
即 2sin A cos B sin（A B) sin A 0 ，化简得 sin A sin B A ，
因为 A,B为 ABC的内角，所以有 A B A，得 B 2A .
2 46 2（ ）
9
x2
16. （1） E : y 2 1
2
2 7 2 2 1 7 2
（2） 1, , , ，2 5 1 0
1, , ,
2 5 10
17. （1）取 AC的中点为O，连接 BO, A1O，
由题知 ABC, A1AC 是正三角形， A1O AC ,BO AC ，

又 AA1 AC1， A1AC ， △A1AC 为正三角形，3
A1O AC，又 A1O BO O ， AC 平面 A1BO，
又 A1C1 / /AC，所以 A1C1 平面 A1BO， A1B 平面 A1BO，
所以 A1B A1C1.
（2 6）
3
18. （1）a 2；
（2）由已知条件得，抽取的 20个号码互不相同的概率为
20
p A100 =100 99 98 81 99 98 81 20 ，100 10020 10019
因为99 81 90 9 90 9 902 92 902，
同理98 82 902，97 83 902， ，81 99 902 ，
99 98 81 9019 99 98 81 90
19 9
19
所以 ，所以 ，
10019 10019 10
9 19 1
再证： ，
10 e2
即证：19ln 9 2，即 ln 9 2 ln 9 2 ， 0，
10 10 19 10 19
由（1）得，当 x 0时， f (x) ln 1 x 2x 1 0，取 x ，
x 2 9
2
f (1) ln 1 1 9则 0，9 9 1 2
9
10 2
所以 ln 0 ln 9 2，即 0，
9 19 10 19
9 2
所以 ln 0，
10 19
19
综上， p 9 1 .
10 e2
19. （1）存在，当 a1 a， m 5时，假设存在 a使该数列可围成“T-Circle”，
有穷正项数列 an n 5 ， 由将数列每项依次围成一圈，满足每一项等于相邻两项的乘积，
得 a2 a1a3 ,a3 a2a4 ,a4 a3a5 ,a5 a1a4 ,a1 a5a2 ，
1
由最后两式可得 a2 ，故 a3 1，故 a1 a2 a且 a4 aa 5，4
结合 a5 a4a1可得 a1 1即 a 1，故 a2 1，故 a3 a4 a5 1.
故存在 a 1，使得数列 an 可围成“T-Circle”，此时数列 an 为： 1,1,1,1,1 .
3 1 1 2
（2）m 6，满足条件的一个数列为 2，3，，，，
2 2 3 3
（3）m 6k ,k N*