广东省2024年中考数学试卷

广东省2024年中考数学试卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．（2024·广东）计算的结果是（　　）
A．-2 B．-8 C．2 D．8
【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】按有理数加法法则进行计算即可.
2．（2024·广东）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：对于A，(等腰三角形)是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
对于B，(平行四边形)是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
对于C，(圆形)是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
对于D，(五角星)是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可.
3．（2024·广东）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接.数据384000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 384000 =
故答案为：B.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时， a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
4．（2024·广东）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】邻补角
【解析】【解答】解：依题意，∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，
∴∠ACE=180°-90°-30°=60°.
故答案为：C.
【分析】读题标量，往目标角及邻角进行求解标注计算角度即可.
5．（2024·广东）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，不符合题意；
对于B，，故B错误，不符合题意；
对于C，，故C错误，不符合题意；
对于D，，故D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】逐一判断选项即可，即由同底数幂乘除法判断A，B，结合合并同类项代数式加法运算判断C，幂的乘方运算判断D.
6．（2024·广东）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：在 藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化 四种区域 文化中随机选一种为“巴蜀文化”的概率：P=
故答案为：A.
【分析】由简单事件的概率公式得出结果.
7．（2024·广东）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（　　）
A．2 B．5 C．10 D．20
【答案】B
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设四个完全相同的正方形边长为a，
依题意得：，解得，
∵a>0，
∴a=5，
∴正方形的边长为5.
故答案为：B.
【分析】根据题意可以设元列方程解之即可.
8．（2024·广东）若点都在二次函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数 ，
∴当x=0时，；当x=1时，y2=1；当x=2时，y3=4.
∴
故答案为：A.
【分析】由已知二次函数解析式，可以直接求出对应点坐标比较其y值大小即可.
9．（2024·广东）方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
等式两边同乘x(x-3)得，2x=3(x-3)
解整式方程得：x=9.
经检验，x=9时，x(x-3)≠0，
∴原方程的解是x=9.
故答案为：D.
【分析】按照解分式方程的一般步骤及其运算性质解之即可.
10．（2024·广东）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解： ∵不等式的解集是，
即一次函数，令y<0，x<2，对应函数图象为B.
故答案为：B.
【分析】将一次函数图象转换为题干已知信息，即令y<0，x<2，进而观察函数在x轴下方的图象，此时x<2即可.
二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2024·广东）数据5，2，5，4，3的众数是　 　.
【答案】5
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由数据可知，“5”出现次数重复，
∴ 数据5，2，5，4，3的众数是5，
故答案为：5.
【分析】由众数的定义进行判断即可.
12．（2024·广东）关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是　 　.
【答案】x≥3
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由图可知，不等式组的解集为x≥3，
故答案为：x≥3.
【分析】由数轴表示不等式组的含义分析取公共部分即可.
13．（2024·广东）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　.
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：c=1.
故答案为：1.
【分析】由一元二次方程根的情况直接利用判别式建立关系解之即可.
14．（2024·广东）计算：　 　.
【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：1.
【分析】利用同分母分式相减运算法则计算合并约分即可.
15．（2024·广东）如图，菱形ABCD的面积为24，点是AB的中点，点是BC上的动点.若的面积为4，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】10
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD和CE，
∵四边形ABCD是菱形，且其面积为24，
∴，AB∥CD，BC∥AD，
又∵E是AB中点，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
同理，，
∴=24-6-4-4=10.
故答案为：10.
【分析】根据菱形的性质分析，由平行线的距离处处相等，即三角形间同高或等高从而根据菱形面积推出各部分三角形面积往目标面积逐步推理，利用△BEF的面积推出点F在边BC的具体位置进而推出△CDF的面积，最后利用作差计算出阴影部分的面积.
三、解答题(一):本大题共3小题,每小题7分,共21分.
16．（2024·广东）计算：.
【答案】解：
=
=2.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由零指数幂运算定义、去绝对值运算法则、算术平方根即负整数指数幂逐步计算得出结果.
17．（2024·广东）如图，在中，.
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线AD交BC于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点为圆心，DC长为半径作.
求证：AB与相切.
【答案】（1）解：如图所示，AD为所求.
（2）证明：如图所示，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，
∵AD平分∠CAD，∠ACB=∠AED=90°，
∴DE=CD=r，
∴E点在上，且DE⊥AB，
即 AB与相切 .
【知识点】角平分线的性质；切线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）按照已知角的角平分线作法作出∠A的平分线AD即可；
（2）为证AB与相切，可以先作垂线，利用角平分线的性质得出其长度等于半径长即可得证.
18．（2024·广东）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据)
（1）求PQ的长；
（2）该充电站有20个停车位，求PN的长.
【答案】（1）解：∵四边形PQMN和四边形ABCD均为矩形，
∴∠P=∠Q=∠BAD=∠ABC=90°，AD=BC，
又∵∠ABQ=60°，∠BAQ+∠DAP=90°，
∴∠BAQ=180°-∠Q-∠ABQ=30°，
∴∠DAP=60°，∠ADP=30°，
同理∠CBE=30°，
在Rt△BCE和Rt△DAP和Rt△BAQ中，
tan∠CBE=，
∴AD=BC=，
∴AP=，
同理sin∠ABQ=，
∴AQ=，
∴PQ=AP+AQ=+=.
∴PQ的长约为6.1 m.
（2）解：由（1）可知，
∠BAQ=∠CBE=30°，AB=5.4，CE=1.6，
在Rt△AQB和Rt△BCE中，
有，，
依题意，若充电站有20个停车位，
故BM=20×BE=20×3.2=64，
∴PN=QM=QB+BM=2.7+64=66.7.
∴PN的长为66.7cm.
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）由矩形性质及特殊角分析，利用特殊直角三角形边的比例关系逐一求出线段往目标线段靠拢即可；
（2）在(1)特殊直角三角形求得的边长基础上找出20个停车场的计算方式，需注意PN所在线段PD≠DG，不能通过PD直接计算20停车场的长度，可以利用矩形性质转化为求QM即可.
四、解答题（二）:本大题共3小题，每小题9分,共27分.
19．（2024·广东）端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩.为了选择一个最合适的景区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估.他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）.三个景区的得分如下表所示：
景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地
A 6 8 7 9
B 7 7 8 7
C 8 8 6 6
（1）若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩
（2）如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩
（3）如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由.
【答案】（1）解：A景区得分=（分）
B景区得分=（分）
C景区得分=（分）
答：B景区综合得分较高，故王先生会选择B景区去游玩
（2）解：A景区得分=（分）
B景区得分=（分）
C景区得分=（分）
答：此时A景区得分较高，故王先生会选择A景区去游玩
（3）解：“我”认为 特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面分占比分别是30%，30%，20%，20%，
表示更加注重自然风光和特色美食.
A景区得分=（分）
B景区得分=（分）
C景区得分=（分）
答：按个人设计百分比应选择A景区游玩.
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据加权平均数代入数值计算即可；
（2）由平均数直接计算或类比（1）计算即可；
（3）同理根据个人喜好设计百分比，说明理由并代入计算即可.
20．（2024·广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大 并求出其最大值.（题中“元”为人民币）
【答案】解：设每吨降价x万元，则此时售价为(5-x)万元，销售量为：(100+50x)，记每天的“利润”为W，
则W=(5-x-2)(100+50x)=-50x2+50x+300，
∵，-50＜0，
∴当且仅当x=0.5时，W最大，，
此时果商定价为5-0.5=4.5(万元/吨)
答：定价为4.5万元/吨时，其每天的“利润”或“销售收入”最大，最大值为312.5万元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据题意设降价更容易直接表示售价和销售量，进而表示出利润，最后结合二次函数的性质求出其最大值即可.
21．（2024·广东）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如1图所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸：
步骤2：按如2图所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如1图所示漏斗中.
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处) 用你所学的数学知识说明.
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留)
【答案】（1）解：漏斗形成的圆锥形展开侧面图为扇形，
其圆心角度数==180°，
滤纸折叠后圆心角度数为360°÷2=180°，
此时，滤纸所对展开图圆心角与漏斗展开图圆心角相等，故滤纸能紧贴此漏斗内壁.
（2）解：∵滤纸折叠后所对圆心角为180°，此时形成的底面圆形周长为：
，
即圆锥底面半径r=，
又∵滤纸母线长为5 cm，
此时由勾股定理得，圆锥高h=，
∴圆锥体积.
答：滤纸围成的圆锥形体积为.
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算；圆锥的体积
【解析】【分析】（1）将圆锥是否能贴紧内壁问题转化为求圆锥侧面展开图圆心角是否相等，代入公式计算并比较得出结果；
（2）为求圆锥体积，进一步转换利用勾股定理求出圆锥的高，代入公式即可.
五、解答题（三）:本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分.
22．（2024·广东）【知识技能】
（1）如1图，在中，DE是的中位线.连接CD，将绕点按逆时针方向旋转，得到.当点的对应点与点重合时，求证：.
（2）【数学理解】
如2图，在中是的中位线.连接CD，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线DF.求证：.
（3）【拓展探索】
如3图，在中，，点在AB上，.过点作，垂足为.在四边形ADEC内是否存在点，使得 若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：∵是由 绕点按逆时针方向旋转 得到，
其中，点E的对应点E'与点A重合，
∴DE=DE'
∴∠BAC=∠AED，
又∵DE是的中位线 ，
∴DE∥BC，
∴∠AED=∠ACB，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC.
（2）解：如图，连接AA'，
∵由旋转可知，
∠ADA'=∠CDC'，AD=A'D，DC=DC'，
∴∠DAA'=∠DA'A，∠DCC'=∠DC'C，
又∵∠DAA'+∠DA'A+∠ADA'=180°，∠DCC'+∠DC'C+∠CDC'=180°，
∴∠DCC'=∠DAA'，
∴△CDC'∽△ADA'，
∴，即，
又∵ DF是的中线，即F是A'B中点，DE是△ABC的中位线，
∴AD=BD，A'F=BF，
∴DF是△ABA'的中位线，
即，
∴，即.
（3）解：存在，理由如下，
如图，分别以AD和CE为直径作圆，连接两圆心，过点作，垂足为点F，
∵，BE=3，
∴DE=4，
在Rt△BED中，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
同理，解得，
∴，
在Rt△中，
，
其中，，故，即，
又∵<3，
，
∴，
∴两圆相交，即两圆存在交点G，
此时∠CGE=∠AGD=90°，满足.
【知识点】圆与圆的位置关系；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；手拉手相似模型
【解析】【分析】（1）由中位线的性质和旋转性质推导角度关系推出等腰即可；
（2）由目标线段的乘积关系联想旋转前后对应点后三角形的相似，由"手拉手全等"推出的"手拉手相似"，最后利用中位线的等量代换得出目标线段的等量关系；
（3）根据已知定△ABC分析易解出△BDE，为满足题意，不妨假设结论成立，即找出一个特殊的例子说明存在性即可，故而将目标互补角转换为双直角，即两圆是否存在交点的问题，进一步结合解三角形求出两圆心距离近似估值判断满足两圆相交的关系即可.
23．（2024·广东）【问题背景】
如1图，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段BD为对角线作矩形轴.反比例函数的图象经过点.
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点.
（2）如2图，把矩形ABCD沿BD折叠，点的对应点为.当点落在轴上，且点的坐标为时，求的值.
（3）【深入探究】
如3图，把矩形ABCD沿BD折叠，点的对应点为.当点E，A重合时，连接AC交BD于点.以点为圆心，AC长为半径作.若，当与的边有交点时，求的取值范围.
【答案】（1）证明：设点B(t，at)，D(s，as)，
∵四边形ABCD是矩形，且AD∥x轴，
∴点A(t，as)，C(s，at)，
∵反比例函数经过点A(t，as)，代入反比例函数中，
∴，
此时，若x=s，则y=，
故反比例函数经过点C. C
（2）解：如图，连接CE，延长CB和DA交y轴与点F和点G，
∵B(1，2)，代入直线，
∴2=a，即直线，
设点D(2m，4m)，
此时点C(2m，2)，A(1，4m)，
即BC=2m-1，CD=4m-2，BF=1，
∵四边形ABCD是矩形，△DEB是△DCB折叠所得，
∴∠DEB=∠DCB=90°，CE⊥BD，
∴∠BDC+∠CBD=∠BCE+∠DCE=90°，
∴∠CDB=∠FCE，
在Rt△CFE和Rt△DCB中，
tan∠BDC=tan∠ECF，
∴，即，
∴EF=m，
同理，∠BEF+∠EBF=∠DEG+∠EDG=90°，
在Rt△BFE和Rt△DGE中，
tan∠BEF=tan∠EDG，
∴，即，
∴GE=2，
∴OG=OF+EF+GE=2+m+2=4m，
解得m=，
∴2m=，即点C(，2)，代入 反比例函数 ，
∴k=.
（3）解：如图，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交BC于点N，
∵ 矩形ABCD沿BD折叠，点E，A重合时，
此时AB=AC，故四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC，即∠BOM=45°，
∴OM=PM，
在等腰Rt△OMP中，
∵，
∴由勾股定理得OM=PM=3，即点P(3，3)
设点B(a，a)，则C(6-a，a)，D(6-a，6-a)，A(a，-a+6)，
易得直线AC的解析式为y=-x+6，此时k=a(-a+6)=，
∴当03时，y随x增大而减小，当a=3时，k最大，
即当BD越短或AC越短时，k越大.
①若圆经过点B时，如图，此时OB=AC，其OB最小，k最大，
又∵BD=2BP，
∴OB=2BP，即OB=，
由勾股定理得，解得a=4，
∴k=a(-a+6)=4×2=8；
②由对称可知，若圆经过点A或点C时，如图，此时OB=AC，其OB最小，k最大，
同理，OA=AC=2AP，
∵∠APB=90°，
∴∠AOP=30°，OP=，
∴OB=，
由勾股定理，解得a=，
此时k=a(-a+6)==6；
综上所述，6≤k≤8.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质；反比例函数-动态几何问题；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和正比例函数表示矩形的四个顶点ABCD，设点代入A表示k，检验C是否在满足该关系式即可；
（2）同理设元表示矩形四个顶点的坐标，利用翻折的勾股或相似得出第一条等量关系，即，进而利用矩形性质利用一线三垂直相似得到第二条关系式，即，建立等量关系后解之即可；
（3）结合对称性翻折分析可知此时矩形ABCD为正方形，进而利用正方形和反比例函数的对称性分析表示点坐标，其中，k的动态变化可通过二次函数分析，最后利用临界交点结合正方形性质及特殊角的比例关系分析找出等量关系解之即可得出k值.
1 / 1广东省2024年中考数学试卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．（2024·广东）计算的结果是（　　）
A．-2 B．-8 C．2 D．8
2．（2024·广东）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·广东）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接.数据384000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·广东）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·广东）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·广东）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·广东）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（　　）
A．2 B．5 C．10 D．20
8．（2024·广东）若点都在二次函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2024·广东）方程的解是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·广东）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2024·广东）数据5，2，5，4，3的众数是　 　.
12．（2024·广东）关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是　 　.
13．（2024·广东）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　.
14．（2024·广东）计算：　 　.
15．（2024·广东）如图，菱形ABCD的面积为24，点是AB的中点，点是BC上的动点.若的面积为4，则图中阴影部分的面积为　 　.
三、解答题(一):本大题共3小题,每小题7分,共21分.
16．（2024·广东）计算：.
17．（2024·广东）如图，在中，.
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线AD交BC于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点为圆心，DC长为半径作.
求证：AB与相切.
18．（2024·广东）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据)
（1）求PQ的长；
（2）该充电站有20个停车位，求PN的长.
四、解答题（二）:本大题共3小题，每小题9分,共27分.
19．（2024·广东）端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩.为了选择一个最合适的景区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估.他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）.三个景区的得分如下表所示：
景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地
A 6 8 7 9
B 7 7 8 7
C 8 8 6 6
（1）若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩
（2）如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩
（3）如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由.
20．（2024·广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大 并求出其最大值.（题中“元”为人民币）
21．（2024·广东）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如1图所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸：
步骤2：按如2图所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如1图所示漏斗中.
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处) 用你所学的数学知识说明.
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留)
五、解答题（三）:本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分.
22．（2024·广东）【知识技能】
（1）如1图，在中，DE是的中位线.连接CD，将绕点按逆时针方向旋转，得到.当点的对应点与点重合时，求证：.
（2）【数学理解】
如2图，在中是的中位线.连接CD，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线DF.求证：.
（3）【拓展探索】
如3图，在中，，点在AB上，.过点作，垂足为.在四边形ADEC内是否存在点，使得 若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.
23．（2024·广东）【问题背景】
如1图，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段BD为对角线作矩形轴.反比例函数的图象经过点.
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点.
（2）如2图，把矩形ABCD沿BD折叠，点的对应点为.当点落在轴上，且点的坐标为时，求的值.
（3）【深入探究】
如3图，把矩形ABCD沿BD折叠，点的对应点为.当点E，A重合时，连接AC交BD于点.以点为圆心，AC长为半径作.若，当与的边有交点时，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】按有理数加法法则进行计算即可.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：对于A，(等腰三角形)是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
对于B，(平行四边形)是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
对于C，(圆形)是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
对于D，(五角星)是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 384000 =
故答案为：B.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时， a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
4．【答案】C
【知识点】邻补角
【解析】【解答】解：依题意，∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，
∴∠ACE=180°-90°-30°=60°.
故答案为：C.
【分析】读题标量，往目标角及邻角进行求解标注计算角度即可.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，不符合题意；
对于B，，故B错误，不符合题意；
对于C，，故C错误，不符合题意；
对于D，，故D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】逐一判断选项即可，即由同底数幂乘除法判断A，B，结合合并同类项代数式加法运算判断C，幂的乘方运算判断D.
6．【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：在 藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化 四种区域 文化中随机选一种为“巴蜀文化”的概率：P=
故答案为：A.
【分析】由简单事件的概率公式得出结果.
7．【答案】B
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设四个完全相同的正方形边长为a，
依题意得：，解得，
∵a>0，
∴a=5，
∴正方形的边长为5.
故答案为：B.
【分析】根据题意可以设元列方程解之即可.
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数 ，
∴当x=0时，；当x=1时，y2=1；当x=2时，y3=4.
∴
故答案为：A.
【分析】由已知二次函数解析式，可以直接求出对应点坐标比较其y值大小即可.
9．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
等式两边同乘x(x-3)得，2x=3(x-3)
解整式方程得：x=9.
经检验，x=9时，x(x-3)≠0，
∴原方程的解是x=9.
故答案为：D.
【分析】按照解分式方程的一般步骤及其运算性质解之即可.
10．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解： ∵不等式的解集是，
即一次函数，令y<0，x<2，对应函数图象为B.
故答案为：B.
【分析】将一次函数图象转换为题干已知信息，即令y<0，x<2，进而观察函数在x轴下方的图象，此时x<2即可.
11．【答案】5
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由数据可知，“5”出现次数重复，
∴ 数据5，2，5，4，3的众数是5，
故答案为：5.
【分析】由众数的定义进行判断即可.
12．【答案】x≥3
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由图可知，不等式组的解集为x≥3，
故答案为：x≥3.
【分析】由数轴表示不等式组的含义分析取公共部分即可.
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：c=1.
故答案为：1.
【分析】由一元二次方程根的情况直接利用判别式建立关系解之即可.
14．【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：1.
【分析】利用同分母分式相减运算法则计算合并约分即可.
15．【答案】10
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD和CE，
∵四边形ABCD是菱形，且其面积为24，
∴，AB∥CD，BC∥AD，
又∵E是AB中点，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
同理，，
∴=24-6-4-4=10.
故答案为：10.
【分析】根据菱形的性质分析，由平行线的距离处处相等，即三角形间同高或等高从而根据菱形面积推出各部分三角形面积往目标面积逐步推理，利用△BEF的面积推出点F在边BC的具体位置进而推出△CDF的面积，最后利用作差计算出阴影部分的面积.
16．【答案】解：
=
=2.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由零指数幂运算定义、去绝对值运算法则、算术平方根即负整数指数幂逐步计算得出结果.
17．【答案】（1）解：如图所示，AD为所求.
（2）证明：如图所示，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，
∵AD平分∠CAD，∠ACB=∠AED=90°，
∴DE=CD=r，
∴E点在上，且DE⊥AB，
即 AB与相切 .
【知识点】角平分线的性质；切线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）按照已知角的角平分线作法作出∠A的平分线AD即可；
（2）为证AB与相切，可以先作垂线，利用角平分线的性质得出其长度等于半径长即可得证.
18．【答案】（1）解：∵四边形PQMN和四边形ABCD均为矩形，
∴∠P=∠Q=∠BAD=∠ABC=90°，AD=BC，
又∵∠ABQ=60°，∠BAQ+∠DAP=90°，
∴∠BAQ=180°-∠Q-∠ABQ=30°，
∴∠DAP=60°，∠ADP=30°，
同理∠CBE=30°，
在Rt△BCE和Rt△DAP和Rt△BAQ中，
tan∠CBE=，
∴AD=BC=，
∴AP=，
同理sin∠ABQ=，
∴AQ=，
∴PQ=AP+AQ=+=.
∴PQ的长约为6.1 m.
（2）解：由（1）可知，
∠BAQ=∠CBE=30°，AB=5.4，CE=1.6，
在Rt△AQB和Rt△BCE中，
有，，
依题意，若充电站有20个停车位，
故BM=20×BE=20×3.2=64，
∴PN=QM=QB+BM=2.7+64=66.7.
∴PN的长为66.7cm.
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）由矩形性质及特殊角分析，利用特殊直角三角形边的比例关系逐一求出线段往目标线段靠拢即可；
（2）在(1)特殊直角三角形求得的边长基础上找出20个停车场的计算方式，需注意PN所在线段PD≠DG，不能通过PD直接计算20停车场的长度，可以利用矩形性质转化为求QM即可.
19．【答案】（1）解：A景区得分=（分）
B景区得分=（分）
C景区得分=（分）
答：B景区综合得分较高，故王先生会选择B景区去游玩
（2）解：A景区得分=（分）
B景区得分=（分）
C景区得分=（分）
答：此时A景区得分较高，故王先生会选择A景区去游玩
（3）解：“我”认为 特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面分占比分别是30%，30%，20%，20%，
表示更加注重自然风光和特色美食.
A景区得分=（分）
B景区得分=（分）
C景区得分=（分）
答：按个人设计百分比应选择A景区游玩.
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据加权平均数代入数值计算即可；
（2）由平均数直接计算或类比（1）计算即可；
（3）同理根据个人喜好设计百分比，说明理由并代入计算即可.
20．【答案】解：设每吨降价x万元，则此时售价为(5-x)万元，销售量为：(100+50x)，记每天的“利润”为W，
则W=(5-x-2)(100+50x)=-50x2+50x+300，
∵，-50＜0，
∴当且仅当x=0.5时，W最大，，
此时果商定价为5-0.5=4.5(万元/吨)
答：定价为4.5万元/吨时，其每天的“利润”或“销售收入”最大，最大值为312.5万元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据题意设降价更容易直接表示售价和销售量，进而表示出利润，最后结合二次函数的性质求出其最大值即可.
21．【答案】（1）解：漏斗形成的圆锥形展开侧面图为扇形，
其圆心角度数==180°，
滤纸折叠后圆心角度数为360°÷2=180°，
此时，滤纸所对展开图圆心角与漏斗展开图圆心角相等，故滤纸能紧贴此漏斗内壁.
（2）解：∵滤纸折叠后所对圆心角为180°，此时形成的底面圆形周长为：
，
即圆锥底面半径r=，
又∵滤纸母线长为5 cm，
此时由勾股定理得，圆锥高h=，
∴圆锥体积.
答：滤纸围成的圆锥形体积为.
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算；圆锥的体积
【解析】【分析】（1）将圆锥是否能贴紧内壁问题转化为求圆锥侧面展开图圆心角是否相等，代入公式计算并比较得出结果；
（2）为求圆锥体积，进一步转换利用勾股定理求出圆锥的高，代入公式即可.
22．【答案】（1）证明：∵是由 绕点按逆时针方向旋转 得到，
其中，点E的对应点E'与点A重合，
∴DE=DE'
∴∠BAC=∠AED，
又∵DE是的中位线 ，
∴DE∥BC，
∴∠AED=∠ACB，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC.
（2）解：如图，连接AA'，
∵由旋转可知，
∠ADA'=∠CDC'，AD=A'D，DC=DC'，
∴∠DAA'=∠DA'A，∠DCC'=∠DC'C，
又∵∠DAA'+∠DA'A+∠ADA'=180°，∠DCC'+∠DC'C+∠CDC'=180°，
∴∠DCC'=∠DAA'，
∴△CDC'∽△ADA'，
∴，即，
又∵ DF是的中线，即F是A'B中点，DE是△ABC的中位线，
∴AD=BD，A'F=BF，
∴DF是△ABA'的中位线，
即，
∴，即.
（3）解：存在，理由如下，
如图，分别以AD和CE为直径作圆，连接两圆心，过点作，垂足为点F，
∵，BE=3，
∴DE=4，
在Rt△BED中，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
同理，解得，
∴，
在Rt△中，
，
其中，，故，即，
又∵<3，
，
∴，
∴两圆相交，即两圆存在交点G，
此时∠CGE=∠AGD=90°，满足.
【知识点】圆与圆的位置关系；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；手拉手相似模型
【解析】【分析】（1）由中位线的性质和旋转性质推导角度关系推出等腰即可；
（2）由目标线段的乘积关系联想旋转前后对应点后三角形的相似，由"手拉手全等"推出的"手拉手相似"，最后利用中位线的等量代换得出目标线段的等量关系；
（3）根据已知定△ABC分析易解出△BDE，为满足题意，不妨假设结论成立，即找出一个特殊的例子说明存在性即可，故而将目标互补角转换为双直角，即两圆是否存在交点的问题，进一步结合解三角形求出两圆心距离近似估值判断满足两圆相交的关系即可.
23．【答案】（1）证明：设点B(t，at)，D(s，as)，
∵四边形ABCD是矩形，且AD∥x轴，
∴点A(t，as)，C(s，at)，
∵反比例函数经过点A(t，as)，代入反比例函数中，
∴，
此时，若x=s，则y=，
故反比例函数经过点C. C
（2）解：如图，连接CE，延长CB和DA交y轴与点F和点G，
∵B(1，2)，代入直线，
∴2=a，即直线，
设点D(2m，4m)，
此时点C(2m，2)，A(1，4m)，
即BC=2m-1，CD=4m-2，BF=1，
∵四边形ABCD是矩形，△DEB是△DCB折叠所得，
∴∠DEB=∠DCB=90°，CE⊥BD，
∴∠BDC+∠CBD=∠BCE+∠DCE=90°，
∴∠CDB=∠FCE，
在Rt△CFE和Rt△DCB中，
tan∠BDC=tan∠ECF，
∴，即，
∴EF=m，
同理，∠BEF+∠EBF=∠DEG+∠EDG=90°，
在Rt△BFE和Rt△DGE中，
tan∠BEF=tan∠EDG，
∴，即，
∴GE=2，
∴OG=OF+EF+GE=2+m+2=4m，
解得m=，
∴2m=，即点C(，2)，代入 反比例函数 ，
∴k=.
（3）解：如图，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交BC于点N，
∵ 矩形ABCD沿BD折叠，点E，A重合时，
此时AB=AC，故四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC，即∠BOM=45°，
∴OM=PM，
在等腰Rt△OMP中，
∵，
∴由勾股定理得OM=PM=3，即点P(3，3)
设点B(a，a)，则C(6-a，a)，D(6-a，6-a)，A(a，-a+6)，
易得直线AC的解析式为y=-x+6，此时k=a(-a+6)=，
∴当03时，y随x增大而减小，当a=3时，k最大，
即当BD越短或AC越短时，k越大.
①若圆经过点B时，如图，此时OB=AC，其OB最小，k最大，
又∵BD=2BP，
∴OB=2BP，即OB=，
由勾股定理得，解得a=4，
∴k=a(-a+6)=4×2=8；
②由对称可知，若圆经过点A或点C时，如图，此时OB=AC，其OB最小，k最大，
同理，OA=AC=2AP，
∵∠APB=90°，
∴∠AOP=30°，OP=，
∴OB=，
由勾股定理，解得a=，
此时k=a(-a+6)==6；
综上所述，6≤k≤8.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质；反比例函数-动态几何问题；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和正比例函数表示矩形的四个顶点ABCD，设点代入A表示k，检验C是否在满足该关系式即可；
（2）同理设元表示矩形四个顶点的坐标，利用翻折的勾股或相似得出第一条等量关系，即，进而利用矩形性质利用一线三垂直相似得到第二条关系式，即，建立等量关系后解之即可；
（3）结合对称性翻折分析可知此时矩形ABCD为正方形，进而利用正方形和反比例函数的对称性分析表示点坐标，其中，k的动态变化可通过二次函数分析，最后利用临界交点结合正方形性质及特殊角的比例关系分析找出等量关系解之即可得出k值.
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