【提升版】北师大版数学八上1.3勾股定理的应用 同步练习
一、选择题
1．（2022八上·长春期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是x尺，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度是x尺，利用勾股定理可得。
2．（2024八上·深圳期末） 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度。将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1. 2米，则适合小华的绳长为（ ）
A．2. 2米 B．2. 4米 C．2. 6米 D．2. 8米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：标字母如图所示，过C作CD⊥AB于点D.
由题意得：AC=BC，AB=1米，
∴AD=BD=0.5（米）.
在Rt△BCD中，∴BD=1.2米，
∴BC=AC===1.3（米），
∴绳长为1.3×2=2.6（米）.
故答案为：C.
【分析】由题意得出图形是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理求解即可.
3．（2024八上·信宜期末）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：底面的斜边长度为：，电梯对角的长度为：，
故答案为：B
【分析】先用勾股定理计算出底面的斜边长度，再用勾股定理计算出电梯对角的长度即可.
4．（2024八上·盐田期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的各边长为a，b，c，满足a2+c2=c2，
可以得到：阴影部分面积+小正方形面积+大正方形面积－重叠部分面积=最大正方形面积，
即：阴影部分面积+a2+b2－重叠部分面积=c2.
所以有阴影部分面积＝重叠部分面积.
故答案为：C.
【分析】结合勾股定理的几何意义，将三个正方形的面积联系起来，再用两种方法表示出最大正方形的面积，问题得到解决.
5．（2023八上·长春期中）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A、B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，AB两点之间水平距离是4，则AP+PB最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时AP+PB最小；
则PA=PA'，
∴AP+PB=PA'+PA=A'B，
过点B作BC⊥AA'于点C，
则OA'=OA=2，OC=1，BC=4，
∴A'C=OA'+OC=2+1=3，
∴
∴AP+PB最小值=5．
故答案为：C．
【分析】作A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时AP+PB最小，AP+PB的最小值=A'B，再利用勾股定理求解．
6．（2023八上·织金期中）如图，是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标注的尺寸，（单位：），可得两圆孔中心和的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由图可得：AC=120-60=120mm，BC=140-60=80mm，
在Rt△ACB中，
故答案为：D.
【分析】直接利用勾股定理可得进而求解.
7．（2023八上·黄岛期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，
则DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故答案为：C．
【分析】先构造直角三角形，再根据勾股定理列方程求解．
8．（2024八上·南山期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，，
在中，由勾股定理得；，
∵，
在中，由勾股定理得；（），
故答案为：D.
【分析】在中，由勾股定理得；，在中，由勾股定理得；，计算求解即可．
二、填空题
9．（2021八上·兰溪期中）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 ．
【答案】76
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则，
解得：，
“数学风车”的外围周长．
故答案为：76.
【分析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，由勾股定理可得x的值，然后结合周长的定义进行计算.
10．（2023八上·温州期中）图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“L型”托架A-C-E用于放置手机，支架BD两端分别与托架和底座MN(其厚度忽略不计)相连，支架B端可调节旋转角度，已知BD=6cm，AB=2BD=4BC，支架调整到图2位置时，∠BDM=60°，∠ABD=120°．因实际需要，现将支架B端角度调整为∠ABD=150°，如图3所示，则点A的位置较原来的位置上升高度为 cm．
【答案】12-6
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：以AB为斜边的60度角所对直角边的长为ABsin60=12×（cm），所以 点A的位置较原来的位置上升高度为 （ 12-6 ）cm.
故答案为： 12-6 .
【分析】经分析，可知B点位置不变，只需求得以AB为斜边的60度角所对直角边的长，用AB去减这个长度即可.
11．（2023八上·渠县月考）已知，如图，一轮船从港口A出发向东北方向航行了50海里，另一轮船同时从港口A出发向东南方向航行120海里，此时则两船相距 海里 .
【答案】130
【知识点】钟面角、方位角；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
由题意得：AB=50海里，AC=120海里，
∴BC==130海里，
∴ 此时则两船相距130海里 .
故答案为：130.
【分析】由题意得∠BAC=90°，AB=50海里，AC=120海里，利用勾股定理求出BC的长即可.
12．（2021八上·青冈期末）在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是 尺．
【答案】3.75
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设这个湖的水深是x尺，则荷花的长为（x+0.5）尺，
根据题意，得，
解得：x=3.75，
∴这个湖的水深是3.75尺．
故答案为：3.75．
【分析】设这个湖的水深是x尺，则荷花的长为（x+0.5）尺，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
13．（2023八上·杭州月考）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固定的钢架外，AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架.如图1所示，，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC，CE两边上，其中.当伸缩杆PQ打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架CD的长度为 .当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高(CD与AB之间的距离）为 cm.
【答案】8；12
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：第一空：当∠ADC=180°时，如左图2：
∵CQ=20cm，PQ=cm，CP=7cm，
∴CP2+CQ2=PQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠PCQ=90°，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
（13+CD）2+202=292，
解得：CD=8cm.
第二空：如图：过点C作CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，
∵AB=29cm，CD=8cm，
∴AF+BH=AB-FH=AB-CD=21cm，
设AF=xcm，则BH=（21-x)cm，
∵DF==CH=，
∴，
解得：x=5cm，
∴DF=（cm）.
故答案为：8，12.
【分析】第一空：当∠ADC=180°时，根据勾股定理的逆定理可判断△PCQ是直角三角形，于是在Rt△ABC中，用勾股定理可得关于CD的方程，解方程可求解；
第二空：过点C作CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，设AF=xcm，则BH=（21-x)cm，根据DF=CH可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后用勾股定理可求得DF的值.
三、解答题
14．（2020八上·四川月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 由 行驶向 ，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ， 的距离分别为 ， ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）求 的度数．
（2）海港 受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点 处时，海港 刚好受到影响，当台风运动到点 时，海港 刚好不受影响，即 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解： ， ， ，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°
（2）解：海港 受台风影响，
过点 作 ，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
海港 受台风影响．
（3）解：当 ， 时，正好影响 港口，
，
，
台风的速度为 千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
15．（2022八上·吴兴期中）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：
①测得BD的长度为24米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米；
③牵线放风筝的小明身高AB为1.68米．
（1）求风筝的高度CE；
（2）若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M（即CM=8米），则他往回收线多少米？
【答案】（1）解：在Rt△CDB中，BC=30米，BD=24米，
∴CD2=BC2-BD2=302-242=182，
∴CD=18米，
又∵AB=1.68米，
∴CE=CD+DE=CD+AB=18+1.68=19.68米，
∴风筝的高度CE为19.68米．
（2）解：如图所示，连接MB，
∵CM=8米，CD=18米，
∴MD=CD-CM=18-8=10米
在Rt△MDB中，由勾股定理得：MB2=MD2+102+242=262，
∴MB=26，
∴往回收线的长度=BC-MB=30-26=4米.
答：他往回收线4米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求得CD的长，再通过线段和差关系可得CE=CD+DE=CD+AB，代入数据求得CE的长，即可解答；
（2）如图所示，连接MB，易得MD=10米，再通过勾股定理求得MB的长，即可解答.
16．（2023八上·埇桥期中）某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米.
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为17.62米
（2）解：由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线7米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再利用线段的和差求出CE的长即可；
（2）先利用勾股定理求出BM的长，再利用线段的和差求出答案即可.
17．（2023八上·双流月考）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）求证：；
（2）求原来的路线的长；
【答案】（1）证明：千米，千米，千米，
，
，
为直角三角形，
；
（2）解：设千米，则千米．
，，
，即，
解得：．
答：原来的路线的长为千米．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△CDB为直角三角形，即可得证；
（2）设千米，则千米，根据勾股定理，即可求解．
18．（2021八上·龙岗月考）如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．
【答案】解：∵车宽1.6米，
∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．
在Rt△OEF中，
由勾股定理可得：
（m），
EH＝EF＋FH＝0.6＋2.3＝2.9＞2.5，
∴卡车能通过此门．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意得出EF的长，进而得出EH的长，即可得出答案。
19．（2021八上·榆林期末）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以 米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以 米/秒的速度由南向北行驶（如图）.已知赛车之间的距离小于或等于 米时，遥控信号会产生相互干扰， 米， 米，
（1）出发 秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
（2）当两赛车距A点的距离之和为 米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】（1）解：出发3秒钟时， 米， 米
米， 米
米， 米
（米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰
（2）解：设出发t秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得， ，解得
此时AC1=20，AB1=15，
此时
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰
答：当两赛车的距离之和为35米时，遥控信号将会产生干扰.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）出发3秒钟时，CC1=12米，BB1=9米，根据AC、AB的值求出AC1、AB1，然后利用勾股定理求出B1C1，最后与25进行比较即可判断；
（2）设出发t秒钟时，两赛车距A点的距离之和为35米，由题意可得40-4t+30-3t=35，求出t的值，进而得到AC1，AB1的值，利用勾股定理求出B1C1，据此判断.
20．（2023八上·信宜月考）综合实践
【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离.
（1）【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
（2）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端下滑的距离是多少米？
（3）【问题解决】在演练中，高24m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员.经验表明，云梯篚墙抾放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全.在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的墙头去救报被困人员？
【答案】（1）解：在 中
（2）解：由（1）可知AC=24m，
在 Rt 中
∴，
∴．
（3）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的，
则能够到达墙面的最大高度为．
∵，
∴，
因此，云梯的顶端能到达24m高的墙头去救援被困人员．
【知识点】勾股定理的应用
1 / 1【提升版】北师大版数学八上1.3勾股定理的应用 同步练习
一、选择题
1．（2022八上·长春期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·深圳期末） 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度。将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1. 2米，则适合小华的绳长为（ ）
A．2. 2米 B．2. 4米 C．2. 6米 D．2. 8米
3．（2024八上·信宜期末）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·盐田期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
5．（2023八上·长春期中）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A、B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，AB两点之间水平距离是4，则AP+PB最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2023八上·织金期中）如图，是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标注的尺寸，（单位：），可得两圆孔中心和的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·黄岛期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
8．（2024八上·南山期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021八上·兰溪期中）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 ．
10．（2023八上·温州期中）图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“L型”托架A-C-E用于放置手机，支架BD两端分别与托架和底座MN(其厚度忽略不计)相连，支架B端可调节旋转角度，已知BD=6cm，AB=2BD=4BC，支架调整到图2位置时，∠BDM=60°，∠ABD=120°．因实际需要，现将支架B端角度调整为∠ABD=150°，如图3所示，则点A的位置较原来的位置上升高度为 cm．
11．（2023八上·渠县月考）已知，如图，一轮船从港口A出发向东北方向航行了50海里，另一轮船同时从港口A出发向东南方向航行120海里，此时则两船相距 海里 .
12．（2021八上·青冈期末）在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是 尺．
13．（2023八上·杭州月考）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固定的钢架外，AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架.如图1所示，，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC，CE两边上，其中.当伸缩杆PQ打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架CD的长度为 .当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高(CD与AB之间的距离）为 cm.
三、解答题
14．（2020八上·四川月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 由 行驶向 ，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ， 的距离分别为 ， ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）求 的度数．
（2）海港 受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点 处时，海港 刚好受到影响，当台风运动到点 时，海港 刚好不受影响，即 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
15．（2022八上·吴兴期中）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：
①测得BD的长度为24米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米；
③牵线放风筝的小明身高AB为1.68米．
（1）求风筝的高度CE；
（2）若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M（即CM=8米），则他往回收线多少米？
16．（2023八上·埇桥期中）某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米.
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
17．（2023八上·双流月考）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）求证：；
（2）求原来的路线的长；
18．（2021八上·龙岗月考）如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．
19．（2021八上·榆林期末）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以 米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以 米/秒的速度由南向北行驶（如图）.已知赛车之间的距离小于或等于 米时，遥控信号会产生相互干扰， 米， 米，
（1）出发 秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
（2）当两赛车距A点的距离之和为 米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
20．（2023八上·信宜月考）综合实践
【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离.
（1）【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
（2）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端下滑的距离是多少米？
（3）【问题解决】在演练中，高24m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员.经验表明，云梯篚墙抾放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全.在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的墙头去救报被困人员？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是x尺，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度是x尺，利用勾股定理可得。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：标字母如图所示，过C作CD⊥AB于点D.
由题意得：AC=BC，AB=1米，
∴AD=BD=0.5（米）.
在Rt△BCD中，∴BD=1.2米，
∴BC=AC===1.3（米），
∴绳长为1.3×2=2.6（米）.
故答案为：C.
【分析】由题意得出图形是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理求解即可.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：底面的斜边长度为：，电梯对角的长度为：，
故答案为：B
【分析】先用勾股定理计算出底面的斜边长度，再用勾股定理计算出电梯对角的长度即可.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的各边长为a，b，c，满足a2+c2=c2，
可以得到：阴影部分面积+小正方形面积+大正方形面积－重叠部分面积=最大正方形面积，
即：阴影部分面积+a2+b2－重叠部分面积=c2.
所以有阴影部分面积＝重叠部分面积.
故答案为：C.
【分析】结合勾股定理的几何意义，将三个正方形的面积联系起来，再用两种方法表示出最大正方形的面积，问题得到解决.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时AP+PB最小；
则PA=PA'，
∴AP+PB=PA'+PA=A'B，
过点B作BC⊥AA'于点C，
则OA'=OA=2，OC=1，BC=4，
∴A'C=OA'+OC=2+1=3，
∴
∴AP+PB最小值=5．
故答案为：C．
【分析】作A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时AP+PB最小，AP+PB的最小值=A'B，再利用勾股定理求解．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由图可得：AC=120-60=120mm，BC=140-60=80mm，
在Rt△ACB中，
故答案为：D.
【分析】直接利用勾股定理可得进而求解.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，
则DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故答案为：C．
【分析】先构造直角三角形，再根据勾股定理列方程求解．
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，，
在中，由勾股定理得；，
∵，
在中，由勾股定理得；（），
故答案为：D.
【分析】在中，由勾股定理得；，在中，由勾股定理得；，计算求解即可．
9．【答案】76
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则，
解得：，
“数学风车”的外围周长．
故答案为：76.
【分析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，由勾股定理可得x的值，然后结合周长的定义进行计算.
10．【答案】12-6
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：以AB为斜边的60度角所对直角边的长为ABsin60=12×（cm），所以 点A的位置较原来的位置上升高度为 （ 12-6 ）cm.
故答案为： 12-6 .
【分析】经分析，可知B点位置不变，只需求得以AB为斜边的60度角所对直角边的长，用AB去减这个长度即可.
11．【答案】130
【知识点】钟面角、方位角；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
由题意得：AB=50海里，AC=120海里，
∴BC==130海里，
∴ 此时则两船相距130海里 .
故答案为：130.
【分析】由题意得∠BAC=90°，AB=50海里，AC=120海里，利用勾股定理求出BC的长即可.
12．【答案】3.75
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设这个湖的水深是x尺，则荷花的长为（x+0.5）尺，
根据题意，得，
解得：x=3.75，
∴这个湖的水深是3.75尺．
故答案为：3.75．
【分析】设这个湖的水深是x尺，则荷花的长为（x+0.5）尺，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
13．【答案】8；12
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：第一空：当∠ADC=180°时，如左图2：
∵CQ=20cm，PQ=cm，CP=7cm，
∴CP2+CQ2=PQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠PCQ=90°，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
（13+CD）2+202=292，
解得：CD=8cm.
第二空：如图：过点C作CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，
∵AB=29cm，CD=8cm，
∴AF+BH=AB-FH=AB-CD=21cm，
设AF=xcm，则BH=（21-x)cm，
∵DF==CH=，
∴，
解得：x=5cm，
∴DF=（cm）.
故答案为：8，12.
【分析】第一空：当∠ADC=180°时，根据勾股定理的逆定理可判断△PCQ是直角三角形，于是在Rt△ABC中，用勾股定理可得关于CD的方程，解方程可求解；
第二空：过点C作CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，设AF=xcm，则BH=（21-x)cm，根据DF=CH可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后用勾股定理可求得DF的值.
14．【答案】（1）解： ， ， ，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°
（2）解：海港 受台风影响，
过点 作 ，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
海港 受台风影响．
（3）解：当 ， 时，正好影响 港口，
，
，
台风的速度为 千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
15．【答案】（1）解：在Rt△CDB中，BC=30米，BD=24米，
∴CD2=BC2-BD2=302-242=182，
∴CD=18米，
又∵AB=1.68米，
∴CE=CD+DE=CD+AB=18+1.68=19.68米，
∴风筝的高度CE为19.68米．
（2）解：如图所示，连接MB，
∵CM=8米，CD=18米，
∴MD=CD-CM=18-8=10米
在Rt△MDB中，由勾股定理得：MB2=MD2+102+242=262，
∴MB=26，
∴往回收线的长度=BC-MB=30-26=4米.
答：他往回收线4米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求得CD的长，再通过线段和差关系可得CE=CD+DE=CD+AB，代入数据求得CE的长，即可解答；
（2）如图所示，连接MB，易得MD=10米，再通过勾股定理求得MB的长，即可解答.
16．【答案】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为17.62米
（2）解：由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线7米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再利用线段的和差求出CE的长即可；
（2）先利用勾股定理求出BM的长，再利用线段的和差求出答案即可.
17．【答案】（1）证明：千米，千米，千米，
，
，
为直角三角形，
；
（2）解：设千米，则千米．
，，
，即，
解得：．
答：原来的路线的长为千米．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△CDB为直角三角形，即可得证；
（2）设千米，则千米，根据勾股定理，即可求解．
18．【答案】解：∵车宽1.6米，
∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．
在Rt△OEF中，
由勾股定理可得：
（m），
EH＝EF＋FH＝0.6＋2.3＝2.9＞2.5，
∴卡车能通过此门．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意得出EF的长，进而得出EH的长，即可得出答案。
19．【答案】（1）解：出发3秒钟时， 米， 米
米， 米
米， 米
（米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰
（2）解：设出发t秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得， ，解得
此时AC1=20，AB1=15，
此时
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰
答：当两赛车的距离之和为35米时，遥控信号将会产生干扰.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）出发3秒钟时，CC1=12米，BB1=9米，根据AC、AB的值求出AC1、AB1，然后利用勾股定理求出B1C1，最后与25进行比较即可判断；
（2）设出发t秒钟时，两赛车距A点的距离之和为35米，由题意可得40-4t+30-3t=35，求出t的值，进而得到AC1，AB1的值，利用勾股定理求出B1C1，据此判断.
20．【答案】（1）解：在 中
（2）解：由（1）可知AC=24m，
在 Rt 中
∴，
∴．
（3）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的，
则能够到达墙面的最大高度为．
∵，
∴，
因此，云梯的顶端能到达24m高的墙头去救援被困人员．
【知识点】勾股定理的应用
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