【培优版】北师大版数学八上1.3勾股定理的应用 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·从江开学考）如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
如图，当棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短；
底面周长为：，分成三等份后每份为6，则AC=
最短路程=ACC+DC+BC=10×3=30
故答案为：B.
【分析】棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短，由勾股定理求出AC长即可求解。
2．（2020八上·运城期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用 、 表示直角三角形的两直角边 ，下列四个说法：① ，② ，③ ，④ ．其中说法正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图所示，
∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理： ，故①符合题意；
由图可知 ，故②不符合题意；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为 ，
即 ，故③符合题意；
由 可得 ，
又∵ ，
两式相加得： ，
整理得： ，
，故④不符合题意；
故正确的是①③．
故答案选A．
【分析】根据直角三角形三边关系及正方形的性质，通过图形找他们之间的关系，逐项判定即可。
3．（2020八上·龙岗月考）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的， ， ， .点D，E，F，G，H，I都在矩形 的边上，则矩形 的面积为（ ）．
A．288 B．400 C．432 D．440
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，
则△ABC≌△PFB≌△QCG，
∴PB=AC=8，CQ=AB=6，
∵图2是由图1放入矩形内得到，
∴IP=8+6+8=22，
DQ=6+8+6=20，
∴矩形KLMJ的面积=22×20=440．
故答案为：D．
【分析】延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，可得ABC、PFB、QCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=AC，CQ=AB，然后求出IP和DQ的长，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解。
4．（2023八上·黄岛期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，
则DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故答案为：C．
【分析】先构造直角三角形，再根据勾股定理列方程求解．
5．（2023八上·埇桥期中）如图，在长方体盒子中，，，，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触.当木棒的端点I在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（ ）
A． B．3cm C． D．5cm
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时，
∵AC2=AB2+BC2=25，
∴，
∴GJ的最小值为，
故答案为：A.
【分析】先证出当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时，再将数据代入求解即可.
6．（2021八上·济南月考）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为 尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
根据题意， ， ，
设折断处离地面的高度是x尺，即 ，
根据勾股定理， ，即 ．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度是x尺，即 ，利用勾股定理即可得到方程。
7．（2022八上·龙岗期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
∴，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为．
故答案为：B．
【分析】设秋千绳索的长度为，利用勾股定理可得，再求出即可。
8．（2021八上·罗湖期末）现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离 为（ ）
A．3米 B．5米 C．7米 D．9米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示： m， m， m， m，
在 中，
m，
在 中，
m，
∴ m，
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出AO和CO的长，再利用线段的和差列出算式求解即可。
二、填空题
9．（2023八上·菏泽经济技术开发月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．
【答案】2.7
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，由题意得：AC=CD，AB=1.5米，BC=2米，ED=2.4米，
∴在Rt△ABC中，AC==2.5米，即CD=AC=2.5米，
∴在Rt△DCE中，CE==0.7米，
∴ 小巷的宽度为BC+CE= 2+0.7=2.7米，
故答案为：2.7.
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长，在Rt△DCE中，再利用勾股定理求出CE的长，求出BC+CE的值即得结论.
10．（2020八上·宁县月考）如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米.
【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解： 如图所示，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E，
则CE=BD=12，AE=AB-CD=5，
在直角三角形AEC中，
，
则小鸟至少要飞13米.
故答案为：13.
【分析】如图，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出AC.
11．（2024八上·深圳期末）某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
【答案】1020
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，
则长为：（米），宽为5米，
地毯的长度为（米），地毯的面积为（平方米），
购买这种地毯至少需要（元）．
故答案为：1020．
【分析】本题考查勾股定理的运用．根据图形可得：先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，利用勾股定理先求出地毯的长度，进而求出地毯的面积，据此可求出购买地毯的钱数．
12．（2024八上·榆树期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是 尺．
【答案】12
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，
根据勾股定理得： ，
解得：
即水池的深度是12尺．
故答案为：12
【分析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理列出关于x的方程，解此方程即可解答.
13．（2022八上·顺义期末）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是时，有人为了抄近道而避开路的拐角，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路.某学习实践小组通过测量可知，的长约为6米，的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 米．
【答案】4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵，的长约为6米，的长约为8米，
∴米，
∴米，
∴多行4米，
故答案为：4．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差求解即可。
三、解答题
14．（2021八上·九台期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：
（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）=
（2）解：∵A、B、F三点共线，
∴在中，
，
∵，
∴在中，
，
由（1）可得：，
∴，
∴小男孩需移动的距离为米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变，
∴，
故答案为：=；
【分析】（1）根据绳长不变即得结论；
（2） 在中，利用勾股定理求出AC=10，从而得出BF=AF-AB=5，在中 ，利用勾股定理求出BC=，由（1）知CE=AC-BC即可求解.
15．（2021八上·江津期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB＝5千米，CA＝3千米，DB＝2千米，试问：
（1）图书室E应该建在距点A多少千米处，即AE＝ 千米，才能使它到两所学校的距离相等？
（2）证明上题中的结论.
【答案】（1）2
（2）方法一：
当 则 而
由勾股定理可得：
方法二： CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，
【知识点】勾股定理的应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）设 则
CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，
CA＝3千米，DB＝2千米，
解得：
所以当 千米时，它到两所学校的距离相等.
故答案为：2；
【分析】（1）设 则 根据勾股定理可得据此建立关于x方程，求出x值即可；
（2）方法一：当 则 而 利用勾股定理分别求出CE、DE的长，即可验证；方法二：利用SAS证明△AEC≌△BDE，根据全等三角形对应边相等即可解决问题.
16．（2023八上·萧县期中）学校正在增加绿化区域，种植花草树木，提高校园的绿化覆盖率，准备在四边形的空地上种植花卉，如图所示，，，，，，求四边形的面积．
【答案】解：如图，连接，
，
，
，
是直角三角形，
；
答：四边形的面积为．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】根据勾股定理及其逆定理求解。连接，先由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可。
17．（2020八上·赣榆期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 河边原有两个取水点 其中 由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 在同一条直线上），并新修一条路 测得 千米， 千米， 千米.
（1）问 是否为从村庄 到河边的最近路.请通过计算加以说明；
（2）求新路 比原路 少多少千米.
【答案】（1）解：是，理由如下：
在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，
即CH2+BH2=BC2，
∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，
∴CH⊥AB，
由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；
（2）解：设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，即AC=1.25，
故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）是，理由：根据勾股定理的逆定理可得△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，据此即得结论；
（2）设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，利用勾股定理可得x2=(x-0.9)2+1.22， 解出x的值，即得AC，利用AC-CH即得结论.
18．（2021八上·岐山期末）如图，曲柄连杆装置是很多机械上不可缺少的，曲柄 （定长）绕固定点 做圆周运动，连杆 （定长）拉动活塞做往复运动.如图1，当曲柄的 端运动到最右边时（ 三点共线）， 的长为 .如图2，当曲柄的 端运动到最左边时（点 三点共线）， 的长为 .
（1）求曲柄 和连杆 的长；
（2）如图3，当 时，求 的长.
【答案】（1）设 ，则 .
由题意可知 ，
即 ，
解得 ，
.
（2）当 时，在 中， .
，
.
【知识点】一元一次方程的其他应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）设 ，则 ，根据 构建方程求解即可；
（2）在 中， 根据勾股定理即可解决问题.
19．（2020八上·宽城期末）如图，小明家在一条东西走向的公路 北侧 米的点A处，小红家位于小明家北 米（ 米）、东 米（ 米）点B处．
（1）求小明家离小红家的距离 ；
（2）现要在公路 上的点P处建一个快递驿站，使 最小，请确定点P的位置，并求 的最小值．
【答案】（1）解：如图，连接AB，
由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）解：如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先求出 AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000， 再根据AB＞0求解即可；
（2）根据题意求出A'C= 900米，再利用勾股定理计算求解即可。
20．（2020八上·青山期中）阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作图 周髀算经 有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．” 这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为 ” 上述记载表明了：在 中，如果 ， ， ， ，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ．
（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图” 如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形 ，利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
证明： ， ，
．
又 ，
，
整理得 ，
．
（3）如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果 ， ，求BE的长．
【答案】（1）
（2）；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积的面积＋正方形AEDB的面积；
（3）解：设 ，则 ，
由折叠的性质可知， ，
在 中， ，
则 ，
解得， ，
则 的长为3．
【知识点】列式表示数量关系；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1）在 中， ， ， ， ，
由勾股定理得， ，
故答案为： ；（2） ， ，
；
又 正方形的面积 四个全等直角三角形的面积的面积 正方形 的面积，
，
整理得， ，
，
故答案为： ；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积的面积 正方形 的面积； ；
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可；（3）根据翻折变换的特点、根据勾股定理列出方程，解方程即可．
1 / 1【培优版】北师大版数学八上1.3勾股定理的应用 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·从江开学考）如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020八上·运城期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用 、 表示直角三角形的两直角边 ，下列四个说法：① ，② ，③ ，④ ．其中说法正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
3．（2020八上·龙岗月考）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的， ， ， .点D，E，F，G，H，I都在矩形 的边上，则矩形 的面积为（ ）．
A．288 B．400 C．432 D．440
4．（2023八上·黄岛期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
5．（2023八上·埇桥期中）如图，在长方体盒子中，，，，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触.当木棒的端点I在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（ ）
A． B．3cm C． D．5cm
6．（2021八上·济南月考）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为 尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022八上·龙岗期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C．6 D．
8．（2021八上·罗湖期末）现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离 为（ ）
A．3米 B．5米 C．7米 D．9米
二、填空题
9．（2023八上·菏泽经济技术开发月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．
10．（2020八上·宁县月考）如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米.
11．（2024八上·深圳期末）某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
12．（2024八上·榆树期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是 尺．
13．（2022八上·顺义期末）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是时，有人为了抄近道而避开路的拐角，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路.某学习实践小组通过测量可知，的长约为6米，的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 米．
三、解答题
14．（2021八上·九台期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：
（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
15．（2021八上·江津期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB＝5千米，CA＝3千米，DB＝2千米，试问：
（1）图书室E应该建在距点A多少千米处，即AE＝ 千米，才能使它到两所学校的距离相等？
（2）证明上题中的结论.
16．（2023八上·萧县期中）学校正在增加绿化区域，种植花草树木，提高校园的绿化覆盖率，准备在四边形的空地上种植花卉，如图所示，，，，，，求四边形的面积．
17．（2020八上·赣榆期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 河边原有两个取水点 其中 由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 在同一条直线上），并新修一条路 测得 千米， 千米， 千米.
（1）问 是否为从村庄 到河边的最近路.请通过计算加以说明；
（2）求新路 比原路 少多少千米.
18．（2021八上·岐山期末）如图，曲柄连杆装置是很多机械上不可缺少的，曲柄 （定长）绕固定点 做圆周运动，连杆 （定长）拉动活塞做往复运动.如图1，当曲柄的 端运动到最右边时（ 三点共线）， 的长为 .如图2，当曲柄的 端运动到最左边时（点 三点共线）， 的长为 .
（1）求曲柄 和连杆 的长；
（2）如图3，当 时，求 的长.
19．（2020八上·宽城期末）如图，小明家在一条东西走向的公路 北侧 米的点A处，小红家位于小明家北 米（ 米）、东 米（ 米）点B处．
（1）求小明家离小红家的距离 ；
（2）现要在公路 上的点P处建一个快递驿站，使 最小，请确定点P的位置，并求 的最小值．
20．（2020八上·青山期中）阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作图 周髀算经 有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．” 这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为 ” 上述记载表明了：在 中，如果 ， ， ， ，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ．
（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图” 如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形 ，利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
证明： ， ，
．
又 ，
，
整理得 ，
．
（3）如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果 ， ，求BE的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
如图，当棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短；
底面周长为：，分成三等份后每份为6，则AC=
最短路程=ACC+DC+BC=10×3=30
故答案为：B.
【分析】棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短，由勾股定理求出AC长即可求解。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图所示，
∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理： ，故①符合题意；
由图可知 ，故②不符合题意；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为 ，
即 ，故③符合题意；
由 可得 ，
又∵ ，
两式相加得： ，
整理得： ，
，故④不符合题意；
故正确的是①③．
故答案选A．
【分析】根据直角三角形三边关系及正方形的性质，通过图形找他们之间的关系，逐项判定即可。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，
则△ABC≌△PFB≌△QCG，
∴PB=AC=8，CQ=AB=6，
∵图2是由图1放入矩形内得到，
∴IP=8+6+8=22，
DQ=6+8+6=20，
∴矩形KLMJ的面积=22×20=440．
故答案为：D．
【分析】延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，可得ABC、PFB、QCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=AC，CQ=AB，然后求出IP和DQ的长，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，
则DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故答案为：C．
【分析】先构造直角三角形，再根据勾股定理列方程求解．
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时，
∵AC2=AB2+BC2=25，
∴，
∴GJ的最小值为，
故答案为：A.
【分析】先证出当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时，再将数据代入求解即可.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
根据题意， ， ，
设折断处离地面的高度是x尺，即 ，
根据勾股定理， ，即 ．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度是x尺，即 ，利用勾股定理即可得到方程。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
∴，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为．
故答案为：B．
【分析】设秋千绳索的长度为，利用勾股定理可得，再求出即可。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示： m， m， m， m，
在 中，
m，
在 中，
m，
∴ m，
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出AO和CO的长，再利用线段的和差列出算式求解即可。
9．【答案】2.7
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，由题意得：AC=CD，AB=1.5米，BC=2米，ED=2.4米，
∴在Rt△ABC中，AC==2.5米，即CD=AC=2.5米，
∴在Rt△DCE中，CE==0.7米，
∴ 小巷的宽度为BC+CE= 2+0.7=2.7米，
故答案为：2.7.
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长，在Rt△DCE中，再利用勾股定理求出CE的长，求出BC+CE的值即得结论.
10．【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解： 如图所示，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E，
则CE=BD=12，AE=AB-CD=5，
在直角三角形AEC中，
，
则小鸟至少要飞13米.
故答案为：13.
【分析】如图，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出AC.
11．【答案】1020
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，
则长为：（米），宽为5米，
地毯的长度为（米），地毯的面积为（平方米），
购买这种地毯至少需要（元）．
故答案为：1020．
【分析】本题考查勾股定理的运用．根据图形可得：先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，利用勾股定理先求出地毯的长度，进而求出地毯的面积，据此可求出购买地毯的钱数．
12．【答案】12
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，
根据勾股定理得： ，
解得：
即水池的深度是12尺．
故答案为：12
【分析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理列出关于x的方程，解此方程即可解答.
13．【答案】4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵，的长约为6米，的长约为8米，
∴米，
∴米，
∴多行4米，
故答案为：4．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差求解即可。
14．【答案】（1）=
（2）解：∵A、B、F三点共线，
∴在中，
，
∵，
∴在中，
，
由（1）可得：，
∴，
∴小男孩需移动的距离为米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变，
∴，
故答案为：=；
【分析】（1）根据绳长不变即得结论；
（2） 在中，利用勾股定理求出AC=10，从而得出BF=AF-AB=5，在中 ，利用勾股定理求出BC=，由（1）知CE=AC-BC即可求解.
15．【答案】（1）2
（2）方法一：
当 则 而
由勾股定理可得：
方法二： CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，
【知识点】勾股定理的应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）设 则
CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，
CA＝3千米，DB＝2千米，
解得：
所以当 千米时，它到两所学校的距离相等.
故答案为：2；
【分析】（1）设 则 根据勾股定理可得据此建立关于x方程，求出x值即可；
（2）方法一：当 则 而 利用勾股定理分别求出CE、DE的长，即可验证；方法二：利用SAS证明△AEC≌△BDE，根据全等三角形对应边相等即可解决问题.
16．【答案】解：如图，连接，
，
，
，
是直角三角形，
；
答：四边形的面积为．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】根据勾股定理及其逆定理求解。连接，先由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可。
17．【答案】（1）解：是，理由如下：
在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，
即CH2+BH2=BC2，
∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，
∴CH⊥AB，
由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；
（2）解：设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，即AC=1.25，
故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）是，理由：根据勾股定理的逆定理可得△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，据此即得结论；
（2）设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，利用勾股定理可得x2=(x-0.9)2+1.22， 解出x的值，即得AC，利用AC-CH即得结论.
18．【答案】（1）设 ，则 .
由题意可知 ，
即 ，
解得 ，
.
（2）当 时，在 中， .
，
.
【知识点】一元一次方程的其他应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）设 ，则 ，根据 构建方程求解即可；
（2）在 中， 根据勾股定理即可解决问题.
19．【答案】（1）解：如图，连接AB，
由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）解：如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先求出 AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000， 再根据AB＞0求解即可；
（2）根据题意求出A'C= 900米，再利用勾股定理计算求解即可。
20．【答案】（1）
（2）；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积的面积＋正方形AEDB的面积；
（3）解：设 ，则 ，
由折叠的性质可知， ，
在 中， ，
则 ，
解得， ，
则 的长为3．
【知识点】列式表示数量关系；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1）在 中， ， ， ， ，
由勾股定理得， ，
故答案为： ；（2） ， ，
；
又 正方形的面积 四个全等直角三角形的面积的面积 正方形 的面积，
，
整理得， ，
，
故答案为： ；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积的面积 正方形 的面积； ；
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可；（3）根据翻折变换的特点、根据勾股定理列出方程，解方程即可．
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