【提升版】北师大版数学八上第一章 勾股定理 单元测试卷
一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2019八上·福田期末）下列几组数中，不能作为直角三角形三边的是（ ）
A．1， ， B．7，24，25
C．4，5，6 D． ， ，1
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、12+（ ）2＝（ ）2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
D、（ ）2+（ ）2＝12，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可：三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形
2．（2020八上·青龙期末）以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵两个正方形的面积分别为8和14，
且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方，
∴正方形A的面积=14-8=6．
故答案为：A．
【分析】根据图形知道所求的A的面积即为正方形中间的直角三角形的A所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解．
3．（2022八上·东阳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D，
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC=ED=3，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AD，
∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5，
∴BD=4，
设AC=x，则AB=4+x，
故在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
即x2+82=（x+4）2，
解得：x=6，
即AC的长为：6.
故答案为：C.
【分析】过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，由角平分线的性质可得EC=ED=3，利用HL证明Rt△ACE≌Rt△ADE，得到AC=AD，由勾股定理可得BD=4，设AC=x，则AB=4+x， 然后在Rt△ACB中，利用勾股定理计算即可.
4．（2024八上·盐田期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的各边长为a，b，c，满足a2+c2=c2，
可以得到：阴影部分面积+小正方形面积+大正方形面积－重叠部分面积=最大正方形面积，
即：阴影部分面积+a2+b2－重叠部分面积=c2.
所以有阴影部分面积＝重叠部分面积.
故答案为：C.
【分析】结合勾股定理的几何意义，将三个正方形的面积联系起来，再用两种方法表示出最大正方形的面积，问题得到解决.
5．（2024八上·叙州期末）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则CE的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，
∴，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
设，
∴，解得：，即．
故答案为：D
【分析】先根据折叠的性质得到，，进而结合题意运用勾股定理即可求解。
6．（2024八上·龙岗期末）明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中，以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．意思是：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步，一步合5尺（尺），此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索的长度为（ ）
A．尺 B．尺 C．20尺 D．29尺
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，OC=OA-CA，CA=CB-AB=A'D-AB，
∴ OC=OA-(A'D-AB)=OA-A'D+AB=OA-5+1=OA-4，
由勾股定理得，OA' =OC +CA' ，即OA =(OA-4) +10 ，
解得，OA=14.5 (尺).
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理列出方程求解即可.
7．（2024八上·遵义期末）如图，在中，平分交于点，则点到的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴，
∵BD=5，
∴CD=BC-BD=3，
∵AD 平分交于点D，
∴点D到AB的距离是3，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出BC的值，再求出CD=3，最后由角平分线的性质计算求解即可。
8．（2024八上·绿园期末）如图1，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如图2，如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为，，且，那么图中小正方形的面积是（ ）
图1 图2
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设大正方形边长为c，
∵大正方形的面积是16，
∴=16，
根据勾股定理得，
=16，
∵，
∴ab=6，
∵小正方形边长为b-a，
∴，
故答案为：C
【分析】首先设大正方形的边长为c，由大正方形的面积即可求得，根据勾股定理可以得到，然后结合完全平方公式，根据即可求得的值，最后求解即可得出答案．
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)
9．（2024八上·罗湖期末）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 .
【答案】64
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＝CE2﹣DE2＝102﹣62＝64，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＝AF2+BF2＝CD2＝64，
∴阴影部分的面积之和＝AF2+BF2＝AB2＝64，
故答案为：64．
【分析】先根据勾股定理求出CD2的值，然后由AB＝CD可得出AB2的值，再利用AB2＝AF2+BF2＝64，从而可求得阴影部分的面积的和即可解答．
10．（2017八上·揭阳月考）如图，长方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将一边 AD 折叠，使点 A恰好落在边 BC 的点 F 处，折痕为 DE．若 AB=4，BF=2，则 AE的长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】设AE=x，则BE=AB-AE=4-x，已知折叠后点A恰好落在边BC的点F处，由折叠的性质可得EF=AE=x，在Rt△BEF中，由勾股定理得，BE2+BF2=EF2，即（4-x）2+22=x2，解得x= ，即AE的长为 ．
【分析】设AE=x，则BE=AB-AE=4-x，由折叠的性质可得EF=AE=x，在Rt△BEF中，由勾股定理建立方程，求解即可。
11．（2020八上·南丰期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 ．
【答案】x2＋62＝(10－x)2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据题意画出图形，折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10﹣x)2，
故答案为x2+62=(10﹣x)2．
【分析】根据题意，利用勾股定理列出方程即可。
12．（2021八上·甘州期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ， 和 ， 和 是这个台阶的两个端点， 点上有一只蚂蚁想到 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 .
【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【解答】展开图为：
则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
在Rt△ABC中，AB= =125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故答案为：125．
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点间线段最短得到蚂蚁所走的路线最短。
13．（2024八上·宁波期末）如图，在中，，于点，，，则 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设 =x，则CD=x-1
在中，根据勾股定理有
解得：x=5
故答案为：5
【分析】勾股定理应用，无法直接求解就考虑设元利用方程思想解决
三、解答题 （共7题；共61分）
14．（2024八上·长春期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位长度，的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1） ；
（2）在图1中确定一点D，点D在边上，使；
（3）在图2中确定一点E，点E在边上，使平分．
【答案】（1）5
（2）解：∵，
∴在上找到点D，使得．
如图，
（3）解：∵，
∴连接，取中点F，连接，延长交于点E．
【知识点】勾股定理；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（1）由勾股定理可得：，
故答案为：5.
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的值即可；
（2）根据题意要求作AB=BD即可；
（3）根据题意要求作图，使平分.
15．（2023八上·奉化期中）如图，中，，，是边上一点，且，若求的长．
【答案】解：过点作于点，如图所示．
，，
，．
，
，
．
在中，，
，即，
，
．
又，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】首先过点A作AE⊥BC于点E，则∠AEB＝90°，DE＝CE，由∠ABC＝45°可得出∠BAE＝45°，从而可得出AE＝BE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理可求得BE的长，即BDDC＝4，BD﹣DC＝1可求出DC的长即可解答．
16．（2024八上·双流期末）如图，在中，，，，D为AB中点，点E，F分别在直线BC，AC上，，连接EF．
（1）当点E与点B重合时，求EF的长；
（2）当点F不与点A重合时，求证：；
（3）若，求线段CF的长．
【答案】（1）解：当点E与点B重合时，
∵D为AB中点，，∴DF垂直平分AB，∴，
设，在中，由勾股定理得，，
∴，解得，∴
（2）证明：作，交ED的延长线于G，连接CF
∵点D为AB的中点，∴
∵，∴
∴，∴
又∵，∴，∴，
∵，∴DF是GE的垂直平分线，∴，
∵，∴
∴
（3）解：当点E在线段BC上时，作，交FD的延长线于H，连接EH
由（2）同理可得，，∴，
∴DE是HF的垂直平分线，∴
∴
设，则，
∴，解得
∴
当点E在BC延长线上时，如图，作，交FD的延长线于G，连接EF，EG，
同理可得，
设，则，
∴，解得，∴，
综上：线段CF的长为或7．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）当点E与点B重合时 ，可得出DF垂直平分AB，从而得出，设，在中，由勾股定理可得：， 解方程即可得出EF的长；
（2）作，交ED的延长线于G，连接GF ，根据AAS可得， 从而得出， ，从而得出DF垂直平分EG，可得出FG=FE，然后根据勾股定理可得 ，等量代换为 ；
（3）点E在线段BC上或点E在BC的延长线上，分别画出图形，利用（2）中的方法，求得答案即可。
17． 在△ABC中，∠C= 90°，AC=6，BC=8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B'．
（1）如图1，如果点B'和顶点A重合，求CE的长．
（2）如图2，如果点B'落在AC的中点上，求CE的长．
【答案】（1）解：设，则.
由题意，得.
在Rt中，由，得，
解得，即CE的长为.
（2）解：点落在AC的中点上，
.
设，则.
在Rt中，由，
得，
解得，即CE的长为.
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）设，则，由折叠的性质得AE=BE=8-x，在Rt中，由勾股定理建立方程，解方程即可；
（2）点落在AC的中点上，所以，由折叠的性质得B'E=BE=8-x，在Rt中，由勾股定理得建立方程，解方程即可.
18．（2019八上·大东期中）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松.如图，一直某种拉杆箱箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）.
【答案】如图所示，过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，则∠AFC＝90°，
设A'F＝x，则AF＝55+x，
由题可得，AC＝65+35＝100，A'C＝65，
∵Rt△A'CF中，CF2＝652﹣x2，
Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2，
∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，
解得x＝25，
∴A'F＝25，
∴CF＝ ＝60（cm），
又∵EF＝AD＝3（cm），
∴CE＝60+3＝63（cm），
∴拉杆把手C离地面的距离为63cm.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652-x2=1002-（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长.
19．（2023八上·三水期中）已知：如图，有一块的绿地，量得两直角边m，，现要将这块绿地扩充成等腰，且扩充部分（）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长.
（1）在图1中，当m时，的周长为 ；
（2）在图2中，当m时，的周长为 ；
（3）在图3中，当时，求的周长．
【答案】（1）32m
（2）m
（3）解：如图3，，
∴设m，则m，
∴，
即，
解得；，
∴DC=，AD=
∵m，m，
∴m，
故的周长为：m．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ACD中∠ACD=90°，AD=10m，AC=8m，
∴m，
∴△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+10+6+6=32m；
故答案为：32m；
（2）∵BD=10m，BC=6m，
∴DC=BD-BC=4m，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=8m，CD=4m，
∴，
△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+10+=（20+）m；
故答案为：m；
【分析】（1）首先利用勾股定理算出CD的长，进而再根据三角形周长的计算方法计算即可；
（2）先根据线段的和差算出CD的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AD的长，进而再根据三角形周长的计算方法计算即可；
（3）设DC=xm，则AD=（6+x）m，在Rt△ACD中，利用勾股定理建立方程求出x的值，从而可求出AD的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB，进而再根据三角形周长的计算方法计算即可.
20．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究：
（1）如图1，在△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，使连结BD，CE，则BD与CE的大小关系为 .
（2）如图2，在△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠EAB=∠CAD=90°，连结BD，CE，若AB=4，BC=2，∠ABC=45°，求BD的长.
【答案】（1）BD=CE
（2）解：∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，
∴AE=AB，AC=AD，
∵∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
∴∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD=CE，
∵AE=AB=4，
∴，
∵∠EBC=∠ABE+∠ABC=45°+45°=90°，
∴△EBC是直角三角形，
∴，
∴BD=6.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
故∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD=CE；
故答案为：BD=CE.
【分析】（1）先根据题意求出∠EAC=∠BAD；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）根据等腰三角形两底角所对的边相等可得AE=AB，AC=AD；根据题意求出∠EAC=∠BAD；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得BD=CE，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求出EB和CE的值，即可求解.
1 / 1【提升版】北师大版数学八上第一章 勾股定理 单元测试卷
一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2019八上·福田期末）下列几组数中，不能作为直角三角形三边的是（ ）
A．1， ， B．7，24，25
C．4，5，6 D． ， ，1
2．（2020八上·青龙期末）以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
3．（2022八上·东阳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．（2024八上·盐田期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
5．（2024八上·叙州期末）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则CE的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·龙岗期末）明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中，以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．意思是：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步，一步合5尺（尺），此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索的长度为（ ）
A．尺 B．尺 C．20尺 D．29尺
7．（2024八上·遵义期末）如图，在中，平分交于点，则点到的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2024八上·绿园期末）如图1，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如图2，如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为，，且，那么图中小正方形的面积是（ ）
图1 图2
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)
9．（2024八上·罗湖期末）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 .
10．（2017八上·揭阳月考）如图，长方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将一边 AD 折叠，使点 A恰好落在边 BC 的点 F 处，折痕为 DE．若 AB=4，BF=2，则 AE的长是 ．
11．（2020八上·南丰期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 ．
12．（2021八上·甘州期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ， 和 ， 和 是这个台阶的两个端点， 点上有一只蚂蚁想到 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 .
13．（2024八上·宁波期末）如图，在中，，于点，，，则 ．
三、解答题 （共7题；共61分）
14．（2024八上·长春期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位长度，的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1） ；
（2）在图1中确定一点D，点D在边上，使；
（3）在图2中确定一点E，点E在边上，使平分．
15．（2023八上·奉化期中）如图，中，，，是边上一点，且，若求的长．
16．（2024八上·双流期末）如图，在中，，，，D为AB中点，点E，F分别在直线BC，AC上，，连接EF．
（1）当点E与点B重合时，求EF的长；
（2）当点F不与点A重合时，求证：；
（3）若，求线段CF的长．
17． 在△ABC中，∠C= 90°，AC=6，BC=8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B'．
（1）如图1，如果点B'和顶点A重合，求CE的长．
（2）如图2，如果点B'落在AC的中点上，求CE的长．
18．（2019八上·大东期中）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松.如图，一直某种拉杆箱箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）.
19．（2023八上·三水期中）已知：如图，有一块的绿地，量得两直角边m，，现要将这块绿地扩充成等腰，且扩充部分（）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长.
（1）在图1中，当m时，的周长为 ；
（2）在图2中，当m时，的周长为 ；
（3）在图3中，当时，求的周长．
20．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究：
（1）如图1，在△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，使连结BD，CE，则BD与CE的大小关系为 .
（2）如图2，在△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠EAB=∠CAD=90°，连结BD，CE，若AB=4，BC=2，∠ABC=45°，求BD的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、12+（ ）2＝（ ）2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
D、（ ）2+（ ）2＝12，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可：三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵两个正方形的面积分别为8和14，
且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方，
∴正方形A的面积=14-8=6．
故答案为：A．
【分析】根据图形知道所求的A的面积即为正方形中间的直角三角形的A所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解．
3．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D，
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC=ED=3，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AD，
∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5，
∴BD=4，
设AC=x，则AB=4+x，
故在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
即x2+82=（x+4）2，
解得：x=6，
即AC的长为：6.
故答案为：C.
【分析】过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，由角平分线的性质可得EC=ED=3，利用HL证明Rt△ACE≌Rt△ADE，得到AC=AD，由勾股定理可得BD=4，设AC=x，则AB=4+x， 然后在Rt△ACB中，利用勾股定理计算即可.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的各边长为a，b，c，满足a2+c2=c2，
可以得到：阴影部分面积+小正方形面积+大正方形面积－重叠部分面积=最大正方形面积，
即：阴影部分面积+a2+b2－重叠部分面积=c2.
所以有阴影部分面积＝重叠部分面积.
故答案为：C.
【分析】结合勾股定理的几何意义，将三个正方形的面积联系起来，再用两种方法表示出最大正方形的面积，问题得到解决.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，
∴，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
设，
∴，解得：，即．
故答案为：D
【分析】先根据折叠的性质得到，，进而结合题意运用勾股定理即可求解。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，OC=OA-CA，CA=CB-AB=A'D-AB，
∴ OC=OA-(A'D-AB)=OA-A'D+AB=OA-5+1=OA-4，
由勾股定理得，OA' =OC +CA' ，即OA =(OA-4) +10 ，
解得，OA=14.5 (尺).
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理列出方程求解即可.
7．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴，
∵BD=5，
∴CD=BC-BD=3，
∵AD 平分交于点D，
∴点D到AB的距离是3，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出BC的值，再求出CD=3，最后由角平分线的性质计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设大正方形边长为c，
∵大正方形的面积是16，
∴=16，
根据勾股定理得，
=16，
∵，
∴ab=6，
∵小正方形边长为b-a，
∴，
故答案为：C
【分析】首先设大正方形的边长为c，由大正方形的面积即可求得，根据勾股定理可以得到，然后结合完全平方公式，根据即可求得的值，最后求解即可得出答案．
9．【答案】64
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＝CE2﹣DE2＝102﹣62＝64，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＝AF2+BF2＝CD2＝64，
∴阴影部分的面积之和＝AF2+BF2＝AB2＝64，
故答案为：64．
【分析】先根据勾股定理求出CD2的值，然后由AB＝CD可得出AB2的值，再利用AB2＝AF2+BF2＝64，从而可求得阴影部分的面积的和即可解答．
10．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】设AE=x，则BE=AB-AE=4-x，已知折叠后点A恰好落在边BC的点F处，由折叠的性质可得EF=AE=x，在Rt△BEF中，由勾股定理得，BE2+BF2=EF2，即（4-x）2+22=x2，解得x= ，即AE的长为 ．
【分析】设AE=x，则BE=AB-AE=4-x，由折叠的性质可得EF=AE=x，在Rt△BEF中，由勾股定理建立方程，求解即可。
11．【答案】x2＋62＝(10－x)2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据题意画出图形，折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10﹣x)2，
故答案为x2+62=(10﹣x)2．
【分析】根据题意，利用勾股定理列出方程即可。
12．【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【解答】展开图为：
则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
在Rt△ABC中，AB= =125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故答案为：125．
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点间线段最短得到蚂蚁所走的路线最短。
13．【答案】5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设 =x，则CD=x-1
在中，根据勾股定理有
解得：x=5
故答案为：5
【分析】勾股定理应用，无法直接求解就考虑设元利用方程思想解决
14．【答案】（1）5
（2）解：∵，
∴在上找到点D，使得．
如图，
（3）解：∵，
∴连接，取中点F，连接，延长交于点E．
【知识点】勾股定理；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（1）由勾股定理可得：，
故答案为：5.
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的值即可；
（2）根据题意要求作AB=BD即可；
（3）根据题意要求作图，使平分.
15．【答案】解：过点作于点，如图所示．
，，
，．
，
，
．
在中，，
，即，
，
．
又，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】首先过点A作AE⊥BC于点E，则∠AEB＝90°，DE＝CE，由∠ABC＝45°可得出∠BAE＝45°，从而可得出AE＝BE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理可求得BE的长，即BDDC＝4，BD﹣DC＝1可求出DC的长即可解答．
16．【答案】（1）解：当点E与点B重合时，
∵D为AB中点，，∴DF垂直平分AB，∴，
设，在中，由勾股定理得，，
∴，解得，∴
（2）证明：作，交ED的延长线于G，连接CF
∵点D为AB的中点，∴
∵，∴
∴，∴
又∵，∴，∴，
∵，∴DF是GE的垂直平分线，∴，
∵，∴
∴
（3）解：当点E在线段BC上时，作，交FD的延长线于H，连接EH
由（2）同理可得，，∴，
∴DE是HF的垂直平分线，∴
∴
设，则，
∴，解得
∴
当点E在BC延长线上时，如图，作，交FD的延长线于G，连接EF，EG，
同理可得，
设，则，
∴，解得，∴，
综上：线段CF的长为或7．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）当点E与点B重合时 ，可得出DF垂直平分AB，从而得出，设，在中，由勾股定理可得：， 解方程即可得出EF的长；
（2）作，交ED的延长线于G，连接GF ，根据AAS可得， 从而得出， ，从而得出DF垂直平分EG，可得出FG=FE，然后根据勾股定理可得 ，等量代换为 ；
（3）点E在线段BC上或点E在BC的延长线上，分别画出图形，利用（2）中的方法，求得答案即可。
17．【答案】（1）解：设，则.
由题意，得.
在Rt中，由，得，
解得，即CE的长为.
（2）解：点落在AC的中点上，
.
设，则.
在Rt中，由，
得，
解得，即CE的长为.
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）设，则，由折叠的性质得AE=BE=8-x，在Rt中，由勾股定理建立方程，解方程即可；
（2）点落在AC的中点上，所以，由折叠的性质得B'E=BE=8-x，在Rt中，由勾股定理得建立方程，解方程即可.
18．【答案】如图所示，过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，则∠AFC＝90°，
设A'F＝x，则AF＝55+x，
由题可得，AC＝65+35＝100，A'C＝65，
∵Rt△A'CF中，CF2＝652﹣x2，
Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2，
∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，
解得x＝25，
∴A'F＝25，
∴CF＝ ＝60（cm），
又∵EF＝AD＝3（cm），
∴CE＝60+3＝63（cm），
∴拉杆把手C离地面的距离为63cm.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652-x2=1002-（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长.
19．【答案】（1）32m
（2）m
（3）解：如图3，，
∴设m，则m，
∴，
即，
解得；，
∴DC=，AD=
∵m，m，
∴m，
故的周长为：m．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ACD中∠ACD=90°，AD=10m，AC=8m，
∴m，
∴△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+10+6+6=32m；
故答案为：32m；
（2）∵BD=10m，BC=6m，
∴DC=BD-BC=4m，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=8m，CD=4m，
∴，
△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+10+=（20+）m；
故答案为：m；
【分析】（1）首先利用勾股定理算出CD的长，进而再根据三角形周长的计算方法计算即可；
（2）先根据线段的和差算出CD的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AD的长，进而再根据三角形周长的计算方法计算即可；
（3）设DC=xm，则AD=（6+x）m，在Rt△ACD中，利用勾股定理建立方程求出x的值，从而可求出AD的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB，进而再根据三角形周长的计算方法计算即可.
20．【答案】（1）BD=CE
（2）解：∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，
∴AE=AB，AC=AD，
∵∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
∴∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD=CE，
∵AE=AB=4，
∴，
∵∠EBC=∠ABE+∠ABC=45°+45°=90°，
∴△EBC是直角三角形，
∴，
∴BD=6.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
故∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD=CE；
故答案为：BD=CE.
【分析】（1）先根据题意求出∠EAC=∠BAD；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）根据等腰三角形两底角所对的边相等可得AE=AB，AC=AD；根据题意求出∠EAC=∠BAD；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得BD=CE，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求出EB和CE的值，即可求解.
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