【培优版】北师大版数序八上第一章 勾股定理 单元测试卷
一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2023八上·瓯海期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，BC于点N，F，的周长为9.若，，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
2．（2021八上·西安月考）如图，凸四边形 中， ，若点M、N分别为边 上的动点，则 的周长最小值为（ ）
A． B． C．6 D．3
3．（2020八上·文登期末）矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若 ， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
4．（2017八上·郑州期中）如图使用4个全等三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49；②x y=2；③2xy+4=49；④x+y=9. 其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
5．（2016八上·高邮期末）如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边Ac沿CE翻折，使点A落在AB上的D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点F处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段BF的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP2+PB PC等于（ ）
A．25 B．15 C．20 D．30
7．图1为一个长方体，AD=AB=10，AE=6，M，N为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中MN的长度为（ ）
A．11 B．10 C．10 D．8
8．（2021八上·萧山期末）已知等腰三角形 ， ，点 是 上一点，若 ， .则 的周长可能是（ ）
A．15 B．20 C．28 D．36
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)
9．（2024八上·滨江期末）如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是 ．
10．（2024八上·龙泉驿期末）如图，在中，，，为外一点，连接，，，发现，且，则 ．
11．（2023八上·青羊月考）在中，，，，点D在线段上从点C向点B移动，同时，点E在线段上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为 ．
12．（2023·期中）商场卫生间旋转门锁的局部图如图1所示，图2是其工作简化图．其中OD＝3.5cm，在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A处）．旋转一定角度，使得把手底端B恰好卡在门边，此时底端A，B的竖直高度差为0.5cm，则OB的长度是 cm．当把手旋转到OC⊥OB时，点C与点B的高度差BH是 cm．
13．（2023八上·杭州期中）如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上一点，BP＝1，则AP＝ ，若点Q是边AC上一点，BQ＝AP，则AQ＝ ．
三、解答题 （共7题；共61分）
14．（2019八上·抚州月考）如图1，在 的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动.
（1）请在 的网格纸图2中画出运动时间t为2秒时的线段PQ并求其长度；
（2）在动点P、Q运动的过程中，△PQB能否成为PQ=BQ的等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间t；若不能，请说明理由；
（3）在（1）中的图2中，点E如图所示，是否在PQ上存在一点M，使DM+EM的值最小，如存在，求出DM+EM最小值；如不存在，说明理由.
15．（2019八上·兰州期中）长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是多少？
16．（2018八上·汽开区期末）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE，使∠DAE=90°，连结CE.
（1）探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD.
（2）应用：在探究的条件下，若AB= ，CD=1，则△DCE的周长为 .
（3）拓展：①如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为 .
②如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为 .
17．（2021八上·武侯期末）[阅读理解]
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长.
解：设BD＝x，则CD＝7﹣x.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2.
又∵AB＝4，AC＝6，
∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2.
解得x＝ ，
∴BD＝ .
∴AD＝ ＝ .
[知识迁移]
（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D.
i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；
ii）若AD＝12，求线段BC的长.
（2）如图2，在△ABC中，AB＝ ，AC＝ ，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ ，连接CD′，若AD＝ ，求线段 的长.
18．（2023八上·乐山期末）
（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明经过组内合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考：
①由已知和作图能得到，依据是 ▲ ．
A． B． C． D．
②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ▲ ．
（2）【初步运用】
如图②，是的中线，交于，交于，且，若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】
如图③，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．若，，求的长度．
19．（2023八上·泉州期末）
（1）观察猜想，如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为 ；
（2）问题解决，如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝6，AB＝3，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；
（3）拓展延伸，如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝6，AB＝3，DC＝DA，请直接写出BD的长.
20．（2021八上·双阳期末）解答
（1）【问题探究】
如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AC＝AD，∠ABE＝∠ADC，连接EC，BD． 求证：EC＝BD．
（2）【拓展延伸】
①如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝AB，D为AC上一点，连结BD，作BE⊥BD，AE⊥AC，连结DE． 若AC＝2，请直接写出四边形ADBE的面积．
②如图3，四边形ABCD中，AD⊥AC，AC＝AD，∠ABC＝45°，AB＝3，BC＝1，请直接写出BD长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线为直线ME， 边AC的垂直平分线为直线NF，
∴BE=AE，CF=AF，
∴∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，
∵∠B+∠C=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠EAF=180°-∠B-∠C-∠BAE-∠CAF=90°，
∴AE2+AF2=EF2=16，
∵△AEF的周长为9，
∴AE+EF+AF=9，
∵EF=4，
∴AE+AF=5，
∴AE·AF=[(AE+AF)2-(AE2+AF2)]=，
∴S△AEF=AE·AF=.
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质得BE=AE，CF=AF， 再根据等腰三角形的性质得∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，再根据三角形内角和定理推出∠EAF=90°，利用勾股定理得AE2+AF2=16， 由周长可得AE+AF=5，从而推出S△AEF.
2．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点B关于 、 的对称点分别为点 和点 ，
连接 交 和 于点M和点N， ，连接 、 ；
再 和 上分别取一动点 和 （不同于点M和N，
连接 ， ， 和 ，如图1所示：
，
， ，
，
又 ，
， ，
，
时周长最小；
连接 ，过点 作 于 的延长线于点H，
如图示2所示：
在 中， ， ，
，
，
， ，
又 ，
，
， ，
，
，
又 ，
，
， ，
在 △ 中，由勾股定理得：
.
，
故答案为：C.
【分析】作点B关于 、 的对称点分别为点 和点 ，连接 交 和 于点M和点N， ，连接 、 ；再 和 上分别取一动点 和 （不同于点M和N，连接 ， ， 和 ，通过作对称点把△BMN的周长转化为：求'，根据两点之间线段最短得出当 时周长最小，连接 ，过点 作 于 的延长线于点H，再求出， ， ，然后在 中，利用勾股定理求出DB，最后在 △ 中，由勾股定理求出B'B"，即可解答.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如图，延长GE交AB于点R，连接AE，设AG交DE于点M，过点E作EN⊥AG于N，
∵矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，
∴RG=BF=BC+CF=2+4=6，∠ARG= ，AR=AR-CE=4-2=2，
∴ ，
∵H是AG中点，
∴HG= ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在Rt△ENG中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】延长GE交AB于点R，连接AE，设AG交DE于点M，过点E作EN⊥AG于N，先计算出RG=6，∠ARG= ，AR=2，根据勾股定理求出，得到HG= ，利用，求出，即可利用勾股定理求出EH。
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得： ，①﹣②得2xy=45 ③，∴2xy+4=49，①+③得x2+2xy+y2=94，∴（x+y）2=94，∴①②③正确，④错误．故答案为：B．
【分析】根据勾股定理得出 x2+y2 =斜边的平方，直角三角形的斜边就是大正方形的边长，再根据正方形的面积计算方法得出斜边的平方=49，故 x2+y2=49 ；由图可知：小正方形的边长为（ x y ），小正方形的面积为（x-y）2=4，根据算术平方根的意义即可得出 x y=2 ；将 x2+y2=49与（x-y）2=4相减即可得出2xy=45，根据等式的性质即可得出 2xy+4=49 ；然后将 x2+y2=49 与2xy=45相加即可得出，再利用完全平方公式分解因式即可得出（x+y）2=94，综上所述即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FD=90°，
∵S△ABC= AC×BC= AB×CE，
∴AC×BC=AB×CE，
∵根据勾股定理求得AB=5，
∴CE= ，
∴EF= ，ED=AE= ，
∴DF=EF﹣ED= ，
∴B′F= ．
∴BF=B'F= ，
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，进而判断出△ECF是等腰直角三角形，然后根据面积法及勾股定理求出答案。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90°，
∴BD=CD，根据勾股定理得：PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，
∴AP2+PB PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）=AP2+（BD+PD）（BD﹣PD）=AP2+BD2﹣PD2=AP2﹣PD2+BD2=AD2+BD2=AB2=25．
故选A
【分析】首先过点A作AD⊥BC于D，可得∠ADP=∠ADB=90°，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得BD=CD，由勾股定理可得PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，然后由AP2+PB PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD），即可求得答案．
7．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图2，连接MN，分别延长正方形的边交于点P；
则△MPN为直角三角形，
由题意得：MP=NP=5+6=11，
由勾股定理得．
故选A．
【分析】如图2，作辅助线；运用勾股定理直接求出MN的长度，即可解决问题．
8．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，当点D是BC的中点时，
∵D是BC的中点， ，
∴ ，
由勾股定理， ，
此时 ，
，
当点D无线趋近于点B的时候， 的周长趋近于20，
只有C选项的值在范围内.
故答案为：C.
【分析】当点D是BC的中点时，先求出周长20，再利用变化趋势判断。
9．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设BG=x，则FG=EG=BG=x，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∴AF=AB-BF=2-2x，
∴EF=AF=2-2x，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=60°，
∵AB⊥CD，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=AC=，
∴DF=AD-AF=，
∴DG=GF-DF=，
在直角三角形EFD中，；
在直角三角形EGD中，；
∴，
∴，
∴x=，
∴AF=2-2x=；
故答案为：.
【分析】先利用直角三角形中30°锐角所对的直角边是斜边的一半得到AD、AB长；设BG=x，再根据折叠性质得到EG=BG=x，进而得到GF=x，从而AF长可以用含x的式子表示出来，可以把EF、DF、DG都用含x的式子表示出来；再根据勾股定理得到，，等量代换得到，把含x的式子代入解出x，再根据AF=2-2x即可求出AF长.
10．【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点作，使，连接、
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
，，
．
，
．
故答案为：6．
【分析】如图，过点作，使，连接、，根据勾股定理可求出的长度，继而可以证明和全等，可知CE=BD，在△CDE中，可知∠EDC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度即BD的长度。
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，，，则，
∴为直角三角形，则，
作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，则，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
则，，
∴，
∵点，点运动速度相同，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，当点在上时，取等号，
∴的最小值为：．
【分析】先根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则，作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，则，，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，再结合题意运用勾股定理得到，进而证明即可得到，从而结合题意即可求解。
12．【答案】12.5；15.5
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如下图所示：过点B作于M，过点C作交OA的延长线于G，CG交EF于H，
由题意可得：
设
在中
即
解得
所以，
所以，
因为
所以
在和中
因为
所以
所以
所以矩形为正方形，
所以
所以，即点C与点B的高度差BH是
故答案为：12.5；15.5.
【分析】过点B作BM⊥OA于M，过点C作CG⊥OA交OA的延长线于G，CG交EF于H，易得设在Rt△BMO中通过勾股定理即建立方程，求出x的值，从而求得OB；通过等量代换证，进而可用AAS证明，再通过线段的计算即可求解.
13．【答案】；3或1
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC于D，如图：
∵为等边三角形，
∴
∴
∵
∴
在中，
过B作BH⊥AC于H，
①当点Q在线段CH之间时，连接BQ，如图：
∴
∴
∴
∴
②当点Q'在线段CH之间时，如图：
同理得：
∴
故答案为：3或1.
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得进而根据含30°角的直角三角形的性质即可求出AD的长，进而根据勾股定理算出AP的长；过B作BH⊥AC于H，由题意知需分两种情况，①当点Q在线段CH之间时，②当点Q'在线段CH之间时，分别根据勾股定理和线段间的数量关系即可求出AQ的长.
14．【答案】（1）解：如图：
点 的运动速度为2个单位，点 的运动速度为每秒1个单位，
运动时间 为2秒时， ， ，
，
在Rt△PQF中，由勾股定理得， ；
（2）解：如图2，由题意得， ，QF=2t-t=t
在Rt△PQF中， ，
，
，
解得， ；
∴当 时，△PQB是等腰三角形且PQ=BQ.
（3）解：在 上存在一点 ，使 的值最小，
作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，
则 ，
是 的最小值，
由勾股定理得， ，
即 的最小值是 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据运动时间可以得到运动距离，进而得出PQ的位置，再分别求出 、 ，根据勾股定理求出PQ的长；（2）根据勾股定理表示出 ，根据题意列出方程，解方程即可；（3）作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，根据轴对称 最短路径问题、勾股定理解答．
15．【答案】解：将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图1，
由题意可得：BD=BC+CD=5+10=15cm，AD=CH=15cm，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图2，
由题意得：BH=BC+CH=5+15=20cm，AH=10cm，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：
则需要爬行的最短距离是15 cm.
连接AB，如图3，
由题意可得：BB′=B′E+BE=15+10=25cm，AB′=BC=5cm，
在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：
∵
∴则需要爬行的最短距离是
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【分析】根据两点之间线段最短，将长方体展开， 将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内 可得矩形AGFD，结合已知条件可知AD，BD的长，利用勾股定理求出AB的长；将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内， 利用同样的方法求出AB的长，再根据图3求出AB的长，然后比较大小就可得出爬行的最短距离。
16．【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE．
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD．
（2）
（3）BC= CD-CE；BC= CE-CD
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】（2）应用：在Rt△ABC中，AB=AC= ，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=2，
∵CD=1，
∴BD=BC-CD=1，
由探究知，△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=45°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△BCE中，CD=1，CE=BD=1，
根据勾股定理得，DE= ，
∴△DCE的周长为CD+CE+DE=2+
故答案为：2+ .（3）拓展：①同探究的方法得，△ABD≌△ACE．
∴BD=CE
∴BC=CD-BD=CD-CE，
故答案为BC=CD-CE；
②同探究的方法得，△ABD≌△ACE．
∴BD=CE
∴BC=BD-CD=CE-CD，
故答案为：BC=CE-CD．
【分析】（1）由∠BAC=∠DAE=90°，易知∠BAD=∠CAE，根据SAS可证明△ABD≌△ACE，则BD=CE，根据线段间的等量代换证得BC=CE+CD。（2）在Rt△ABC中，先计算出BC，然后求得BD，在Rt△BCE中，再运用勾股定理求得DE，最后求出△DCE的周长。拓展：①同探究的方法得出△ABD≌△ACE，利用全等三角形性质可得BD=CE，进而得出BC= CD-CE。②同探究的方法得，△ABD≌△ACE，可得BD=CE，进而得出结论BC= CE-CD。
17．【答案】（1）解：i）解：设BD=x，则CD=14-x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2.
又∵AB＝13，AC＝15，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2.
解得：x＝5，
∴BD＝5，
∴AD＝ ＝ ；
ii）分两种情况：①当点D在线段BC上，如图，
∵AD＝12，AB＝13，AC＝15，AD⊥BC，
∴BD= ，DC= ，
∴BC= BD+ DC=5+9=14，
②当点D在CB的延长线上，如图，则BC=DC-BD=9-5=4；
（2）解：∵AB＝ ，AC＝ ，AD＝ ，AD⊥BC，
∴BD= ，
DC= ，
过点D′作D′F⊥BC，交CB的延长线于点F，
∵将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ ，
∴BD′=BD= ，
设BF=x，D′F=y，
则x2+y2=( )2，
又∵ ，即：4x+2y=25，
∴x= 或 （舍），
∴y=5，即：D′F=5，
∴CF=BF+BD+CD= + +5=15，
∴ = .
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）i）设BD=x，则CD=14-x，根据勾股定理，得到AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，列出方程，即可求解；ii）根据勾股定理，分 ①当点D在线段BC上， ②当点D在CB的延长线上两种情况分别求出BD、DC，进而即可求解；
（2）先求出BD、DC，过点D′作D′F⊥BC，交CB的延长线于点F，设BF=x，D′F=y，根据勾股定理和等积法，列出关于x，y的方程，进而即可求解.
18．【答案】（1）①A
②
（2）解：如图，延长至，使，连接，
∵是的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：延长到点，使，连接，，如图所示：
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
在中，由勾股定理得：，
∴．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）①∵AD是△ABC的中线
∴BD=DC
∴在△ADC和△BDE中
∴△ADC≌△BDE（SAS）
故答案为：A
②由①知：△ADC≌△BDE
∴AC=BE=6
∵AB=8
∴AB-BE＜AE＜AB+BE
即2＜AE＜14
∴1＜AD＜7
故答案为：1＜AD＜7
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，勾股定理的应用
（1）①本题根据题中的信息，通过SAS证明△ADC≌△EDB，即为答案.②本题根据全等三角形对应边相等可知：AC=BE=6，由三角形的中线定义可知：AE=2AD，根据构成三角形三边关系即可求解；
（2）根据三角形中线的定义可知：BD=CD，再结合DM=AD，对顶角相等∠ADC=∠BDM，可通过SAS证得△ADC≌△EDB，由全等三角形对应边相等，对应角相等可得：BM=AC，∠CAD=∠M，由等腰三角形的性质等边对等角可知：∠CAD=∠AFE，等量代换可得：∠BFD=∠CAD=∠M，由等腰三角形的判定等角对等边可知：BF=BM=AC，由线段的和差可得：AC=AE+EC=EF+EC，代入数值即可得出答案.
（3）根据三角形中线的定义可知：BD=CD，再结合DE=GD，对顶角相等∠CDG=∠BDE，可通过SAS证得△DBE≌△DCG，由全等三角形对应边相等，对应角相等可得：，∠GAD=∠B，由三角形内角为180°可知：∠B+∠ACB=90°，等量代换可知：∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，在Rt△CFG中，由勾股定理可得：，则EF=GF，即可得出答案.
19．【答案】（1）BC＝BD+CE
（2）解：问题解决
如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
由（1）同理得：△ABC≌△DEA，
∴DE＝AB＝3，AE＝BC＝6，
Rt△BDE中，BE＝9，
由勾股定理得：；
（3）
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）观察猜想
结论：BC＝BD+CE，理由是：
如图①，∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，
∴∠D+∠DAB＝∠DAB+∠EAC＝90°，
∴∠D＝∠EAC，
∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AE，
∴△ADB≌△EAC（AAS），
∴BD＝AC，EC＝AB，
∴BC＝AB+AC＝BD+CE；
故答案为：BC＝BD+CE；
（3）拓展延伸
如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，
同理得：△CED≌△AFD，
∴CE＝AF，ED＝DF，
设AF＝x，DF＝y，
则，解得：，
，，
由勾股定理得：.
【分析】（1）观察猜想：利用同角的余角相等得∠D＝∠EAC，从而利用AAS判断出△ADB≌△EAC，根据全等三角形的对应边相等得BD＝AC，EC＝AB，可得结论：BC＝AB＋AC＝BD＋CE；
（2）问题解决： 过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E， 同理证明：△ABC≌△DEA，可得DE＝AB＝3，AE＝BC＝6，最后在Rt△BDE中，利用勾股定理求BD的长；
（3）拓展延伸：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，同理证明三角形全等，得CE＝AF，ED＝DF，设AF＝x，DF＝y，根据全等三角形对应边相等列方程组可得x、y的值，进而根据勾股定理算出BD的长．
20．【答案】（1）证明：∵AE=AB，AC=AD，
∴∠AEB=∠ABE，∠ACD=∠ADC，
∵∠ABE=∠ADC，
∴∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴EC=BD．
（2）①1
②
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：(2)①解：∵BE⊥BD，
∴∠EBD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBD-∠ABD=∠ABC-∠ABD，
即∠EBA=∠DBC，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵AE⊥AC，
∴∠EAB=45°，
∴∠EAB=∠C，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（ASA），
∴S△EAB=S△DCB，
∴S四边形ADBE=S△ABE+S△ABD=S△DCB+S△ABD=S△ABC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴S△ABC=AC2=1，
∴S四边形ADBE=1．
②解：如图3中，作AF⊥AB，使得AF=AB，连接BF，CF．
∵AF=AB，AC=AD，∠BAF=∠CAD，
∴∠CAF=∠BAD，
∴△FAC≌△BAD（SAS），
∴CF=BD，
∵∠FBA=∠ABC=45°，
∴∠FBC=90°，
∵AB=AF=3，∠BAF=90°，
∴BF=AB=3，
∴
∴BD=FC=．
【分析】（1）先求出 ∠BAE=∠DAC， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
②先求出△FAC≌△BAD（SAS），再求出∠FBC=90°，最后利用勾股定理计算求解即可。
1 / 1【培优版】北师大版数序八上第一章 勾股定理 单元测试卷
一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2023八上·瓯海期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，BC于点N，F，的周长为9.若，，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线为直线ME， 边AC的垂直平分线为直线NF，
∴BE=AE，CF=AF，
∴∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，
∵∠B+∠C=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠EAF=180°-∠B-∠C-∠BAE-∠CAF=90°，
∴AE2+AF2=EF2=16，
∵△AEF的周长为9，
∴AE+EF+AF=9，
∵EF=4，
∴AE+AF=5，
∴AE·AF=[(AE+AF)2-(AE2+AF2)]=，
∴S△AEF=AE·AF=.
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质得BE=AE，CF=AF， 再根据等腰三角形的性质得∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，再根据三角形内角和定理推出∠EAF=90°，利用勾股定理得AE2+AF2=16， 由周长可得AE+AF=5，从而推出S△AEF.
2．（2021八上·西安月考）如图，凸四边形 中， ，若点M、N分别为边 上的动点，则 的周长最小值为（ ）
A． B． C．6 D．3
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点B关于 、 的对称点分别为点 和点 ，
连接 交 和 于点M和点N， ，连接 、 ；
再 和 上分别取一动点 和 （不同于点M和N，
连接 ， ， 和 ，如图1所示：
，
， ，
，
又 ，
， ，
，
时周长最小；
连接 ，过点 作 于 的延长线于点H，
如图示2所示：
在 中， ， ，
，
，
， ，
又 ，
，
， ，
，
，
又 ，
，
， ，
在 △ 中，由勾股定理得：
.
，
故答案为：C.
【分析】作点B关于 、 的对称点分别为点 和点 ，连接 交 和 于点M和点N， ，连接 、 ；再 和 上分别取一动点 和 （不同于点M和N，连接 ， ， 和 ，通过作对称点把△BMN的周长转化为：求'，根据两点之间线段最短得出当 时周长最小，连接 ，过点 作 于 的延长线于点H，再求出， ， ，然后在 中，利用勾股定理求出DB，最后在 △ 中，由勾股定理求出B'B"，即可解答.
3．（2020八上·文登期末）矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若 ， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如图，延长GE交AB于点R，连接AE，设AG交DE于点M，过点E作EN⊥AG于N，
∵矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，
∴RG=BF=BC+CF=2+4=6，∠ARG= ，AR=AR-CE=4-2=2，
∴ ，
∵H是AG中点，
∴HG= ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在Rt△ENG中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】延长GE交AB于点R，连接AE，设AG交DE于点M，过点E作EN⊥AG于N，先计算出RG=6，∠ARG= ，AR=2，根据勾股定理求出，得到HG= ，利用，求出，即可利用勾股定理求出EH。
4．（2017八上·郑州期中）如图使用4个全等三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49；②x y=2；③2xy+4=49；④x+y=9. 其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得： ，①﹣②得2xy=45 ③，∴2xy+4=49，①+③得x2+2xy+y2=94，∴（x+y）2=94，∴①②③正确，④错误．故答案为：B．
【分析】根据勾股定理得出 x2+y2 =斜边的平方，直角三角形的斜边就是大正方形的边长，再根据正方形的面积计算方法得出斜边的平方=49，故 x2+y2=49 ；由图可知：小正方形的边长为（ x y ），小正方形的面积为（x-y）2=4，根据算术平方根的意义即可得出 x y=2 ；将 x2+y2=49与（x-y）2=4相减即可得出2xy=45，根据等式的性质即可得出 2xy+4=49 ；然后将 x2+y2=49 与2xy=45相加即可得出，再利用完全平方公式分解因式即可得出（x+y）2=94，综上所述即可得出答案。
5．（2016八上·高邮期末）如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边Ac沿CE翻折，使点A落在AB上的D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点F处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段BF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FD=90°，
∵S△ABC= AC×BC= AB×CE，
∴AC×BC=AB×CE，
∵根据勾股定理求得AB=5，
∴CE= ，
∴EF= ，ED=AE= ，
∴DF=EF﹣ED= ，
∴B′F= ．
∴BF=B'F= ，
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，进而判断出△ECF是等腰直角三角形，然后根据面积法及勾股定理求出答案。
6．如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP2+PB PC等于（ ）
A．25 B．15 C．20 D．30
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90°，
∴BD=CD，根据勾股定理得：PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，
∴AP2+PB PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）=AP2+（BD+PD）（BD﹣PD）=AP2+BD2﹣PD2=AP2﹣PD2+BD2=AD2+BD2=AB2=25．
故选A
【分析】首先过点A作AD⊥BC于D，可得∠ADP=∠ADB=90°，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得BD=CD，由勾股定理可得PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，然后由AP2+PB PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD），即可求得答案．
7．图1为一个长方体，AD=AB=10，AE=6，M，N为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中MN的长度为（ ）
A．11 B．10 C．10 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图2，连接MN，分别延长正方形的边交于点P；
则△MPN为直角三角形，
由题意得：MP=NP=5+6=11，
由勾股定理得．
故选A．
【分析】如图2，作辅助线；运用勾股定理直接求出MN的长度，即可解决问题．
8．（2021八上·萧山期末）已知等腰三角形 ， ，点 是 上一点，若 ， .则 的周长可能是（ ）
A．15 B．20 C．28 D．36
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，当点D是BC的中点时，
∵D是BC的中点， ，
∴ ，
由勾股定理， ，
此时 ，
，
当点D无线趋近于点B的时候， 的周长趋近于20，
只有C选项的值在范围内.
故答案为：C.
【分析】当点D是BC的中点时，先求出周长20，再利用变化趋势判断。
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)
9．（2024八上·滨江期末）如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设BG=x，则FG=EG=BG=x，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∴AF=AB-BF=2-2x，
∴EF=AF=2-2x，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=60°，
∵AB⊥CD，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=AC=，
∴DF=AD-AF=，
∴DG=GF-DF=，
在直角三角形EFD中，；
在直角三角形EGD中，；
∴，
∴，
∴x=，
∴AF=2-2x=；
故答案为：.
【分析】先利用直角三角形中30°锐角所对的直角边是斜边的一半得到AD、AB长；设BG=x，再根据折叠性质得到EG=BG=x，进而得到GF=x，从而AF长可以用含x的式子表示出来，可以把EF、DF、DG都用含x的式子表示出来；再根据勾股定理得到，，等量代换得到，把含x的式子代入解出x，再根据AF=2-2x即可求出AF长.
10．（2024八上·龙泉驿期末）如图，在中，，，为外一点，连接，，，发现，且，则 ．
【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点作，使，连接、
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
，，
．
，
．
故答案为：6．
【分析】如图，过点作，使，连接、，根据勾股定理可求出的长度，继而可以证明和全等，可知CE=BD，在△CDE中，可知∠EDC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度即BD的长度。
11．（2023八上·青羊月考）在中，，，，点D在线段上从点C向点B移动，同时，点E在线段上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，，，则，
∴为直角三角形，则，
作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，则，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
则，，
∴，
∵点，点运动速度相同，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，当点在上时，取等号，
∴的最小值为：．
【分析】先根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则，作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，则，，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，再结合题意运用勾股定理得到，进而证明即可得到，从而结合题意即可求解。
12．（2023·期中）商场卫生间旋转门锁的局部图如图1所示，图2是其工作简化图．其中OD＝3.5cm，在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A处）．旋转一定角度，使得把手底端B恰好卡在门边，此时底端A，B的竖直高度差为0.5cm，则OB的长度是 cm．当把手旋转到OC⊥OB时，点C与点B的高度差BH是 cm．
【答案】12.5；15.5
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如下图所示：过点B作于M，过点C作交OA的延长线于G，CG交EF于H，
由题意可得：
设
在中
即
解得
所以，
所以，
因为
所以
在和中
因为
所以
所以
所以矩形为正方形，
所以
所以，即点C与点B的高度差BH是
故答案为：12.5；15.5.
【分析】过点B作BM⊥OA于M，过点C作CG⊥OA交OA的延长线于G，CG交EF于H，易得设在Rt△BMO中通过勾股定理即建立方程，求出x的值，从而求得OB；通过等量代换证，进而可用AAS证明，再通过线段的计算即可求解.
13．（2023八上·杭州期中）如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上一点，BP＝1，则AP＝ ，若点Q是边AC上一点，BQ＝AP，则AQ＝ ．
【答案】；3或1
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC于D，如图：
∵为等边三角形，
∴
∴
∵
∴
在中，
过B作BH⊥AC于H，
①当点Q在线段CH之间时，连接BQ，如图：
∴
∴
∴
∴
②当点Q'在线段CH之间时，如图：
同理得：
∴
故答案为：3或1.
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得进而根据含30°角的直角三角形的性质即可求出AD的长，进而根据勾股定理算出AP的长；过B作BH⊥AC于H，由题意知需分两种情况，①当点Q在线段CH之间时，②当点Q'在线段CH之间时，分别根据勾股定理和线段间的数量关系即可求出AQ的长.
三、解答题 （共7题；共61分）
14．（2019八上·抚州月考）如图1，在 的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动.
（1）请在 的网格纸图2中画出运动时间t为2秒时的线段PQ并求其长度；
（2）在动点P、Q运动的过程中，△PQB能否成为PQ=BQ的等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间t；若不能，请说明理由；
（3）在（1）中的图2中，点E如图所示，是否在PQ上存在一点M，使DM+EM的值最小，如存在，求出DM+EM最小值；如不存在，说明理由.
【答案】（1）解：如图：
点 的运动速度为2个单位，点 的运动速度为每秒1个单位，
运动时间 为2秒时， ， ，
，
在Rt△PQF中，由勾股定理得， ；
（2）解：如图2，由题意得， ，QF=2t-t=t
在Rt△PQF中， ，
，
，
解得， ；
∴当 时，△PQB是等腰三角形且PQ=BQ.
（3）解：在 上存在一点 ，使 的值最小，
作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，
则 ，
是 的最小值，
由勾股定理得， ，
即 的最小值是 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据运动时间可以得到运动距离，进而得出PQ的位置，再分别求出 、 ，根据勾股定理求出PQ的长；（2）根据勾股定理表示出 ，根据题意列出方程，解方程即可；（3）作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，根据轴对称 最短路径问题、勾股定理解答．
15．（2019八上·兰州期中）长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是多少？
【答案】解：将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图1，
由题意可得：BD=BC+CD=5+10=15cm，AD=CH=15cm，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图2，
由题意得：BH=BC+CH=5+15=20cm，AH=10cm，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：
则需要爬行的最短距离是15 cm.
连接AB，如图3，
由题意可得：BB′=B′E+BE=15+10=25cm，AB′=BC=5cm，
在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：
∵
∴则需要爬行的最短距离是
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【分析】根据两点之间线段最短，将长方体展开， 将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内 可得矩形AGFD，结合已知条件可知AD，BD的长，利用勾股定理求出AB的长；将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内， 利用同样的方法求出AB的长，再根据图3求出AB的长，然后比较大小就可得出爬行的最短距离。
16．（2018八上·汽开区期末）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE，使∠DAE=90°，连结CE.
（1）探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD.
（2）应用：在探究的条件下，若AB= ，CD=1，则△DCE的周长为 .
（3）拓展：①如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为 .
②如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为 .
【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE．
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD．
（2）
（3）BC= CD-CE；BC= CE-CD
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】（2）应用：在Rt△ABC中，AB=AC= ，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=2，
∵CD=1，
∴BD=BC-CD=1，
由探究知，△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=45°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△BCE中，CD=1，CE=BD=1，
根据勾股定理得，DE= ，
∴△DCE的周长为CD+CE+DE=2+
故答案为：2+ .（3）拓展：①同探究的方法得，△ABD≌△ACE．
∴BD=CE
∴BC=CD-BD=CD-CE，
故答案为BC=CD-CE；
②同探究的方法得，△ABD≌△ACE．
∴BD=CE
∴BC=BD-CD=CE-CD，
故答案为：BC=CE-CD．
【分析】（1）由∠BAC=∠DAE=90°，易知∠BAD=∠CAE，根据SAS可证明△ABD≌△ACE，则BD=CE，根据线段间的等量代换证得BC=CE+CD。（2）在Rt△ABC中，先计算出BC，然后求得BD，在Rt△BCE中，再运用勾股定理求得DE，最后求出△DCE的周长。拓展：①同探究的方法得出△ABD≌△ACE，利用全等三角形性质可得BD=CE，进而得出BC= CD-CE。②同探究的方法得，△ABD≌△ACE，可得BD=CE，进而得出结论BC= CE-CD。
17．（2021八上·武侯期末）[阅读理解]
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长.
解：设BD＝x，则CD＝7﹣x.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2.
又∵AB＝4，AC＝6，
∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2.
解得x＝ ，
∴BD＝ .
∴AD＝ ＝ .
[知识迁移]
（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D.
i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；
ii）若AD＝12，求线段BC的长.
（2）如图2，在△ABC中，AB＝ ，AC＝ ，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ ，连接CD′，若AD＝ ，求线段 的长.
【答案】（1）解：i）解：设BD=x，则CD=14-x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2.
又∵AB＝13，AC＝15，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2.
解得：x＝5，
∴BD＝5，
∴AD＝ ＝ ；
ii）分两种情况：①当点D在线段BC上，如图，
∵AD＝12，AB＝13，AC＝15，AD⊥BC，
∴BD= ，DC= ，
∴BC= BD+ DC=5+9=14，
②当点D在CB的延长线上，如图，则BC=DC-BD=9-5=4；
（2）解：∵AB＝ ，AC＝ ，AD＝ ，AD⊥BC，
∴BD= ，
DC= ，
过点D′作D′F⊥BC，交CB的延长线于点F，
∵将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ ，
∴BD′=BD= ，
设BF=x，D′F=y，
则x2+y2=( )2，
又∵ ，即：4x+2y=25，
∴x= 或 （舍），
∴y=5，即：D′F=5，
∴CF=BF+BD+CD= + +5=15，
∴ = .
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）i）设BD=x，则CD=14-x，根据勾股定理，得到AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，列出方程，即可求解；ii）根据勾股定理，分 ①当点D在线段BC上， ②当点D在CB的延长线上两种情况分别求出BD、DC，进而即可求解；
（2）先求出BD、DC，过点D′作D′F⊥BC，交CB的延长线于点F，设BF=x，D′F=y，根据勾股定理和等积法，列出关于x，y的方程，进而即可求解.
18．（2023八上·乐山期末）
（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明经过组内合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考：
①由已知和作图能得到，依据是 ▲ ．
A． B． C． D．
②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ▲ ．
（2）【初步运用】
如图②，是的中线，交于，交于，且，若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】
如图③，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．若，，求的长度．
【答案】（1）①A
②
（2）解：如图，延长至，使，连接，
∵是的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：延长到点，使，连接，，如图所示：
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
在中，由勾股定理得：，
∴．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）①∵AD是△ABC的中线
∴BD=DC
∴在△ADC和△BDE中
∴△ADC≌△BDE（SAS）
故答案为：A
②由①知：△ADC≌△BDE
∴AC=BE=6
∵AB=8
∴AB-BE＜AE＜AB+BE
即2＜AE＜14
∴1＜AD＜7
故答案为：1＜AD＜7
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，勾股定理的应用
（1）①本题根据题中的信息，通过SAS证明△ADC≌△EDB，即为答案.②本题根据全等三角形对应边相等可知：AC=BE=6，由三角形的中线定义可知：AE=2AD，根据构成三角形三边关系即可求解；
（2）根据三角形中线的定义可知：BD=CD，再结合DM=AD，对顶角相等∠ADC=∠BDM，可通过SAS证得△ADC≌△EDB，由全等三角形对应边相等，对应角相等可得：BM=AC，∠CAD=∠M，由等腰三角形的性质等边对等角可知：∠CAD=∠AFE，等量代换可得：∠BFD=∠CAD=∠M，由等腰三角形的判定等角对等边可知：BF=BM=AC，由线段的和差可得：AC=AE+EC=EF+EC，代入数值即可得出答案.
（3）根据三角形中线的定义可知：BD=CD，再结合DE=GD，对顶角相等∠CDG=∠BDE，可通过SAS证得△DBE≌△DCG，由全等三角形对应边相等，对应角相等可得：，∠GAD=∠B，由三角形内角为180°可知：∠B+∠ACB=90°，等量代换可知：∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，在Rt△CFG中，由勾股定理可得：，则EF=GF，即可得出答案.
19．（2023八上·泉州期末）
（1）观察猜想，如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为 ；
（2）问题解决，如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝6，AB＝3，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；
（3）拓展延伸，如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝6，AB＝3，DC＝DA，请直接写出BD的长.
【答案】（1）BC＝BD+CE
（2）解：问题解决
如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
由（1）同理得：△ABC≌△DEA，
∴DE＝AB＝3，AE＝BC＝6，
Rt△BDE中，BE＝9，
由勾股定理得：；
（3）
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）观察猜想
结论：BC＝BD+CE，理由是：
如图①，∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，
∴∠D+∠DAB＝∠DAB+∠EAC＝90°，
∴∠D＝∠EAC，
∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AE，
∴△ADB≌△EAC（AAS），
∴BD＝AC，EC＝AB，
∴BC＝AB+AC＝BD+CE；
故答案为：BC＝BD+CE；
（3）拓展延伸
如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，
同理得：△CED≌△AFD，
∴CE＝AF，ED＝DF，
设AF＝x，DF＝y，
则，解得：，
，，
由勾股定理得：.
【分析】（1）观察猜想：利用同角的余角相等得∠D＝∠EAC，从而利用AAS判断出△ADB≌△EAC，根据全等三角形的对应边相等得BD＝AC，EC＝AB，可得结论：BC＝AB＋AC＝BD＋CE；
（2）问题解决： 过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E， 同理证明：△ABC≌△DEA，可得DE＝AB＝3，AE＝BC＝6，最后在Rt△BDE中，利用勾股定理求BD的长；
（3）拓展延伸：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，同理证明三角形全等，得CE＝AF，ED＝DF，设AF＝x，DF＝y，根据全等三角形对应边相等列方程组可得x、y的值，进而根据勾股定理算出BD的长．
20．（2021八上·双阳期末）解答
（1）【问题探究】
如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AC＝AD，∠ABE＝∠ADC，连接EC，BD． 求证：EC＝BD．
（2）【拓展延伸】
①如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝AB，D为AC上一点，连结BD，作BE⊥BD，AE⊥AC，连结DE． 若AC＝2，请直接写出四边形ADBE的面积．
②如图3，四边形ABCD中，AD⊥AC，AC＝AD，∠ABC＝45°，AB＝3，BC＝1，请直接写出BD长．
【答案】（1）证明：∵AE=AB，AC=AD，
∴∠AEB=∠ABE，∠ACD=∠ADC，
∵∠ABE=∠ADC，
∴∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴EC=BD．
（2）①1
②
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：(2)①解：∵BE⊥BD，
∴∠EBD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBD-∠ABD=∠ABC-∠ABD，
即∠EBA=∠DBC，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵AE⊥AC，
∴∠EAB=45°，
∴∠EAB=∠C，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（ASA），
∴S△EAB=S△DCB，
∴S四边形ADBE=S△ABE+S△ABD=S△DCB+S△ABD=S△ABC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴S△ABC=AC2=1，
∴S四边形ADBE=1．
②解：如图3中，作AF⊥AB，使得AF=AB，连接BF，CF．
∵AF=AB，AC=AD，∠BAF=∠CAD，
∴∠CAF=∠BAD，
∴△FAC≌△BAD（SAS），
∴CF=BD，
∵∠FBA=∠ABC=45°，
∴∠FBC=90°，
∵AB=AF=3，∠BAF=90°，
∴BF=AB=3，
∴
∴BD=FC=．
【分析】（1）先求出 ∠BAE=∠DAC， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
②先求出△FAC≌△BAD（SAS），再求出∠FBC=90°，最后利用勾股定理计算求解即可。
1 / 1
